Знак информационной продукции (Федеральный закон № 436-ФЗ от 29.12.2010 г.)

Переводчик: Наталья Лисова

Научный редактор: Константин Кноп

Редактор: Вячеслав Ионов

Издатель: Павел Подкосов

Руководитель проекта: Ирина Серёгина

Арт-директор: Юрий Буга

Ассистент редакции: Мария Короченская

Корректоры: Елена Воеводина, Ольга Петрова

Верстка: Андрей Фоминов

Дизайн обложки: Людмила Антипова

Все права защищены. Данная электронная книга предназначена исключительно для частного использования в личных (некоммерческих) целях. Электронная книга, ее части, фрагменты и элементы, включая текст, изображения и иное, не подлежат копированию и любому другому использованию без разрешения правообладателя. В частности, запрещено такое использование, в результате которого электронная книга, ее часть, фрагмент или элемент станут доступными ограниченному или неопределенному кругу лиц, в том числе посредством сети интернет, независимо от того, будет предоставляться доступ за плату или безвозмездно.

Копирование, воспроизведение и иное использование электронной книги, ее частей, фрагментов и элементов, выходящее за пределы частного использования в личных (некоммерческих) целях, без согласия правообладателя является незаконным и влечет уголовную, административную и гражданскую ответственность.

© Joat Enterprises, 2021

© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Альпина нон-фикшн», 2024

* * *

Для чего нужна математика?

Что она дает нам в повседневной жизни?

Не так давно у нас были простые ответы на эти вопросы. Базовой арифметикой средний гражданин пользовался практически постоянно, хотя бы для проверки чека при совершении покупок. Элементарная геометрия была нужна плотникам. Геодезистам и штурманам требовалась также тригонометрия. Инженерное дело было немыслимо без дифференциального и интегрального исчисления.

Сегодня все иначе. Сумму чека подсчитывает кассовый терминал в супермаркете, он же учитывает скидки и начисляет налог с продаж. Мы же слушаем звуковые сигналы сканера штрихкодов, и если на каждую покупку приходится один сигнал, то считаем, что все в порядке. Многие профессии по-прежнему требуют обширных математических знаний, но даже там мы уже отдали большую часть математики на откуп электронным устройствам со встроенными алгоритмами.

Предмет, о котором я собираюсь вести речь, неосязаем. Трудно заметить то, что нельзя пощупать и ощутить.

Может показаться, что математика вышла из моды и устарела, но такой взгляд ошибочен. Без математики современный мир попросту развалился бы. В доказательство своего утверждения я покажу вам ее применение в политике и юриспруденции, в трансплантологии почек и в доставке заказов из супермаркета, в интернет-безопасности, в киношных спецэффектах и при изготовлении пружин. Мы увидим, что без математики немыслимы медицинские сканеры, цифровая фотография, широкополосные каналы связи и спутниковая навигация, она помогает нам предсказывать результаты климатических изменений, защищаться от террористов и интернет-хакеров.

Примечательно, что во многих компьютерных приложениях используется математический аппарат, созданный для совершенно иных целей. Готовя материалы для этой книги, я раз за разом натыкался на такие области применения математики, о которых даже не подозревал. Зачастую задействовались разделы, которые, казалось бы, не имеют практического применения, вроде заполняющих пространство кривых, кватернионов и топологии.

Математика – безграничная, исключительно креативная система представлений и методов. Она скрывается под поверхностью тех преобразующих технологий, которые делают XXI век с его видеоиграми, международным авиасообщением, системами спутниковой связи, компьютерами, интернетом и мобильными телефонами совершенно непохожим на предшествующую эпоху{1}. Поскребите какой-нибудь iPhone, и увидите яркий отблеск математики.

Пожалуйста, не воспринимайте это предложение буквально.

Многие склонны считать, что компьютеры с их почти чудесными возможностями делают математиков, да и саму математику, неактуальными. Но компьютеры вытесняют математиков не больше, чем микроскопы вытесняют биологов. Благодаря компьютерам мы теперь иначе занимаемся математикой, но в целом они лишь освобождают нас от монотонной работы. Они дают нам время подумать, помогают выискивать закономерности и добавляют в наш арсенал новый мощный инструмент, позволяющий развивать математику быстрее и эффективнее.

На самом деле главная причина того, что математика становится все более необходимой, как раз и состоит в повсеместном распространении дешевых и мощных компьютеров. Их появление открыло новые возможности для приложения математики к задачам реального мира. Методы, которые прежде не применялись из-за слишком большого объема вычислений, сегодня стали рутиной. Величайшие математики эпохи карандаша и бумаги развели бы руками в отчаянии при виде метода, требующего миллиарда вычислительных операций. Сегодня нас это не смущает, поскольку мы обладаем технологией, позволяющей проводить математические операции за доли секунды.

Математики давно находятся на острие компьютерной революции вместе с представителями бесчисленных других профессий. Вспомните хотя бы Джорджа Буля, который положил начало математической логике, составляющей основу современной компьютерной архитектуры. Вспомните Алана Тьюринга и универсальную машину, названную его именем, – математическую систему, способную вычислять все, что в принципе поддается вычислению. Вспомните Мухаммеда аль-Хорезми, чей алгебраический трактат, написанный примерно в 820 году, подчеркивал роль систематических вычислительных процедур, называемых теперь в его честь алгоритмами.

Большинство алгоритмов, которые определяют впечатляющие возможности компьютеров, прочно опираются на математику. Многие задействованные в них решения взяты, что называется, «с полки», из уже существующего запаса математических идей. Например, алгоритм PageRank компании Google, который дает количественную оценку значимости веб-сайта и является основой целой индустрии с многомиллиардным оборотом. Даже в наимоднейшем алгоритме глубокого обучения искусственного интеллекта используются давно испытанные и проверенные математические концепции, такие как матрицы и взвешенные графы. В одном из методов решения такой прозаической задачи, как поиск документа по конкретной цепочке символов, задействована математическая абстракция под названием «конечный автомат».

Участие математики в этих интереснейших разработках, как правило, упускается из виду. Так что в следующий раз, когда средства массовой информации вытащат на авансцену новую чудесную способность компьютеров, не забывайте, что за кулисами прячется математика, а также технические решения, физика, химия и психология и что без поддержки этих скрытых от глаз помощников цифровая суперзвезда вряд ли появилась бы на небосклоне.

Значимость математики в современном мире легко недооценить, потому что почти все, что связано с математикой, происходит за кулисами. Прогуляйтесь по улице любого города, и вы увидите ошеломляющее количество вывесок, которые кричат о важности банков, овощных магазинов, супермаркетов, модных бутиков, точек автосервиса и фастфуда, юристов, предметов старины, благотворительных организаций и тысячи других заведений и профессий. А вот бронзовой таблички, извещающей о том, что здесь консультирует математик, не найти. И ни один супермаркет не продаст вам немного «консервированной математики».

Однако стоит копнуть поглубже, и значимость математики быстро становится очевидной. Без уравнений аэродинамики невозможно конструировать самолеты. Навигация опирается на тригонометрию. Сегодня мы пользуемся навигацией совсем не так, как делал это Христофор Колумб, поскольку математика у нас встроена в электронные устройства и нам не приходится пользоваться пером, чернилами и навигационными таблицами, но базовые принципы остаются примерно теми же. Для разработки новых лекарств необходима статистика, без которой невозможно обеспечить их безопасность и эффективность. Спутниковая связь невозможна без глубокого понимания небесной механики. Прогнозирование погоды требует решения уравнений, описывающих движение атмосферных масс, количество содержащейся в них влаги, температуру и взаимодействие всех этих факторов. Можно привести тысячи разных примеров. Мы не замечаем, что в них задействована математика, ведь для использования результатов это знать необязательно.

Что же делает математику столь полезной для такого широкого набора видов человеческой деятельности?

Этот вопрос не нов. Еще в 1959 году физик Юджин Вигнер прочел в Нью-Йоркском университете лекцию{2} под названием «Непостижимая эффективность математики в естественных науках». В ней он сосредоточился на науке, но то же самое можно было бы сказать и о непостижимой эффективности математики в сельском хозяйстве, медицине, политике, спорте… в общем, всюду, куда ни глянь. Сам Вигнер надеялся, что сфера применения математики будет расширяться. И она, безусловно, расширяется.

Ключевое слово непостижимая в названии лекции Вигнера вызывает удивление. Использование математики по большей части вполне постижимо, если, конечно, разобраться в том, какие методы задействованы в решении задачи или при создании гаджета. Например, совершенно логично, что инженеры применяют уравнения аэродинамики при конструировании самолетов. Для этого аэродинамика в свое время и создавалась. Математический аппарат, используемый в прогнозировании погоды, в значительной мере создавался именно с этой целью. Статистика уходит корнями в открытие глобальных закономерностей в данных о поведении людей. Математика, необходимая для конструирования вариофокальных объективов, необъятна, но по большей части она разрабатывалась как раз для оптики.

С точки зрения Вигнера, возможности математики в решении важных задач становятся непостижимыми при отсутствии связи между первоначальной целью разработки математического аппарата и его последующим использованием. Вигнер начал свою лекцию с истории, которую я перескажу своими словами.

Встретились два бывших одноклассника. Один из них, статистик, исследующий демографические тенденции, показал другому свою статью, которая начиналась со стандартной в статистике формулы нормального распределения, или колоколообразной кривой{3}. Он объяснил, что означают в ней различные символы – вот численность населения, вот среднее значение по выборке – и как при помощи этой формулы можно узнать численность населения, не пересчитывая всех поголовно. Его одноклассник заподозрил, что приятель шутит, но не был в этом уверен и начал расспрашивать об остальных обозначениях и в конечном итоге добрался до символа, который выглядел так: π.

– Что это за значок? Выглядит знакомо.

– Да, это число пи – отношение длины окружности к ее диаметру.

– Теперь я точно знаю, что ты меня разыгрываешь, – сказал приятель. – Разве окружность имеет какое-то отношение к численности населения?

Прежде всего надо отметить, что скептицизм приятеля совершенно понятен. Здравый смысл подсказывает, что две такие несопоставимые концепции просто не могут быть связаны. В конце концов, одна имеет отношение к геометрии, другая – к людям. Однако, несмотря на здравый смысл, такая связь существует. Колоколообразная кривая описывается формулой, в которой, как ни странно, фигурирует число π. И это не просто удобная аппроксимация, в ней действительно стоит число, в точности равное нашему старому знакомому π. Но причина, по которой это число фигурирует в формуле колоколообразной кривой, неочевидна даже для математиков, и вам потребуется углубленное знание дифференциального исчисления, чтобы понять, откуда оно берется, не говоря уже о том почему.

Позволю себе рассказать еще одну историю о числе π. Несколько лет назад мы делали ремонт в ванной на первом этаже. Спенсер, поразительно разносторонний мастер, который пришел укладывать плитку, узнал, что я пишу популярные книги по математике.

– У меня есть математическая задачка для вас, – сказал он. – Мне поручили уложить плитку на пол в круглой комнате, и теперь нужно узнать ее площадь, чтобы выяснить, сколько потребуется плитки. Была ведь какая-то формула, которую мы учили…

– Пи эр квадрат, – ответил я.

– Вот-вот, она самая!

Я напомнил ему, как нужно пользоваться этой формулой. Он ушел счастливый, получив ответ на задачу с плиткой, подписанный экземпляр одной из моих книг и вдобавок сделав открытие – оказывается, математика, которую изучали в школе, может быть, вопреки давним убеждениям, полезна в его нынешней профессии.

Разница между двумя историями очевидна. Во втором случае π фигурирует потому, что это число изначально было введено для решения задач именно такого рода. Это простая история об эффективности математики. В первом случае π тоже участвует в решении задачи, но его присутствие удивительно. Это история о непостижимой эффективности: о применении математической концепции в области, совершенно не связанной с ее происхождением.

В этой книге я не буду распространяться о разумных и понятных применениях моего предмета. Они достойны, они интересны, они точно такая же часть математического ландшафта, как все остальное, они ничуть не менее важны, но вряд ли заставят кого-нибудь удивиться и воскликнуть: «Вот это да!» Кроме того, они могут создать впечатление у власти предержащей, что единственный способ развития этой науки состоит в постановке задач перед математиками, которые будут изобретать способы их решения. В таких целенаправленных исследованиях нет ничего плохого, но они подобны драке одной рукой. История же раз за разом демонстрирует ценность второй руки – поразительные возможности человеческого воображения. Особую мощь математике придает сочетание двух способов мышления, которые дополняют друг друга.

Например, в 1736 году великий математик Леонард Эйлер обратился к забавной небольшой головоломке, связанной с кёнигсбергскими мостами. Он заинтересовался ею потому, что она, похоже, требовала геометрии нового типа, которая меняла обычные представления о длинах и углах. Но он никак не мог предвидеть, что в XXI веке предмет, начало которому положило его решение, поможет множеству пациентов найти почку для пересадки и тем самым сохранить жизнь. Для начала отметим, что даже идея пересадки почки показалась бы в то время чистой фантазией, а если и нет, то связь ее с той головоломкой точно выглядела бы нелепицей.

И кто мог бы вообразить, что открытие заполняющих пространство кривых – кривых, проходящих через каждую точку заполненного квадрата, – сможет помочь программе Meals on Wheels планировать маршруты доставки? Точно не математики, которые изучали эти вопросы в 1890-е годы и которых интересовало, как можно определить такие заумные концепции, как «непрерывность» и «измерение». Кстати, поначалу им пришлось объяснять, почему дорогие их сердцу математические представления могут оказаться ошибочными. Многие коллеги тогда осуждали все это мероприятие как ошибочное и вредное. Со временем все поняли, что бесполезно жить в блаженном неведении и считать, что все будет замечательно работать, если на самом деле не будет.

Не только математика прошлого используется таким образом. Методы трансплантации почки опираются на многочисленные современные расширения первоначального озарения Эйлера, к которым относятся, в частности, алгоритмы комбинаторной оптимизации, позволяющие делать наилучший выбор из громадного спектра возможностей. Среди множества математических методов, используемых в компьютерной анимации, немало таких, которым от роду насчитывается с десяток лет, а то и меньше. В качестве примера можно привести «пространство форм»[1] – пространство бесконечной размерности, состоящее из кривых, которые считаются одной и той же кривой, если различаются только координатами. С их помощью анимационные последовательности становятся более гладкими и естественными на вид. Вездесущая гомология – еще одно недавнее изобретение – появилась в результате того, что специалисты по чистой математике хотели вычислять сложные топологические инварианты, которые подсчитывают число многомерных отверстий в геометрических фигурах. Помимо прочего, их метод позволил сетям датчиков сигнализации обеспечивать полное покрытие территории при защите зданий или военных баз от вторжения. Абстрактные концепции из алгебраической геометрии – «суперсингулярные изогенные графы» – могут сохранять безопасность интернет-коммуникаций, даже когда для взлома начнут применяться квантовые компьютеры. Эти устройства настолько новы, что существуют пока только в рудиментарном виде, но они разнесут современные криптосистемы в пух и прах, если удастся полностью реализовать их потенциал.

Математика не просто время от времени преподносит нам подобные сюрпризы. Это уже стало для нее обыкновением. Мало того, с точки зрения многих математиков, эти сюрпризы и есть самые интересные варианты применения их дисциплины – и главное основание для того, чтобы считать математику именно дисциплиной, а не разрозненным набором фокусов, индивидуальным для каждого типа задач.

По словам Вигнера, «чрезвычайная эффективность математики в естественных науках есть нечто загадочное, не поддающееся рациональному объяснению». Конечно, это правда, что математика выросла в первую очередь из физических задач, но Вигнера удивляла вовсе не эффективность дисциплины в тех областях, для которых она была разработана. Его ставила в тупик эффективность математики в областях, никак на первый взгляд с нею не связанных. Дифференциальное и интегральное исчисление выросло из исследований Исаака Ньютона, посвященных движению планет, поэтому не особенно удивительно, что оно помогает понять, как движутся планеты. Удивительно, однако, то, что дифференциальное исчисление позволяет осуществлять статистическую оценку народонаселения, как в маленьком примере Вигнера, объяснять изменения количества рыбы, выловленной в Адриатическом море во время Первой мировой войны{4}, управлять ценообразованием опционов в финансовом секторе, помогать инженерам конструировать пассажирские самолеты или быть жизненно важным для телекоммуникаций. И все потому, что дифференциальное исчисление изначально не предназначалось ни для одной из перечисленных целей.

Вигнер был прав. То, как математика раз за разом появляется без приглашения в физике, а также в большинстве других областей человеческой деятельности – настоящая загадка. В соответствии с одним из предположений, Вселенная «состоит» из математики и люди всего лишь понемногу открывают для себя этот основной ее элемент. Я не собираюсь с этим спорить, но, если такое объяснение верно, оно заменяет одну загадку на другую, еще более глубокую. Почему наша Вселенная состоит из математики?

На более прагматичном уровне можно утверждать, что математика обладает рядом свойств, которые помогают ей стать непостижимо эффективной по Вигнеру. Я согласен, что одно из них – ее многочисленные связи с естественными науками, которые приносят в мир человека преобразующие технологии. Многие великие математические инновации в самом деле родились в процессе естественно-научных исследований. Другие уходят корнями в потребности человека. Появление цифр обусловила потребность ведения хозяйственного учета (сколько у меня овец?). Геометрия означает «измерение земли» и изначально была тесно связана с налогообложением земель, а в Древнем Египте еще и со строительством пирамид. Тригонометрия возникла из астрономии, навигации и картографии.

Однако этого мало для адекватного объяснения, потому как другие великие математические инновации связаны не с естественно-научными исследованиями или потребностями людей. Простые числа, комплексные числа, абстрактная алгебра, топология – главной мотивацией для открытия/изобретения подобных инструментов было человеческое любопытство и ощущение закономерности. Это вторая причина, по которой математика так эффективна: математики используют ее для поиска закономерностей и выявления внутренней структуры. Они ищут красоту, красоту не формы, а логики. Ньютону, пытавшемуся понять движение планет, решение пришло, когда он стал думать как математик и искать более глубокие закономерности в груде необработанных астрономических данных. Тогда-то он и предложил свой закон всемирного тяготения{5}. Многие величайшие математические идеи вообще не связаны с реальным миром. Пьер де Ферма, юрист и математик-любитель XVII века, сделал ряд фундаментальных открытий в теории чисел: открыл глубокие закономерности в поведении обычных целых чисел. Потребовалось три столетия, чтобы его работы в этой области нашли практическое применение, но сегодня без них были бы невозможны коммерческие транзакции, которые являются движущей силой интернета.

Еще одно свойство математики, которое с конца XIX века становится все более очевидным, это общность. У различных математических структур много общего. В элементарной алгебре действуют такие же правила, что и в арифметике. Все виды геометрии (евклидова, проективная, неевклидова и даже топология) тесно связаны друг с другом. Это скрытое единство можно сделать явным, если с самого начала работать с обобщенными структурами, которые подчиняются конкретным правилам. Достаточно разобраться в общих принципах, и все конкретные примеры станут очевидными. Это позволяет сберечь немало сил, которые иначе расходовались бы понапрасну – ведь пришлось бы делать, по существу, одно и то же много раз с использованием незначительно различающихся языков. Однако у такого подхода есть один недостаток: как правило, он делает дисциплину более абстрактной. Вместо того чтобы говорить о знакомых вещах, таких как числа, обобщенный подход имеет дело с чем-то, подчиняющимся тем же правилам, что и числа, а называться это может, например, «нётерово кольцо», «тензорная категория» или «топологическое векторное пространство». Когда абстракции такого рода доводятся до крайности, трудно понять, что эти общности собой представляют, не говоря уже о том, как их использовать. Тем не менее они настолько полезны, что наш мир уже не смог бы без них функционировать. Хотите Netflix? Кто-то должен произвести математический расчет. Это не волшебство, это только кажется волшебством.

Четвертое свойство математики, очень важное для нашего рассказа, – возможность ее переноса. Это следствие ее общности и причина, по которой необходима такая высокая степень абстракции. Безотносительно задачи, давшей повод для разработки, любая математическая концепция или метод обладает таким уровнем общности, который делает его применимым для решения совершенно других задач. В результате любая задача, которую можно переформулировать и уложить в подходящие рамки, становится решаемой. Простейший и самый эффективный способ создания переносимой математики – заложить возможность переноса в проект с самого начала, сделав общность явной.

Последние 2000 лет математика черпает вдохновение из трех основных источников: процессов в природе, потребностей общества и склонности к поиску закономерностей, свойственной человеческому разуму. На этих трех столпах держится все здание. Настоящее чудо, что, несмотря на многообразие мотиваций, математика полностью едина. Каждая ее отрасль, каковы бы ни были ее истоки и цели, тесно связана с остальными отраслями, и эти взаимосвязи становятся все более прочными и все более сложными.

Это указывает на пятую причину невероятно высокой эффективности математики, на ее единство. А рядом идет и шестая причина, которую я иллюстрирую множеством примеров: ее разнообразие.

Реальность, красота, общность, возможность переноса, единство, разнообразие. В целом все это обусловливает полезность.

Да, все очень просто.

Древние греки много чего подарили миру: поэзию, драму, скульптуру, философию, логику. Кроме того, они дали нам геометрию и демократию, которые, как оказалось, связаны между собой теснее, чем кто-либо мог предположить, и меньше всего сами греки. Конечно, политическая система Древних Афин представляла собой очень ограниченную форму демократии – голосовать могли только свободные мужчины, но не женщины и не рабы. Так или иначе, в эпоху наследных правителей, диктаторов и тиранов афинская демократия была заметным шагом вперед. Как и греческая геометрия, которая в изложении Евклида Александрийского подчеркивала, как важно делать базовые предположения ясными и четкими, а все остальное выводить из них строго логически и системно.

Но как математика может использоваться в политике? Политика – это сфера человеческих отношений, соглашений и обязательств, а математика – это холодная абстрактная логика. В политических кругах риторика берет верх над логикой, а бездушные математические расчеты кажутся очень далекими от политических споров. Но демократическая политика подчиняется правилам, а у них бывают следствия, которые не всегда можно предвидеть, когда правила вводятся. Новаторские работы Евклида по геометрии, собранные в его знаменитых «Началах», установили стандарт того, как нужно делать выводы из правил. Фактически это неплохое определение математики в целом. В любом случае сегодня, всего лишь через 2500 лет, математика начинает проникать и в политический мир.

Как ни странно, в условиях демократии политики, на словах преданные идее о том, что решения должен принимать «Народ», всеми силами стараются не допустить этого. Такая тенденция восходит к той самой первой демократии в Древней Греции, где право голоса давалось только мужчинам-афинянам, составлявшим около трети взрослого населения. Одновременно с зарождением идеи выбирать руководителей и направления политики путем народного голосования появилась еще более привлекательная идея подмять под себя этот процесс и взять под контроль тех, кто голосует, и результаты голосования. Это несложно, даже когда каждый избиратель имеет один голос, потому что результаты голосования зависят от контекста, в котором оно происходит, а контекст всегда можно подтасовать. Как деликатно выражается профессор журналистики Уэйн Докинз, в итоге политики начинают выбирать своих избирателей, а не избиратели политиков{6}.

Вот здесь-то и вступает в игру математика. Не в политических дебатах, а в структуре правил этих дебатов и в контексте, в котором они проводятся. Математический анализ – обоюдоострое оружие. Он может открывать новые, хитроумные методы подтасовки голосов, а может и выявлять подобную практику, указывать на ее свидетельства и способствовать предотвращению.

Кроме того, математика подсказывает, что в любой демократической системе должны присутствовать элементы компромисса. Невозможно получить все, что вы хотите, каким бы желанным это ни было, поскольку список желаемого всегда внутренне противоречив.

Газета The Boston Gazette подарила 26 марта 1812 года миру новое слово: джерримандер (gerrymander), что означало манипуляции с нарезкой избирательных округов. Первоначально это слово писалось через дефис – «джерри-мандер» – и было результатом словослияния, которым впоследствии широко пользовался Льюис Кэрролл, то есть сложения частей двух общеизвестных слов. Часть «мандер» представляла собой концовку слова «саламандра», а часть «джерри» – концовку имени Элбриджа Джерри, губернатора штата Массачусетс. Точно неизвестно, кто первым сложил две концовки вместе, но историки считают, что это был один из редакторов газеты: Натан Хейл, Бенджамин Рассел или Джон Рассел.

Что же такого сделал Элбридж Джерри, что его имя навсегда соединилось с названием похожего на ящерицу существа, жившего, согласно средневековому фольклору, в огне? Подтасовал результаты выборов.

Говоря точнее, именно Джерри протолкнул закон, изменивший границы избирательных округов в Массачусетсе на выборах в сенат штата. Деление на избирательные округа, как это называют, естественным образом связано с определением границ. Это обычное дело и сегодня, и в давние времена для большинства демократий. Очевидная причина деления на округа – практические соображения: неудобно принимать решения, если по каждому предложению должна голосовать вся страна. (Наглядный пример – Швейцария: до четырех раз в год федеральный совет отбирает предложения для голосования граждан и устраивает, по существу, серию референдумов. При этом женщины там не имели права голоса до 1971 года, а один из кантонов даже продержался до 1991 года.) Существует освященная временем традиция избирать всеобщим голосованием сравнительно небольшое число представителей и уже этим представителям давать право принимать решения. Один из наиболее справедливых методов – пропорциональное представительство, когда число представителей той или иной политической партии пропорционально числу полученных ею голосов. Чаще всего население разбивают на округа, и каждый округ избирает определенное число представителей, примерно пропорциональное числу избирателей в нем.

Например, на президентских выборах в США каждый штат голосует за определенное число «выборщиков» – членов коллегии выборщиков. Выборщики имеют по одному голосу, и кто станет президентом, определяется простым большинством их голосов. Эта система появилась в те времена, когда доставить сообщение из американской глубинки в центр можно было лишь верхом или в экипаже, запряженном лошадьми. Железнодорожные магистрали и телеграф появились позже. В те дни процесс подсчета голосов громадного числа людей шел слишком медленно{7}. Но эта система, помимо прочего, передавала контроль в руки членов коллегии выборщиков. В случае британских парламентских выборов страна делится (в основном географически) на избирательные округа, каждый из которых выбирает одного члена парламента. Затем партия (или коалиция партий), получившая максимальное число мест в парламенте, формирует правительство и выдвигает одного из своих членов парламента на пост премьер-министра. Премьер-министр Великобритании обладает значительными полномочиями и во многом напоминает президента.

Существует еще одна скрытая причина для передачи процедуры принятия демократических решений в руки небольшого числа «проводников»: так проще манипулировать голосами. Все подобные системы имеют внутренние недостатки, которые часто приводят к странным результатам, а при случае ими можно воспользоваться, чтобы игнорировать волю народа. В наши времена уже не раз на президентских выборах в США полное число голосов избирателей, отданных за проигравшего кандидата, было больше, чем у победившего кандидата. Хотя нынешний метод выборов президента не зависит от воли избирателей, при современных средствах коммуникации единственная причина, по которой США не переходят на более справедливую систему, видится в том, что многих власть имущих устраивает именно такой вариант.

Основная проблема здесь – «бесполезные голоса». В каждом штате кандидату для победы нужна половина общего числа проголосовавших плюс один голос (или полголоса, если общее число нечетное). Голоса, полученные сверх этого порога, никак не влияют на то, что происходит на этапе работы коллегии выборщиков. Так, на президентских выборах 2016 года Дональд Трамп получил 304 голоса выборщиков, а Хиллари Клинтон – 227 голосов, но число проголосовавших за Клинтон избирателей было на 2,87 млн больше, чем у Трампа. Так что Трамп стал пятым президентом США, получившим этот пост при проигранном общенародном голосовании.

Джерримандер – подтасовка голосов по рецепту Джерри. Считается, что эту карикатуру нарисовал в 1812 году Элкана Тисдейл

Границы американских штатов практически неизменны, так что проблемы манипуляции ими нет. А вот внутри границы округов могут изменяться, причем обычно это делает партия, находящаяся у власти, и здесь проявляется еще более коварный порок системы. Дело в том, что партия может проводить границы таким образом, чтобы гарантировать конкурирующей партии потерю необычно большой доли голосов. Возьмем Элбриджа Джерри и выборы в сенат. Когда массачусетские избиратели увидели карту избирательных округов, они не заметили почти ничего необычного. Однако один из округов заметно отличался от остальных. Он объединял 12 административных районов запада и севера штата и имел сложную форму. Политическому карикатуристу, автору рисунка, который вскоре появился в The Boston Gazette, – скорее всего, это был художник, дизайнер и гравер Элкана Тисдейл, – этот округ показался очень похожим на саламандру.

Джерри принадлежал к Демократической республиканской партии, конкурировавшей в то время с Федералистской партией. На выборах 1812 года федералисты завоевали палату представителей штата и пост губернатора, в результате чего Джерри остался без места. Однако проведенное им разбиение на округа на выборах в сенат штата позволило Демократической республиканской партии одержать победу.

* * *

Математика манипуляций по рецепту Джерри начинается с анализа того, как они делаются. Существуют две основные тактики разбиения на округа: концентрация и распыление. При концентрации ваши собственные голоса распределяются как можно равномернее для получения небольшого, но решающего большинства в как можно большем числе округов, а остальные округа сдаются врагу. Прошу прощения, оппозиции. Распыление предполагает разбивку голосов оппозиции так, чтобы она проиграла в как можно большем числе округов. Пропорциональное представительство, при котором число представителей пропорционально полному числу голосов, полученному каждой партией (или предельно близко к нему), позволяет избежать подобных фокусов и является более справедливым. Неудивительно, что Конституция США делает пропорциональное представительство незаконным, потому что, согласно ей, каждый округ должен иметь только одного представителя. В 2011 году Великобритания провела референдум по другой альтернативе, системе единого передаваемого голоса: народ проголосовал против предлагавшихся изменений. Референдума по пропорциональному представительству в Великобритании никогда не было.

Нарезка избирательных округов в Джерримандии. Вверху слева: 50 районов следует разделить на пять округов по 10 районов в каждом. Предпочтения избирателей (голосуют они за Темную или за Светлую партию) отражены на карте оттенком серого. Вверху справа: концентрация дает Светлым три округа, а Темным только два. Внизу слева: распыление отдает Темным все пять округов. Внизу справа: такое разбиение обеспечило бы пропорциональное представительство

Вот как работают концентрация и распыление в вымышленном примере с очень простой географией и столь же простым распределением голосов.

В государстве Джерримандия за власть борются две политические партии, Светлые и Темные. В этом государстве 50 районов, которые следует распределить по пяти избирательным округам. На недавних выборах Светлые получили большинство в 20 северных районах, тогда как Темные имели большинство в 30 южных районах (рис. вверху слева). Правительство Светлых, которые с минимальным перевесом победили в предыдущем голосовании, изменило границы избирательных округов, обеспечив большинство своих сторонников в трех округах (вверху справа), так что теперь Светлые побеждают в трех округах, а Темные получают только два. После этого Темная партия оспаривает изменение границ в суде на том основании, что форма и границы новых избирательных округов с очевидностью говорят о подтасовке, и умудряется получить контроль над изменением границ перед следующими выборами. Темные используют метод распыления (внизу слева), чтобы обеспечить себе победу во всех пяти избирательных округах.

Если избирательные округа должны состоять из 10 небольших квадратных районов каждый, лучшее, что могут получить Светлые методом концентрации, это три округа из пяти. Им необходимо выиграть выборы в шести районах из 10, чтобы победить в округе в целом, а всего они контролируют 20 районов. Это дает им три шестерки плюс еще два района, которые оказываются бесполезными. Лучшее, чего могут добиться Темные методом распыления, – это получить все пять округов. Пропорциональное представительство дало бы Светлым два округа, а Темным – три, как показано на рисунке внизу справа. (На практике пропорциональное представительство не достигается разбиением на избирательные округа.)

* * *

Страны с диктаторским или близким к нему режимом в большинстве своем проводят выборы, чтобы показать миру, насколько они демократичны. Результаты этих выборов обычно подтасовываются, и даже если их разрешено оспорить в суде, разбирательства никогда не бывают успешными из-за небеспристрастности судов. В демократических странах можно не только опротестовать изменение границ избирательных округов, но и выиграть дело, потому что суды не зависят от правящей партии. Если, конечно, судьи не назначаются по партийной принадлежности.

В подобных случаях основная проблема, с которой сталкиваются судьи, носит неполитический характер. Все упирается в поиск объективного способа, позволяющего определить, имела ли место подтасовка. На каждого «эксперта», который посмотрит на карту и заявит, что видит явный случай подтасовки, всегда найдется другой «эксперт», который придет к противоположному выводу. Необходимы более объективные методы, чем личное мнение и словесные аргументы.

Здесь определенно нужна математика. Формулы и алгоритмы позволяют количественно оценивать разумность и справедливость границ округов и выявлять их необъективность в четко определенном смысле. Сама по себе разработка этих формул и алгоритмов не объективный процесс, конечно, но, как только они становятся общепринятыми (а это отчасти процесс политический), каждый может воспользоваться ими и проверить результаты независимо. Это дает суду логическую основу для принятия решения.

Разобравшись в коварных методах, которые дают политикам возможность изменять границы избирательных округов в свою пользу, можно придумать математические критерии или правила, позволяющие распознавать применение этих методов. Ни одно подобное правило не может быть идеальным – более того, существует доказательство, что это невозможно, к которому я перейду, как только мы поймем суть правил. В настоящее время используются пять подходов:

• Выявление избирательных округов странной формы.

• Выявление несоответствия в соотношении получаемых мест и числа голосов.

• Оценка количества бесполезных голосов, создаваемого данным делением на округа, и его сравнение с тем значением, которое законно считается приемлемым.

• Анализ всех возможных конфигураций округов и оценка вероятного результата при каждой из них с точки зрения количества полученных мест на основе существующих данных об избирателях, чтобы понять, является ли предложенная карта статистической аномалией.

• Выработка процедур, гарантирующих, что итоговое решение будет справедливым, что его сочтут справедливым и что обе партии согласятся с его справедливостью.

Пятый подход – самый удивительный, но, как ни странно, его на самом деле можно реализовать. Рассмотрим эти подходы по очереди, оставив удивительное напоследок.

* * *

Во-первых, округа странной формы.

Еще в 1787 году Джеймс Мэдисон писал в «Записках федералиста», что «естественным пределом любой демократии является расстояние от центральной точки, которое позволит самым далеко живущим гражданам собираться так часто, как того требуют их общественные функции». Если воспринимать это буквально, он предлагал делать избирательные округа приблизительно круглыми и не настолько большими, чтобы время пути от периферии до центра было чрезмерным.

Предположим, например, что основную поддержку политическая партия получает в прибрежных районах. Включение всех живущих там избирателей в один округ приведет к тому, что округ получится длинным, узким и извилистым и будет тянуться вдоль всего побережья. Это совершенно неестественно в сравнении с остальными компактными и разумными по форме округами. Нетрудно прийти к выводу, что здесь происходит что-то подозрительное, а границы проведены так, чтобы сделать бесполезными как можно больше голосов избирателей этой партии. Странная форма перекроенных избирательных округов часто свидетельствует о манипуляциях, как это было в случае необычного округа губернатора Джерри.

Правоведы могут спорить до умопомрачения о том, какую именно форму следует считать странной. Поэтому в 1991 году юристы Дэниел Полсби и Роберт Поппер предложили способ количественной оценки необычности формы, известный сегодня как тест Полсби – Поппера{8}. Он вычисляется по формуле:

4π × площадь округа/квадрат периметра округа.

Человек, хоть немного знакомый с математикой, сразу обратит внимание на множитель 4π. Подобно приятелю Вигнера, который не понимал, как численность населения связана с окружностями, мы можем спросить, какое отношение окружности имеют к политическим играм с избирательными округами. Ответ необычайно прост и прямолинеен: круг – самая компактная из геометрических фигур.

Этот факт имеет давнюю историю. Согласно древнегреческим и древнеримским источникам, а именно поэме Вергилия «Энеида» и «Филипповой истории» Гнея Помпея Трога, основательницей города-государства Карфагена была царица Дидона. Историческое повествование Трога кратко пересказал Юниан Юстин в III веке, и в его рассказе мы находим поразительную легенду. Дидона и ее брат Пигмалион были наследниками неназванного царя города Тира. После смерти царя народ хотел, чтобы им правил Пигмалион, несмотря на юный возраст. Дидона вышла замуж за своего дядю Акербаса, который, по слухам, обладал несметными сокровищами. Пигмалион захотел получить эти сокровища, а потому убил Акербаса. Дидона сделала вид, что выбросила его сокровища в море, хотя на самом деле утопила просто мешки с песком. Опасаясь, вполне разумно, гнева Пигмалиона, она бежала сначала на Кипр, а затем на северное побережье Африки. Там Дидона обратилась к берберскому царю Ярбу с просьбой выделить небольшой участок земли, где она могла бы пожить какое-то время. Тот ответил, что разрешает ей забрать себе столько земли, сколько удастся окружить бычьей шкурой. Дидона разрезала шкуру на тонкие полоски и охватила ими близлежащий холм, который до сего дня носит название Бирса, что значит «шкура». Основанное там поселение стало городом Карфагеном, и, когда он вырос и разбогател, Ярб сказал Дидоне, что она должна выйти за него замуж – или ее город будет разрушен. Дидона принесла множество жертв на громадном костре, сделав вид, что хочет почтить таким образом своего первого мужа и подготовиться к браку с Ярбом, затем взошла на костер, сказала, что скорее присоединится к первому мужу, чем уступит притязаниям Ярба, и пронзила себя мечом.

Мы не знаем, существовала ли Дидона на самом деле (хотя Пигмалион определенно существовал, и в некоторых источниках наряду с ним упоминается и Дидона). Поэтому говорить об исторической точности этой легенды бессмысленно. Как бы то ни было, в исторической легенде кроется легенда математическая: Дидона использовала шкуру, чтобы окружить холм, выложить из ремешков окружность вокруг него. Почему окружность? Потому что – как утверждают математики – она знала, что именно окружность охватывает максимально большую площадь для заданного периметра{9}. Этот факт носит впечатляющее название «изопериметрическое неравенство». Он был известен еще в Древней Греции, но строгое доказательство получил только в 1879 году, когда математик Карл Вейерштрасс заполнил пробел в пяти различных доказательствах, опубликованных геометром Якобом Штейнером. Штейнер доказал, что если оптимальная фигура существует, то это должна быть окружность, но он не сумел доказать ее существование{10}.

Изопериметрическое неравенство гласит, что

квадрат периметра больше или равен 4π × площадь.

Это применимо к любой плоской геометрической фигуре, у которой есть периметр и площадь. Более того, постоянная 4π – наилучшая из возможных (ее невозможно сделать больше), и вариант «больше или равно» превращается в равенство только в том случае, когда фигура – круг{11}. Именно изопериметрическое неравенство навело Полсби и Поппера на мысль о том, что величина, которую я назвал тестом Полсби – Поппера (ПП), может служить эффективным способом оценки округлости геометрической фигуры. Вот несколько примеров:

Круг: ПП = 1;

Квадрат: ПП = 0,78;

Равносторонний треугольник: ПП = 0,6.

Для избирательного округа по Джерри ПП составляет примерно 0,25.

Однако у ПП есть серьезные недостатки. Необычные формы избирательных округов иногда бывают неизбежными из-за таких особенностей местной географии, как реки, озера, леса и очертания побережий. Более того, избирательный округ может быть аккуратным и компактным и при этом очевидно организованным с целью манипуляций. Так, карта избирательных округов на выборах 2011 года в законодательное собрание штата Пенсильвания выглядела очень причудливо и неестественно, и в 2018 году республиканцы подготовили предложения по ее изменению. Предложенные округа полностью соответствовали пяти параметрам, определенным Верховным судом штата, но математический анализ распределения голосов в округах показал, что границы все равно не были объективными и заметно влияли на результаты голосования.

Даже масштаб карты может вызвать проблемы. Основная из них – фрактальность геометрии. Фрактал – это геометрическая фигура с детальной структурой во всех масштабах. Многие природные формы больше похожи на фракталы, чем на евклидовы треугольники и окружности. Береговые линии и облака можно очень эффективно моделировать в виде фракталов, что позволяет отразить их замысловатую форму. Термин «фрактал» пустил в обращение в 1975 году Бенуа Мандельброт, разработавший и активно продвигавший новую область – фрактальную геометрию. Береговые линии и реки представляют собой чрезвычайно извилистые фрактальные кривые, и их длина при измерении сильно зависит от того, насколько мелкий масштаб при этом используется. На самом деле длина фрактальной кривой теоретически бесконечна, что в переводе на язык повседневной реальности звучит так: «Измеренная длина возрастает безгранично по мере того, как вы рассматриваете объект все в больших подробностях». Так что юристы могут спорить до бесконечности об измерении периметра, не говоря уже о том, был ли данный избирательный округ изменен с целью манипуляции.

* * *

Поскольку странность формы такой неточный параметр, имеет смысл попробовать что-нибудь более определенное. Соответствуют ли результаты голосования статистическим избирательным паттернам электората?

Если на выборах идет борьба за 10 мест, а симпатии избирателей распределяются 60:40, то можно ожидать, что шесть мест получит одна партия, а четыре – другая. Если же одна партия получит все 10 мест, то можно заподозрить подтасовку. Однако на самом деле все не так просто. Результат такого рода обычен в мажоритарных системах голосования. Так, во время всеобщих выборов 2019 года в Великобритании Консервативная партия получила 44 % голосов, но 365 из 650 мест, что составляет 56 % всех мест. Лейбористы получили 32 % голосов и 31 % мест. Шотландские националисты с 4 % голосов получили 7 % мест (хотя это особый случай, поскольку их избирательная база целиком находится в Шотландии). Либеральные демократы получили 12 % голосов и 2 % мест. Большая часть несоответствий здесь была следствием региональных избирательных паттернов, а не странно проведенных границ избирательных округов. В конце концов, если результат двухпартийных выборов одного человека, скажем президента, решается простым большинством, то 50 % голосов (плюс один голос) будет достаточно для получения поста целиком.

Вот американский пример. В штате Массачусетс на федеральных и президентских выборах с 2000 года республиканцы получали в целом более трети голосов. Тем не менее в последний раз республиканцы занимали в этом штате хотя бы одно место в палате представителей аж в 1994 году. Подтасовка? Похоже, нет. Если эта треть республиканских избирателей распределена по территории штата более или менее равномерно, то, как бы вы ни проводили границы округов – исключая экстремальные варианты, при которых границы огибают дома отдельных граждан, – доля сторонников Республиканской партии в каждом округе составит приблизительно одну треть. Демократы победят везде. Именно так и происходило все эти годы.

Слева: предложение Светлых, при котором границы двух округов оставлены на усмотрение Темных. Справа: наиболее компактный вариант, который Темные могли бы выбрать

Во время одних реальных выборов математики показали, что такой эффект может оказаться неизбежным, как ни проводи границы, по крайней мере если не делить на части отдельные городки. В 2006 году, когда Кеннет Чейз боролся против Эдварда Кеннеди на выборах в сенат США, Массачусетс был разделен на девять избирательных округов. Чейз получил 30 % голосов, но проиграл во всех девяти округах. Компьютерный анализ вариантов показал, что ни один набор городов, объединенных в округ, даже если брать города, разбросанные по территории штата произвольным образом, не принес бы Чейзу победу. Его сторонники были распределены по большинству городов довольно равномерно, и обеспечить ему победу не удалось бы, какие границы ни проведи.

В уже знакомой нам Джерримандии, когда Темные выиграли во всех пяти округах, Светлые опротестовали это деление на округа на основании того, что прямоугольные округа получились слишком длинные и узкие, так что Темные, очевидно, занимались распылением. Суд постановил, что округа должны быть более компактными. Светлые разработали схему трех компактных округов и великодушно предложили Темным самим решить, как разделить еще на два округа оставшиеся территории. Темные запротестовали, потому что такое разбиение отдавало Светлым три округа, а Темным оставляло только два, хотя сторонников у них было больше.

Это деление показывает еще два недостатка использования критерия компактности как средства обнаружения манипуляций. Хотя деление и компактно, оно все равно отдает Светлым 3/5 округов при наличии у них всего 2/5 голосов. К тому же не существует способа разбить оставшиеся территории на два компактных округа. Из-за особенностей географии в Джерримандии трудно добиться компактности и справедливости одновременно. А может быть, и невозможно, в зависимости от определений.

* * *

Поскольку критерий компактности небезупречен, подумаем, как еще можно распознать деление на округа в пользу одной из партий. Данные голосования говорят нам не только об исходе выборов, но и о том, что было бы, если бы распределение полученных сторонами голосов сдвинулось на определенную величину. Например, если бы при голосовании в каком-то округе было отдано 6000 голосов за Темных и 4000 за Светлых, то Темные выиграли бы. Если бы 500 избирателей перебежали от Темных к Светлым, то Темные все равно выиграли бы, но если бы мнение изменил 1001 избиратель, то Темные проиграли бы. Если бы голоса распределились как 5500 за Темных и 4500 за Светлых, то достаточно было бы переманить всего 501 избирателя, чтобы изменить результат. Короче говоря, по данным голосования в округе можно узнать не только о том, кто победил, но и о том, насколько близки результаты соперников.

Можно выполнить этот расчет для каждого округа, собрать результаты воедино и посмотреть, как распределение полученных мест меняется со сдвигом голосов, и получить кривую места-голоса. (На самом деле это ломаная линия с множеством прямолинейных участков, но для удобства ее сглаживают.) Рисунок слева показывает, как приблизительно должна выглядеть такая кривая для неподтасованных выборов. В частности, эта кривая должна пересекать 50 %-ный порог для мест при 50 %-ном распределении голосов, и она должна быть симметричной по обе стороны от этой точки при повороте на 180º.

На рисунке справа показана кривая места-голоса для карты округов во время выборов в конгресс штата Пенсильвания, при этом на горизонтальной оси отложены голоса Демократической партии. Демократам требовалось около 57 % голосов, чтобы получить 50 % мест. Эта карта впоследствии была изменена решением законодательного собрания штата.

В нескольких случаях Верховный суд США отверг обвинения в манипуляциях, сделанные на основании подобных расчетов, как, впрочем, и обвинения, основанные на недостаточной компактности округов. В деле LULAC v. Perry 2006 он все же принял решение об изменении некоторых границ избирательных округов в Техасе на том основании, что границы одного из округов противоречили Закону об избирательных правах. Хотя Верховный суд и объявил изменение избирательных округов в пользу одной из партий неконституционным, он фактически не отменил целиком ни одной карты округов.

График зависимости распределения мест от числа голосов. На горизонтальной оси отложен процент голосов, отданных за одну партию (показан интервал от 30 до 70 %). Вертикальная ось показывает процент мест, которые партия получила бы с таким количеством голосов

Главная причина, которую суд привел в обоснование своего отказа, состояла в том, что методы вроде кривой места-голоса построены на гипотетических предположениях относительно поведения избирателей в иных обстоятельствах. Возможно, для юристов это звучит убедительно, но математически это чепуха, поскольку кривая строится на основе реальных данных по голосованию и по точно определенной процедуре. Перенос голосов при расчете кривой не зависит от того, как конкретный избиратель может поступить в реальности. Это как посмотреть на счет в баскетбольном матче и сказать, что при счете 101:97 игра, должно быть, шла на равных, а при счете 120:45 – нет. Вы при этом не делаете предположений о том, как могли бы повести себя отдельные игроки, если бы играли лучше или хуже. Так что этот момент можно добавить к длинному и ничем не примечательному списку случаев неспособности закона понять или хотя бы просто оценить простую математическую логику. Якобы гипотетический характер этого совершенно строгого и основанного на фактах алгоритма служит предлогом для отказа от изменения карты избирательных округов Техаса.

* * *

В случае сомнительных юридических решений бесполезно поучать судей, поэтому сторонники математических методов распознавания манипуляций занялись поисками других показателей и критериев, которые невозможно отбросить по надуманным основаниям. Манипуляции заставляют сторонников одной из партий бесполезно тратить значительное количество голосов. Как только ваш кандидат получает большинство, все дополнительные голоса становятся лишними и никак не влияют на результат. А раз так, то при справедливом выборе границ избирательных округов обе партии должны тратить бесполезно примерно одинаковое число голосов. В 2015 году Николас Стефанопулос и Эрик Макги нашли новый метод подсчета бесполезных голосов – анализ разрыва в эффективности{12}. В деле Gill v. Whitford 2016 суд Висконсина объявил карту избирательных округов на выборах в законодательное собрание штата незаконной, и основанием для этого решения стал разрыв в эффективности. Чтобы посмотреть, как вычисляется разрыв в эффективности, упростим процесс до выбора из двух кандидатов.

Существует два основных способа сделать ваш голос бесполезным. Голос, отданный за проигравшего кандидата, бесполезен потому, что вы могли с тем же успехом не голосовать вообще. Лишний голос, отданный за победителя уже после того, как он набрал 50 %, бесполезен по той же причине. Справедливость этих утверждений зависит от реальных результатов и определяется задним числом: невозможно с уверенностью сказать, что ваш голос бесполезен, пока неизвестны результаты выборов. В ходе всеобщих выборов 2020 года в Великобритании кандидат от лейбористов в моем избирательном округе получил 19 544 голоса, а кандидат консерваторов – 19 143 голоса. Лейборист победил с перевесом в 401 голос при общем числе голосов, отданных за две партии, равном 38 687. Если бы какой-то избиратель решил не голосовать, перевес все равно составил бы 400 голосов. Но если бы от голосования воздержалось чуть больше 1 % сторонников Лейбористской партии, победил бы кандидат консерваторов.

Согласно определению, бесполезными у Консервативной партии стали все 19 143 голоса, а у Лейбористской партии – 200 голосов. Разрыв эффективности показывает, насколько у одной партии бесполезных голосов больше, чем у другой. В данном случае он равен:

Число бесполезных голосов консерваторов

минус

Число бесполезных голосов лейбористов

разделить на

Полное число голосов.

То есть (19 143–200)/38 687, что составляет +49 %.

И это всего один избирательный округ. Идея метода в том, чтобы рассчитать совокупный разрыв в эффективности для всех избирательных округов и добиться, чтобы законодатели установили целевое значение. Разрыв в эффективности всегда лежит между –50 % и +50 %, а справедлив разрыв, равный 0 %, поскольку в этом случае у обеих партий бесполезными оказывается одинаковое число голосов. В итоге Стефанопулос и Макги предложили считать, что разрыв в эффективности, выходящий за рамки ±8 %, указывает на манипуляции.

Однако и у этого способа измерения есть недостатки. Когда результаты близки, большой разрыв в эффективности неизбежен, и всего несколько голосов могут изменить его с почти +50 до почти –50 %. В моем избирательном округе манипуляций не было, несмотря на разрыв в эффективности +49 %. Если бы всего 201 человек, вместо того чтобы отдать голос лейбористам, проголосовал за консерваторов, он был бы равен –49 %. Если одной из партий просто везет и она побеждает в каждом округе, кажется, будто это результат манипуляций. Демографические факторы также могут искажать картину. В деле Gill v. Whitford защита справедливо указала на эти недостатки, но истцы заявили, что к данному случаю они отношения не имеют, и выиграли дело. Однако в целом такие возражения совершенно оправданны.

В 2015 году Майра Бернштейн и Мун Дучин{13} нашли у разрыва в эффективности еще ряд недостатков, а в 2018 году Джеффри Бартон показал, как можно устранить их{14}. Предположим, например, что у нас есть восемь округов и в каждом из них Светлые получают 90 голосов, тогда как Темным достаются оставшиеся 10. У Светлых при этом бесполезных голосов 40 × 8 = 320, а у Темных – 10 × 8 = 80, так что разрыв в эффективности составляет (320–80)/800 = 0,3 = 30 %. Если принять предложенный 8 %-ный порог, то такой разрыв в эффективности говорит о манипуляциях, направленных против Светлых. Но Светлые по результатам голосования получили все восемь мест!

Второй сценарий вскрывает еще один вопрос. Предположим, что Светлые побеждают в трех округах 51:49, тогда как Темные – в двух с таким же результатом 51:49. Тогда у Светлых пропадает 1 + 1 + 1 + 49 + 49 = 101 голос, а у Темных 49 + 49 + 49 + 1 + 1 = 149 голосов. Разрыв в эффективности составляет (101–149)/500 = –0,096 = –9,6 %, что говорит о манипуляциях против Темных. Однако Темные – партия меньшинства, ей не следует рассчитывать больше чем на два места, что они и делают. Получение Темными еще одного места дало бы партии меньшинства большую часть мест.

Слева: график зависимости числа мест от числа голосов показывает пропорциональное представительство (жирная линия) и область (выделена серым), в которой разрыв в эффективности считается справедливым. Справа: график модифицированного разрыва в эффективности: серая область окружает диагональную линию

Бартон объясняет обе проблемы использованием необработанных данных о бесполезных голосах. На любых выборах голоса сверх необходимого, отданные за победителя, пропадают напрасно, какими бы ни были границы округов. Бартон заменяет «бесполезные голоса» на «голоса, пропадающие без необходимости», вычисляя для каждой партии долю голосов, которые однозначно пропадут, и вычитая их из бесполезных голосов. При первоначальном определении график места-голоса дает узкую полосу вокруг линии, идущей от 25 % голосов внизу до 75 % наверху, как на рисунке слева. Диагональная линия показывает идеальный график для пропорционального представительства. То и другое совпадает лишь на очень небольшом участке вблизи распределения голосов 50:50. Если учитывать голоса, пропадающие без необходимости, то получается график, показанный справа. Здесь область приемлемого разрыва в эффективности плотно окружает диагональ, что, конечно, куда более разумно.

* * *

Еще один метод распознавания манипуляций заключается в рассмотрении альтернативных карт и сравнении гипотетических результатов с использованием данных о вероятных паттернах распределения голосов по всему региону, о разбивке которого на округа идет речь. Если карта, предложенная Темными, дает им 70 % мест, а большинство альтернативных карт – лишь 45 %, то они явно мухлюют.

Основная проблема этой идеи заключается в том, что даже при разумном количестве округов нельзя рассмотреть все возможные карты. Происходит комбинаторный взрыв, то есть число вариантов растет с невероятной скоростью. Более того, все рассмотренные карты должны соответствовать закону, накладывающему ограничения, которые математически невозможно учесть. Однако математики давно нашли метод обхода комбинаторного взрыва: это марковская цепь Монте-Карло (Markov Chain Monte Carlo, MCMC). Вместо изучения каждой возможной карты MCMC предполагает создание случайной выборки карт, достаточно большой для точной оценки. Такой подход аналогичен тому, что используют центры общественного мнения, когда оценивают намерения избирателей по результатам опроса относительно небольшой случайной выборки.

Методы Монте-Карло восходят к Манхэттенскому проекту военного времени, целью которого было создание атомной бомбы. Математик Станислав Улам, выздоравливавший после болезни, раскладывал пасьянсы, чтобы скоротать время. Заинтересовавшись своими шансами на успех, он попытался оценить, какое число раскладов карточной колоды приведет к успеху при идеальной игре, но быстро понял бесперспективность такого подхода. Тогда он стал раскладывать пасьянсы один за другим и подсчитывать, как часто пасьянс сходится, а потом понял, что аналогичный фокус можно проделать и с физическими уравнениями, которые приходилось решать в рамках Манхэттенского проекта.

Цепи Маркова, названные в честь русского математика Андрея Маркова, представляют собой обобщение случайного блуждания (блуждания пьяницы). Подгулявший прохожий бредет, спотыкаясь, вдоль улицы, шагая то вперед, то назад случайным образом. Как далеко он продвинется в среднем после заданного числа шагов? (Ответ: в среднем примерно на квадратный корень из числа шагов.) Марков нарисовал в воображении аналогичный процесс, где улица была заменена сетью, а для переходов вдоль ребер этой сети назначены вероятности. Ключевой вопрос: после очень долгого блуждания по окрестностям какова вероятность нахождения в любой заданной точке? Цепи Маркова моделируют многие задачи реального мира, в которых происходят последовательности событий, вероятности которых зависят от текущих обстоятельств.

MCMC – это результат применения методов Монте-Карло к выборке из нужного списка вероятностей. В 2009 году статистик Перси Диаконис подсчитал, что около 15 % статистических расчетов в науке, технике и бизнесе проводится с помощью MCMC, так что имеет смысл применить такой мощный, отработанный и полезный метод для выявления манипуляций на выборах. Используем случайные блуждания по Маркову для генерирования карт избирательных округов, сделаем из них выборку по методу Монте-Карло и получим статистический метод оценки того, насколько типична предлагаемая карта. К этому нужно добавить лишь толику хитроумных математических выкладок, известных как эргодическая теория, которые гарантируют, что достаточно длинная случайная цепочка блужданий дает точную статистическую выборку.

Не так давно математики давали показания о MCMC в судах. В Северной Каролине Джонатан Маттингли использовал MCMC-оценки разумной серии величин, таких как полученные в результате выборов места, для доказательства того, что выбранный план округов представлял собой статистическое исключение и давал преимущества одной партии. В Пенсильвании Уэсли Пегден с помощью статистических методов показал, насколько мала вероятность того, что политически нейтральный план округов даст худшие результаты, чем планы, созданные на основе случайных блужданий, и оценил вероятность случайного получения такого результата. В обоих случаях судьи сочли математические доказательства убедительными.

* * *

Математическое истолкование избирательных манипуляций работает в обе стороны. Оно может не только помогать избирателям и представителям закона выявлять манипуляции, но и предлагать более эффективные методы подтасовок. Оно способно помогать, с одной стороны, удерживать людей в рамках закона, а с другой – нарушать закон или, что, возможно, еще хуже, извращать его смысл. Всякий раз, когда вводятся технические ограничения, призванные предотвращать нарушения, люди обходят систему и внимательно изучают законодательные нормы в поисках лазеек. Огромное достоинство математического подхода заключается в том, что он делает правила четкими и понятными. Кроме того, он порождает совершенно новую возможность. Вместо бесплодных попыток убедить конкурирующие политические силы договориться о том, что считать справедливостью, давая им возможность обойти систему, а потом наводить порядок в системе через суды, разумнее позволить им разрешить спор через единоборство. Не в общей свалке, где власть и деньги дают громадное преимущество, а на основе принципов, гарантирующих не только справедливость результата и восприятие его как справедливого, но и невозможность отрицания его справедливости заинтересованными сторонами.

Такой запрос может показаться чрезмерным, но в последнее время расцвела целая область математики, посвященная именно этой идее: теория справедливого дележа. И она гласит, что тщательно структурированные принципы переговоров помогают добиться того, что поначалу представляется невозможным.

Классический пример, из которого вытекает все остальное, – это спор двух детей из-за пирожного. Задача заключается в том, чтобы разделить пирожное, используя протокол – набор заранее определенных правил, – справедливость которого можно доказать. Классическое решение: «Я режу, ты выбираешь». Алиса разрезает пирожное таким образом, чтобы, по ее мнению, обе части имели равную ценность. После этого Боб выбирает себе один из кусочков. У Боба не должно возникнуть возражений, потому что выбирает он и, если ему не нравится один кусочек, он может взять другой. У Алисы также не должно быть возражений: если она считает, что Боб выбрал кусочек побольше, то ей с самого начала следовало разрезать пирожное иначе, чтобы кусочки получились равными. Если для них принципиален вопрос, кто первый, можно бросить монетку, но на самом деле в этом нет необходимости.

Впрочем, с учетом человеческой природы нельзя быть уверенным, что дети согласятся со справедливостью раздела после события. Когда я упомянул этот метод в статье, один из читателей написал мне, что опробовал его на своих детях, и Алиса (ненастоящее имя) стала жаловаться, что Бобу (тоже ненастоящее имя) досталось больше. Когда же отец заметил, что она сама в этом виновата, потому что разрезала неровно, это девочке не слишком понравилось – по ее мнению, это было все равно что обвинить жертву, – поэтому отец поменял доставшиеся детям кусочки. И услышал громкий рев: «У Боба все равно больше, чем у меня!» Но такого рода протокол должен, по идее, удовлетворить политиков – или, по крайней мере, заткнуть им рот – и определенно должен подойти суду. Судье нужно всего лишь убедиться, что протокол был соблюден.

Ключевой особенностью подобного протокола является то, что мы не пытаемся устранить взаимный антагонизм Алисы и Боба, а используем его для получения справедливого результата. Не просите их поступать по справедливости или сотрудничать, не предлагайте искусственных юридических определений справедливости. Просто позвольте им бороться друг с другом в рамках предложенной игры. Конечно, Алиса и Боб должны заранее согласиться играть по этим правилам, но им все равно придется согласиться на что-то, а правила здесь очевидно справедливы, так что несогласие, скорее всего, ни к чему не приведет.

Очень важно то, что протокол «я режу, ты выбираешь» не предполагает внешней оценки достоинств кусков пирожного. Он опирается на субъективные оценки игроков. Они просто должны считать, что полученная доля справедлива по их собственным критериям. В частности, им нет нужды достигать согласия относительно ценности чего бы то ни было. Мало того, справедливый дележ проходит легче, если они в этом не согласны. Один хочет вишенку, другой – кремовую розочку, остальное никого не волнует: дело сделано.

Когда математики и социологи начали воспринимать задачи такого рода всерьез, в них обнаружились замечательные скрытые глубины. Первый шаг вперед был сделан, когда математики и социологи задумались о том, как разделить пирожное на троих. Здесь не только сложно найти простейший ответ, но и обнаруживается новая закавыка. Алиса, Боб и Чарли могут согласиться, что результат справедлив, в том смысле что каждый получил по крайней мере треть пирожного по их собственной оценке, но Алиса может все же позавидовать Бобу и решить, что его доля больше, чем ее. Доля Чарли должна скомпенсировать это в глазах Алисы, если будет меньше ее доли, но в этом нет никакого противоречия, поскольку у Боба и Чарли могут быть разные представления о том, насколько ценны их кусочки для них. Так что имеет смысл поискать протокол, который будет не только справедливым, но и свободным от зависти[2]. И этого можно добиться{15}.

В 1990-е годы понимание задачи справедливого и свободного от зависти дележа значительно углубилось, начиная со свободного от зависти протокола дележа на четверых, найденного Стивеном Брамсом и Аланом Тейлором{16}. Разумеется, пирожное всего лишь метафора ценной вещи, которая поддается дележу. Теория рассматривает объекты, которые можно делить на сколь угодно малые части (пирожное) и которые существуют в виде дискретных единиц (книги, драгоценности). Это делает теоретические принципы применимыми к вопросам справедливого дележа в реальном мире, а Брамс и Тейлор объяснили, как использовать эти методы для разрешения имущественных споров в бракоразводных процессах. Их протокол подстраивающегося победителя обладает тремя основными достоинствами: он справедлив, свободен от зависти и эффективен (или оптимален, по Парето). То есть каждая сторона дележа считает, что его доля по крайней мере не меньше средней, ни одна сторона не хочет меняться долями с кем-либо, и не существует другого варианта дележа, который был бы по крайней мере столь же хорош для всех и лучше для кого-либо одного.

В бракоразводных процессах, например, протокол может работать примерно так. После долгой совместной жизни и попыток научиться расшифровывать взаимные криптографические послания Алиса и Боб понимают, что им все надоело, и решают развестись. Каждому из них выделяется по 100 баллов, которые они распределяют, присваивая каждому объекту имущества – дому, телевизору, кошке – определенное значение. Поначалу объекты переходят к тому из них, кто оценил их выше, то есть присвоил больше баллов. Это эффективно, но обычно такой метод не обеспечивает справедливости и не свободен от зависти, так что протокол предусматривает следующий этап. Если сумма баллов с обеих сторон совпадает, то всех все устраивает и дележ на этом завершается. Если нет, допустим, доля Алисы, согласно ее же оценкам, получается больше, чем доля Боба по его оценкам. Теперь объекты переходят от Алисы (победителя) к Бобу (проигравшему) в таком порядке, который обеспечивает уравнивание оценок. Поскольку и оценки, и объекты дискретны, один из объектов, возможно, придется делить на части, но протокол подразумевает, что делать это придется не более чем с одним объектом – скорее всего, с домом, который продают, а деньги делят. Однако этого не происходит, если Боб приобрел акции Apple до взлета этой компании на фондовом рынке.

Протокол подстраивающегося победителя удовлетворяет трем важным условиям справедливого дележа. Он гарантирует справедливость: можно доказать, что он справедлив, свободен от зависти и эффективен. Он работает по принципу многосторонней оценки: в нем учитываются индивидуальные предпочтения и ценность доли каждого участника дележа определяется по его собственным оценкам. И наконец, он справедлив по процедуре: обе стороны могут понять и проверить гарантию справедливости для любого решения, полученного в конечном итоге, а при необходимости в справедливости решения может убедиться и суд.

* * *

В 2009 году Зеф Ландау, Онейл Рейд и Илона Ершова предположили, что аналогичный подход мог бы, в принципе, устранить проблему манипуляций на выборах{17}. Протокол, не позволяющий никому из участников перекраивать границы округов в свою пользу, кладет конец попыткам манипуляций. Этот метод не связан с рассмотрением формы округов и не дает якобы беспристрастным третьим лицам возможности навязать участникам свою карту. Он нацелен на уравновешивание конкурирующих интересов.

К тому же этот подход можно улучшать, чтобы принять во внимание дополнительные факторы, такие как географическая целостность и компактность. Если окончательное решение должна принимать внешняя организация, например избирательная комиссия, то результаты дележа могут быть представлены ей в составе фактов, на основании которых следует основывать суждение. Никто не утверждает, что в реальном мире такие методы способны полностью устранить предвзятость, но они работают намного лучше существующих методов и в значительной мере устраняют соблазн прибегнуть к откровенно нечестной практике.

В этом протоколе, слишком сложном для подробного описания, задействован независимый агент, который предлагает способ деления штата на две части. Затем партиям предоставляется возможность изменить карту агента, разделив одну из половин еще надвое, при условии, что другая партия разделит вторую половину. Или они могут выбрать вариант, при котором партии меняются ролями. Это вариант принципа «я режу, ты выбираешь» с более сложными последовательностями резов. Ландау, Рейд и Ершова доказывают, что их протокол справедлив с точки зрения любой партии. По существу, две партии играют одна против другой. Но игра организована так, чтобы заканчиваться ничьей, а каждый участник был уверен в получении максимально возможного результата. Если это не так, то ему следовало играть лучше.

В 2017 году Ариэль Прокачча и Уэсли Пегден усовершенствовали этот протокол, исключив из него независимого агента, так что теперь все вопросы решаются двумя противоборствующими сторонами. Если коротко, одна политическая партия делит карту штата на требуемое по закону число округов с равным (насколько возможно) числом избирателей в каждом. Затем вторая партия «замораживает» один округ, то есть делает дальнейшее изменение его границ невозможным, и перерисовывает, как считает нужным, границы остальных. Затем первая партия замораживает на новой карте еще один округ и перерисовывает оставшиеся. Так партии по очереди замораживают и перерисовывают округа, пока все они не окажутся замороженными. Это и есть окончательная карта избирательных округов. Если всего округов, скажем, 20, процесс займет 19 циклов. Пегден, Прокачча и приглашенный студент-компьютерщик Юй Динли математически доказали, что этот протокол не дает первому игроку преимущества и что ни один из игроков не сможет сосредоточить в одном округе определенную часть населения, если второй игрок этого не захочет.

* * *

В настоящее время математика выборов – очень обширный предмет, а манипуляции при разбивке на округа лишь один из изучаемых аспектов. Немало работы проделано по разным системам голосования – мажоритарной системе, системе единого передаваемого голоса, пропорциональному представительству и т. д. Один из выводов, вытекающих из этих исследований, заключается в том, что если составить короткий список свойств, желательных для любой разумной демократической системы, то в определенных обстоятельствах они неизменно противоречат друг другу.

Прабабушкой подобных результатов можно считать теорему Эрроу о невозможности, которую экономист Кеннет Эрроу опубликовал в 1950 году и объяснил в своей книге «Коллективный выбор и индивидуальные ценности» (Social Choice and Individual Values)[3] годом позже. Эрроу рассмотрел рейтинговую систему голосования, при которой каждый избиратель присваивает серии вариантов численные рейтинги: 1 – самому лучшему с его точки зрения варианту, 2 – следующему и т. д. Он объявил три критерия справедливости такой системы голосования:

• Если каждый избиратель предпочитает одну из альтернатив, то это верно и для группы.

• Если ни у одного из избирателей предпочтения в отношении двух конкретных вариантов не меняются, не меняются они и у группы, даже если предпочтения в отношении остальных вариантов меняются.

• Не существует такого диктатора, который может всегда определить, какой вариант предпочитает группа.

Все это прекрасно и очень желательно, но, как далее доказывает Эрроу, логически противоречиво. Это не значит, что такая система обязательно несправедлива: это означает лишь, что при некоторых обстоятельствах результат будет нелогичным.

У избирательных манипуляций имеются собственные потомки теоремы Эрроу. В одной из таких теорем, опубликованной Борисом Алексеевым и Дастином Миксоном{18} в 2018 году, изложены три принципа справедливой разбивки на округа:

• Один человек, один голос: все округа включают в себя примерно равное число избирателей.

• Компактность по Полсби – Попперу: все округа имеют тест Полсби – Поппера, превышающий определенное законом значение.

• Ограниченный разрыв в эффективности: более формальный параметр. Грубо говоря, если население любых двух округов не превышает некоторой фиксированной доли полного населения всех округов, то разрыв в эффективности составляет меньше 50 %.

Затем они доказывают, что никакая система нарезки избирательных округов не может во всех случаях удовлетворять этим трем критериям.

Демократия не может быть идеальной. Поразительно, что она вообще работает, если учесть, что ее цель – убедить миллионы людей, имеющих собственное мнение, согласиться по какому-то важному вопросу, затрагивающему всех. Диктаторские режимы намного проще. Один диктатор – один голос.

Мо Виллемс рисовал забавные картинки с трехлетнего возраста. Опасаясь, что взрослые могут хвалить его не от чистого сердца, он начал писать смешные истории. Ему казалось, что фальшивый смех легче распознать. В 1993 году он присоединился к команде сценаристов и мультипликаторов классической «Улицы Сезам», что принесло ему за 10 лет шесть премий «Эмми». Главным героем его детского мультсериала «Баран в большом городе» стал баран по имени Баран, чья идиллическая жизнь на ферме рушится, когда тайная военная организация начинает гоняться за ним и ловить для создания лучевой пушки на бараньей силе. Первым опытом Виллемса в жанре детской книги стала книжка «Не позволяйте голубю вести автобус!», продолжавшая тему животных. Мультфильм по этой книге принес автору медаль Карнеги, а сама книга – премию Калдекотта, которую получают те, кто попадает в шорт-лист претендентов на медаль Калдекотта. Главный герой книги – голубь – использует все возможное и невозможное, пытаясь убедить читателя, что ему можно доверить управление автобусом, когда обычному водителю внезапно приходится покинуть транспортное средство.

В 2012 году книга Виллемса получила неожиданное научное продолжение – солидную статью в уважаемом журнале Animal Cognition, авторами которой стали заслуживающие доверия исследователи Бретт Гибсон, Мэттью Уилкинсон и Дебби Келли. Они экспериментально доказали, что голуби способны находить решения, близкие к оптимальным, для простых случаев известной математической диковинки – задачи коммивояжера. Их статья называлась «Позвольте голубю вести автобус: голуби способны планировать маршруты в помещении»{19}.

И пусть никто не говорит, что у ученых нет чувства юмора. Или что остроумные заголовки не помогают добиться популярности.

Задача коммивояжера – не просто любопытная диковинка. Это хороший пример целого класса задач, имеющих громадное практическое значение и известных как задачи комбинаторной оптимизации. У математиков есть привычка формулировать глубокие и значительные вопросы тривиальным на первый взгляд языком. Американские конгрессмены осудили напрасное расходование бюджетных денег на теорию узлов, не понимая, что эта область математики принципиально важна для понимания топологии малых размерностей, которая используется в теории ДНК и квантовой теории. Основные методы топологии включают в себя теорему о причесывании ежика и теорему о бутерброде, так что, я полагаю, мы сами на это напросились, но дело не только в нас. Я не осуждаю тех, кто чего-то не знает, – с каждым случается, – но почему бы этим людям просто не спросить?{20}

Как бы то ни было, та показательная чепуха, которая вдохновила меня на эту главу, берет свое начало в одной полезной книге для – как вы, наверное, уже догадались – коммивояжеров. Тех, что обходили дома и предлагали свой товар. Я еще помню их, даже если вы не помните. Они часто продавали пылесосы. Как любые разумные деловые люди, немецкие коммивояжеры в 1832 году (а в те времена все они, конечно, были мужчинами) очень трепетно относились к эффективности использования своего времени и снижению расходов. К счастью, помощь всегда была под рукой в виде руководства: «Коммивояжер. Каким ему следует быть и что ему следует делать, чтобы получать заказы и быть уверенным в успехе своего дела. Советы старого коммивояжера» (Der Handlungsreisende – wie er sein soll und was er zu thun hat, um Aufträge zu erhalten und eines glücklichen Erfolgs in seinen Geschäften gewiss zu sein – von einem alten Commis-Voyageur). Этот пожилой странствующий торговец указывал, что:

Руководство не предлагало математических принципов решения этой задачи, а приводило примеры пяти предположительно оптимальных маршрутов по Германии (один из них проходил через территорию Швейцарии). Большинство маршрутов содержали подциклы, предусматривавшие посещение одних и тех же мест дважды, что вполне естественно, если вы останавливаетесь на ночь в гостинице, а днем объезжаете окрестности. Но в одном из маршрутов не было повторных визитов. Современное решение этой задачи показывает, что предложенный руководством ответ достаточно хорош, как видно на рисунке.

Маршрут (1285 км) по 45 немецким городам из руководства 1832 года, показанный сплошными (толстыми и тонкими) линиями. Сплошными толстыми и пунктирными линиями показан кратчайший маршрут (1248 км), найденный современными методами

Задача коммивояжера – а именно такое название она получила – стала первым фундаментальным примером математической области, известной сегодня как комбинаторная оптимизация, что означает «нахождение лучшего варианта среди множества возможностей, слишком большого, чтобы проверять их последовательно». Забавно, но название «задача коммивояжера» не использовалось явно ни в одной публикации на эту тему до 1984 года[4], хотя в неформальных дискуссиях математиков оно вовсю фигурировало и до этого.

Несмотря на свое приземленное практическое происхождение, задача коммивояжера завела математическое сообщество в реальные глубины, вплоть до одной из «задач тысячелетия» «P ≠ NP?», приз за решение которой размером $1 млн до сих пор ожидает своего получателя. В задаче спрашивается в строгой математической форме: если имеется задача, предполагаемый ответ на которую – догадка, если угодно, – может быть эффективно проверен, то может ли этот ответ быть эффективно найден во всех случаях? Большинство математиков и компьютерщиков считают, что ответ должен быть «нет»: безусловно, проверка любой конкретной догадки может быть проведена намного быстрее, чем поиск корректного ответа. В конце концов, если кто-то показывает вам собранный пазл из 500 элементов, то быстрого взгляда, как правило, хватает, чтобы понять, все ли правильно собрано, но собрать весь пазл с самого начала – совершенно другое дело. К несчастью, пазлы не дают нам ответа: это всего лишь удобная метафора, строго говоря, они не имеют отношения к вопросу. Так что сейчас никто не может ни доказать, ни опровергнуть предположение о том, что P отличается от NP, – именно поэтому решение вопроса принесет вам круглую сумму $1 млн{21}. Я вернусь к задаче P ≠ NP позже, а сначала рассмотрим первые успехи в решении задачи коммивояжера.

* * *

Время коммивояжеров давно прошло. В век интернета компании редко продают свой товар, отправляя путешествовать по городам и весям человека с чемоданом образцов. Они выставляют свои товары в Сети. Но, как обычно (все та же непостижимая эффективность), задача коммивояжера не устарела из-за этих изменений в культуре. Онлайн-продажи растут экспоненциально, потребность в эффективных способах определения маршрутов и графиков приобретает все большее значение для доставки всего, от посылок до пиццы и заказов в супермаркетах. Задачу коммивояжера можно было бы, наверное, переименовать в задачу курьера-доставщика: какой маршрут будет наилучшим для фургончика, доставляющего заказы?

И здесь на сцену выходит переносимость математики. Применение задачи коммивояжера не ограничивается поездками между городами или по улицам большого города. На стене нашей гостиной висит большой квадрат из черной ткани с вышитым на нем из блесток элегантным спиральным узором, основанным на знаменитых числах Фибоначчи. Дизайнер называет этот узор «блестками Фибоначчи». Изготовлен он был при помощи машины под управлением компьютера, способной вышить все что угодно размером вплоть до покрывала на большую кровать. Игла, делающая стежки, прикреплена к стержню, который перемещает ее в продольном направлении, а сам стержень может еще двигаться в поперечном направлении. Сочетание этих двух движений позволяет переместить иглу в любую точку. По чисто практическим причинам (потеря времени, лишняя нагрузка на машину, шум) никто не хочет, чтобы игла скакала туда-сюда по всему полотну, так что суммарное пройденное ею расстояние необходимо минимизировать. Получается задача, очень похожая на задачу коммивояжера. Родословная таких машин восходит к ранней компьютерной графике и к устройству, известному как плоттер, где перо двигалось примерно так же.

Аналогичных вопросов хватает и в естественных науках. Давным-давно видные астрономы имели собственные телескопы или пользовались ими совместно с несколькими коллегами. Эти телескопы можно было без труда направлять на новые небесные тела и таким образом импровизировать. Теперь все не так, ведь телескопы, которыми пользуются астрономы, громадны, невероятно дороги и доступ к ним осуществляется онлайн. Наведение телескопа на новый объект требует времени, а пока агрегат движется, вести наблюдения невозможно. Выстройте цели в неверном порядке, и зря потратите много времени на то, чтобы повернуть телескоп на большой угол, а потом обратно, если хотите наблюдать объект, расположенный рядом с начальной точкой. При секвенировании ДНК фрагментарные последовательности ДНК-оснований необходимо соединять в определенном порядке, и этот порядок нужно оптимизировать, чтобы избежать напрасных трат компьютерного времени.

Среди других применений можно назвать и эффективное прокладывание авиамаршрутов, и разработку и производство компьютерных микрочипов и печатных плат. Приближенные решения задачи коммивояжера используются для нахождения эффективных маршрутов доставки еды нуждающимся (программа Meals on Wheels) и оптимизации доставки крови в больницы. Один из вариантов задачи коммивояжера засветился даже в программе «Звездных войн» или, как ее правильнее называть, в гипотетической Стратегической оборонной инициативе президента США Рональда Рейгана, где мощный лазер, находящийся на околоземной орбите, должен был наводиться на ряд приближающихся ядерных ракет.

* * *

Карл Менгер, работы которого в настоящее время рассматриваются как предвестники фракталов, пожалуй, первым из математиков написал о задаче коммивояжера, и было это в 1930 году. Он рассматривал эту задачу под совершенно другим углом, поскольку в то время изучал длины кривых с точки зрения чистой математики. В то время длина кривой определялась как наибольшая величина, получаемая путем сложения длин участков любой ее полигональной аппроксимации, вершинами которой является конечное множество точек, проходимых в том же порядке, в каком они лежат на кривой. Менгер доказал, что тот же ответ получится, если заменить аппроксимирующую ломаную линию конечным множеством точек на кривой и найти минимальное суммарное расстояние вдоль любой ломаной с этими вершинами, в каком бы порядке они ни проходились. Связь с задачей коммивояжера здесь в том, что кратчайший путь Менгера – тот, что является решением задачи коммивояжера, если вершины ломаной рассматривать как города. Менгер назвал это «задачей гонца», заявив, что она применима не только к торговцам, но и к почтальонам, и написал:

Эта задача решается с помощью проведения конечного числа попыток. Правила, благодаря которым число попыток станет ниже числа перестановок заданных точек, неизвестны. Правило, по которому следует двигаться из начальной точки в ближайшую к ней точку, затем в ближайшую к этой и т. д., в общем случае не дает кратчайшего пути.

Эта цитата показывает, что Менгер понимал две ключевые особенности этой задачи. Во-первых, алгоритм нахождения ответа существует. Можно просто рассмотреть все пути по очереди, рассчитать длину каждого и посмотреть, который из них окажется кратчайшим. Полное число возможных маршрутов в точности равно числу перестановок точек, которое конечно. Когда он писал, лучший алгоритм был неизвестен, но все понимали, что перебор всех возможных путей безнадежен, если городов больше дюжины, поскольку маршрутов слишком много. Во-вторых, он видел, что «очевидный» метод – из каждой точки двигаться к ближайшей – обычно не работает. Специалисты называют этот метод эвристическим алгоритмом ближайшего соседа. На рисунке показана одна из причин, по которым он не работает.

Одна из причин, по которым метод ближайшего соседа не работает. Начните с точки A и всегда переходите к ближайшей из точек, которые вы еще не посетили. Маршрут слева будет выглядеть как ABCDE. Однако маршрут справа – ACBDE – короче

Менгер шесть месяцев в 1930 и 1931 годах читал в Гарвардском университете лекции, часть из которых прослушал великий тополог Хасслер Уитни. Годом позже Уитни выступил с лекцией, где высказался о том, как следует подходить к поиску кратчайшего пути по всем 48 (на тот момент) штатам Америки. Некоторое время в математических кругах эту проблему называли «задачей 48 штатов», но потом кто-то придумал более изящное название «задача коммивояжера». В печати оно впервые было упомянуто в 1949 году в докладе Джулии Робинсон.

Менгер продолжал работать над задачей коммивояжера и родственными вопросами. В 1940 году Ласло Фейеш Тот заинтересовался, по существу, этой же задачей: нахождением кратчайшего пути через n точек единичного квадрата. В 1951 году Самюэл Верблунски доказал, что ответ составляет меньше чем 2 +√2 · 8n. Позже математики доказывали, что минимальная длина пути через n точек в фиксированной области не превышает определенной константы, умноженной на квадратный корень из n, причем величина константы с каждым разом все уменьшалась.

В конце 1940-х годов одной из ведущих организаций, занимавшихся исследованием операций, была RAND Corporation в Санта-Монике (штат Калифорния). Исследователи RAND немало сил посвятили решению родственной задачи о перевозках, и Джордж Данциг с Тьяллингом Купмансом высказали предположение, что их работа над тем, что сейчас называется линейным программированием, может иметь значение и для решения задачи коммивояжера. Линейное программирование – эффективный и практичный метод решения многих задач комбинаторной оптимизации. Это метод максимизации линейной комбинации переменных с ограничениями в виде неравенств, утверждающих, что другие их линейные комбинации должны быть положительными или отрицательными. Данциг придумал первый практический алгоритм – симплексный метод, широко используемый до сих пор. Неравенства определяют многомерный выпуклый многогранник, а алгоритм перемещает точку вдоль ребер этого многогранника до тех пор, пока величина, которую мы хотим максимизировать, увеличивается.

Первого по-настоящему значимого успеха в решении задачи коммивояжера добились в 1954 году исследователи RAND Данциг, Делберт Фалкерсон и Селмер Джонсон при помощи метода линейного программирования Данцига. Они адаптировали метод к решению именно этой задачи и предложили систематические новые методы, в частности использование «секущих плоскостей». В результате был найден нижний предел длины оптимального маршрута. Если вам удается находить маршрут лишь ненамного длиннее, то вы на правильном пути и внутреннее чутье не обманывает вас. Данциг, Фалкерсон и Джонсон воспользовались этими идеями, чтобы получить первое решение задачи коммивояжера для разумного числа городов, а именно найти кратчайший маршрут через 49 городов: по одному в каждом из 48 штатов США плюс столичный Вашингтон. Это, похоже, та самая задача, которую упоминал Уилкинсон в 1930-е годы, и определенно та самая, о которой писала Джулия Робинсон в 1949 году.

* * *

В 1956 году пионер исследования операций Меррилл Флуд заявил, что задача коммивояжера сложна. Возникает ключевой вопрос: насколько сложна? Чтобы ответить, мы должны вернуться к P и NP – показателям вычислительной сложности ценой миллион долларов. Похоже, что Флуд был прав, причем очень сильно.

Математики всегда внимательно относились к практичности методов решения задач, хотя, когда дело стопорится, все сходятся во мнении, что любой метод лучше, чем ничего. С чисто теоретической точки зрения возможность просто доказать, что решение задачи существует, может стать серьезным шагом вперед. Почему? Потому что, если нет уверенности в существовании решения, можно напрасно потерять много времени на его поиски.

Мой любимый пример – то, что я называю Шатром Матушки Мушки. Малышка Мушка парит в футе (в метре, в километре – на любой ненулевой высоте) над полом. Матушка Мушка хочет сшить шатер с основанием на полу, чтобы он прикрывал Малышку, и использовать при этом как можно меньше материи. Какой шатер имеет минимальную площадь? Если мы представим Малышку Мушку в виде точки, то ответ будет «такого шатра не существует». Сшить можно конический шатер любой ненулевой площади, если площадь нулевая, то это линия, а не шатер. Для любого заданного шатра существует другой, вдвое меньшей площади, который тоже выполняет свою задачу. Поэтому наименьшей площади не существует.

Для задачи коммивояжера с конечным числом городов, расположенных произвольным образом, решение определенно существует, потому что число возможных маршрутов тоже конечно. Это гарантирует, что попытки найти кратчайший маршрут не будут пустой тратой времени, но ничего не говорит о том, каким будет этот маршрут. Если вы охотитесь за спрятанными сокровищами, вам вряд ли сильно поможет сообщение о том, что это сокровище определенно где-то есть: предложение перекопать всю планету непрактично.

Ученый-компьютерщик Дональд Кнут заметил когда-то, что при вычислениях нужно нечто большее, чем доказательство существования ответа. Необходимо выяснить, сколько будет стоить его вычисление. Не в долларах и центах, а в вычислительных затратах. Область математики, которая занимается этим вопросом, называется теорией вычислительной сложности. Из нескольких простых идей она превратилась в сложный набор теорем и методов совсем недавно, однако есть одно базовое отличие, которое помогает понять, в очень упрощенной форме, разницу между решением практичным и непрактичным.

Главный вопрос звучит так: насколько быстро возрастает время вычислений (измеренное как число вычислительных шагов) в любом методе вычисления ответа в сравнении с объемом данных, необходимых для постановки задачи? То есть если для описания задачи необходимо n двоичных знаков, то как будет зависеть от n время вычислений? Для практичных алгоритмов время расчета обычно растет как степень n, скажем, n² или n³. Говорят, что эти алгоритмы выполняются за полиномиальное время. Символически их обозначают как класс P. Время выполнения непрактичных алгоритмов растет много быстрее, часто экспоненциально, как 2ⁿ или 10ⁿ. Алгоритм «просчитать все маршруты» для задачи коммивояжера примерно таков – он выполняется за факториальное время n!, которое растет быстрее любой экспоненты. В промежутке находится серая зона, где время выполнения больше любого полинома, но меньше экспоненты. Иногда такие алгоритмы практичны, иногда нет. В целях настоящей книги мы можем принять очень строгий взгляд и отправить их все в корзину с надписью «непрактичные».

Это не то же самое, что NP.

Эта аббревиатура обозначает куда более тонкое понятие: недетерминированное полиномиальное время. Это время выполнения алгоритма, который может решить, является ли каждое конкретное предложенное решение верным. Вспомним, что число называется простым, если не имеет других делителей, кроме 1 и самого себя, так что числа 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д. являются простыми. В противном случае число называется составным. Так что 26 – составное число, поскольку равно 2 × 13. Числа 2 и 13 – простые сомножители числа 26. Предположим, что вы хотите найти простой делитель числа, состоящего из 200 десятичных знаков. Вы тратите год на безрезультатный поиск такого числа, а затем в отчаянии обращаетесь за советом к Дельфийскому оракулу. Оракул называет в качестве ответа конкретное большое число. Вы понятия не имеете, откуда оно взялось (в конце концов, оракул обладает волшебным даром предсказания), но вы можете сесть и подсчитать, действительно ли число, названное оракулом, разделит нацело то очень большое число, о котором шла речь. Такой расчет намного, намного проще, чем собственно поиск простого делителя.

Предположим, что всякий раз, когда оракул предлагает ответ, вы можете проверить его при помощи алгоритма с полиномиальным временем выполнения (P). Тогда сама задача относится к классу NP – недетерминированному полиномиальному. Задача оракула намного сложнее вашей, но вы всегда можете решить, верный ли ответ он вам дал.

Очевидно, что проверка предложенного ответа должна быть намного проще его отыскания. Проверить, спрятано ли сокровище в месте, отмеченном крестиком на карте, намного проще, чем выяснить, где этот крестик должен стоять. Или возьмем математический пример: почти все верят, что нахождение простых делителей намного сложнее, чем проверка, является ли делителем данное простое число. В пользу этого свидетельствует, в частности, то серьезное обстоятельство, что быстрые алгоритмы проверки любого предложенного делителя известны, а их поиска – нет. Если P = NP, то для любой задачи, имеющей быстро проверяемый ответ, найти ответ тоже быстро. Это звучит слишком хорошо, чтобы быть правдой, и опыт математиков в решении задач говорит прямо противоположное. Поэтому почти все убеждены, что P ≠ NP.

Однако все попытки доказать это – или опровергнуть – зашли в тупик. Вы можете доказать, что задача принадлежит к классу NP, записав детальный алгоритм и подсчитав время его выполнения, но для доказательства того, что задача не относится к классу P, вам придется рассмотреть все возможные алгоритмы ее решения и показать, что ни один из них не относится к классу P. Как это сделать? Никто не знает.

Из этих попыток проистекает тот любопытный факт, что в одну и ту же категорию попадает огромное число задач-кандидатов. Все эти задачи относятся к NP. Более того, если для какой-то из них можно доказать, что она не принадлежит P, то и все остальные не принадлежат P. Они живут или умирают вместе. Подобные задачи называют NP-полными. Связанную с ними более крупную категорию называют NP-трудными задачами: она состоит из алгоритмов, способных эмулировать решение любой NP-задачи за полиномиальное время. Если выяснится, что данный алгоритм выполняется за полиномиальное время, это автоматически докажет, что то же верно для любой NP-задачи. В 1979 году Майкл Гэри и Дэвид Джонсон доказали, что задача коммивояжера относится к классу NP-трудных{22}. Если P ≠ NP, то любой алгоритм для ее решения потребует время выполнения, превышающее полиномиальное.

Флуд был прав.

* * *

Это, впрочем, не повод опускать руки, потому что существует по крайней мере два потенциально возможных пути вперед.

Один, который я разберу прямо сейчас, основан на опыте решения практических задач. Если задача не относится к классу P, то решать ее в случае наихудшего сценария – дело безнадежное. Но наихудшие сценарии часто оказываются очень надуманными и нетипичными для тех примеров, с которыми мы сталкиваемся в реальном мире. Поэтому математики, занимающиеся исследованием операций, начали выяснять, с каким количеством городов они могли бы справиться в реальных задачах. И оказалось, что вариации метода линейного программирования, предложенного Данцигом, Фалкерсоном и Джонсоном, часто позволяют добиться замечательных результатов.

В 1980 году рекорд составлял 318 городов; к 1987 году их уже было 2392. К 1994 году рекорд увеличился до 7397 городов и ответ потребовал около трех лет вычислительного времени сети очень мощных компьютеров. В 2001 году точное решение для 15 112 немецких городов было получено с использованием сети из 110 процессоров. На обычном настольном компьютере этот расчет занял бы более 20 лет. В 2004 году задача коммивояжера была решена для маршрута по 24 978 городам Швеции. В 2005 году группа Concorde TSP Solver решила задачу коммивояжера для маршрута по 33 810 точкам на печатной плате. Рекорды не единственный мотив для таких исследований: методы, использованные в рекордных достижениях, работают необычайно быстро при решении менее масштабных задач. Задачу при числе городов не более сотни обычно можно решить за несколько минут, а не более тысячи – за несколько часов на типовом настольном компьютере.

Другая возможность – удовлетвориться меньшим, то есть решением, которое не слишком далеко от наилучшего, но которое проще найти. В некоторых случаях этого можно добиться, воспользовавшись поразительным открытием, сделанным в 1890 году в настолько новой области математики, что многие ведущие ученые того времени не видели в ней никакой ценности и зачастую не верили результатам, которые постепенно получали их более прогрессивные коллеги. Менее приятным было то, что решаемые ими задачи воспринимались «математикой для математики» и внешне не имели взаимосвязи с чем-то в реальном мире. Их результаты считались абсолютно искусственными, а новые геометрические фигуры, которые они строили, даже окрестили «патологическими». Многие были убеждены, что эти ученые, даже если их результаты верны, не продвигают математику вперед, а лишь воздвигают глупые препятствия, мешающие прогрессу.

* * *

Один из методов поиска хороших, но не оптимальных решений задачи коммивояжера родился из таких глупых препятствий. Несколько десятилетий на переломе XIX и XX веков математика находилась в состоянии перехода. Царивший ранее авантюризм почти исчерпал себя, а игнорирование таких фундаментальных вопросов, как «о чем, собственно, идет речь?» и «действительно ли все так очевидно, как всем кажется?», сеяло смятение и растерянность там, где требовались ясность и понимание. Беспокойство по поводу таких продвинутых областей, как дифференциальное и интегральное исчисление, где математики легко и непринужденно разбрасывались бесконечными процессами, постепенно переходило с изотерических вещей на повседневные. Вместо сомнений в интегралах сложных математических функций вроде комплексного логарифма математики стали задаваться вопросом о том, что такое функция. Вместо того чтобы определять непрерывную кривую как кривую, которую можно «свободно нарисовать от руки», они стремились к большей строгости и обнаруживали ее отсутствие. Даже природа такого фундаментального и очевидного объекта, как число, вдруг оказалась весьма туманной. И речь здесь не только о новых конструктах, таких как комплексные числа: речь шла о добрых старых натуральных числах 1, 2, 3. Традиционная математика продолжала идти вперед, опираясь на предположение, что вопросы такого рода со временем непременно разъяснятся и все будет хорошо. Логический статус основ можно было без опаски оставить занудам и педантам. И все же… постепенно формировалось мнение о том, что такой неосмотрительный подход к дисциплине долго не продержится.

Дело по-настоящему осложнилось, когда прежние сумасбродные методы стали давать противоречащие друг другу ответы. Теоремы, издавна считавшиеся правильными, оказывались неверными в особых обстоятельствах. Интеграл, вычисленный двумя способами, давал разные ответы. Последовательности, сходившиеся, как считалось, при всех значениях переменной, иногда расходились. Конечно, все было не настолько плохо, как если бы вдруг обнаружилось, что 2 + 2 иногда равно 5, но все эти странности заставили некоторых ученых задуматься о том, что такое на самом деле 2 и 5, не говоря уже о знаках + и =.

Так что, не прислушиваясь к скептическому большинству – или прислушиваясь не слишком сильно, чтобы изменить свое мнение, – немногочисленные педанты разворошили математическое здание сверху донизу в поисках прочной основы, а затем начали перестраивать его с самого фундамента.

Как при всякой перестройке, получившийся со временем результат отличался от оригинала в некоторых тонких, но тревожных аспектах. Оказалось, что в понятии кривой на плоскости, существовавшем в математике со времен древних греков, имеются скрытые глубины. Традиционные примеры – окружности, эллипсы и параболы Евклида и Эратосфена, квадратриса, которую греки использовали для трисекции углов и поиска квадратуры круга, лемниската философа-неоплатоника Прокла, овалы Джованни Доменико Кассини, циклоиды и их более сложные отпрыски, такие как гипоциклоиды и гиперциклоиды Оле Рёмера, – обладали собственным очарованием и привели в свое время к замечательным успехам. Но, подобно тому как домашние животные создают обманчивую картину жизни в тропических лесах и пустынях, эти кривые были слишком правильными, чтобы представлять дикие сущности, обитающие в математических джунглях. В качестве примеров потенциальной сложности непрерывных кривых они не годились, поскольку были чересчур простыми.

Одно из наиболее фундаментальных свойств кривых, настолько очевидное, что никто даже не пытался в нем усомниться, состоит в том, что эти кривые тонкие. Как писал Евклид в «Началах», «линия – это то, что не имеет толщины». Площадь линии – просто линии, а не того, что она окружает, – очевидно, равна нулю. Но в 1890 году Джузеппе Пеано предложил способ построения непрерывной кривой, которая полностью заполняет внутренность квадрата{23}. Она не просто блуждает внутри квадрата, создавая сложные каракули и приближаясь к каждой точке: она проходит через каждую точку квадрата. Кривая Пеано «не имеет толщины» в том смысле, что вы проводите ее карандашом, кончик которого представляет собой единственную геометрическую точку, но эта линия блуждает по квадрату, раз за разом посещая те области, которые ранее покинула. Пеано понял, что если заставить эту линию бесконечно извиваться, причем определенным образом, то она полностью заполнит квадрат. При этом площадь кривой будет равна площади квадрата, то есть ненулевой.

Это открытие стало настоящим шоком для наивной интуиции. В то время подобные кривые называли «патологическими», и многие математики реагировали на них так, как мы обычно реагируем на патологию, – со страхом и отвращением. Позднее математики привыкли к ним и усвоили глубокие топологические уроки, которые эти кривые преподали. Сегодня мы рассматриваем кривую Пеано как один из первых примеров фрактальной геометрии и понимаем, что фракталы нельзя считать ни необычными, ни патологическими. Они часто встречаются даже в математике, а в реальном мире представляют собой прекрасные модели сложных природных структур, например облаков, гор и береговых линий.

Пионеры новой эры в математике рассмотрели древние интуитивные концепции, такие как непрерывность и размерность, и стали задавать трудные вопросы. Они не удовлетворились традиционными приемами, используемыми в более простых областях математики, а задались вопросом, работают ли эти приемы с достаточной общностью и если работают, то почему. Или если они работают не всегда, то что идет не так. Такой скептический подход раздражал многих традиционных математиков, которые видели в нем негатив ради негатива. «Я в ужасе отворачиваюсь от этого жуткого бедствия – непрерывных функций без производной», – писал в 1893 году Шарль Эрмит своему другу Томасу Стилтьесу.

Традиционалисты были заинтересованы в расширении границ и считали, что все в логическом саду чудесно, но новый скептицизм с его шквалом пугающих контринтуитивных явлений был необходимой реакцией на наивность. К 1930-м годам ценность этого более строгого подхода начала становиться очевидной, и к 1960-м годам он почти полностью взял верх. Можно написать целую книгу об этом периоде развития нашей дисциплины, и кое-кто уже так и поступил. Я же хочу сосредоточиться на непрерывных кривых и концепции размерности.

* * *

Концепция кривой, вероятно, восходит еще к тем временам, когда древний человек впервые провел концом палки по поверхности песка или ила и обнаружил, что его действие оставило след. Она начала приобретать свою нынешнюю форму, когда в Древней Греции родился логический подход к геометрии и Евклид заявил, что у точки есть только положение на плоскости, а у линии нет толщины. Кривая – это линия, которая не обязательно должна быть прямой, простейший пример – окружность или дуга. Греки идентифицировали и проанализировали множество кривых – уже упоминавшиеся эллипс, квадратрису, циклоиду и т. п. Хотя они рассматривали только конкретные примеры, было «в некотором смысле понятно», как должна развиваться общая идея.

После появления интегрального и дифференциального исчисления на передний план вышли два свойства кривых. Одно из них – непрерывность: кривая непрерывна, если не имеет разрывов. Другое, более тонкое, свойство – гладкость: кривая называется гладкой, если не имеет резких переломов. Интегральное исчисление лучше всего работает с непрерывными кривыми, а дифференциальное – с гладкими. (Я изъясняюсь здесь очень вольно, чтобы не влезать в дебри, тем не менее мой рассказ ближе к истине, чем к выдумке.) Разумеется, все было не настолько просто: нужно было дать точное определение «разрыва» и «перелома». Более того, любые предложенные определения должны подходить для математического изучения и описываться математическими терминами. В общем, они должны быть пригодными для использования. Подробности до сих пор ставят в тупик студентов при первом знакомстве с ними, так что я избавлю вас от них.

Вторая ключевая концепция – размерность. Мы все узнаём в процессе учебы, что пространство трехмерно, плоскость имеет два измерения, а прямая – одно. Рассматривая эту идею, мы не определяем предварительно слово «измерение» и не подсчитываем затем, сколько измерений у пространства или плоскости. Все не совсем так. Вместо этого мы говорим, что пространство имеет три измерения, потому что мы можем обозначить положение любой точки в нем при помощи ровно трех чисел. Мы выбираем особую точку, начало координат, и три направления: север-юг, запад-восток и верх-низ. Затем нам остается только измерить, как далеко выбранная точка находится от начала координат в трех этих направлениях. Это дает нам три числа (координаты относительно выбранных направлений), и каждая точка в пространстве соответствует одной и только одной тройке чисел. Аналогично плоскость имеет два измерения, потому что мы можем отбросить одно из этих чисел (скажем, то, которое отвечает за направление верх-низ), а прямая имеет одно измерение.

Все это кажется довольно простым, пока не начнешь вдумываться. В предыдущем абзаце подразумевается, что плоскость горизонтальна. Именно поэтому направление верх-низ можно отбросить. Но что, если плоскость наклонена? Тогда верх-низ имеет значение. Однако оказывается, что число верх-низ всегда определяется оставшимися двумя числами (при условии, что вы знаете, насколько крут наклон). Так что значение имеет не число направлений, по которым вы измеряете координаты, а число независимых направлений. То есть таких направлений, которые не являются комбинациями остальных.

Это чуть осложняет ситуацию, потому что мы не можем просто подсчитать, сколько существует координат. Скорее, речь идет о наименьшем их числе, которого достаточно для достижения цели. А раз так, то возникает еще один, более глубокий вопрос: откуда известно, что две – это действительно наименьшее число координат, которого на плоскости достаточно для определения любого положения? Возможно, это так и есть, а если нет, то требуется другое, более точное определение, но это не вполне очевидно. А дальше открываются шлюзы. Откуда известно, что три – это наименьшее число для пространства? Откуда известно, что любой выбор независимых направлений всегда дает три числа? Если на то пошло, насколько мы уверены, что трех чисел достаточно?

Третий из приведенных вопросов адресован скорее экспериментальной физике и ведет через Эйнштейна и его общую теорию относительности к предположению, что физическое пространство на самом деле не является плоским трехмерным пространством Евклида, а представляет собой его искривленную версию. Или, если правы сторонники теории струн, пространство-время имеет 10 или 11 измерений, которые, за исключением четырех, либо слишком малы, чтобы их заметить, либо недоступны. Первый и второй вопросы можно разрешить удовлетворительно, но далеко не тривиально – для этого надо определить евклидово пространство с точки зрения системы из трех координат, а затем посвятить пять или шесть недель университетского курса векторным пространствам, в которых бывает любое число координат, и доказать, что размерность любого векторного пространства единственна.

Подход, связанный с векторными пространствами, изначально подразумевает, что наша система координат построена на прямых линиях и что пространство плоское. В самом деле, ведь не случайно этот курс называется «линейной алгеброй». А что, если мы вслед за Эйнштейном позволим системе координат искривиться? Ну, если она искривляется гладко (в классической теории это называется «криволинейными координатами»), то все хорошо. Но в 1890 году итальянский математик Джузеппе Пеано обнаружил, что если она искривляется совершенно произвольно – настолько, что перестает быть гладкой, хотя остается непрерывной, – то пространство с двумя измерениями может иметь систему координат всего с одним числом. То же относится и к пространству с тремя измерениями. При таких более общих и гибких условиях число измерений неожиданно становится изменчивым.

Одна из возможных реакций на это странное открытие – отмахнуться от него. Нам, очевидно, следует пользоваться гладкими координатами, вот и все. Но оказалось, что гораздо креативнее, полезнее и, что греха таить, интереснее принять эту пугающую странность и посмотреть, что получится. Критики-традиционалисты были настоящими пуританами и считали, что молодому поколению развлекаться ни к чему.

* * *

Вернемся к существу вопроса. То, что открыл – или построил – Пеано, представляло собой непрерывную кривую, проходящую через каждую точку квадрата. Не только на границе, это просто, но и внутри него тоже. Причем эта кривая в самом деле должна проходить через каждую точку, а не просто вблизи нее.

Предположим, такая кривая существует. Тогда это не просто некая извилистая линия с собственной внутренней системой координат, показывающей, как далеко вдоль линии следует пройти. Чтобы обозначить это, достаточно одного числа, так что кривая одномерна. Раз эта извилистая линия проходит через каждую точку заполненного квадрата (объекта двумерного), то теперь мы можем обозначить каждую точку этого квадрата при помощи всего одного непрерывно меняющегося числа. Получается, что на самом деле квадрат одномерен!

Обычно я не люблю ставить восклицательные знаки, но это открытие заслуживает его. Это безумие. И правда.

Пеано тогда нашел первый пример того, что мы сегодня называем «заполняющими пространство» кривыми. Их существование опирается на тонкое, но принципиально важное различие между гладкими и непрерывными кривыми. Непрерывные кривые могут быть извилистыми. Гладкие… не могут. Они не настолько извилистые.

Пеано был достаточно проницательным для открытия подобных кривых. Ему нравились логические закавыки. Кроме того, он был первым, кто сформулировал точные аксиомы для системы натуральных чисел – составил простой список свойств, которые описывают эту систему. Свою заполняющую пространство кривую он изобрел не для забавы: она стала одним из завершающих штрихов к работе его предшественника и единомышленника, также интересовавшегося природой натуральных чисел и счета. Предшественника звали Георг Кантор, и его истинным интересом была бесконечность. Ведущие математики того времени в большинстве своем отвергали радикальные и блестящие идеи Кантора, доводя его до отчаяния. Возможно, это неприятие и не было причиной его душевного расстройства, но благоприятного влияния оно точно не оказывало. Среди немногих математиков, по достоинству оценивших то, что пытался сделать Кантор, был Давид Гильберт. Гильберт, ведущий математик своего времени, позже стал одним из пионеров математической логики и фундаментальных исследований. Возможно, он разглядел в Канторе родственную душу.

Так или иначе, началось все с Кантора и с введенных им трансфинитных кардинальных чисел – средства оценки числа членов бесконечного множества. Он доказал, что одни бесконечности больше, чем другие. Точнее говоря, то, что между целыми и действительными числами нет взаимно однозначного соответствия. Занимаясь поисками трансфинитного кардинального числа, превышающего таковое для действительных чисел, он на какое-то время пришел к убеждению, что кардинальное число для плоскости больше, чем для прямой. В 1874 году он писал Рихарду Дедекинду:

Может ли поверхность (скажем, квадрат, включая границу) однозначно соответствовать линии (скажем, отрезку прямой, включая концы) так, чтобы для каждой точки на поверхности существовала соответствующая точка на линии, а для каждой точки на линии существовала соответствующая точка на поверхности? На мой взгляд, ответить на этот вопрос не так просто, хотя ответ «нет» представляется настолько очевидным, что доказательство, кажется, почти не требуется.

Тремя годами позже он вновь написал, чтобы признать, как ошибался. Сильно ошибался. Он нашел взаимно однозначное соответствие между единичным отрезком и n-мерным пространством для любого конечного n. То есть способ сопоставить члены множеств таким образом, чтобы каждый член одного из них соответствовал ровно одному члену другого. «Я это вижу, – писал Кантор, – но я в это не верю!»

Основная идея проста: задав две точки на единичном отрезке (между 0 и 1), мы можем записать их в десятичном виде как

x = 0, x₁x₂x₃x₄…

y = 0, y₁y₂y₃y₄…

и поставить им в соответствие точку на том же единичном отрезке, которая в десятичном виде будет выглядеть так:

0, x₁y₁x₂y₂x₃y₃x₄y₄…,

образовав ее путем перемешивания десятичных знаков первых двух чисел, как при тасовке карт методом «рифл шафл», когда колоду делят на две части, а затем вставляют их друг в друга{24}. Разница состоит в том, что колода карт у Кантора бесконечна. Когда вы перемешиваете таким образом две бесконечные колоды, то получаете одну бесконечную колоду. Именно таким способом Кантор умудряется втиснуть две координаты в одну. Если первоначально измерения три, просто берется три колоды и т. д.

Кантор опубликовал некоторые из этих результатов в 1878 году. Он исследовал счетные множества, которые можно поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами, и множества, которые взаимно однозначно соответствуют друг другу. Он также понял, что полученное им соответствие между единичным отрезком и единичным квадратом не сохраняет размерности – одно измерение переходит в два, – и, что принципиально важно для нашего рассказа, он подчеркнул, что построенное им соответствие не является непрерывным. То есть точки, расположенные очень близко друг к другу на единичном отрезке, не обязательно соответствуют близко расположенным точкам единичного квадрата.

Идеи Кантора были противоречивы. Некоторые видные математики сочли их чепухой, наверное, потому, что они были слишком оригинальными. Другие, в первую очередь Гильберт, объявили новую область математики, открытую Кантором, настоящим «раем». Полное признание работы Кантора получили только после его смерти.

* * *

В 1879 году Ойген Нетто{25} ответил на один очевидный вопрос, доказав отсутствие непрерывного взаимно однозначного соответствия между единичным отрезком и заполненным единичным квадратом. Это сложнее, чем может показаться. Самый значительный прорыв произошел в 1890 году, когда Пеано показал, что наше интуитивное представление о непрерывной кривой может быть обманчивым.

В статье Пеано никаких рисунков нет. Он определяет кривую, записывая координаты точек единичного отрезка в троичной системе счисления, и его построение эквивалентно геометрическому построению на рисунке слева ниже{26}. В 1891 году Гильберт опубликовал еще один пример заполняющей пространство кривой, нарисовав что-то похожее на рисунок справа. Оба построения довольно сложны: на рисунках показана начальная стадия рекурсивного процесса, при котором простые многоугольники раз за разом заменяются более сложными. За прошедшее с тех пор время было найдено много других заполняющих пространство кривых.

Слева: начальный этап геометрической интерпретации заполняющей пространство кривой Пеано. Справа: начальный этап построения заполняющей пространство кривой Гильберта

Заполняющие пространство кривые применяются в компьютерных вычислениях, в частности при хранении и считывании многомерных данных{27}. Базовая идея состоит в том, что мы можем обходить многомерный массив по приближенной заполняющей пространство кривой, упрощая таким образом задачу и сводя ее к одномерному случаю. Еще одно практическое применение – это быстрое и приблизительное решение задачи коммивояжера. Идея заключается в наложении конечной аппроксимации заполняющей пространство кривой на область с городами, определении последовательности городов на кривой, а затем в посещении их в этом порядке, пользуясь на каждом этапе кратчайшим связующим путем. В результате получается маршрут, который обычно не более чем на 25 % превышает по длине оптимальный{28}.

Какие еще фигуры может заполнить кривая? Построение Гильберта можно расширить на три измерения, получив кривую, заполняющую единичный куб, а вообще, кривые могут заполнять гиперкубы любой размерности. Последнее слово в этом вопросе – теорема, которую доказали Ханс Хан и Стефан Мазуркевич. Она полностью характеризует топологические пространства, которые может заполнить кривая{29}. Как оказалось, эти пространства могут быть практически любыми при условии, что они компактны (имеют конечную протяженность) и удовлетворяют нескольким формальным условиям, позволяющим исключить всякие глупости.

* * *

Возможно, последнее слово все еще остается за коммивояжером. В 1992 году Санджив Арора и его коллеги{30} обнаружили, что класс сложности NP («легко проверяемые») обладает любопытным свойством, которое ставит под сомнение перспективы нахождения алгоритмов класса P («легко вычислимые»), дающих хорошие приближенные решения. Они доказали, что если P ≠ NP и размер задачи превышает пороговое значение, то вычислить хорошее приближение к ответу не проще, чем найти сам ответ. Единственной альтернативой этому выводу могло бы стать равенство P = NP, что могло бы принести доказавшим миллион долларов, но так и остается гипотезой.

Работа ученых связана с поистине замечательной идеей: прозрачными доказательствами. Доказательства – суть настоящей математики. В большинстве областей науки теории можно сверить с реальностью при помощи наблюдений или экспериментов. Математика лишена такой роскоши, но у нее есть свой способ проверки результатов. Во-первых, они должны подтверждаться логическим доказательством. Во-вторых, это доказательство необходимо проверить, чтобы убедиться в отсутствии ошибок и упущений. Такого идеального состояния трудно добиться, и на самом деле математики делают не совсем это, но, по крайней мере, цель они ставят перед собой именно такую. Все, что не проходит такой тест, сразу же объявляется «неверным», хотя и может оказаться полезным как шаг в нужном направлении – к получению доказательства, которое будет верным. Так что со времен Евклида и до наших дней математики тратят много времени на тщательное рассмотрение и проверку доказательств, как своих собственных, так и чужих. Они проверяют доказательства строка за строкой в поисках того, с чем они согласны, и того, что кажется не слишком правдоподобным.

В последние годы появился еще один способ проверки доказательств: при помощи компьютера. Для этого нужно написать доказательство на языке, который компьютер способен обрабатывать алгоритмически. Метод работает, и на его счету уже ряд серьезных успехов в проверке труднейших доказательств, но пока он не вытеснил более традиционные методы. Побочным эффектом этой идеи стало повышение внимания к представлению доказательств в удобном для компьютера виде, который зачастую совершенно непохож на то, что приемлемо для человека. Компьютеры не возражают, когда от них требуют выполнения одного и того же миллионы раз подряд или проверки идентичности двух строк по тысяче двоичных символов в каждой. Они просто делают эту работу.

Математикам больше всего нравятся доказательства с ясным началом, серединой и концовкой, захватывающей историей от формулировки гипотезы до выведения теоремы. Повествование здесь важнее, чем придирчивая логика. Цели должны быть ясными, четкими и, самое главное, убедительными. При этом следует помнить, что математиков всегда было очень трудно убедить.

Специалисты по информатике, изучающие машинную проверку доказательств, предложили совершенно иной подход: интерактивные доказательства. Вместо того чтобы представлять доказательство как повествование, написанное одним математиком и читаемое другим, этот подход превращает доказательство в диспут. Один математик, традиционно его называют Пат, хочет убедить Ванну в том, что его доказательство корректно. Ванна, напротив, хочет убедить его, что он ошибается. Они задают друг другу вопросы и дают на них ответы, пока один из них не уступит. (Пат Саджак и Ванна Уайт были ведущими популярного американского телешоу «Колесо фортуны».) Все это напоминает партию в шахматы, где Пат обещает «мат в четыре хода». Ванна не соглашается, так что Пат делает ход. Ванна ходит в ответ: «А что, если я пойду так?» И Пат делает следующий ход. Этот обмен репликами продолжается до тех пор, пока Ванна не проиграет. После этого она начинает отыгрывать назад. «А если бы мой последний ход был таким на самом деле?» Пат ходит по-другому, шах и мат! И так продолжается до тех пор, пока Ванна не исчерпает возможные ответы, а Пат не выиграет, или до тех пор, пока он не признает, что мат в четыре хода невозможен. Согласно моему опыту, именно так ведут себя настоящие математики, когда работают вместе над решением исследовательской задачи, и споры разгораются нешуточные. А нарратив нужен, чтобы представить окончательный результат на семинаре.

Ласло Бабаи и другие ученые ввели методы «диалогового» доказательства такого типа в концепцию прозрачного доказательства, использовав при этом такие математические инструменты, как многочлены над конечными полями и корректирующие коды{31}. После отладки этих методов выяснилось, что компьютеры способны использовать одно свойство, которое несовместимо с ясностью и лаконичностью, а именно избыточность. Оказывается, любое логическое доказательство можно переписать таким образом, что оно станет намного длиннее, но при этом и ошибка, если она в нем присутствует, проявится едва ли не всюду. Каждый логический шаг размазывается по всему доказательству в виде многочисленных взаимосвязанных почти идентичных копий. Это немного напоминает принцип голограммы, где изображение преобразуется так, что его можно восстановить по любой небольшой части данных. После этого доказательство можно проверить, взяв из него небольшой случайный образец. Ошибка почти наверняка окажется в нем. Сделайте это, и вы получите прозрачное доказательство. Интересующая нас теорема о невозможности существования приближенных решений класса P – следствие этой процедуры.

* * *

Вернемся к голубиной статье Гибсона, Уилкинсона и Келли в журнале Animal Cognition. Авторы начинают с замечания о том, что в последнее время задача коммивояжера используется для исследования некоторых аспектов когнитивных процессов у людей и животных, в первую очередь способности планировать действия до их осуществления. Однако долгое время было неясно, ограничивается ли эта способность приматами. Могут ли другие животные тоже планировать действия заранее, или они просто следуют жестким правилам, выработанным в процессе эволюции? Исследователи решили использовать голубей в лабораторных испытаниях с двумя или тремя точками-кормушками. Голуби стартуют из одного места, посещают все кормушки в каком-то порядке и улетают к финишу. Исследователи пришли к выводу, что «голуби отдавали предпочтение ближайшей локации, но, судя по всему, планировали на несколько шагов вперед, когда издержки неэффективного поведения очевидно возрастали. Результаты ясно свидетельствуют, что не только приматы способны планировать сложные маршруты передвижения».

В одном из интервью исследователи объяснили связь с голубем, мечтавшим водить автобус. По их мнению, водителя автобуса может беспокоить, что голубь не способен безопасно вести автобус. Еще больше его может беспокоить то, что голубь не сумеет выбрать маршрут, позволяющий подобрать всех пассажиров на остановках города. Судя по заголовку статьи, ученые сделали вывод, что вторая причина для беспокойства не имеет под собой оснований.

Пусть голубь ведет автобус.

* * *

Если правительствам стран мира и автопроизводителям удастся добиться своего, то очень скоро для управления автобусом не нужен будет ни водитель, ни голубь. Автобус будет ездить сам по себе. Мы на всех парах идем в дивную новую эпоху беспилотных транспортных средств.

А может быть, и нет.

Самым сложным аспектом для беспилотного транспорта является корректная интерпретация окружающей местности и обстановки. Снабдить авто собственными «глазами» несложно, поскольку маленькие камеры высокого разрешения сегодня производятся массово. Но зрению, помимо глаз, необходим мозг, так что автомобили, грузовики и автобусы должны получить также программы компьютерного зрения. Имея то и другое, они будут знать, что видят, и смогут реагировать соответственно.

Если верить производителям, одним из потенциальных преимуществ беспилотных машин является безопасность. Водители совершают ошибки и потому попадают в дорожные происшествия. Компьютер не отвлекается и после достаточной отработки, по идее, должен обеспечивать более высокую безопасность. Еще одно преимущество в том, что беспилотному автобусу не нужно платить. Большой недостаток, если не считать потерю работы водителями, – то, что эта технология пока находится в начальной стадии развития, и нынешние системы не оправдывают ожиданий. Случайные прохожие и ряд водителей-испытателей уже стали жертвами аварий, однако беспилотные автомобили продолжают тестироваться на улицах больших городов в разных странах. Оправдывается это тем, что их необходимо испытывать в реальном мире и что в конечном итоге они спасут больше жизней, чем отнимают сейчас. Готовность, с которой регулирующие органы соглашаются с подобными аргументами, удивительна. Если бы кто-то предложил испытывать новое лекарство на случайных людях, ничего им не сообщая и не спрашивая согласия, под тем предлогом, что в результате это спасет больше людей, чем сейчас убьет, это вызвало бы волну возмущения. Мало того, это было бы незаконно почти во всех странах и определенно неэтично.

Два изображения, различающиеся всего несколькими пикселями. Нейронная сеть Inception V3, которой они были продемонстрированы, идентифицировала левое изображение как кошку, а правое как мексиканское блюдо гуакамоле

Технология, лежащая в основе компьютерного зрения, представляет собой еще более модную область машинного обучения. Нейросети глубокого обучения, которые настраивают веса своих связей так, чтобы корректно распознавать изображения, тренируют на громадном массиве изображений до тех пор, пока не будет достигнут приемлемый уровень точности. Эта процедура чрезвычайно успешно используется в широком спектре приложений. Однако в 2013 году стало очевидно, что до сих пор слишком много внимания уделялось успехам машинного обучения и слишком мало – его потенциальным неудачам. Серьезной темой стали «состязательные примеры» – намеренно модифицированные изображения, которые человек воспринимает правильно, а компьютер нет.

На приведенном рисунке слева и справа показаны кошки. Все очевидно. Изображения различаются всего несколькими пикселями и для нас выглядят совершенно идентичными. Стандартная нейросеть, натренированная на громадном количестве изображений кошек и некошек, верно распознает на левой картинке кошку. Однако она считает, что на картинке справа изображено гуакамоле – мексиканское блюдо из авокадо. Мало того, уверенность компьютера в том, что это гуакамоле, составляет 99 %, тогда как для кошки уверенность не превышает 88 %. Как говорится, компьютер – это устройство, способное очень быстро делать миллионы ошибок.

Изображения такого рода называют «состязательными», поскольку они появляются, когда кто-то пытается намеренно обмануть систему. На практике компьютер воспримет большинство подобных изображений как кошку. Кристиан Сегеди с коллегами обратил внимание на существование таких изображений в 2013 году{32}. В 2018 году Ади Шамир с коллегами{33} объяснил, почему в системах глубокого обучения могут возникать состязательные примеры, почему они неизбежны и почему достаточно изменить всего несколько пикселей, чтобы ввести нейросеть в заблуждение.

Корень такой восприимчивости к серьезным ошибкам кроется в размерности. Обычный способ измерения различия между двумя битовыми строками состоит в том, чтобы найти расстояние Хэмминга между ними: определить, сколько бит следует заменить, чтобы из одной строки получить другую. Так, расстояние Хэмминга между 10001101001 и 10101001111 равно четырем, и различают их выделенные жирным цифры: 10101001111. В компьютере любое изображение представлено в виде очень длинной битовой строки. Если изображение занимает 1 Мб (мегабайт), то длина этой строки составляет 2²³, или около 8 млн бит. Так что пространство изображений имеет размерность 8 млн над конечным полем, состоящим из 0 и 1. Оно содержит 2^8 388 608 точек.

Алгоритм распознавания образов, воплощенный в обученной нейросети, должен поместить каждое изображение в этом пространстве в одну из гораздо меньшего числа категорий. В простейшем случае это сводится к рассечению пространства образа на отдельные области при помощи гиперплоскостей – эта процедура для двумерного пространства показана на рисунке ниже. Она делит пространство на множество сегментов, по одному на каждую категорию. Если мы меняем изображение на другое, отстоящее от него, скажем, на 40 единиц по Хэммингу, то на картинке изменяются всего 40 бит. Глаз воспринимает одновременно 8 млн бит, так что эти 40 бит составят всего лишь 0,0005 % от общего их числа – намного меньше порогового значения, при котором человек способен заметить какую-либо разницу. Однако число изображений на таком хэмминговском расстоянии от первого составляет 2⁵⁰, то есть около одного квадриллиона. Это намного больше, чем число категорий, которые способна различать система компьютерного зрения. Поэтому неудивительно, что такое небольшое изменение картинки может заставить компьютер ошибочно прочитать ее.

Рассечение пространства изображения гиперплоскостями. Пространство здесь двумерное, и пять гиперплоскостей (в данном случае, линий) разделяют его на 13 сегментов. Один из них закрашен

Для математического анализа удобно представлять битовые строки не над конечным полем, а в виде действительных чисел. Например, один байт, состоящий из восьми бит и равный, скажем, 10001101, можно рассматривать как действительное число с двоичной записью дробной части 0,10001101. В этом случае пространство всех изображений размером 1 Мб становится миллионномерным пространством векторов. При помощи такой модификации Шамир и его коллеги доказали гораздо более существенное. Если дано изображение в одном из сегментов, выделенных гиперплоскостями, и второй сегмент, то сколько бит нужно поменять в изображении, чтобы переместить его во второй сегмент? Их анализ показывает, что, например, если пространство образа разделено на миллион сегментов при помощи 20 гиперплоскостей, то достаточно изменить всего лишь две координаты для перемещения заданной точки в любой сегмент при условии, что размерность пространства образа превышает 250. В общем случае, если нейросеть обучена различать заданное число категорий, то число координат, которые необходимо изменить, чтобы переместить заданное изображение в любую категорию, примерно соответствует числу категорий.

Исследователи проверили эту теорему на коммерческой системе распознавания чисел. В ней всего 10 категорий – это цифры от 0 до 9. Они сгенерировали несколько состязательных изображений, способных убедить систему принять за цифру 7 любую из 10 возможных цифр. Чтобы этого добиться, достаточно поменять всего 11 бит. То же относится и к остальным цифрам, отличным от 7.

Следует ли нам беспокоиться по этому поводу? «Естественные» образы того типа, с которым беспилотный автомобиль будет обычно встречаться, не нацелены специально на обман системы. Однако автомобилю придется распознавать порядка полумиллиона изображений в день, а чтобы вызвать ДТП, достаточно одной неверной интерпретации. Главная угроза здесь в том, что вандалы или террористы могут без труда изменить дорожные знаки, добавив к ним маленькие кусочки черной или белой изоленты, и заставить компьютер поверить, что знак STOP – это на самом деле ограничение скорости 90 км/ч. Все это лишь усиливает тревожное ощущение, что беспилотные автомобили внедряются с излишней поспешностью из-за коммерческих интересов. Если вы с этим не согласны, повторю: мы никогда не стали бы внедрять новое лекарство или медицинскую процедуру с такой небрежностью. Особенно если есть серьезные основания подозревать, что это лекарство или процедура могут оказаться опасными.

Не позволяйте автобусу управлять самим собой.

На протяжении большей части человеческой истории органы, с которыми люди рождались, оставались с ними до самой смерти и зачастую становились ее причиной. Если отказывало сердце, или печень, или легкие, или кишечник, или желудок, или почки, то человек просто умирал. Некоторые части тела, прежде всего конечности, можно было хирургически удалить, и если человек выдерживал это мероприятие, то он мог существовать и дальше. Появление анестетиков и создание стерильных условий в операционных сделали хирургические операции менее болезненными, по крайней мере пока пациент был без сознания, и сильно увеличили шансы больного на выживание. Антибиотики позволили справляться с инфекциями, которые прежде были фатальными.

Мы воспринимаем эти чудеса современной медицины как нечто само собой разумеющееся, но именно они, по существу, впервые дали возможность врачам и хирургам излечивать болезни. Мы умудрились растранжирить большую часть преимуществ антибиотиков в результате массового скармливания их скоту не ради лечения болезней, а чтобы заставить животных увеличиваться в размерах и расти быстрее. И еще в результате того, что миллионы людей прекращали принимать таблетки, как только им становилось лучше, вместо того чтобы пройти полный курс лечения, предписанный врачом. Обе практики привели к развитию устойчивости к антибиотикам у бактерий. Теперь ученые лихорадочно пытаются получить антибиотики следующего поколения. Если им удастся это сделать, я надеюсь, нам хватит здравого смысла не погубить и эти лекарства.

Сегодня становится реальностью и другая мечта хирургов прошлого: пересадка органов. Пока нам, кажется, удается не испортить здесь ничего. Если обстоятельства складываются благоприятно, вы можете получить новое сердце, или новое легкое, или новую почку. Даже новое лицо. Когда-нибудь добрая свинка даже сможет вырастить для вас орган на замену, хотя и не добровольно.

В 1907 году американский медик-исследователь Саймон Флекснер, рассуждая о будущем медицины, предвидел появление возможности хирургической замены больных органов на здоровые от другого человека. Он называл в их числе артерии, сердце, желудок и почки. Первую пересадку почки провел в 1933 году советский хирург Юрий Вороной, который изъял почку у донора, умершего за шесть часов до этого, и пересадил ее пациентке в область бедра. Пациентка умерла через два дня, когда новая почка была отторгнута, потому что у донора была неподходящая группа крови. Самым серьезным препятствием для успешной пересадки органов является иммунная система организма, которая распознаёт новый орган как чужеродный и отторгает его. Первую успешную пересадку почки осуществил Ричард Лоулер в 1950 году. Донорская почка функционировала 10 месяцев, прежде чем была отторгнута, но к тому времени собственные почки пациентки пришли в норму, и женщина прожила еще пять лет.

Человек имеет две почки и вполне может жить с одной. Так что органы для пересадки могут быть получены от живого донора, что сильно упрощает процесс. Почка – самый простой орган для пересадки. Не так уж сложно убедиться, что ткани донора соответствуют по типу тканям реципиента и не будут отторгнуты, а на случай, если что-то пойдет не так, имеются диализные аппараты, которые выполняют функции почки. До появления в 1964 году иммунодепрессантов, предотвращающих отторжение донорской почки, пересадка почек от умерших доноров не проводилась (по крайней мере, в США и Великобритании). Почки для пересадки жертвовали живые доноры, и таких случаев было немало.

В большинстве случаев донор был близким родственником реципиента. Это повышало вероятность совместимости тканей, но главной причиной было то, что мало кто готов был пожертвовать свою почку чужому человеку. В конце концов, если у вас есть вторая, вы можете и дальше жить нормальной жизнью, если одна почка вдруг откажет. Если отдать одну почку постороннему человеку, резерва не останется. Когда же реципиент – ваша мать, брат или дочь, то спасение их жизни перевешивает риск. Проблема постороннего человека воспринимается не так близко к сердцу, и готовых пойти на риск не так много.

Некоторые страны предлагали стимул: деньги. Можно было заплатить постороннему человеку, чтобы он пожертвовал почку одному из ваших родственников. Опасности, связанные с разрешением такого рода операций, достаточно очевидны: нужда, например, может заставить бедных продавать почки богатым. В Великобритании закон прямо запрещал отдавать почку кому-либо, кроме близкого родственника. Законы, принятые в 2004 и 2006 годах, устранили это препятствие, но добавили дополнительные меры против злоупотреблений. Одним из условий стал запрет на передачу каких бы то ни было денег.

Схема расположения семи мостов Кёнигсберга, сделанная Эйлером

Эти изменения в законодательстве открыли путь для новых стратегий поиска доноров и позволили резко повысить число операций. Они также поставили перед специалистами немало математических задач, связанных с эффективным использованием этих стратегий. При этом выяснилось, что инструменты для решения подобных задач уже существуют. Все началось почти 300 лет назад с одной маленькой головоломки.

* * *

Это хорошо известная история, но я все равно перескажу ее, по двум причинам. Она готовит сцену для математической задачи и, кроме того, часто воспринимается неверно. Я, например, до какого-то момента понимал ее совершенно неправильно.

Калининград, город в сегодняшней России, когда-то назывался Кёнигсбергом и в XVIII веке находился в Пруссии. Через город протекала река Прегель, образуя два острова, Кнайпхоф и Ломзе. В городе было семь мостов: каждый из берегов реки связывали с Кнайпхофом по два моста; с Ломзе берега связывало по одному мосту; и наконец, один мост соединял острова друг с другом. Сегодня топография города выглядит иначе. Во время Второй мировой войны город сильно бомбили, и мосты b и d на схеме были разрушены. Мосты a и c были снесены, чтобы освободить место для прокладки новой дороги, а взамен них были выстроены новые мосты. Вместе с оставшимися тремя мостами, один из которых был перестроен в 1935 году, сейчас в городе на прежних местах находятся пять мостов.

Легенда гласит, что граждан Кёнигсберга давно интересовал вопрос, можно ли совершить пешую прогулку по городу, пройдя по каждому из мостов ровно один раз. Это была простенькая головоломка из разряда тех, что можно увидеть на странице газеты или ее электронного эквивалента. Эксперименты с различными маршрутами не помогают ее решить – попробуйте сами. Однако аналогичные задачи имеют решение, причем иногда найти их непросто. Более того, число маршрутов, которые вы можете выбрать, бесконечно, хотя бы потому, что существует бесконечно много способов переходить с одной стороны улицы на другую или двигаться вперед и назад. Именно поэтому невозможно найти решение или доказать, что такового не существует, путем рассмотрения всех возможных маршрутов.

Можно, конечно, решить эту головоломку, придумав какую-нибудь хитрость. Например, зайти на мост, прогуляться по нему до противоположного берега и, не сходя на берег, развернуться и пойти назад, сказав при этом, что «прошел» по мосту. Но условие «прохождения» по мосту должно быть таким, чтобы исключать подобные фокусы. Аналогично «пешая прогулка» подразумевает, что нельзя проделать часть пути вплавь, на лодке, на воздушном шаре или принадлежащей доктору Кто машине TARDIS. Или пройти вверх по реке до какого-нибудь моста, который не вошел в схему Эйлера. Хотя «стряпать» головоломки таким образом может быть интересно и даже требовать немалой изобретательности, понятно, что это все же жульничество. Я не собираюсь тщательно формулировать все до единого условия, необходимые, чтобы исключить стряпню подобного рода. Меня гораздо больше интересует, как, переведя эту головоломку на язык математики, доказать невозможность отыскания ее решения, не прибегая к стряпне. Стряпня здесь заключается в формулировании этой задачи, а не в ее решении или доказательстве невозможности найти решение, если она уже сформулирована.

И тут на сцене появляется Эйлер, ведущий математик своего времени. Он работал практически во всех областях математики, существовавших на тот момент, и в некоторых областях, которых не существовало, пока он не положил им начало. Кроме того, Эйлер сумел применить математику к огромному числу разнообразных задач реального мира. Его работы варьируют от энциклопедических томов по основным областям чистой математики и математической физики до диковинок и странностей, которые просто показались ему интересными. В начале XVIII века он обратился к загадке о кёнигсбергских мостах, сформулировал ее как точный математический вопрос и предложил доказательство того, что прогулку с обозначенными условиями совершить невозможно. Причем невозможно даже в том случае, если маршрут будет не круговым и закончится не там, где начался.

Эйлер переехал в Россию, в Санкт-Петербург, в 1727 году, когда в России правила императрица Екатерина I, чтобы стать придворным математиком. Муж Екатерины император Петр I основал Санкт-Петербургскую академию (Academia Scientiarum Imperialis Petropolitinae) в 1724–1725 годах, но умер прежде, чем она успела полностью сформироваться и заработать. Эйлер представил свою работу в Академии в 1735 году, и через год она была опубликована. Будучи математиком, причем, по мнению многих, самым плодовитым в истории, Эйлер извлек из головоломки так много, как только смог: он нашел необходимые и достаточные условия для существования решения, не только для кёнигсбергских мостов, но и для любой задачи подобного рода. Вы можете взять 50 000 мостов, связывающих друг с другом 40 000 островов гигантского комплекса, и теорема Эйлера без проблем скажет вам, существует ли для них решение. Если как следует вникнуть в доказательство, оно даже скажет, как это решение найти, – правда, после некоторой возни. Свое доказательство Эйлер изложил довольно схематично, и прошло почти 150 лет, прежде чем кто-то разобрался во всех его деталях, хотя само по себе доказательство не было слишком сложным.

В настоящее время многие книги по теории графов говорят о том, что Эйлер доказал отсутствие у головоломки решения, сведя ее к более простому вопросу о графах. Граф в этом смысле – это множество точек (называемых вершинами), соединенных линиями (их называют ребрами), и все это вместе образует своего рода сеть{34}. Переформулирование с использованием графов превращает головоломку кёнигсбергских мостов в задачу нахождения пути на конкретном графе, в котором каждое ребро используется ровно один раз. Именно так мы решаем эту задачу сегодня, но Эйлер делал не совсем так. В истории это случается часто. Историки математики с удовольствием рассказывают о том, как все происходило на самом деле, в отличие от общепринятого варианта. В реальности Эйлер решил задачу символически{35}.

Он обозначил каждый участок суши (остров или берег реки) и каждый мост буквой. Суше достались заглавные буквы A, B, C, D, а мостам – строчные a, b, c, d, e, f, g. Каждый мост соединяет друг с другом два участка суши, например, мост f соединяет A и D. Прогулка начинается в некоторой области и может быть описана последовательным перечислением преодоленных участков и мостов до последнего участка суши. В большей части статьи Эйлер описывает маршруты словесно и в основном работает с последовательностью участков суши. Не имеет значения, по какому мосту вы перейдете с A на B, если число сочетаний AB будет равно числу таких мостов. Или можно, наоборот, использовать последовательность мостов – достаточно обозначить точку начала и подсчитать, сколько раз вы посетите заданный участок. Не исключено, что так было бы проще. Ближе к концу статьи Эйлер использует те и другие символы и приводит пример последовательности

EaFbBcFdAeFfCgAhCiDkAmEnApBoElD,

соответствующий более сложной схеме{36}.

В такой формулировке конкретный путь, по которому идет пешеход на каждом участке или по каждому мосту, не имеет значения. Единственное, за чем нужно следить, – это последовательность, в которой посещаются участки и проходятся мосты. Проход по мосту подразумевает, что «две заглавные буквы с обеих его сторон различны». Это исключает возможность зайти на мост и возвратиться на ту же сторону. Решение – последовательность чередующихся заглавных и строчных букв A–D и a–g, в которой каждая строчная буква появляется ровно один раз, а заглавные буквы до и после любой заданной строчной соответствуют тем двум участкам берега, которые связаны данным мостом.

Мы можем составить список связей для каждой строчной буквы:

Допустим, мы начинаем с участка B. Три моста связывают B с другими участками: a, b и f. Предположим, мы выбираем f, тогда наша последовательность начинается с Bf. На другом конце моста f находится участок D, так что мы получаем Bf D. У нас имеются два неиспользованных моста, связывающие D с другими участками: e и g. (Мы не можем использовать f второй раз.) Попробуем g, и наш маршрут будет выглядеть как BfDg. На другом конце g находится C, что дает нам BfDgC. Теперь единственная возможность для продолжения у нас – мосты c и d (вновь по g мы идти не можем). Возможно, мы попробуем мост c, что приведет нас к BfDgCc, а затем к BfDgCcA. От участка A идут четыре возможных моста: a, b, d и e (мост c мы уже использовали).

Можем ли мы теперь выбрать мост d? Нет, потому что это даст нам BfDgCcAd и затем BfDgCcAdC. Но все три моста, связанные с C, а именно c, d и g, уже использованы. Но мы не решили головоломку, потому что мост b остался незадействованным: мы по нему не прошли. Стираем мост d. По аналогичным причинам мы не можем воспользоваться и мостом e: это приведет нас на D, где мы и застрянем; более того, по b опять пройти не удалось. Как насчет моста a? Это дает нам BfDgCcAaB, и единственным неиспользованным выходом остается мост b, что дает нам BfDgCcAaBbA. Возможные выходы здесь – d или e. Первый ведет к BfDgCcAaBbAdC, и дальше выхода не остается, но мы не прошли по мосту e. Второй ведет к BfDgCcAaBbAeD, и тоже выхода нет, но мы не прошли по мосту d.

Ну хорошо, такая последовательность выбора не работает, но ведь мы могли выбрать другие мосты раньше. Можно проработать систематически все возможные последовательности… и окажется, что все они не годятся и могут быть исключены. В какой-то момент вы оказываетесь в тупике, не имея разрешенного выхода с текущего участка, но при этом по крайней мере один мост остается непройденным. Список возможных последовательностей конечен и не так уж велик, чтобы протестировать их все. Попробуйте, если хотите.

Если вы это сделаете, то увидите, что у данной головоломки нет решения. Это могло бы удовлетворить граждан Кёнигсберга, но не Эйлера. Во-первых, неясно, почему вы каждый раз упираетесь в тупик. Во-вторых, этот ответ ничего не говорит о том, в каких случаях можно или нельзя решить другие подобные головоломки. Поэтому Эйлер задал единственный и самый важный вопрос, который математики всегда задают после решения задачи: «Да, но почему это сработало?» За ним обычно следует другой, не менее важный вопрос: «Можно ли улучшить решение?»

Эйлер после размышлений сделал три простых наблюдения:

• Если решение существует, то каждый участок должен быть соединен с остальными какой-то последовательностью мостов. Например, если бы в городе было еще два острова E и F, соединенных друг с другом одним или несколькими новыми мостами h, i, j, …, при отсутствии новых мостов между этими островами и остальными участками суши, то пройти по ним можно было бы, лишь курсируя по ним с E на F и обратно. Ни на один из старых мостов попасть оттуда было бы невозможно.

• Считая, что предыдущее условие («связность») соблюдено, можно сказать, что, исключая участки в начале и в конце прогулки, всякий раз, когда вы входите на какой-то участок суши, с него нужно выйти по другому мосту.

• Всякий раз, когда вы это делаете, вы используете два моста, примыкающие к данному участку, которые перестают быть доступными.

Таким образом, двигаясь по маршруту, вы используете мосты парами. Это ключевой вывод. Если на участке суши четное число мостов, вы можете использовать их все и не оказаться в тупике. Если там нечетное число мостов, то вы можете использовать их все, кроме одного, и не застрять. Но вы должны пройти по этому мосту в какой-то момент. Но стоит это сделать – и вы в тупике.

Застревание фатально, если вы находитесь в середине пути. Однако это не проблема в конце. Если же пройти маршрут в обратном направлении, то станет понятно, что это не проблема и в начале прогулки. Из этих рассуждений следует, что если маршрут существует, то максимум два участка суши в нем могут быть связаны нечетным числом мостов. В задаче о мостах Кёнигсберга:

Здесь число участков суши с нечетным количеством мостов равно четырем, а это больше двух. Так что нужного нам маршрута не существует.

Разомкнутый маршрут с использованием пяти оставшихся мостов

Эйлер также заявил без доказательства, что это же условие четности/нечетности является достаточным для существования маршрута. Это немного сложнее, и я не буду здесь останавливаться. Доказал это утверждение Карл Хирхольцер незадолго до своей смерти в 1871 году, а опубликовано доказательство было посмертно в 1873 году. Эйлер также заметил, что если искать замкнутый маршрут, который заканчивался бы там же, где начался, то необходимое и достаточное условие его существования состоит в том, что на каждом участке суши должно быть четное число мостов{37}.

Если использовать только те пять мостов, которые (в том или ином виде) существуют и сегодня, то B и C оказываются связанными двумя мостами. В таком виде эта задача должна иметь решение, но только для разомкнутого маршрута. Конечные точки должны располагаться на A и D, потому что именно эти участки суши по-прежнему связаны нечетным числом мостов. На рисунке показано такое решение. Существуют и другие: сможете ли вы найти все?

Слева: граф, показывающий связи для мостов Кёнигсберга.

Справа: пример попытки составить маршрут – мост d пропущен

Эйлер сформулировал все вышеизложенное в виде символьных последовательностей вроде BfDgCcAaBbAeD. Некоторое время спустя кто-то догадался, что всему этому можно дать графическую интерпретацию. Кто был первым – неясно, поскольку в середине XIX века эта идея уже витала в воздухе, однако известно, что термин «граф» предложил в 1878 году Джеймс Джозеф Сильвестр. Нарисуйте картинку с четырьмя точками A–D и семью линиями a–f. Сделайте так, чтобы каждая линия соединяла две области на концах соответствующего моста. Карта островов и мостов при этом упрощается, как на рисунке слева. Только что упомянутая символьная последовательность соответствует маршруту на картинке справа с началом в точке B и концом в точке D, где движение прекращается.

Это визуальное упрощение и есть граф кёнигсбергских мостов. В данном представлении неважно, где вы поставите четыре точки (хотя их следует ставить на некотором расстоянии друг от друга, чтобы избежать путаницы), да и конкретная форма линий тоже не имеет значения. Важно лишь, какие именно точки соединяет данная линия. В этой визуальной среде доказательство Эйлера становится очень естественным. Любой маршрут, который входит на участок суши по одному мосту, должен уйти с него по другому, если это не конец разомкнутого маршрута. Аналогично любой маршрут, покидающий участок по одному мосту, должен был ранее входить на него по другому, если это не начало разомкнутого маршрута. Так что мосты должны существовать парами, за исключением двух концов. Следовательно, все участки суши, расположенные не на концах маршрута, связаны с четным числом мостов. Если на концах число мостов нечетное, возможен только незамкнутый маршрут. В противном случае начало и конец могут находиться в одной области и соединяться без всяких мостов, образуя замкнутый маршрут. Теперь к каждой области подходит четное число мостов.

Решением этого единственного класса задач Эйлер дал старт двум важным областям математики. Одна из них – теория графов, которая изучает точки, соединенные линиями. Звучит очень просто, даже как-то по-детски. Так и есть. Но в то же время это глубоко, полезно и сложно, как мы увидим. Вторая – топология, которую иногда называют «геометрией резинового листа», где фигуры могут деформироваться непрерывно и при этом не считаться существенно различными. Здесь формы линий и расположение точек могут меняться как угодно при условии, что не меняется способ их соединения (требование непрерывности), и получается, по существу, тот же граф. Тот же в том смысле, что сообщает ту же информацию о том, что с чем соединяется.

Мне кажется замечательным, что простая головоломка может привести к таким значительным нововведениям. Воистину непостижимая эффективность. Кроме того, в этой истории содержится важный урок, который внешний мир зачастую не воспринимает. Не стоит недооценивать математику, которая выглядит просто и больше похожа на детскую игрушку, чем на что-нибудь серьезное. Дело не в том, насколько проста игрушка, а в том, как вы ее используете. Мало того, одна из главных задач хорошей математики состоит в том, чтобы сделать все как можно более простым. (Вы можете усмехнуться, и это будет справедливо, если вспомнить, насколько сложно выглядит значительная часть математики. Я просто должен здесь добавить оговорку, приписываемую Эйнштейну: как можно более простым, но не слишком простым.) Превращение островов в точки, а мостов в линии не меняет сути головоломки, а помогает отбросить лишнюю информацию: какая стоит погода? Грязно ли на улице? Мост металлический или деревянный? Эти вещи важны, если вы собираетесь на субботнюю прогулку или строите мост. Но если вы хотите ответить на вопрос, который ставил в тупик добрых граждан Кёнигсберга, все это лишь помехи.

* * *

Ну а какое отношение мосты Кёнигсберга имеют к трансплантации почек? Непосредственно почти никакого. Косвенно статья Эйлера положила начало развитию теории графов, которая открывает перед нами эффективный способ подбора доноров для реципиентов даже при условии, что большинство доноров готовы отдать свою почку только близкому родственнику{38}. Когда в Великобритании в 2004 году вступил в действие Закон о тканях человека, люди получили возможность законным образом отдавать почки не только родственникам.

Очень серьезную проблему представляет поиск подходящих пар доноров и реципиентов, потому что даже в тех случаях, когда имеется донор, тип его тканей и крови может не совпасть с типом тканей и крови предполагаемого реципиента. Представьте себе, что дядюшка Фред нуждается в почке, а его сын Уильям готов пожертвовать свою, но не хочет делиться почкой с чужим человеком. К несчастью, у почки Уильяма не тот тип ткани. До 2004 года на этом все кончалось, и Фред был обречен на частые сеансы диализа на специальном аппарате. Такой же была судьба многих других потенциальных реципиентов, у которых тип ткани совпадает с типом ткани Уильяма. Теперь представьте, что Джон Смит, не состоящий в родстве с Фредом и Уильямом, сталкивается с той же проблемой: его сестра Эмили нуждается в новой почке и он готов отдать ей свою, но, опять же, не готов делиться почкой с чужим человеком. И у него тип ткани отличается от типа ткани Эмили. В итоге никто не получает почку для пересадки.

Предположим, однако, что типы тканей у Джона и у Фреда, а также у Уильяма и Эмили совпадают. После 2004 года это создает условия для законного обмена почками. Задействованные в операциях хирурги могут встретиться и предложить, чтобы Джон разрешил передать его почку Фреду при условии, что почка Уильяма достанется Эмили. Оба донора с гораздо большей вероятностью согласятся на такие условия, поскольку их родственники получат новую почку, а они пожертвуют свою, иначе говоря, сделают то, что собирались сделать с самого начала. Кто именно получит чью почку, не слишком волнует ни доноров, ни реципиентов, хотя это принципиально важно с точки зрения совместимости тканей.

При современных средствах коммуникации хирурги могут обнаружить подобное совпадение, если будут вести реестр потенциальных доноров и реципиентов с указанием типа их ткани. Если число реципиентов и потенциальных доноров невелико, вероятность такого обмена также невелика, но она становится гораздо больше, когда их число растет. Число потенциальных реципиентов весьма велико: в 2017 году в Великобритании в списке ожидающих пересадку почки значилось более 5000 человек. Почка при этом могла поступить как от умершего донора, так и от живого, но число доноров меньше числа реципиентов – около 2000 на тот же момент времени. В результате среднее время ожидания превышает два года для взрослого и девять месяцев для ребенка.

Один из способов улучшить ситуацию – организация более сложных цепочек обмена почками. Закон в настоящее время разрешает сделать и это. Предположим, что Амелия, Бернард, Кэрол и Дейдра нуждаются в пересадке почки. У всех у них есть на примете доноры, изначально готовые поделиться с ними, причем только с ними. Предположим, что их доноров зовут Альберт, Берил, Карл и Дайана. Цепочка начинается с донора-альтруиста Зои, готовой отдать свою почку кому угодно. Предположим, что типы тканей допускают цепочку следующего вида:

Зои передает свою почку Амелии.

Альберт, донор Амелии, соглашается отдать свою почку Бернарду.

Берил, донор Бернарда, соглашается отдать свою почку Кэрол.

Карл, донор Кэрол, соглашается отдать свою почку Дейдре.

Дайана, донор Дейдры, соглашается пожертвовать свою почку кому-нибудь из очереди.

В целом всех все устраивает. Амелия, Бернард, Кэрол и Дейдра получают новую почку. Альберт, Берил, Карл и Дайана жертвуют свою почку, хотя и не родственнику, но в рамках цепочки, которая принесет ему пользу. Часто доноров это вполне устраивает, что и делает подобные обмены возможными – ведь, если они не согласятся, их родственник не получит почку в этот раз. Зои рада, что ее альтруистический порыв принесет кому-то пользу, и ей все равно, кому именно. В данном случае – Амелии. Наконец, лишняя почка поступает в список ожидания, а это всегда полезно.

Если бы вместо этого Зои просто пожертвовала почку в список ожидания, единственное, что могли бы сделать Амелия, Бернард, Кэрол и Дейдра, – это записаться в список ожидания. Не сделав этого, они высвобождают четыре дополнительные почки. Это называется цепочкой последовательной уступки по принципу домино. Зои роняет первую костяшку, и вслед за ней падает еще несколько. Назовем этот принцип просто цепочкой.

Главное здесь, конечно, не имена, а типы тканей. Альберт – это кто угодно с тем же типом ткани, что у Зои. Берил – это кто угодно с тем же типом ткани, что у донора Альберта; Карл – это кто угодно с тем же типом ткани, что у донора Берил, и т. д. При разумном числе реципиентов и доноров подобные цепочки обычны, и хирурги могут их заметить. Однако это требует времени, даже если поиском цепочек занимается специальный человек, а каждая почка драгоценна, поэтому имеет смысл выбирать цепочки наилучшим возможным способом. Это сложно, поскольку одновременно может существовать несколько потенциальных цепочек. В таком случае хирурги могут начать работу одновременно, если только в их цепочки не входит один и тот же донор, на почку которого будут претендовать два человека. В этой ситуации одна из цепочек рвется.

Оптимизировать выбор цепочек… Это звучит математически. Если вы сможете сформулировать задачу математически и применить подходящие методы, то, возможно, сумеете и решить ее. Более того, решение не обязано быть идеальным. Оно может быть всего лишь лучше, чем результат, полученный вручную. Дэвид Мэнлав нашел способ превратить задачу об обмене почками в вопрос о графах. Теорема Эйлера здесь не помощница, но роль Эйлера неоценима, поскольку он открыл в математике новую область. За прошедшие годы математики развили тему и нашли в теории графов множество новых методов. Поскольку граф – объект дискретный, «на самом деле» всего лишь список вершин, ребер и информации о том, какое ребро соединяет какие вершины, графы замечательно подходят для компьютерной обработки. Разработаны мощные алгоритмы для анализа графов и извлечения из них полезной структуры. В их числе есть и алгоритмы, которые могут отыскивать оптимальные способы распределения доноров по пациентам для графов приемлемых размеров. Эти методы, реализованные на компьютере, применяются сегодня в Великобритании на повседневной основе.

* * *

Два типа обмена

Совместимые пары доноров и реципиентов просто обмениваются почками. Для этого нужно, чтобы два хирурга оперировали одновременно, каждый своего пациента. Так что мы, пытаясь собрать цепочки, можем не обращать внимания на совместимые пары и сосредоточиться только на несовместимых. Эти пары составляют вершины графа.

Предположим, например, что Альберт готов отдать свою почку Амелии, но совместим при этом с Бернардом. Эта ситуация показана на рисунке слева. Я ставлю имя донора вверху, а имя несовместимого с ним родственника – внизу. Стрелка означает, что «донор в ее хвосте совместим с реципиентом на острие». Этот рисунок представляет собой особый тип графа, в котором ребра имеют конкретную направленность. В отличие от мостов Кёнигсберга, эти ребра односторонние: математики называют их направленными, а получившийся граф – ориентированным или, короче, орграфом. На рисунке направленные ребра обозначены стрелками.

Если Берил совместима с Амелией, то правила предписывают нам нарисовать еще одну стрелку в обратном направлении. Таким образом создается двусторонняя связь, как на рисунке справа. Этот рисунок иллюстрирует простейший вариант обмена почками, который специалисты по теории графов называют циклом длины 2. Хирурги могут предложить Альберту пожертвовал свою почку Бернарду с условием, что Берил отдаст свою Амелии. Если все стороны согласны, то Амелия и Бернард получают по новой почке, тогда как Альберт и Берил по одной почке отдают. Хотя это и не родственная пересадка, реципиенты все-таки получают почку, так что большинство потенциальных доноров принимают обмен такого рода.

Цикл обмена почками длины 3

Следующий, более сложный тип обмена – цикл длины 3. Здесь присутствует третья пара с донором Карлом и реципиентом Кэрол. Предположим, что

Альберт совместим с Бернардом; Берил совместима с Кэрол; Карл совместим с Амелией.

Тогда хирурги могут предложить, чтобы почка Альберта досталась Бернарду, почка Берил – Кэрол, а почка Карла – Амелии. Это опять приемлемый вариант для большинства доноров.

С донорами-альтруистами вроде Зои работать приходится немного иначе, потому что они изначально ни с кем не связаны и у них нет пары. И здесь на сцену выходит небольшой математический фокус. Мы формируем соответствующую вершину графа, поставив в пару к Зои загадочного неизвестного реципиента, обозначив его подписью «кто угодно», и считаем этого реципиента совместимым с любым из наших неальтруистических доноров. На практике этот псевдореципиент представляет всех стоящих в списке ожидания при условии, что каждый из них совместим с кем-то из неальтруистических доноров. Это вполне реально, поскольку список ожидания велик. Теперь мы проводим стрелку от

вершины-Z = (Зои, кто угодно)

к любой вершине, реципиент которой совместим с Зои. Для последовательной цепочки домино, описанной выше, получаем орграф на рисунке ниже.

Подобные цепочки непрактичны: для реализации данного варианта потребовалось бы 10 одновременно оперирующих хирургов. Операции должны проводиться одновременно, иначе, скажем, как только Кэрол получит почку от Берил, Карл может передумать и отказаться отдавать свою почку Дейдре. Люди не всегда выполняют свои обещания, если теряется выгода, даже после подписания необходимых юридических документов. При желании всегда можно найти предлог. Сказаться больным или еще что-нибудь. Сломать ногу.

Эта цепочка слишком длинная, чтобы быть практичной

По этой причине обмены в настоящее время законодательно ограничиваются четырьмя сценариями: это циклы длины 2 и 3, которые мы уже видели, и соответствующие им циклы с участием донора-альтруиста, которые называются короткими и длинными цепочками. В короткой цепочке были бы задействованы только Зои, Альберт, Амелия и кто-то из списка ожидания. В длинную цепочку были бы включены еще Берил и Бернард. Под обменом понимается любой из этих четырех сценариев.

Обратите внимание на небольшое лукавство. Я показал эту цепочку как цикл с пятью вершинами. При реализации обмена это не совсем так, потому что у Зои нет конкретного реципиента. Зои готова уступить свою почку любому, и в конце цепочки Дайана действительно отдает почку любому (то есть списку ожидания в целом). Но на самом деле «кто угодно», кому уступает почку Зои, оказывается Амелией, и это не тот же самый человек, кому жертвует в конечном итоге последний в цепочке – Дайана. С этим помогает разобраться математика, потому что в каждом случае мы определяем занимающего позицию «кто угодно» из структуры орграфа.

Орграф обмена почками, использовавшийся в июле 2015 года, и оптимальное решение (показано сплошными черными линиями). Белые точки – доноры и реципиенты, не имеющие пары, серые точки – доноры-альтруисты, черные точки – доноры и реципиенты, получившие пару[5]

В приведенных выше орграфах отдельные циклы и цепочки показаны при помощи небольшого числа вершин и стрелок. В реальности пар много, доноров-альтруистов заметно меньше, а вот стрелок просто громадное количество. Это происходит потому, что орграф должен иметь стрелку между двумя любыми вершинами X и Y, где донор X совместим с реципиентом Y. Один и тот же донор может быть совместим со множеством реципиентов. Например, в октябре 2017 года было зарегистрировано 226 неальтруистических пар и 9 доноров-альтруистов, между которыми было проведено в совокупности 5964 стрелки. Рисунок иллюстрирует сложность структуры на другую дату. Математическая задача состоит в том, чтобы найти в этом орграфе не просто один обмен, а наилучшее возможное подмножество обменов.

* * *

Чтобы решить эту задачу математически, необходимо точно определить понятие «наилучший возможный». Это не просто множество обменов, при котором задействовано максимальное число людей. Есть и другие соображения, такие как стоимость и вероятный процент успеха. Здесь в дело вступают медицинская консультация и опыт. Служба переливания крови и трансплантации Министерства здравоохранения Великобритании (NHSBT) разработала стандартную систему количественной оценки пользы от каждой пересадки органа. Во внимание принимаются такие факторы, как срок ожидания пациента в очереди, уровни несовместимости по типу тканей и разница в возрасте между донором и реципиентом. При помощи статистического анализа эти факторы собираются в единую числовую оценку – действительное число, которое называют весом. Вес вычисляется для каждой стрелки на орграфе, то есть для каждой потенциальной пересадки.

Имеется одно очевидное условие: одна и та же вершина графа не может быть задействована в двух цепочках, поскольку невозможно отдать одну и ту же почку двум людям. Математически это равноценно утверждению, что циклы, составляющие множество, не пересекаются. Остальные условия тоньше. Некоторые циклы длины 3 имеют дополнительную полезную черту: лишнюю стрелку в обратном направлении между двумя вершинами. На рисунке показан случай, когда, помимо стрелок предыдущего цикла длины 3, в цикле имеется еще одна от пары Берил к паре Амелии. Это означает, что Берил совместима не только с Кэрол, но и с Амелией. Если где-то на поздней стадии Карл вдруг выпадет из договоренности по обмену, то Кэрол тоже можно исключить; останется цикл длины 2, в котором Альберт передает почку Бернарду, а Берил – Амелии, и этот обмен по-прежнему может быть реализован. Математически эти три вершины образуют цикл длины 3, и дополнительно две из его вершин образуют цикл длины 2. Подобная дополнительная стрелка называется обратной дугой. Любой цикл длины 3 с обратной дугой и циклом длины 2 называется эффективным циклом длины 2.

Согласно определению Консультативной группы по почкам при NHSBT, множество обменов почками является оптимальным, если оно:

(1) максимизирует число эффективных циклов длины 2;

(2) содержит как можно больше циклов, при выполнении условия (1);

(3) использует как можно меньше циклов длины 3, при выполнении условий (1) и (2);

(4) максимизирует число обратных дуг, при выполнении условий (1)–(3);

(5) максимизирует суммарный вес всех циклов, при выполнении условий (1)–(4).

Эффективный цикл длины 2

Интуитивно понятно, что это определение отдает приоритет определенным моментам, а когда выполнено главное условие, в дело последовательно вступают остальные, с более низким приоритетом. Например, условие (1) гарантирует, что включение в схему трехсторонних обменов не уменьшит число двухсторонних обменов, которые могли бы быть сделаны. Такой подход обеспечивает, во-первых, простоту, а во-вторых – возможность продолжать с циклом длины 2, если кто-то вдруг выпадет из схемы. Условие (5) означает, что множество обменов должно быть как можно более эффективным и иметь максимальную вероятность успеха, но начинать думать об этом можно только после того, как приняты главные решения по пунктам (1)–(4).

Математическая задача состоит в том, чтобы найти оптимальное множество обменов, соответствующее данным критериям. Если немного подумать и прикинуть цифры, несложно понять, что проверить все возможные множества обменов нереально. Их попросту слишком много. Допустим, у нас имеется 250 вершин и 5000 ребер. В среднем с каждой вершиной связано 20 ребер, и для упрощения оценки будем считать, что 10 из них в эту вершину входят, а 10 – выходят. Предположим, мы хотим найти все возможные циклы длины 2. Выберем какую-нибудь вершину и пройдем вдоль 10 выходящих из нее стрелочек. Каждая стрелочка заканчивается у другой вершины, из которой тоже выходит 10 стрелочек. Мы получаем цикл длины 2, если конечная вершина после этого совпадет с начальной. Получаем 100 вариантов для проверки. Для нахождения цикла длины 3 необходимо проверить 100 × 10 = 1000 вариантов, а это означает 1100 проверок на каждую вершину. Вершин у нас 250, то есть проверять нужно 275 000 вариантов, если не учитывать упрощения, которые, конечно, могут снизить число проверок, но не изменят общего порядка величины.

Однако, даже если все получилось, вам на данный момент удалось всего лишь составить список возможных циклов длины 2 и 3. Обмен – это множество циклов, и число множеств растет экспоненциально с ростом числа циклов. В октябре 2017 года в орграфе были 381 цикл длины 2 и 3815 циклов длины 3. Число наборов из одних только циклов длины 2 составляет 2³⁸¹, а это число с 115 знаками. Число наборов из циклов длины 3 имеет 1149 знаков. А мы еще даже не проверили, какие из множеств не имеют пересечений.

Вряд ли стоит пояснять, что на самом деле эту задачу решают не так. Но из приведенных данных понятно, что для этого необходимо придумать какие-то достаточно эффективные методы. Я лишь набросаю некоторые из задействованных в решении идей. Вообще, все это можно рассматривать как разновидность пресловутой задачи коммивояжера: как задачу комбинаторной оптимизации с другими, конечно, ограничениями, но аналогичными рассуждениями. Принципиально важно, сколько времени требуется на поиск оптимального решения. Эту стратегию можно исследовать с точки зрения вычислительной сложности, как в главе 3.

Если в схеме участвуют только циклы длины 2, то оптимальное множество обменов может быть вычислено за полиномиальное время, класс сложности P, с использованием стандартных методов построения паросочетаний с максимальным весом в графе. Если присутствуют и циклы длины 3, даже без доноров-альтруистов, задача оптимизации становится NP-трудной. Тем не менее Мэнлав с коллегами разработал работоспособный алгоритм на базе линейного программирования, о котором мы говорили в главе 3. Их алгоритм UKLKSS перестраивает задачу оптимизации так, чтобы ее можно решить при помощи последовательности вычислений по методу линейного программирования. Результат каждого расчета подается на вход следующего как дополнительное ограничение. Так что условие (1) оптимизируется; при этом используется метод, известный как алгоритм Эдмондса в реализации Сильвио Микали и Виджая Вазирани. Алгоритм Эдмондса находит максимальное покрытие в графе за время, пропорциональное числу ребер, умноженному на квадратный корень из числа вершин. Покрытие связывает пары вершин на концах общего ребра, и задача в том, чтобы покрыть как можно большее число пар вершин без использования двух ребер, которые имеют одну общую вершину.

После того как оптимизация по условию (1) проведена, полученное решение оптимизируется по условию (2) с использованием алгоритма, известного как целочисленный программный решатель COIN-Cbc, части библиотеки алгоритмов проекта Вычислительной инфраструктуры для исследования операций, и т. д.

К концу 2017 года при помощи этих методов теории графов было найдено 1278 потенциальных вариантов пересадки, но реализовали только 760 из них, потому что на последних этапах оценки вылезают разные проблемы: выясняется, например, что типы тканей не так хорошо совместимы, как считалось ранее, или что доноры или реципиенты по состоянию здоровья не могут выдержать операции. Однако систематическое использование алгоритмов из теории графов для эффективной организации пересадки почек – серьезный шаг вперед по сравнению с прежними методами. Кроме того, это указывает нам путь к дальнейшим усовершенствованиям, поскольку сегодня мы можем хранить почки вне тела дольше, так что все операции в цепочке не обязательно проводить в один день. Теперь можно задуматься и о более длинных цепочках, а это ставит перед нами новые математические задачи.

Я не пытаюсь утверждать, что Эйлер умел предвидеть будущее. Он, конечно, не думал, что его остроумное решение глупой головоломки когда-нибудь пригодится в медицине. И уж точно он не мог предположить, что оно найдет применение в трансплантологии – ведь в те времена хирургия не слишком отличалась от ремесла мясников. Но я хочу отдать ему должное – даже в те далекие дни он видел, что эта головоломка намекает математикам на нечто более глубокое, и прямо говорил об этом. Взгляните на эпиграф к этой главе. Эйлер неоднократно упоминает «геометрию положения» в контексте данной задачи. Это понятие он обозначает на латыни как analysis situs и отдает Лейбницу честь изобретения термина и, косвенно, осознания того, что такой предмет может оказаться важен. Самого Эйлера, очевидно, заинтриговала идея геометрии, имеющей дело не с традиционными евклидовыми фигурами. Он не отвергает эту идею из-за ее неортодоксальности, совсем наоборот. Ему приятно внести свой вклад в развитие такой геометрии. Он развлекается.

Мечта Лейбница осуществилась в XX веке после весьма существенных достижений XIX века. Мы сегодня называем эту область математики топологией, и в главе 13 я покажу некоторые ее новые применения. Теория графов по-прежнему не теряет связи с топологией, но их развитие шло разными путями. Такие понятия, как вес ребра, имеют численный, а не топологический характер. Но идея о том, что графы можно использовать для моделирования сложных взаимодействующих систем и решения задач оптимизации, восходит к Эйлеру. Он занялся вопросами нового типа потому, что они захватили его воображение, и придумал собственные способы поиска ответов на них. Произошло это в Санкт-Петербурге, в России, куда он приехал по приглашению недавно созданной Академии наук почти три столетия назад. Всякий, кому пересаживают почку, будь то в Великобритании или в любой другой стране, где пользуются методами теории графов для более эффективного распределения органов, должен восхищаться тем, что сделал Эйлер.

Пьер де Ферма знаменит своей Великой теоремой, которая гласит, что если n равно по крайней мере 3, то сумма двух n-х степеней целых чисел не может также быть n-й степенью целого числа. Эндрю Уайлс в конечном итоге нашел этому современное формальное доказательство в 1995 году, примерно 358 лет спустя после того, как Ферма высказал свою гипотезу{39}. По профессии Ферма был юристом, советником парламента в Тулузе, но большую часть времени посвящал математике. У него был друг по имени Френикль де Бесси, парижский математик, известный прежде всего полным каталогом 880 магических квадратов четвертого порядка. Они активно переписывались, и 18 октября 1640 года Ферма написал де Бесси (по-французски), что «каждое простое число делит… одну из степеней любой прогрессии за вычетом единицы, а показатель этой степени делит данное простое число за вычетом единицы».

Если перевести этот текст на алгебраический язык, то Ферма утверждал, что если p – простое число и a – произвольное число, то a^p–1–1 делится на p (без остатка). Например, поскольку 17 – простое число, то, согласно его утверждению, все числа

кратны 17. Очевидно, 17¹⁶–1 придется пропустить: это число никак не может быть кратно 17, поскольку оно на единицу меньше такого числа, а именно 17¹⁶. Ферма понимал, что такое дополнительное условие необходимо, но не упомянул этого в письме. Проверим такой случай:

и, разделив это число на 17, получим 1 085 102 592 571 150 095 ровно. Как вам такое?

Этот любопытный факт в настоящее время называют Малой теоремой Ферма, в отличие от Последней (или Великой) теоремы. Ферма был одним из пионеров теории чисел, изучающей глубокие свойства целых чисел. Как в его время, так и в последующие три столетия теория чисел представляла собой самую что ни на есть чистую математику. Она не имела важных применений, и было непохоже, чтобы они когда-нибудь появились. Один из ведущих специалистов Великобритании по чистой математике Годфри Харольд Харди, несомненно, думал именно так, о чем и заявил в своем небольшом шедевре – эссе «Апология математика», опубликованном в 1940 году. Теория чисел была для Харди одной из любимых областей математики, и в 1938 году он вместе с Эдвардом Мейтлендом Райтом выпустил классический труд «Введение в теорию чисел». В нем можно найти и Малую теорему Ферма – это Теорема 71 в главе VI. Мало того, вся глава, по существу, рассказывает о ее следствиях.

Политические и математические взгляды Харди отражали веяния, преобладавшие в то время в высших кругах академического сообщества, и сегодня представляются в значительной мере предвзятыми, но стиль изложения у него легок и элегантен, а кроме того, его статьи позволяют лучше понять академический менталитет тех времен, что тоже весьма ценно. Некоторые из изложенных им взглядов актуальны и сегодня. Харди говорил, что «писать о математике – сплошная тоска для профессионального математика. Математик должен делать что-то значимое, доказывать новые теоремы, чтобы расширять математические знания, а не рассказывать о том, что сделал он сам или другие математики». Такой вот своеобразный подход к «распространению знаний», так высоко ценимому сегодня в академическом мире, но именно он превалировал в общении с неспециалистами еще 40 лет назад.

Одна из причин, по которым Харди считал необходимым оправдывать свою профессию перед публикой, была в том, что, по его мнению, математика того сорта, которой он посвятил свою жизнь, никогда не имела полезных приложений и перспектив их обрести. Математика не оправдывала себя. Интерес Харди к ней был чисто интеллектуальным: удовлетворение от решения сложных задач и расширение абстрактного человеческого знания. Его не особенно беспокоила утилитарная полезность математики, но он испытывал по этому поводу легкое чувство вины. Однако его, как убежденного пацифиста, тревожила возможность использования математики в военных целях. Бушевала Вторая мировая война, а некоторые области математики всегда применялись в военном деле. Архимед, как говорят, использовал свойства параболы, чтобы сфокусировать солнечные лучи на вражеских кораблях и поджечь их, а рычаги – чтобы сконструировать громадную лапу, способную вытащить корабль из воды. Баллистика позволяет нам прицельно метать предметы – от каменных ядер до разрывных снарядов. Ракеты и дроны не могут достичь цели без помощи сложной математики, в частности теории управления. Но Харди был убежден, что его любимая теория чисел никогда – по крайней мере, еще очень-очень долго – не будет иметь военного применения, и гордился этим.

Харди писал в то время, когда типичный кембриджский «дон» (преподаватель) тратил около четырех часов в день на научные изыскания и, может быть, часок на работу со студентами, а остальное время отдыхал, заряжая свои интеллектуальные батарейки. Он смотрел крикет и читал газеты. Ему, по всей видимости, просто не приходило в голову, что даже ведущий математик-исследователь мог бы использовать свободное время с пользой и рассказывать неспециалистам, чем в настоящее время занимаются математики. Это позволило бы творить новую математику и параллельно писать о ней. Именно этим многие из нас, профессиональных математиков, занимаются сегодня.

Общее утверждение Харди о том, что значительная доля чистой математики не имеет практического применения и, вероятно, никогда не найдет его, остается верным{40}. Но вот при выборе конкретных примеров бесполезных тем он сильно рисковал попасть впросак. Сказав, что теория чисел и теория относительности еще много лет не смогут послужить никакой военной цели, он, что называется, попал пальцем в небо, хотя нужно признать, что его предсказание не исключало подобное применение полностью. Очень трудно решить заранее, какие идеи найдут применение, а какие нет. Научитесь делать это, и вы сможете без труда разбогатеть. Интересно, что именно те области, которые не кажутся практически применимыми, могут внезапно выскочить на передний план в промышленности, коммерции и, к несчастью, в военном деле. Именно это произошло с теорией чисел и конкретно с Малой теоремой Ферма, которая теперь стала основой того, что мы считаем абсолютно стойкими шифрами.

Ирония ситуации в том, что за два года до того, как Харди написал свою «Апологию…», глава британской контрразведки MI6 купил поместье Блетчли-парк, в котором в будущем должна была разместиться Правительственная школа кодирования и шифрования, секретный дешифровальный центр cоюзников во время Второй мировой войны. Там, как известно, криптоаналитики взломали шифр машины Enigma, которую Германия использовала в военных целях, и ряд других шифровальных систем стран Оси. Самый известный сотрудник Блетчли-парка Алан Тьюринг начал обучение в 1938 году и прибыл в школу в день объявления войны. Криптоаналитики Блетчли-парка использовали для взлома германских шифров неординарные подходы и математику, в том числе и идеи из теории чисел. Всего лишь через неполные 40 лет после этого произошла настоящая революция в криптографии, фундаментом которой стала теория чисел. Естественно, для новой криптографии нашлось не только гражданское, но и военное применение. Вскоре она приобрела принципиально важное значение для работы интернета. Сегодня мы сильно зависим от нее, по большей части даже не сознавая, что она существует.

Теория относительности тоже нашла свое место не только в гражданской, но и в военной сфере. Можно сказать, что она сыграла определенную роль в реализации Манхэттенского проекта по созданию атомной бомбы. В соответствии с популярной легендой, знаменитая формула Эйнштейна E = mc² убедила физиков, что в небольшом количестве вещества содержится громадное количество энергии. Это, конечно, сильное упрощение, которое использовалось после ударов по Хиросиме и Нагасаки для объяснения публике принципа действия такого оружия. Не исключено, что таким образом пытались также отвлечь внимание от настоящего секрета: физики ядерных реакций. Более близкий к нам пример – Глобальная система позиционирования, GPS (глава 11), точность которой зависит как от специальной, так и от общей теории относительности. Разработка системы финансировалась американскими военными, а сама она первоначально предназначалась исключительно для них.

Счет 2:0 в пользу военных.

Я совершенно не виню Харди. Он понятия не имел, что происходит в Блетчли-парке, и едва ли мог предугадать стремительный взлет цифровых вычислений и средств связи. Слово «цифровой» означает в основном работу с целыми числами, а ведь именно этим занимается теория чисел. Внезапно оказалось, что результаты, полученные многими поколениями специалистов по чистой математике исключительно из интеллектуального любопытства, теперь можно использовать для инновационной технологии. Сегодня в электронных устройствах, которые четверть рода человеческого ежедневно носит с собой, воплощен огромный пласт математики – и это не только теория чисел, но и многое другое, от комбинаторики до абстрактной алгебры и функционального анализа. Секретность онлайн-операций, осуществляемых частными лицами, компаниями, а также военными, обеспечивается хитроумными математическими преобразованиями, основанными на столь любимой Харди теории чисел. Это совсем не удивило бы Тьюринга, который был настолько впереди всех, что уже в 1950 году всерьез задумывался об искусственном интеллекте. Но Тьюринг был мечтателем. В те времена это было даже не научной фантастикой, а просто фантазией.

Код, или шифр, – это метод преобразования сообщения на обычном языке, то есть открытого текста, в зашифрованный текст, который выглядит как тарабарщина. При этом преобразовании, как правило, используется ключ – принципиально важная часть информации, которую держат в секрете. Говорят, например, что Юлий Цезарь пользовался шифром, в котором каждая буква алфавита сдвигалась на три позиции. «Три» здесь и есть ключ. Такой тип шифра подстановки, в котором каждая буква алфавита заменяется на другую букву по постоянному правилу, несложно взломать, если в вашем распоряжении имеется достаточное количество шифровок. Для этого достаточно знать частоты, с которыми буквы алфавита встречаются в открытом тексте. Тогда можно сделать достаточно достоверное предположение о принципе шифрования и проверить его. Поначалу будут встречаться ошибки, но если часть текста вдруг расшифруется как JULFUS CAESAR, то легко догадаться, что на месте F должна быть I.

Каким бы простым и ненадежным ни казался шифр Цезаря, он служит хорошим примером для иллюстрации общего принципа, который до недавнего времени лежал в основе практически всех систем шифрования. Это симметричный шифр, то есть и отправитель, и получатель пользуются, по существу, одним и тем же ключом. Я говорю «по существу», потому что они пользуются им по-разному: Юлий сдвигает алфавит на три позиции вправо, а получатель сдвигает его на три позиции в обратном направлении. Однако если вы знаете, как ключ используется при шифровании, то легко можете обратить процесс вспять и использовать тот же ключ для расшифровки. Даже весьма хитроумные и надежные шифры симметричны. Поэтому безопасность требует, чтобы используемый ключ держался в секрете от всех, за исключением отправителя и получателя сообщений.

Как сказал Бенджамин Франклин, «трое могут сохранить секрет, если двое из них мертвы». В симметричном шифре ключ должны знать как минимум двое, что, по мнению Франклина, слишком много. В 1944 или 1945 году кто-то (возможно, Клод Шеннон, изобретатель теории информации) в исследовательском центре Bell Labs в США предложил защищать голосовую связь от подслушивания при помощи добавления к сигналу случайного шума, а затем, после получения сигнала, его вычитания. Это тоже симметричный метод, поскольку ключ здесь – случайный шум и вычитание компенсирует его добавление. В 1970 году Джеймс Эллис, инженер Центра правительственной связи Великобритании, бывшей Правительственной школы кодирования и шифрования, заинтересовался, нельзя ли генерировать шум математически. Если да, то в принципе можно создать систему, где это будет результатом не простого добавления сигналов, а математического процесса, который очень трудно обратить, даже если знать, что он собой представляет. Конечно, получатель должен иметь возможность обратить процесс, но этого можно добиться с помощью второго ключа, известного только получателю.

Эллис назвал свою идею «несекретным шифрованием». Сегодня используют термин «криптосистема с открытым ключом». Обе эти фразы означают, что правило для шифрования сообщения можно свободно опубликовать в общедоступных источниках, но без знания второго ключа никто не сможет понять, как обратить эту процедуру и расшифровать сообщение. Оставалась единственная проблема: Эллис не смог разработать подходящий метод шифрования. Он хотел получить то, что сегодня называется функцией с потайным входом: легко вычислить, но трудно обратить (в потайной вход легко провалиться, но трудно выбраться). Как всегда, здесь должен иметься секретный второй ключ, позволяющий законному получателю обратить процесс так же легко, как спрятанная лестница позволяет провалившемуся выбраться.

И тут на сцену выходит Клиффорд Кокс, британский математик, также работавший в Центре правительственной связи. В сентябре 1973 года Кокса неожиданно осенила блестящая идея. Он понял, что мечту Эллиса можно реализовать, создав функцию с потайным входом при помощи простых чисел. С точки зрения математики перемножить два или более простых числа легко. Можно, например, вручную перемножить два 50-значных простых числа, получив при этом 99– или 100-значный результат. Обратная операция – взять 100-значное число и найти его простые делители – намного труднее. Стандартный школьный метод «пробовать все возможные делители по очереди» здесь бесполезен: возможностей слишком много. Кокс придумал функцию, основанную на произведении двух больших простых чисел, то есть на результате их перемножения. Получившийся шифр настолько надежен, что это произведение (но не его простые сомножители) можно не держать в секрете. Для расшифровки необходимо знать эти два простых числа по отдельности, в них и кроется секретный второй ключ. Без этих чисел вы ничего не сможете сделать, знания только их произведения недостаточно. Допустим, я говорю вам, что нашел два простых числа, произведение которых равно

Сможете ли вы найти эти простые числа?{41} По-настоящему быстрый суперкомпьютер сможет это сделать, а вот ноутбук вряд ли. А если взять побольше знаков, то и суперкомпьютер выйдет из игры.

Итак, Кокс, до этого занимавшийся теорией чисел, придумал метод создания функции с потайным входом с помощью пары простых чисел – как он это сделал, я объясню чуть позже, когда мы познакомимся с необходимыми понятиями. Метод был настолько прост, что поначалу Кокс даже не записал его. Позже он изложил идею подробно в отчете для начальства. В то время никто не мог представить, как применить этот метод с тогдашними слабыми компьютерами, поэтому его засекретили. Кроме того, его передали в Агентство национальной безопасности США. Обе организации видели военный потенциал метода, потому что даже при медленных расчетах можно было переслать ключ к какому-то совершенно иному шифру по электронной связи. Это основной способ применения подобных шифров на сегодняшний день как в военных, так и в гражданских целях.

Британские бюрократы не раз не могли разглядеть гигантские перспективы предлагаемых новинок, взять хотя бы пенициллин, реактивный двигатель, ДНК-идентификацию. В данном случае, однако, они могут оправдать свои действия патентным правом: чтобы получить патент, необходимо раскрыть суть изобретения. Как бы то ни было, революционную идею Кокса положили под сукно подобно тому, как в финале фильма «Индиана Джонс: В поисках утраченного ковчега» ящик с ковчегом отправляют на гигантский правительственный склад, до самой крыши забитый одинаковыми ящиками.

Однако в 1977 году появился точно такой же метод, который независимо придумали и быстро опубликовали три американских математика: Рональд Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман. Теперь в их честь эта система называется криптосистемой Ривеста – Шамира – Адлемана (RSA). В конце концов, в 1997 году британские службы безопасности рассекретили работу Кокса, и мы теперь знаем, что именно он первым додумался до этого.

Теория чисел появляется в криптографии сразу же, как только мы понимаем, что любое сообщение может быть представлено числом. Для шифра Цезаря это число есть положение буквы в алфавите, которое математики предпочитают обозначать числами от 0 до 25 (речь, конечно, идет о латинском алфавите), а не от 1 до 26, из соображений алгебраического удобства. Таким образом, A – это 0, B – это 1 и т. д., вплоть до Z = 25. Числа за пределами этого диапазона могут быть приведены к числам внутри него посредством прибавления или вычитания чисел, кратных 26. Это соглашение закольцовывает все 26 букв алфавита, так что после Z мы вновь возвращаемся к A. Тогда шифр Цезаря может быть сведен к простому математическому правилу, более того, к формуле

Обратный процесс выглядит очень похоже:

Именно это делает данный шифр симметричным.

Мы можем изобретать новые шифры, меняя правила, или формулу. Нам нужен лишь простой способ превращения сообщения в число и две формулы: одна для превращения открытого текста в зашифрованный и вторая для его расшифровки. Каждая из формул должна быть обратной по отношению к другой.

Существует множество способов превращать открытый текст в числа. Простой способ состоит в том, чтобы использовать для каждой буквы числа 0–25 и выстраивать эти числа в ряд, добавляя к числам 0–9 нулик, чтобы получилось 00–09. Тогда JULIUS превратится в 092011082018 (не забывайте, A = 00). Возможно, потребуются дополнительные числа для пробела, знаков пунктуации, ну и т. д. Правило, которое превращает одно число в другое, называется теоретико-числовой функцией.

Замыкание чисел в кольцо – стандартный фокус теории чисел, известный как модулярная арифметика. Выберем число – здесь это 26. Теперь представим, что 26 – это все равно что 0, так что из всех чисел вам потребуются только числа от 0 до 25. В 1801 году Карл Фридрих Гаусс в своей знаменитой книге «Арифметические исследования» (Disquisitiones Arithmeticae) указал, что в такой системе можно складывать, вычитать и умножать числа, руководствуясь обычными законами алгебры и не выходя за пределы выбранного диапазона 0–25. Просто производите обычные вычисления с обычными числами, а затем возьмите остаток от деления результата на 26. Так, 23 × 17 = 391, что равно 15 × 26 + 1. Остаток равен 1, поэтому в этом необычном варианте арифметики 23 × 17 = 1.

Эта идея работает и при замене 26 любым другим числом; число это называют модулем, и мы можем подписать (mod 26), чтобы подчеркнуть происходящее. Таким образом, если быть точными, мы вычислили, что 23 × 17 = 1 (mod 26).

Но как насчет деления? Если мы разделим это равенство на 17 и не будем слишком заморачиваться тем, что все это означает, то получим

Таким образом, разделить на 17 – все равно что умножить на 23. Мы теперь можем придумать новое правило шифрования:

обратной формулой к этому будет

Это правило сильно перемешивает алфавит и расставляет буквы в следующем порядке:

Это по-прежнему шифр подстановки на уровне отдельных букв, так что его несложно взломать, но он наглядно показывает, что мы можем менять формулу. Кроме того, он иллюстрирует использование модулярной арифметики – а это ключ к обширным областям теории чисел.

Однако деление может оказаться более хитрым делом. Поскольку 2 × 13 = 26 = 0 (mod 26), мы не можем делить на 13, в противном случае мы бы получили, что 2 = 0/13 = 0 (mod 26), что неверно. То же относится и к делению на 2. Общее правило таково, что мы можем делить на любое число, не имеющее общих простых делителей с модулем. Поэтому 0 исключается, но это не удивительно: на 0 нельзя делить и обычные целые числа. Если модулем является простое число, мы можем делить на любое число меньше модуля, за исключением 0.

Преимущество модульной арифметики заключается в том, что она придает списку открытых «слов» алгебраическую структуру. Это открывает широкий спектр правил для преобразования открытого текста в зашифрованный и обратно. Кокс, а позже Ривест, Шамир и Адлеман просто выбрали очень умное правило.

Шифровать сообщение по одной букве, используя для каждой буквы всегда одинаковое численное обозначение, не слишком надежно: каким бы ни было правило, шифр все равно остается шифром подстановки. Но если поделить сообщение на блоки длиной, скажем, букв по 10, а сегодня скорее по 100, и превратить каждый блок в число, то мы получим шифр подстановки по блокам. Если взять достаточно длинные блоки, то легко различимой закономерности в частоте их встречаемости не будет, так что расшифровать текст путем наблюдения за тем, какие числа встречаются чаще других, не удастся.

Кокс и Ривест – Шамир – Адлеман выводили свои правила из красивой теоремы, открытой Ферма в 1640 году, которая показывает, как ведут себя степени чисел в модулярной арифметике. Говоря современным языком, Ферма рассказал своему другу де Бесси, что если n – простое число, то

для любого числа a. «Я продемонстрировал бы тебе это, если бы не боялся, что получится слишком длинно», – писал Ферма. Эйлер получил недостающее доказательство в 1736 году, а в 1763 году он опубликовал более общую теорему, которая применима, если модуль не является простым числом. Теперь a и n не должны иметь общий делитель, а степень n – 1 во втором варианте формулы заменена на функцию Эйлера φ(n). Нам нет нужды знать, что это такое{42}, но необходимо понимать, что если n = pq есть произведение двух простых чисел p и q, то φ(n) = (p – 1)(q – 1).

Криптосистема RSA действует следующим образом:

• Найдите два больших простых числа p и q.

• Вычислите произведение n = pq.

• Вычислите φ(n) = (p – 1)(q – 1). Держите это в секрете.

• Выберите число e, не имеющее общих простых делителей с φ(n).

• Вычислите d так, чтобы de = 1 (mod φ(n)).

• Число e можно раскрыть. (Кстати говоря, это дает очень мало полезной информации о φ(n).)

• Сохраните d в секрете. (Это принципиально важно.)

• Пусть r – текстовое сообщение, зашифрованное как число по модулю n.

• Конвертируйте r в зашифрованный текст r^e (mod n). (Правило шифрования также можно раскрыть.)

• Чтобы расшифровать r^e, следует возвести его в степень d (mod n). (Не забываем, что d секретно.) Это дает (r^e)^d, что равно r^ed, что равно r по теореме Эйлера.

Здесь правило шифрования звучит как «возвести в e-ю степень»:

а правило расшифровки как «возвести в d-ю степень»:

Кое-какие математические фокусы, в которые я не буду вдаваться, дают возможность производить все эти действия быстро (на современных компьютерах) при условии, что вам известны p и q по отдельности. Самое неприятное – то, что если они вам неизвестны, то знание n и e не сильно помогает в вычислении d, необходимого для расшифровки сообщения. По существу, вам нужно найти простые делители p и q числа n, что, как мы видели (судя по всему), намного труднее, чем перемножить p и q и найти таким образом n.

Иными словами, «возведение в степень e» и есть требуемая функция с потайным входом.

В настоящее время все вышеописанное может быть проделано за минуту или около того на обычном ноутбуке для, скажем, 100-значных простых чисел p и q. Одна из приятных особенностей системы RSA состоит в том, что по мере того, как компьютеры становятся более мощными, достаточно всего лишь увеличивать p и q. Метод по-прежнему будет работать.

Один из недостатков системы – то, что RSA, будучи полностью реализуемой и практичной, все же слишком медленна, чтобы рутинно использовать ее для шифрования полного текста каждого сообщения. Основное ее реальное применение – это безопасная передача секретного ключа для какой-то совершенно иной системы шифрования, гораздо более быстрой в использовании и надежной при условии, что ключ никому не известен. Так что RSA решает проблему раздачи ключей, которая мучила криптографию с начала времен. Одним из факторов, позволивших расшифровать код Enigma, было то, что определенные установки машины Enigma передавались операторам в начале каждого дня небезопасным способом. Еще одно распространенное применение системы RSA – проверка электронной подписи, то есть шифрованного сообщения, устанавливающего личность отправителя.

Начальник Кокса Ральф Бенджамин, научный руководитель, главный инженер и директор Центра правительственной связи, прекрасно знал свое дело и сразу обратил внимание на эту возможность. Он написал в рапорте: «Я считаю ее очень важной для военного применения. В быстро меняющейся военной ситуации можно встретить непредвиденные угрозы или возможности. Тот, кто может раздавать свой ключ быстро при помощи электронных средств связи, получает серьезное преимущество перед противником». Но компьютеры тех времен не могли выполнить эту задачу, и британское правительство упустило, как позже оказалось, громадные возможности.

Математические методы редко оказываются пригодными для решения практических задач, что называется, в готовом виде. Как и все остальное, их, как правило, приходится адаптировать и приспосабливать, чтобы преодолеть возникающие трудности. Это относится и к системе RSA: она все же не так проста, как я здесь описал. На самом деле, стоит прекратить восхищаться идеей и задуматься, что может пойти не так, как на поверхность вылезает множество интереснейших теоретических вопросов для математиков.

Несложно показать, что вычислить φ(n), не зная его простых множителей p и q, так же трудно, как и найти сами p и q. Мало того, их нахождение представляется единственным способом сделать это. Так что главный вопрос состоит в следующем: насколько трудна факторизация, то есть разложение на простые сомножители? Большинство математиков считает эту задачу чрезвычайно трудной в техническом смысле: время выполнения любого алгоритма разложения на простые множители с ростом числа знаков в произведении pq растет взрывным образом. (Кстати говоря, причина использования именно двух простых чисел, а, скажем, не трех, кроется в наибольшей сложности этого варианта. Чем больше простых сомножителей имеет число, тем проще найти один из них. Разделите на него, и число станет заметно меньше, а найти остальные сомножители будет проще.) Однако никто в настоящее время не может доказать, что разложение на простые множители – трудная задача. Никто не знает, с какой стороны подойти к поиску такого доказательства. Так что надежность метода RSA зиждется на недоказанной гипотезе.

Остальные вопросы и подводные камни касаются тонкостей метода. Неудачный выбор используемых чисел может сделать RSA уязвимой для особенно хитроумных атак. Например, если e слишком мало, то мы можем определить сообщение r, вычислив корень e-й степени из зашифрованного текста r^e как из обычного числа, то есть не по модулю n. Еще одна потенциальная уязвимость возникает, если одно и то же сообщение рассылается e получателям с использованием одной и той же степени e, даже если p и q для каждого из них свои. В этом случае может быть применено красивое утверждение, известное как китайская теорема об остатках, которое позволит раскрыть текст сообщения.

Говорят также, что метод RSA семантически небезопасен. Это означает, что, в принципе, он может быть взломан, если зашифровать с его помощью множество разных сообщений и попытаться сопоставить полученные результаты с шифрованным текстом, который нужно взломать. По существу, это метод проб и ошибок. Для длинных сообщений это, возможно, непрактично, но если рассылается множество коротких посланий, то такой метод дешифровки может сработать. Чтобы избежать этого, RSA модифицируют добавлением к сообщению лишних цифр по какой-то конкретной, но случайной схеме. Это делает текст длиннее и позволяет избежать многократной отправки одного и того же сообщения.

Еще при одном методе взлома шифров RSA используется не математический недостаток метода, а физическая особенность компьютера. В 1995 году криптограф и предприниматель Пол Кохер заметил, что если криптоаналитик хорошо знает используемое оборудование и может измерить, сколько времени уходит на дешифровку нескольких сообщений, то он может легко установить секретный ключ d. В 2003 году Дэн Боне и Дэвид Брамли продемонстрировали практический вариант такой атаки на примере сообщений, отправленных по традиционной сети с использованием стандартного протокола SSL (Secure Sockets Layer).

Существование математических методов, которые иногда способны очень быстро разложить на простые множители большое число, подразумевает, что простые числа p и q должны выбираться так, чтобы они удовлетворяли некоторым ограничениям. Они не должны быть слишком близкими, иначе можно будет применить известный метод, восходящий еще к Ферма. В 2012 году группа под руководством Арьена Ленстры опробовала этот метод на миллионах открытых ключей, извлеченных из интернета, и смогла взломать каждый 500-й из них.

Очень серьезно изменило бы ситуацию появление реального рабочего квантового компьютера. Эти машины, не вышедшие еще из младенческого состояния, вместо обычных двоичных цифр 0 и 1 используют квантовые биты и в принципе могут производить гигантские расчеты, такие как разложение на простые множители громадных чисел, с беспрецедентной скоростью. Я немного отложу рассказ о них.

Система RSA лишь один из множества шифров, основанных на теории чисел или ее близком родиче, комбинаторике, то есть методе подсчета числа способов, посредством которых может быть получена определенная комбинация, без перечисления всех этих способов. Если хотите убедиться в том, что математический источник идей в сфере криптографии еще не пересох, то посмотрите на альтернативную систему шифрования, которая использует одну из наиболее глубоких и интересных областей сегодняшней теории чисел. Эта область исследует эллиптические кривые, которые, наряду с другими вещами, стали основой для доказательства Великой теоремы Ферма, предложенного Эндрю Уайлсом.

Со времен Ферма теория чисел серьезно продвинулась вперед. То же произошло и с алгеброй, где акцент сместился с символьного представления неизвестных чисел на общие свойства символьных систем, определяемых конкретными правилами. Эти две области исследований в значительной мере перекрываются. Кое-какие интереснейшие идеи о тайных шифрах появились на стыке двух специальных разделов алгебры и теории чисел: конечных полей и эллиптических кривых. Чтобы понять, о чем идет речь, для начала нужно разобраться, что это такое.

Мы видели, что в арифметике по некоторому модулю можно складывать, вычитать и умножать «числа», подчиняясь при этом обычным алгебраическим правилам. Чтобы не отвлекаться, я не стал перечислять эти правила, но типичными их примерами могут служить переместительный (коммутативный) ab = ba и сочетательный (ассоциативный) (ab)c = a(bc) законы умножения. Аналогичные законы существуют и для сложения. Распределительный (дистрибутивный) закон a(b + c) = ab + ac тоже выполняется, и есть еще простые правила относительно 0 и 1, такие как 0 + a = a и 1a = a. Любая система, в которой выполняются эти законы, называется кольцом. Если в системе возможно также деление (кроме деления на 0) и стандартные правила выполняются, мы получаем поле. Эти названия традиционны, заимствованы из немецкого и означают просто «некий набор вещей, подчиняющихся обозначенным правилам». Целые числа по модулю 26 образуют кольцо, известное как Z₂₆. Мы видели, что там есть проблемы с делением на 2 и 13, так что это не поле. Я сказал (не поясняя почему), что целые числа по простому модулю не имеют подобных проблем, так что Z₂, Z₃, Z₅, Z₇ и т. д. – целые числа по модулю 2, 3, 5, 7 и т. д. – все являются полями.

Обычные целые числа продолжаются до бесконечности и образуют бесконечное множество. Такие системы, как Z₂₆ и Z₇, напротив, конечны. Первая из них включает в себя только числа 0–25, а вторая – числа 0–6. Первая представляет собой конечное кольцо, вторая – конечное поле. Конечные числовые системы, если они не слишком велики, очень хорошо подходят для компьютерных вычислений, потому что те могут проводиться точно. Поэтому неудивительно, что на основе конечных полей построено множество различных кодов. Это не только криптографические шифры, которые должны обеспечивать секретность, но и коды распознавания и коррекции ошибок, задача которых – обеспечить прием сообщений без ошибок, возникающих из-за случайного «шума», такого как электрические помехи. Этими вопросами занимается целая новая область математики – теория кодирования.

Простейшими конечными полями являются Z_p, целые числа по простому модулю p. Тот факт, что они образуют поле, был известен (хотя и не в такой формулировке) Ферма. Французский революционер Эварист Галуа, убитый на дуэли в 20-летнем возрасте, доказал, что это не единственные существующие конечные поля. Он нашел их все: существует одно конечное поле для каждой простой степени pⁿ, и содержит оно ровно pⁿ различных «чисел». (Предупреждение: если n больше 1, это поле не является полем целых чисел по модулю pⁿ.) Таким образом, существуют конечные поля с 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, … элементами, но не с 1, 6, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, … элементами. Очень любопытная теорема.

Эллиптические кривые (с эллипсами они связаны лишь очень опосредованно) зародились в другой области – в классической теории чисел. Около 250 года древнегреческий математик Диофант Александрийский написал трактат о решении алгебраических уравнений с использованием натуральных (или рациональных) чисел. Например, знаменитый треугольник 3–4–5 имеет прямой угол, спасибо Пифагору, потому что 3² + 4² = 5². Следовательно, эти числа являются решением Пифагорова уравнения x² + y² = z². Одна из теорем Диофанта показывает, как найти все решения этого уравнения в долях и, в частности, в натуральных числах. Область в целом, где речь идет о решении уравнений в рациональных числах, получила известность как диофантовы уравнения. Ограничение до рациональных чисел меняет правила игры; например, x² = 2 может быть решено в действительных числах, но не в рациональных.

Одна из задач Диофанта звучит так: «Разделить заданное число на два числа, произведение которых равно кубу за вычетом его стороны». Если первоначальное число равно a, мы можем разбить его на Y и a – Y, и тогда нам потребуется решить уравнение

Диофант исследовал случай, когда a = 6. Подходящая замена переменных (вычесть 9, заменить Y на y + 3, а X на – x) превращает это уравнение в

Отсюда он вывел решение X = 17/9, Y = 26/27.

Чтобы «сложить» две точки P и Q на эллиптической кривой, соедините их прямой, которая пересечет кривую в третьей точке P*Q. Затем постройте точку, симметричную данной относительно оси x, это и будет P + Q

Интересно, что аналогичные уравнения появились в геометрии, когда математики попытались использовать аналитический метод (продвинутый вариант дифференциального и интегрального исчисления) для расчета длины дуги сегмента эллипса. Именно отсюда берет начало термин «эллиптическая кривая». Ученые знали, как найти ответ на аналогичный вопрос для окружности с использованием интегрального исчисления, так что задача сводилась к нахождению интеграла функции, в которой присутствовал квадратный корень из квадратного многочлена, а это можно сделать при помощи (обратных) тригонометрических функций. Этот же метод в применении к эллипсу дает интеграл функции, в которой присутствует квадратный корень из кубического многочлена, и после нескольких бесплодных экспериментов стало ясно, что необходим какой-то новый класс функций. Эти функции оказались довольно красивыми, хотя и сложными и получили наименование эллиптических функций из-за их связи с длиной дуги эллипса. Квадратный корень из кубического многочлена есть решение y уравнения

y² = x³ + ax + b

(любое слагаемое с x² может быть превращено в 0 при помощи эквивалентных преобразований). В координатной геометрии это уравнение определяет кривую на плоскости, так что такие кривые (и их алгебраический вариант в виде уравнения) стали называть эллиптическими кривыми.

Если коэффициенты целые, мы можем рассмотреть данное уравнение в модулярной арифметике, скажем в Z₇. Каждое решение в обычных целых числах приведет нас к решению в арифметике по модулю 7. Поскольку эта система конечна, можно воспользоваться методом проб и ошибок. Для диофантова уравнения y² = x³ – x + 9 мы быстро обнаруживаем все его решения (mod 7):

Из этих решений можно сделать вывод, обязательный для любого решения в обычных целых числах: по модулю 7 любое решение должно сводиться к одному из этих шести. То же относится и к рациональным решениям при условии, что знаменатель у них не кратен 7 – такие решения запрещены, поскольку в Z₇ такой знаменатель превращается в 0. Если заменить 7 на какое-нибудь другое число, то можно получить больше информации о форме любого рационального решения.

Теперь мы смотрим на эллиптические кривые – уравнения – через призму конечных колец и полей. Геометрический образ кривой здесь, по существу, неприменим, поскольку имеется всего лишь конечное множество точек, но нам удобно пользоваться прежним названием. На рисунке показана типичная фигура и ее дополнительное свойство, известное еще Ферма и Эйлеру и интриговавшее математиков в начале XX века. Имея два решения, можно «сложить» их, чтобы получить еще одно решение, как показано на рисунке. Если решения – рациональные числа, то рациональным числом будет и их сумма. Это не просто «купи два, получи третье бесплатно», а «купи два, получи бесплатно уйму всего», потому что операцию и построение можно повторить. Иногда это вновь приводит нас в одну из начальных точек, но в основном подобные действия генерируют бесконечно много различных решений. Мало того, эти решения имеют красивую алгебраическую структуру: они образуют группу Морделла – Вейля эллиптической кривой. Луис Морделл доказал ее основные свойства, а Андре Вейль обобщил их. Слово «группа» здесь означает, что дополнение подчиняется короткому списку простых правил. Эта группа коммутативна, то есть P + Q = Q + P, что очевидно из рисунка, поскольку прямая, проведенная через P и Q, совпадает с прямой, проведенной через Q и P. Существование такой групповой структуры – явление необычное, и большинство диофантовых уравнений не может этим похвастаться. Многие из них вовсе не имеют решений, некоторые имеют всего по несколько, и трудно предсказать, какое именно уравнение находится перед вами. В настоящее время эллиптические кривые находятся в центре интенсивных исследований – по этой и другим причинам. Доказывая Великую теорему Ферма, Эндрю Уайлс доказал глубокую гипотезу об эллиптических кривых, которая стала одним из ключевых этапов доказательства.

* * *

Групповая структура эллиптической кривой интересует и криптографов. Обычно она рассматривается как форма «дополнения» к решениям, хотя формула там намного сложнее, потому что она коммутативна, и символ + стал традиционным в теории коммутативных групп. В частности, если есть решение (x, y), которое можно рассматривать как точку на плоскости, то мы можем генерировать решения P + P, P + P + P и т. д. Естественно называть такие решения 2P, 3P и т. д.

В 1985 году Нил Коблиц и Виктор Миллер независимо друг от друга поняли, что можно применить этот групповой закон к эллиптической кривой, чтобы получить шифр. Идея в том, чтобы работать в конечном поле с большим числом элементов. Чтобы зашифровать P, мы получаем kP для очень большого целого числа k, что несложно сделать при помощи компьютера, и называем результат Q. Чтобы обратить этот процесс, мы должны начать с Q и найти P – по существу, разделить Q на k. Из-за сложности групповой формулы обратный расчет очень труден, так что мы придумали новый тип «односторонней» функции с потайным входом, а следовательно, новую криптосистему с открытым ключом. Этот подход известен как шифрование на основе эллиптических кривых, или ECC (Elliptic Curve Cryptography). Точно так же, как RSA может применяться с использованием множества разных простых чисел, ECC может применяться с использованием множества разных эллиптических кривых над множеством разных конечных полей, с разным выбором P и множителя k. Здесь опять же имеется секретный ключ, который позволяет выполнить быструю расшифровку.

Преимущество этой системы в том, что относительно небольшая группа дает шифр, соответствующий по надежности шифру RSA, основанному на значительно больших простых числах. Так что шифр на основе эллиптических кривых более эффективен. Шифровать сообщение и расшифровывать его – при условии, что вам известен секретный ключ, – тоже оказывается быстрее и проще. Взломать шифр, если ключ вам неизвестен, трудно. В 2005 году Агентство национальной безопасности США рекомендовало перенести исследования по криптографии с открытыми ключами в новую область эллиптических кривых.

Как и в случае RSA, не существует строгого доказательства надежности системы ECC. Диапазон возможных атак аналогичен диапазону атак, осуществляемых в отношении RSA.

В настоящее время наблюдается серьезный интерес к криптовалютам, которые представляют собой финансовые системы, не контролируемые традиционными банками, хотя банки тоже начинают интересоваться ими. Банки – они такие: всегда начеку, всегда в поисках новых способов делать деньги. Самая известная криптовалюта – биткоин. Надежность биткоинов обеспечивается таким методом, как блокчейн, который представляет собой шифрованную запись всех транзакций с участием конкретной «монеты» (coin). Новые биткоины появляются в результате майнинга, который, по существу, означает выполнение громадного количества бессмысленных в остальном вычислений. Майнинг биткоинов потребляет значительное количество электроэнергии без какой бы то ни было полезной цели, за исключением обогащения нескольких индивидов. В Исландии, где электричество очень дешево благодаря геотермальным электростанциям, на майнинг биткоинов уходит больше электричества, чем используют все домохозяйства страны, вместе взятые. Вряд ли эта деятельность помогает бороться с глобальным потеплением и климатическим кризисом, но дело обстоит именно так.

Биткоин и многие другие криптовалюты используют одну и ту же эллиптическую кривую под заковыристым названием secp256k1. Ее уравнение, y² = x³ + 7, запоминается гораздо легче, и это кажется главной причиной ее выбора. Шифрование через secp256k1 основано на одной из точек на этой кривой, заданной координатами

x = 55066263022277343669578718895168534326250603453777594175500187360389116729240;

y = 326705100207588169780830851305070431844712733806592439243275938904335757337482424.

Это наглядно показывает, какие гигантские целые числа задействованы в практических реализациях ECC.

* * *

Я уже несколько раз говорил, что надежность системы RSA зиждется на недоказанном предположении о трудоемкости разложения числа на простые множители. Даже если это предположение верно, – а очень похоже, что это действительно так, – не исключено существование и других способов дискредитации надежности шифра (то же самое можно сказать обо всех классических схемах шифрования с открытым ключом). В их числе – появление компьютера, работающего намного быстрее нынешних. Сегодня эта новая угроза безопасности связи уже маячит на горизонте: речь идет о квантовом компьютере.

Классическая физическая система имеет конкретное состояние. Монета на столе может лежать орлом или решкой кверху. Выключатель либо включен, либо выключен. Двоичная цифра (или бит) в памяти компьютера равна либо 0, либо 1. Квантовая система не такова. Квантовый объект – это волна, а волны могут накладываться одна на другую, что на формальном языке называется суперпозицией. Состояние суперпозиции – это смесь состояний компонентов. Знаменитый (мало того, печально знаменитый) кот Шрёдингера может служить ярким примером: при помощи хитроумного устройства с радиоактивным атомом и ампулой ядовитого газа в сочетании с котом в непроницаемом ящике можно добиться того, что квантовое состояние несчастного животного будет суперпозицией состояний «жив» и «мертв». Классический кот должен находиться в одном из этих состояний, а квантовый может находиться в обоих одновременно.

Пока вы не откроете ящик.

Тогда волновая функция кота схлопывается, или коллапсирует, в одно из классических состояний. Кот либо жив, либо мертв. Любопытство (вы же открыли ящик) губит кота. Или не губит.

Я не хочу углубляться в неоднозначные и часто весьма жаркие споры о том, действительно ли квантовые состояния сработали бы подобным образом в случае представителя кошачьего племени{43}. Для нас важно лишь, что математическая физика прекрасно работает для более простых объектов, которые уже используются для создания рудиментарных квантовых компьютеров. Вместо бита, который может быть равен 0 или 1, там мы имеем кубит, который равен 0 и 1 одновременно. Классический компьютер, который может стоять у вас или у меня на столе, лежать в сумке или в кармане, работает с информацией, представленной в виде последовательности нулей и единиц. Он даже использует для этого квантовые эффекты – настолько мал масштаб электронных схем в сегодняшних компьютерах, но суть в том, что все вычисления соответствуют классической физике. При конструировании классических компьютеров инженеры очень стараются сделать так, чтобы нуль всегда оставался нулем, а единица – единицей и чтобы они никогда не встречались. Классический кот может быть либо жив, либо мертв. Так что регистр из (скажем) восьми бит может хранить в себе единственную последовательность вида 01101101 или 10000110.

В квантовом компьютере происходит в точности противоположное. Регистр из восьми кубитов может хранить оба эти варианта одновременно, наряду с остальными 254 возможными 8-битовыми последовательностями. Более того, он может производить арифметические действия со всеми 256 возможными вариантами одновременно. Это как если бы у вас было 256 компьютеров вместо одного. Чем длиннее последовательности, тем сильнее растет число возможностей: 100-битный регистр может содержать единственную последовательность из 100 бит, а 100-кубитный регистр может хранить все 10³⁰ возможных 100-битных последовательностей и при этом манипулировать ими. Это и есть «параллельная обработка данных» в крупном масштабе, и именно это так волнует и восхищает многих в квантовых компьютерах. Вместо того чтобы производить 10³⁰ операций по очереди, одну за другой, вы производите их все разом.

В принципе.

В 1980-е годы Пол Бениофф предложил квантовую модель машины Тьюринга – теоретической основы классических вычислений. Вскоре после этого физик Ричард Фейнман и математик Юрий Манин указали, что квантовый компьютер будет способен производить громадное количество вычислений параллельно. Серьезный прорыв в теории квантового компьютера произошел в 1994 году, когда Питер Шор придумал очень быстрый квантовый алгоритм для разложения больших чисел на простые множители. Из этого следует, что криптосистема RSA потенциально уязвима для атак противника, использующего квантовый компьютер, но, что еще важнее, квантовый алгоритм может серьезно превзойти алгоритм классический в решении осмысленной, неискусственной задачи.

На практике на пути к созданию квантового компьютера нас ждут просто громадные препятствия. Крохотные возмущения от внешних источников или даже просто тепловые колебания молекул вызывают декогеренцию, то есть разрушение состояния суперпозиции, причем очень быстрое. Для смягчения этой проблемы машину в настоящее время приходится охлаждать до температуры, очень близкой к абсолютному нулю (–273 ℃), что требует использования гелия-3 – редкого побочного продукта ядерных реакций. Но даже это не может предотвратить декогеренцию, а лишь замедляет ее. Так что каждое вычисление приходится дополнять системой коррекции ошибок, которая замечает нарушения, вызванные помехами от внешних источников, и возвращает кубиты в то состояние, в котором они должны находиться. Квантовая пороговая теорема утверждает, что такой метод работает при условии, что система способна исправлять ошибки быстрее, чем декогеренция их вызывает. По приблизительной оценке, вероятность ошибки для каждого логического ключа не должна превышать одну тысячную.

Коррекция ошибок имеет свою цену: она требует больше кубитов. Например, чтобы разложить на простые множители число, которое может храниться в n кубитах с использованием алгоритма Шора, на процесс вычисления требуется время, примерно пропорциональное чему-то промежуточному между n и n². С учетом коррекции ошибок, совершенно необходимой на практике, время становится более похожим на n³. Для 1000-кубитного числа коррекция ошибок увеличивает время расчета в тысячу раз.

До последнего времени никому не удавалось построить квантовый компьютер больше чем с несколькими кубитами. В 1998 году Джонатан Джонс и Мишель Моска использовали 2-кубитное устройство для решения задачи Дойча, которая сформулирована в работе Дэвида Дойча и Ричарда Джоза 1992 года. Это квантовый алгоритм, работающий экспоненциально быстрее любого традиционного алгоритма, он всегда дает ответ, и этот ответ всегда верен. Решает он следующую задачу. Нам дано гипотетическое устройство (оракул), которое реализует булеву функцию, превращающую любую n-значную битовую строку в 0 или в 1. Математически оракул и есть эта функция. Нам также сообщили, что эта булева функция принимает значение либо 0 всюду, либо 1 всюду, либо 0 ровно на половине битовых строк и 1 на другой половине. Задача – определить, какой из этих трех вариантов имеет место, применяя функцию к битовым строкам и наблюдая результат. Задача Дойча носит намеренно искусственный характер и представляет собой скорее доказательство концепции, нежели что-то практическое. Ее достоинство в том, что она представляет собой конкретную задачу, при решении которой квантовый алгоритм доказуемо превосходит любой традиционный. Строго говоря, она доказывает, что класс сложности EQP (точные решения за полиномиальное время на квантовом компьютере) отличается от класса P (точные решения за полиномиальное время на традиционном компьютере).

В том же 1998 году появилась и 3-кубитная машина, а в 2000 году – машины с 5 и 7 кубитами. В 2001 году Ливен Вандерсипен с коллегами{44} реализовал алгоритм Шора, используя в качестве квантовых битов семь ядер со спином 1/2 в специально синтезированной молекуле. Этими ядрами можно было манипулировать при комнатной температуре с помощью методов управления ядерным магнитным резонансом неустойчивых состояний. Ученым удалось найти простые делители целого числа 15. Большинство из нас может проделать эту операцию в уме, но это стало важным доказательством концепции. К 2006 году исследователи увеличили число кубитов до 12, а в 2007 году компания D-Wave сообщала даже про 28 кубитов.

* * *

Пока все это происходило, исследователи смогли сильно увеличить промежуток времени, в течение которого можно поддерживать квантовое состояние, прежде чем оно декогерирует. В 2008 году один кубит удалось сохранить в атомном ядре больше секунды. К 2015 году время жизни кубита составляло уже шесть часов. Сравнивать эти промежутки времени трудно, потому что в разных устройствах использовались разные квантовые методы, но прогресс в любом случае был впечатляющим. В 2011 году D-Wave объявила, что создала коммерчески доступный квантовый компьютер D-Wave One со 128-кубитным процессором. В 2015 году D-Wave утверждала, что преодолела рубеж в 1000 кубитов.

Первой реакцией на заявления D-Wave было недоверие. Архитектура устройства была необычной, и у некоторых возникли вопросы: действительно ли это настоящий квантовый компьютер, а не навороченный классический компьютер, использующий околоквантовое оборудование. Во время испытаний он превосходил стандартные классические компьютеры на полезных задачах, но при этом был специально сконструирован для таких задач, тогда как классические компьютеры, с которыми он состязался, – нет. Его преимущества, казалось, исчезали, если классические компьютеры специально конструировались для соответствующих задач. Споры продолжаются до сих пор, но машины D-Wave используются и неплохо работают.

Ключевой целью исследований является квантовое превосходство: создание квантового устройства, которое превосходит по производительности лучшие классические компьютеры по крайней мере на одном расчете. В 2019 году команда Google AI опубликовала статью в Nature под заголовком «Квантовое превосходство с использованием программируемого сверхпроводящего процессора»{45}. Она объявила, что создала квантовый процессор под названием Sycamore с 54 кубитами, но один из них отказал, что снизило их количество до 53. С его помощью за 200 секунд решили задачу, на решение которой у классического компьютера ушло бы 10 000 лет.

Архитектура квантового процессора Sycamore

Это заявление сразу же было поставлено под сомнение по двум причинам. С одной стороны, этот расчет предположительно мог быть выполнен классической машиной за более короткое время. С другой, Sycamore решал довольно надуманную задачу: получение выборки выходных последовательностей псевдослучайной квантовой схемы. Устройство соединяет компоненты схемы случайным образом, а цель всего этого – рассчитать распределение вероятностей выборки возможных выходных последовательностей. Одни выходные последовательности оказываются гораздо более вероятными, чем другие, так что это распределение получается очень сложным и неоднородным. Время классического расчета с ростом числа кубитов увеличивается экспоненциально. Тем не менее команде ученых удалось достичь своей главной цели: показать, что не существует практических препятствий для создания квантового компьютера, способного превзойти классический в чем-нибудь.

Сразу возникает вопрос: как удостовериться в том, что ответ верен? Ведь невозможно ждать 10 000 лет, пока классический компьютер решит задачу, и нельзя просто верить результату без всякой проверки. Исследователи справились с этой проблемой при помощи метода, известного как сравнительный анализ с перекрестной энтропией. Он предполагает сравнение вероятностей конкретных битовых строк с теоретическими вероятностями, рассчитанными на классическом компьютере. Это позволяет оценить, насколько велика вероятность того, что полученный результат верен. Исследователи пришли к выводу, что результат точен с погрешностью до 0,2 % с очень высокой («пять сигм») вероятностью.

Несмотря на прогресс, большинство экспертов уверены, что до практической реализации идеи квантового компьютера нам еще далеко. Некоторые сомневаются даже, что его вообще можно создать. Физик Михаил Дьяконов написал:

Число непрерывных параметров, описывающих состояние столь полезного квантового компьютера в любой момент, должно быть… около 10³⁰⁰. ‹…› Можем ли мы когда-нибудь научиться контролировать эти более чем 10³⁰⁰ непрерывно меняющихся параметров, определяющих квантовое состояние такой системы? Мой ответ прост. Нет, никогда.

* * *

Возможно, Дьяконов и прав, но другие с ним не согласны. Так или иначе, даже призрачная возможность того, что кто-то – скорее всего, многочисленная группа исследователей, финансируемая правительством или крупной корпорацией, – справится с созданием квантового компьютера, заставляет службы безопасности многих стран и финансовых институтов видеть ночные кошмары. Недруги тогда смогут расшифровать секретные сообщения, а преступники – разрушить систему интернет-торговли и банкинга. Поэтому теоретики ломают головы над тем, как могла бы выглядеть криптография в постквантовом мире, и пытаются сыграть на опережение и обеспечить безопасность коммуникаций.

К счастью, то, что квантовый компьютер может взломать, он же может сделать нераскрываемым. Для этого потребуются новые криптографические методы, использующие квантовые расчеты для создания шифров, которые не сможет взломать даже квантовый компьютер. Это потребует нового взгляда на математику, лежащую в основе вычислений. Как ни странно, в значительной мере это все та же теория чисел, хотя и более современная, чем у Ферма.

Теоретически неминуемое наступление квантовых компьютеров породило волну исследований, нацеленных на создание методов шифрования, которые не могут быть взломаны квантовым компьютером. Не так давно Национальный институт стандартов и технологии США запустил программу постквантовой криптографии с целью идентификации классических криптосистем, находящихся в зоне риска, и поиска новых способов борьбы с их уязвимостями. В 2003 году Джон Прус и Кристоф Залка{46} оценили уязвимость системы RSA и криптографии на основе эллиптических кривых для квантового компьютера, работающего по алгоритму Шора. В 2017 году Мартин Реттелер с коллегами{47} дополнил их результаты. Исследователи доказали, что в случае эллиптической кривой над конечным полем с q элементами, где q примерно равно 2ⁿ, RSA уязвима для квантового компьютера с числом кубитов 9n + 2 log₂n +10 и схемы из не более чем 448n³ log₂n +4090n³ вентилей Тоффоли. Вентиль Тоффоли – особый тип логической схемы. Из вентилей Тоффоли можно строить схемы, выполняющие любую логическую функцию. Более того, эта схема обратима: зная выходные данные, можно, пройдя по ней в обратном направлении, вычислить вход. В настоящее время стандартом для RSA является использование числа из 2048 бит, то есть около 616 десятичных знаков. По оценке этой команды исследователей, 2048-битная RSA будет уязвима для квантового компьютера с n = 256, а шифрование на основе эллиптической кривой – для квантового компьютера с n = 384.

Распознавать уязвимости – это, конечно, замечательно, но главный вопрос в том, что следует делать для защиты. Решение этой задачи требует совершенно новых криптографических методов. Общая идея их та же, что всегда: метод шифрования должен основываться на трудных математических задачах с возможностью какого-нибудь простого обхода. Но теперь «трудный» означает «трудный для квантового компьютера». В настоящий момент обнаружено четыре основных класса задач такого рода:

• Случайные линейные шифры с коррекцией ошибок.

• Решение систем нелинейных уравнений над большими конечными полями.

• Нахождение коротких векторов в многомерных решетках.

• Нахождение маршрутов между случайными вершинами псевдослучайного графа.

Рассмотрим кратко четвертый из этих вариантов, где задействованы новейшие идеи и очень продвинутая математика.

Для практических целей возьмем граф, который имеет около 10⁷⁵ вершин и соответственно большое число ребер. Шифр зависит от нахождения пути через этот граф между двумя конкретными вершинами. Это одна из разновидностей задачи коммивояжера, имеющая сопоставимую с ней трудность. Чтобы создать в решении этой задачи обходной путь, граф должен иметь скрытую структуру, которая делает решение простым. Центральная идея состоит в использовании так называемых суперсингулярных изогенных графов, или SIG. Они образуются с использованием эллиптических кривых, которые называют суперсингулярными. Вершины такого графа соответствуют всем суперсингулярным эллиптическим кривым над алгебраическим замыканием конечного поля с p элементами. Существует примерно p/12 таких кривых.

Изогения между двумя эллиптическими кривыми – это полиномиальное отображение одной из них на другую, сохраняющее структуру группы Морделла – Вейля. Мы используем изогении для определения ребер графа. Для этого следует взять второе простое число q. Ребра этого графа соответствуют изогениям q-й степени между двумя эллиптическими кривыми, соответствующими концам данного ребра. Из каждой вершины исходит ровно q + 1 ребер. Такие графы называются экспандерами, или расширяющими, это означает, что случайные пути, начинающиеся в любой вершине, быстро расходятся после их начала, по крайней мере на протяжении большого числа шагов.

Граф-экспандер может быть использован для создания функции хеширования – булевой функции, формирующей из n-битных строк m-битные, где m много меньше n. Алиса может использовать хеш-функцию, чтобы убедить Боба, что она знает конкретную n-битную строку, известную также и Бобу, не раскрывая самой строки. Для этого она формирует намного более короткую хеш-функцию этой строки и отправляет ее Бобу. Боб вычисляет хеш-функцию своей строки и сравнивает.

Для того чтобы этот метод надежно работал, необходимо выполнить два условия. Одно из них – это условие потайного входа, известное как стойкость к восстановлению прообраза: с вычислительной точки зрения невозможно обратить хеш-функцию и найти n-битную строку, которая дает данный хеш. В общем случае таких строк существует множество, но дело в том, что на практике невозможно найти ни одной. Второе условие – стойкость функции хеширования к коллизиям. Это означает, что с вычислительной точки зрения невозможно найти две разные n-битные строки с одним и тем же m-битным хешем. Раз так, то даже если Ева – любительница подслушивать (или устройство перехвата сообщений) – сумеет подслушать разговор, то хеш, который Алиса пересылает Бобу, не поможет ей разобраться, что представляла собой первоначальная n-битная строка.

Если у нас имеется два простых числа p и q, удовлетворяющие дополнительным формальным условиям, мы можем воспользоваться этой идеей, построив соответствующий SIG, а затем использовать его свойства экспандера, чтобы определить стойкую как к восстановлению прообраза, так и к коллизиям функцию хеширования. Эту функцию можно использовать для создания высоконадежного шифра. Взлом такого шифра требует вычисления множества изогений между эллиптическими кривыми. Лучший квантовый алгоритм для одного такого расчета выполняется за время p^1/4. Сделайте p и q достаточно большими (математика подсказывает, насколько большими), и вы получите криптосистему, которую не сможет взломать даже квантовый компьютер.

Все это выглядит очень заумно. Вряд ли вы разобрались во всех деталях, тем более что большую их часть я опустил. Но, я надеюсь, вы поняли главное: чтобы успешно защитить личную, коммерческую и военную связь от любителей подслушивать, вооруженных гипотетическими сегодня, но вполне реальными в скором времени квантовыми компьютерами, нам потребуется не что иное, как очень продвинутая и абстрактная математика, имеющая отношение к алгебраической геометрии над конечными полями.

Теория чисел, столь любимая Харди, оказалась куда более полезной, чем он мог вообразить. Но некоторые из сегодняшних ее применений наверняка разочаровали бы его. Думается, нам следовало бы извиниться перед ним за это.

В нашем районе города Ковентри в последние месяцы наблюдается какая-то непонятная, но активная деятельность. Всюду вдоль обочин виднеются припаркованные белые автобусы, часто в сопровождении грузовиков с лопатами и тачками. Мини-экскаваторы ездят туда-сюда по улицам, копают канавы вдоль тротуаров, поперек дорог, через газоны и скверы, а полосы свежеуложенного асфальта тянутся во все стороны, подобно следам, оставленным слизнями размером с собаку. Люди в куртках со светоотражающими элементами то и дело ныряют в колодцы с открытыми люками. Катушки с кабелем красуются на газонах, притулившись к живым изгородям, и ждут, когда кабель засосет в колодцы. Сосредоточенные инженеры сидят под навесами от дождя и разбираются с тысячами разноцветных проводов в больших металлических ящиках.

На бортах автобусов имеется надпись, объясняющая происходящее: «Сверхбыстрая широкополосная связь уже в вашем районе».

В центры крупных городов Великобритании это чудо современных телекоммуникаций пришло уже давно, но наш дом находится на тихой окраине. Как-то к нам даже отказались ехать по вызову, потому что мы живем слишком далеко – на расстоянии целых пяти километров. Справедливости ради замечу, что граница города проходит всего в нескольких сотнях метров от нас. Прокладка кабелей здесь стоит дороже, а плотность населения меньше, потому что сразу за границей города начинаются фермерские поля. Здесь нет возможности легкого расширения с минимальными затратами. Мы просто не были привлекательным предложением. Но в конечном итоге, после того как правительство надавило на телекоммуникационные корпорации, началось повсеместное подключение к оптико-волоконным линиям всех городских и большинства сельских районов. Наконец, остальная страна начала догонять районы с максимальной плотностью населения, где подключение к интернету становится все быстрее и быстрее. Отставание как минимум перестало расти.

В век, когда чуть ли не все виды деятельности перебираются, хотя бы частично, в интернет, быстрая широкополосная связь из роскоши превратилась в жизненную необходимость. Может быть, не настолько жизненную, как вода или электричество, но уж никак не менее важную, чем телефон. Хитроумная электроника – движитель компьютерной революции и систем быстрой всемирной связи – сделала мир 2020-х годов таким, какой невозможно было представить еще в 1990-е годы. И это только начало. Расширение предложения вызывает взрывной рост спроса. Дни, когда телефонные линии представляли собой медные провода и передавали голосовые сообщения, быстро уходят в прошлое, да и домашние телефоны в последние годы работают только благодаря хитроумным электронным и математическим фокусам, позволяющим повысить пропускную способность. Сегодня телекоммуникационные кабели передают куда больше цифровых данных, чем разговоров. Именно поэтому на передний план вышло оптическое волокно.

Пройдет еще несколько десятилетий, и оптоволокно так же устареет, как устарели в свое время лошади и повозки. На очереди другие новинки, которые позволят передавать намного большие объемы данных с захватывающей дух скоростью. Некоторые из них уже существуют. Классическая физика электричества и магнетизма остается фундаментальной наукой, но инженеры-электронщики, занимаясь проектированием следующего поколения телекоммуникационных устройств, все больше обращаются к странному квантовому миру. В фундаменте как классической физики, так и квантовой механики, на которых основываются все новые разработки, лежит одна из самых любопытных математических находок в истории. Ее истоки можно проследить аж до Древней Греции, в эпоху итальянского Возрождения она только проклевывалась, а расцвела уже в XIX веке, когда стремительно захватила большую часть математики. Ее широко использовали задолго до того, как стало по-настоящему понятно, что это такое.

Я называю это находкой, а не открытием, потому что здесь воображение математиков не вдохновлялось миром природы. Если эта штука и присутствовала где-то, ожидая, пока ее обнаружат, то это было очень странное место – мир человеческого воображения, правил логики и структуры. Это был новый тип числа, настолько новый, что это число получило название «мнимое». Такое название используется и сегодня, и для большинства из нас мнимые числа остаются совершенно чужеродной сущностью, хотя наша жизнь все больше от них зависит.

Вы, конечно, слышали о числовой прямой.

Познакомьтесь теперь с числовой плоскостью.

Чтобы понять, откуда взялась эта странная находка, а также почему она появилась, нужно сначала взглянуть на традиционные типы чисел. Числа – это настолько обычно, настолько знакомо, что очень легко недооценить все их тонкости. Мы знаем, что два плюс два будет четыре, а пятью шесть – тридцать. Но что такое «два», «четыре», «пять», «шесть» и «тридцать»? Это не слова: в разных языках для обозначения одних и тех же чисел используются разные слова. Это не символы 2, 4, 5, 6, 30: в разных культурах используются разные символы. В двоичной записи, которой пользуются в компьютерных делах, эти числа выглядят как 10, 100, 101, 110 и 11110. А что такое символ?

Все было гораздо проще, когда число рассматривалось как непосредственное описание природы. Если у вас десять овец, то число десять есть заявление о том, сколько именно у вас овец. Если вы продали четыре из них, у вас останется шесть. Числа представляли собой, по существу, средство счета. Но когда математики стали использовать числа все более заумными способами, этот прагматический взгляд начал казаться довольно шатким. Если вы не знаете, что такое числа, то разве можете быть уверены, что ваши расчеты никогда не будут противоречить друг другу? Если фермер пересчитает одну и ту же отару овец дважды, – обязательно ли результат будет одинаковым? Кстати, что мы имеем в виду, когда говорим «пересчитает»?

В XIX веке «придирки» такого рода начали возникать, потому что к тому моменту математики успели уже не единожды расширить концепцию числа. Каждая новая версия включала в себя все, что было раньше, но связь с реальностью при этом становилась все менее явной. Сначала на сцене были только натуральные, или счетные, числа 1, 2, 3….. Далее появились дроби, такие как 1/2, 2/3 или 3/4. В какой-то момент в ряды чисел тихонько проскользнул нуль. До этого соответствие с реальностью было, в общем-то, непосредственным: возьмите два апельсина и еще три апельсина и сосчитайте их все, чтобы убедиться, что всего у вас оказалось пять апельсинов. Взяв кухонный нож, я могу наглядно продемонстрировать вам пол-апельсина. Ну а нуль апельсинов? Ну, это пустое место.

Даже здесь уже наблюдаются сложности. Пол-апельсина – это, строго говоря, не число апельсинов. Это вообще не апельсин, а всего лишь его кусок. Существует множество способов разрезать апельсин пополам, и не все они выглядят одинаково. Проще показывать на кусках веревки – при условии, что мы режем веревку на части очевидным способом и не делаем никаких глупостей, например не расплетаем ее на пряди и волокна. Здесь снова все просто. Длина одной веревки равна половине длины другой, если две веревки, равные по длине первой, при соединении друг с другом имеют длину, равную длине второй. Дроби лучше всего работают с измерением разных вещей. Древние греки считали, что с измерениями работать легче, чем с числовыми символами, поэтому Евклид повернул эту идею задом наперед. Вместо того чтобы использовать числа для измерения длины отрезка, он использовал отрезки для представления чисел.

Следующий шаг – отрицательные числа – несколько сложнее, поскольку мы не можем наглядно продемонстрировать минус четыре апельсина. С деньгами проще, там отрицательное число можно интерпретировать как долг. Все это понимали в Китае около 200 года, о чем свидетельствует первый известный нам письменный источник «Математика в девяти книгах», хотя сама идея, несомненно, намного старше. Когда числа ассоциируют с измерениями, интерпретации отрицательных величин возникают совершенно естественно. Например, отрицательную температуру можно интерпретировать как температуру ниже нуля, тогда как положительная температура выше нуля. В некоторых случаях положительные измерения лежат справа от некоторой точки, тогда как отрицательные – слева, и т. д. Отрицательное противоположно положительному.

В наши дни математики уделяют много внимания различиям между этими типами числовых систем, но для обычного пользователя все они являются вариантами одной темы: это числа. Мы с готовностью принимаем такую довольно наивную договоренность, поскольку во всех этих системах работают одни и те же правила арифметики и каждый новый тип чисел просто расширяет старую систему, ничего не меняя в том, что нам известно. Преимущество расширения концепции числа состоит в том, что каждый раз появляется возможность производить «арифметические действия», недоступные прежде. В натуральных числах мы не можем разделить 2 на 3, в дробях – можем. В натуральных числах мы не можем вычесть 5 из 3, в отрицательных числах – можем. Все это делает математику проще, потому что можно перестать беспокоиться о том, разрешены те или иные арифметические операции или нет.

Дроби позволяют делить разные вещи на сколь угодно мелкие части. Мы можем разделить метр на миллиметры, составляющие одну тысячную долю его длины, или на микрометры, составляющие одну миллионную, или на нанометры (это уже одна миллиардная) и т. д. Названия у нас закончатся намного раньше, чем нули. Практические измерения никогда не обходятся без небольших ошибок, поэтому дробей нам вполне достаточно для всех целей. Мало того, мы можем обойтись только дробями со знаменателем, равным степени десяти, – посмотрите на любой электронный калькулятор. Но для важных теоретических целей, а также для сохранения порядка в математике дробей, как оказалось, не хватает.

Последователи древнегреческого культа пифагорейцев верили, что Вселенная управляется числами (кстати, подобные взгляды до сих пор преобладают в самой передовой физике, хотя и не в столь буквальном виде). Пифагорейцы признавали только натуральные числа и положительные дроби, поэтому их система взглядов была потрясена до основания, когда один из них обнаружил, что длина диагонали квадрата не равна точной доле длины его стороны. Это открытие привело к появлению так называемых иррациональных чисел, в данном случае к квадратному корню из двух. В результате сложной исторической эволюции, начавшейся в Китае в IV веке до н. э. и продолжавшейся до Симона Стевина в 1585 году, такие числа стали представлять в виде десятичных дробей:

Поскольку это число иррациональное, оно должно продолжаться бесконечно и не заканчиваться одними только нулями. Оно не может даже повторять одну и ту же группу цифр снова и снова, как 1/3, которая в десятичной записи равна 0,333333333… Это «бесконечная десятичная дробь». Мы не в состоянии записать ее целиком, но теоретически можем делать вид, что это возможно, потому что, в принципе, можно продолжать запись как угодно долго.

Несмотря на необходимость прибегать к бесконечному процессу, бесконечные десятичные дроби обладают очень приятными математическими свойствами, в частности позволяют точно записать геометрические длины, такие как √2, которые в противном случае не имели бы численных значений. Бесконечные десятичные дроби получили название действительных чисел, поскольку представляли собой (идеализированные) измерения реальных величин, таких как длина, площадь, объем и вес. Каждая последовательная цифра в них представляет кратное некоторого базового размера, который на каждом шаге уменьшается в 10 раз. Можно считать, что эта процедура продолжается бесконечно, причем базовые размеры становятся все меньше и меньше. Это позволяет нам представить нужное число с какой угодно точностью. Реальная физика на атомном уровне не такова, да и само пространство, вероятно, тоже не такое, но действительные числа необычайно хорошо представляют реальность в очень многих случаях.

Исторически новые типы чисел, как правило, поначалу встречали сопротивление. Затем, когда их полезность становилась очевидной, а использование – привычным, общее отношение к ним менялось. На протяжении жизни одного поколения сопротивление в основном исчезало: если вы с детства привыкли регулярно чем-то пользоваться, то оно кажется вам совершенно естественным. Философы могли и дальше спорить, является ли нуль числом – у них и сегодня нет единого мнения в этом вопросе, – но обычные люди уже пользовались им при необходимости и перестали гадать, что это на самом деле. Даже математики вели себя так, хотя и испытывая иногда чувство вины. Можно отметить, что терминология выдает эту игру: новые числа называются не как-нибудь, а отрицательными, иррациональными и т. п.

Однако даже у математиков некоторые инновации вызывали головную боль, которая не проходила столетиями. Но что по-настоящему нарушило спокойствие математического сообщества, так это введение так называемых мнимых чисел. Даже название (которое до сих пор используется исключительно по привычке) указывает на вызванную ими степень ошеломления и намекает, что репутация у этих чисел по какой-то причине была довольно сомнительная. Опять же в основе их лежали квадратные корни.

Стоило нам расширить числовую систему так, чтобы она включала в себя бесконечные десятичные дроби, как выяснилось, что у каждого положительного числа есть квадратный корень. Мало того, два квадратных корня: один положительный, другой отрицательный. Например, у числа 25 два квадратных корня: +5 и –5. Этот любопытный факт является следствием правила «минус на минус дает плюс», которое при первом знакомстве часто ставит людей в тупик. Некоторые в принципе не в состоянии его принять. Однако это простое следствие принципа, согласно которому отрицательные числа должны подчиняться тем же арифметическим правилам, что и положительные. Это звучит разумно, но подразумевает, что у отрицательных чисел не бывает квадратных корней. Так, у числа –25 нет квадратных корней. Это кажется несправедливым, если вспомнить, что у его родича, числа +25, таких корней целых два. Поэтому математики долгое время рассуждали о новом цифровом царстве, где у отрицательных чисел тоже имеются квадратные корни. При этом они молчаливо подразумевали, что в нем обычные правила арифметики и алгебры продолжают действовать. Позднее стало очевидно, что для появления такого царства необходимо всего одно принципиально новое число: квадратный корень из минус единицы. Это новое число получило обозначение i, которым и сегодня пользуются все, кроме инженеров (они используют символ j). Воспользовавшись этим обозначением, можно без труда записать его ключевое свойство:

Теперь в числовом царстве правит справедливость, и каждое число, положительное или отрицательное, имеет два квадратных корня{48}. Исключение составляет нуль, поскольку –0 = +0, но нуль часто становится исключением, поэтому никого это не смущает{49}.

Идею о том, что отрицательное число может, в принципе, иметь осмысленный квадратный корень, можно проследить до древнегреческого математика и механика Герона Александрийского, но первые шаги к разумной реализации этой идеи были сделаны лишь полтора тысячелетия спустя в Италии в эпоху Возрождения. Джероламо Кардано упомянул такую возможность в своем трактате «Великое искусство» (одном из первых алгебраических трудов) в 1545 году, но затем отбросил эту идею как бессмысленную. Прорыв произошел в 1572 году, когда итальянский алгебраист Рафаэль Бомбелли сформулировал правила для вычислений с гипотетическим квадратным корнем из минус единицы и нашел действительные решения одного кубического уравнения с использованием формулы, где складывались два «числа», которые никак не могли быть действительными. Невозможные части успешно сократились друг с другом, оставив вполне корректный – действительный – ответ. Этот дерзкий мудреный фокус заставил математиков спохватиться, потому что полученные решения можно было проверить непосредственно и они работали.

Чтобы подсластить пилюлю, новые числа стали называть мнимыми, в противовес традиционным действительным, которые можно было использовать для измерения реальных объектов. Эта терминология незаслуженно наделяла действительные числа особым статусом и, кроме того, смешивала математическую концепцию и общепринятый способ ее использования. Как мы увидим, у мнимых чисел тоже есть полностью осмысленные применения и интерпретации, но не в качестве измерений привычных физических величин вроде длины или массы. Бомбелли первым продемонстрировал, что мнимые числа – чем бы они ни были – можно использовать для решения совершенно реальных задач. Это как если бы фантастический плотницкий инструмент, даже не существующий в реальности, можно было взять и использовать для изготовления совершенно нормального стула. Конечно, это был концептуальный стул, но сам процесс все равно выглядел непостижимо. Еще более непостижимо выглядели свидетельства того, что все это работает.

Все это чудесным образом продолжало работать в постоянно расширяющемся спектре областей. К XVIII веку математики уже свободно пользовались новыми числами. В 1777 году Эйлер ввел для обозначения квадратного корня из минус единицы стандартный символ i. Комбинация действительных и мнимых чисел привела к созданию красивой и непротиворечивой системы, известной как комплексные числа, то есть «составленные из нескольких частей», а не «сложные». Алгебраически они выглядят как a + bi, где a и b – действительные числа. Комплексные числа можно складывать, вычитать, перемножать, делить, извлекать из них квадратные, кубические и прочие корни, не выходя при этом за пределы системы.

Главный недостаток комплексных чисел – то, что для них трудно подобрать интерпретацию в реальном мире, по крайней мере в то время все так думали. Неясно, при измерении чего и каким образом может быть получен результат, равный, скажем, 3 + 2i. Квазифилософские дебаты о легитимности комплексных чисел бушевали до тех пор, пока математики не поняли, как эти числа можно использовать для решения задач в области математической физики. Поскольку ответы здесь можно проверить другими средствами и они, кажется, всегда верны, споры отошли на задний план, уступив место ажиотажу и поспешному исследованию новых методов.

Долгое время математики пытались оправдать существование мнимых чисел, апеллируя к масштабному, но довольно туманному принципу перманентности, в соответствии с которым любое алгебраическое правило, верное для действительных чисел, должно автоматически распространяться и на комплексные числа. Главным доказательством этого утверждения считался тот факт, что на практике использование комплексных чисел давало правильные ответы, – по существу, триумф надежды над логикой. Короче говоря, они работали, потому что работали, и доказательством служило то… что они работали.

Лишь много позже математики разобрались в том, как можно представлять комплексные числа. Надо сказать, что они, подобно отрицательным числам, имеют несколько «физических» интерпретаций. Мы вскоре увидим, что в электротехнике комплексное число сочетает в себе амплитуду (максимальную величину) переменного сигнала и его фазу в одном компактном и удобном пакете. То же происходит и в квантовой механике. Если взять более прозаический пример, то как действительные числа соответствуют точкам на прямой, так комплексные числа соответствуют точкам на плоскости. Очень просто. И, как многие другие простые идеи, эта идея оставалась незамеченной несколько столетий.

Комплексная числовая плоскость

Первый намек на этот прорыв можно увидеть в «Алгебре» Джона Уоллиса 1685 года. Автор распространил общепринятое представление действительных чисел в виде прямой на комплексные числа. Предположим, что некое число равно a + bi. «Действительная часть» a – это просто действительное число, так что мы можем расположить его на обычной действительной прямой, которую можно представить как фиксированную прямую на плоскости. Второй компонент bi – это мнимое число, поэтому у него нет соответствующей ему точки на числовой прямой. Однако коэффициент b – действительное число, так что мы можем провести отрезок длиной b на той же плоскости, под прямым углом к действительной прямой. Точка на этой плоскости, полученная таким образом, представляет число a + bi. Сегодня мы сразу же видим, что это число представлено на плоскости точкой с координатами (a, b), но в то время предложение Уоллиса не встретило понимания. Исторически честь изобретения комплексной плоскости чаще всего достается Жан-Роберу Аргану, который опубликовал свое предложение в 1806 году, но на самом деле малоизвестный датский топограф Каспар Вессель чуть-чуть опередил его, опубликовав аналогичную идею в 1797 году. Однако статья Весселя была написана по-датски и оставалась никем не замеченной, пока столетие спустя не был сделан ее перевод на французский. Оба автора привели в своих статьях геометрические построения в евклидовом стиле, показывающие, как следует складывать и перемножать любые два комплексных числа.

Наконец в 1837 году ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон прямо указал, что можно представить любое комплексное число в виде пары действительных чисел – координат точки на плоскости:

комплексное число = (первое действительное число, второе действительное число).

Затем он записал геометрические построения в виде двух формул для сложения и перемножения таких пар. Я покажу их здесь, потому что они довольно просты и элегантны:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d);

(a, b) ∙ (c, d) = (ac – bd, ad + bc).

Это может показаться немного непонятным, но работает прекрасно. Числа вида (a, 0) ведут себя в точности как действительные числа, а загадочное i соответствует паре (0, 1) – именно Уоллис предложил располагать мнимые числа под прямым углом к действительным и записывать как координаты. Формулы Гамильтона гласят:

i² = (0, 1) ∙ (0, 1) = (–1, 0),

что мы уже распознали как действительное число –1. Дело сделано. Естественно, после этого выяснилось, что Гаусс упоминал эту идею в письме к Вольфгангу Бойяи в 1831 году, но не опубликовал ее.

Если Гаусс, похоже, не понимал до конца, то Гамильтон точно видел возможность доказать с помощью этих двух формул, что комплексные числа подчиняются обычным законам алгебры, таким как перестановочный xy = yx и сочетательный (xy)z = x(yz) законы, которые большинство из нас воспринимает как само собой разумеющиеся при первом знакомстве с алгеброй. Чтобы доказать их справедливость также и для комплексных чисел, замените символы парами действительных чисел, примените формулы Гамильтона и убедитесь, что обе стороны дают одну и ту же пару. Проще простого. По иронии судьбы к тому моменту, когда Гаусс и Гамильтон разобрались во внутренней логике при помощи пар обычных «действительных» чисел, математики успели уже столько сделать с применением комплексных чисел, что практически потеряли интерес к приданию этим числам конкретного логического смысла.

Главными областями их применения были такие сферы физики, как магнитное и электрическое поля, гравитация и гидродинамика. Примечательно, что некоторые базовые уравнения комплексного анализа (дифференциальное и интегральное исчисление с комплексными функциями) точно соответствовали стандартным уравнениям математической физики. Поэтому теперь можно было решать уравнения физики при помощи дифференциального исчисления с комплексными числами. Главным ограничением было то, что комплексные числа лежат на плоскости. Поэтому физические процессы нужно было рассматривать как происходящие на плоскости или эквивалентные какой-то задаче на плоскости.

* * *

Комплексные числа придают плоскости систематическую алгебраическую структуру, которая превосходно приспособлена к геометрии, а следовательно, и к работе с движением. Оставшуюся часть этой главы можно рассматривать как двумерный предварительный разбор тех вопросов трехмерной геометрии, которым посвящена следующая глава. Там будет несколько формул – это алгебра, в конце концов, – но я не знаю, как этого избежать, ведь без них все выглядит как-то расплывчато.

Когда мы представляем комплексное число z в виде z = x + iy, где x и y действительные числа, в основе такого представления лежит геометрическая система декартовых координат с двумя осями, расположенными под прямым углом друг к другу: это действительная часть x (горизонтальная ось) и мнимая часть y (вертикальная ось). Однако на плоскости существует еще одна система координат – полярные координаты, в которых точка представляется как пара (r, A), где r – положительное действительное число, а A – угол. Эти две системы тесно взаимосвязаны: r – это расстояние от начала координат 0 до точки z, а A – угол между действительной осью и прямой, соединяющей начало координат с z.

Геометрия комплексной плоскости в декартовых и полярных координатах. Здесь cos и sin – тригонометрические функции косинус и синус. (Рисунок, по существу, определяет эти функции.)

Декартовы координаты идеальны для описания движения невращающихся объектов. Если точка x + iy смещается на a единиц по горизонтали и на b единиц по вертикали, она оказывается в точке (x + iy) + (a + ib). Если распространить эту идею на множество точек со списком значений для x и y, то все множество сдвинется на a единиц по горизонтали и на b единиц по вертикали в случае добавления фиксированного комплексного числа a + ib к каждой его точке. Более того, это жесткое движение: весь объект движется целиком, не меняя ни формы, ни размера.

Еще одним типом жесткого движения является вращение. Здесь объект опять же не меняет ни формы, ни размера, но изменяет ориентацию, поворачиваясь на некоторый угол вокруг центральной точки. Ключевое наблюдение здесь состоит в том, что умножение на i поворачивает точки на 90º вокруг центра в начале координат. Именно поэтому ось y, представляющая мнимую часть y числа z, расположена под прямым углом к оси x, которая представляет действительную часть x. (Несмотря на название, мнимая часть – это действительное число: она становится мнимой, когда мы умножаем ее на i, чтобы получить iy.)

Если мы хотим повернуть множество точек на 90°, то умножаем каждую точку этого множества на i. В более общем случае если мы хотим повернуть множество точек на угол A, то небольшое упражнение в тригонометрии покажет, что нужно умножить все точки множества на комплексное число

cos A + i sin A.

Параллельный перенос (слева) и поворот (справа) множества точек PIG с использованием комплексных чисел

Эйлер нашел замечательную и красивую связь между этим выражением и комплексным аналогом экспоненциальной функции e^x, где e = 2,71828… – основание натурального логарифма. Мы можем определить экспоненциальную функцию e^z комплексного числа z таким образом, чтобы она обладала теми же базовыми свойствами, что действительная экспонента, и совпадала с ней при действительном z. Оказывается, что

e^iA = cos A + i sin A.

Элегантный способ понять, почему это происходит, состоит в использовании дифференциальных уравнений. Я поместил его в Примечания{50}, потому что выглядит все это слишком формально.

Представление комплексного числа в полярных координатах выглядит следующим образом:

r(cos A + i sin A) = re^iA.

Получилась очень простая и компактная формула.

Красота геометрии комплексных чисел заключается в том, что они имеют сразу две естественные координатные системы – декартову и полярную. Параллельный перенос в декартовых координатах описывается простой формулой, но в полярных координатах порождает путаницу. Поворот, напротив, в полярных координатах описывается простой формулой, зато в декартовых порождает путаницу. Пользуясь комплексными числами, вы можете сами выбирать, какое их представление лучше всего отвечает вашим целям.

Эти геометрические свойства комплексной алгебры можно было бы использовать в двумерной компьютерной графике, но оказывается, что, поскольку геометрия на плоскости проста, а компьютеры легко просчитывают громоздкие формулы, большой выгоды вы от этого не получите. В главе 7 мы увидим, что в случае компьютерной графики в трех измерениях аналогичный фокус творит чудеса. Однако пока мы завершим историю комплексных чисел рассказом о некоторых по-настоящему полезных сферах их применения.

* * *

Математики постепенно пришли к пониманию, что, несмотря на отсутствие очевидной физической интерпретации, комплексные числа часто оказываются проще, чем действительные, и проливают свет на такие свойства действительных чисел, которые в противном случае вызывают недоумение. Например, как заметили Кардано и Бомбелли, квадратные уравнения имеют либо два действительных корня, либо ни одного, а кубические уравнения – либо одно действительное решение, либо три. С комплексными решениями все намного проще: квадратные уравнения всегда имеют два комплексных решения, а кубические – всегда три. Можно, кстати говоря, продолжить: уравнения 10-й степени имеют 10 комплексных решений, а вот действительных решений у них может быть 10, 8, 6, 4, 2 или ни одного. В 1799 году Гаусс доказал давно подозреваемый факт, гипотезу о котором выдвинул Петр Рот еще в 1608 году и который получил известность как основная теорема алгебры: полиномиальное уравнение степени n имеет n комплексных корней. Все стандартные функции анализа, такие как экспонента, синус, косинус и т. п., имеют естественные комплексные аналоги, и при рассмотрении этих функций в комплексном варианте их свойства, как правило, становятся проще.

Одним из практических следствий этого стало превращение комплексных чисел в стандартные инструменты в электронике, в первую очередь потому, что они обеспечивают элегантный и простой способ работы с переменными токами. Электричество – это поток электронов, заряженных элементарных частиц. В постоянном токе, который дает, например, батарейка, электроны движутся в одном направлении. В переменном токе, который безопаснее и потому широко используется в электрических сетях, электроны снуют попеременно туда и сюда. График напряжения (и тока) в такой сети выглядит как кривая косинуса в тригонометрии.

Получить такую кривую можно, если последить за точкой на ободе вращающегося колеса. Предположим, для простоты, что радиус этого колеса равен 1. Если посмотреть на горизонтальную проекцию траектории нашей точки, то окажется, что она движется из стороны в сторону, достигая значений +1 и –1 в крайних положениях. Если колесо вращается с постоянной скоростью, то график горизонтального отклонения представляет собой кривую косинуса, а график вертикального отклонения – кривую синуса (кривые на рисунке, проведенные черными линиями).

Вращение на комплексной плоскости в проекции дает периодические колебания. Прибавление B к углу A сдвигает графики влево: это так называемый фазовый сдвиг

Положение движущейся точки характеризуется парой действительных чисел (cos A, sin A), где A – угол между направлением на точку и горизонтальной осью. Воспользовавшись приемом Гамильтона, можно представить эту пару как комплексное число cos A + i sin A. С изменением угла A это число движется оборот за оборотом вдоль единичной окружности на комплексной плоскости. Если мы измеряем углы в радианах, то полный оборот точка совершает при увеличении A от 0 до 2π. Следующий оборот происходит, когда A возрастает от 2π до 4π, и т. д., так что движение точки носит периодический характер с периодом 2π.

Формула Эйлера подразумевает, что, по мере того как значение A, возрастая, проходит по действительным числам, соответствующее ему значение e^iA совершает оборот за оборотом вдоль единичной окружности с постоянной скоростью. Эта связь дает нам возможность превратить любое утверждение о периодической функции, имеющей форму синуса или косинуса, в комплексную экспоненту. Математически экспонента проще и легче поддается обработке. Более того, угол A имеет естественную физическую интерпретацию как фаза колебаний. Это означает, что изменение A путем прибавления к нему постоянного угла B сдвигает кривые синуса и косинуса на соответствующую величину (серые кривые на рисунке).

Что еще лучше, основные дифференциальные уравнения для напряжений и токов в контурах распространяются на множество комплексных чисел в неизменном виде. Физические колебания становятся действительной частью комплексной экспоненты, причем одни и те же методы применимы как к переменному, так и к постоянному току. Как будто вполне реальное (действительное) поведение имеет тайного мнимого двойника, и вместе они становятся проще, чем по отдельности. Инженеры-электронщики постоянно пользуются этим математическим приемом для упрощения расчетов, даже при наличии компьютера.

* * *

В электронике комплексные числа выскакивают как математический кролик из шляпы фокусника и облегчают инженерам жизнь – ну просто так получается. Но есть одна замечательная область, в контексте которой комплексные числа абсолютно необходимы и имеют физический смысл. Это квантовая механика.

Вигнер сделал этот образчик непостижимой эффективности центральным в своей лекции:

Не следует забывать, что гильбертово пространство квантовой механики – это комплексное гильбертово пространство… Для неподготовленного ума понятие комплексного числа далеко не естественно, не просто и никак не следует из физических наблюдений. Тем не менее использование комплексных чисел в квантовой механике не является вычислительным трюком прикладной математики, а становится почти необходимым при формулировке законов.

Кроме того, он постарался особо подчеркнуть, что подразумевается под «непостижимым»:

Ничто в имеющемся у нас опыте не наводит на мысль о введении этих величин. Если же мы спросим у математика о причинах его интереса к комплексным числам, то он с негодованием укажет на многочисленные изящные теоремы в теории уравнений, степенных рядов и аналитических функций в целом, обязанных своим появлением на свет введению комплексных чисел… Невольно создается впечатление, что чудо, с которым мы сталкиваемся здесь, не менее удивительно, чем… два других чуда – существование законов природы и человеческого разума, способного постичь их.

Квантовая механика возникла около 1900 года для объяснения странного поведения веществ в микромире, которое тогда вдруг начали обнаруживать физики-экспериментаторы, и очень быстро превратилась в самую успешную физическую теорию, когда-либо придуманную человечеством. Там – на уровне молекул, атомов и, особенно, элементарных частиц, из которых складываются атомы, – вещество ведет себя удивительно и загадочно. Настолько удивительно и загадочно, что совершенно неясно, применимо ли ко всему этому слово «вещество». Волны, такие как свет, иногда ведут себя как частицы, фотоны. Частицы, такие как электроны, иногда ведут себя как волны.

Эту двойственность волны-частицы (так называемый корпускулярно-волновой дуализм) со временем удалось описать с помощью математических уравнений, которые управляют одновременно волнами и частицами, хотя до сего дня многое остается загадкой. По ходу дела способ представления того и другого в математике пережил радикальную трансформацию и изменился до неузнаваемости. До того момента физики характеризовали состояние частицы вещества лишь небольшим набором параметров: масса, размер, положение в пространстве, скорость, электрический заряд и т. д. В квантовой механике состояние любой системы характеризуется волной, точнее говоря, ее волновой функцией. Как следует из названия, это математическая функция с волноподобными свойствами.

Функция – это математическое правило или процесс, который преобразует одно число в другое определенным образом. В более общем случае функция может преобразовывать список чисел в число или даже в другой список чисел. В еще более общем случае функция может оперировать не только числами, но и множеством математических объектов любого рода. Например, функция «площадь треугольника» действует для множества всех треугольников, и, когда вы применяете ее к конкретному треугольнику, значением функции становится площадь этого треугольника.

Волновая функция квантовой системы действует для списка возможных измерений, которые мы можем произвести в системе, таких как координаты ее положения и компоненты скорости. В классической механике состояние системы обычно определяется конечным числом таких чисел, но в квантовой механике список может включать бесконечно много переменных. Они берутся из так называемого гильбертова пространства, которое (часто) представляет собой пространство бесконечной размерности с однозначно определенным понятием расстояния между любыми двумя его точками{51}. Волновая функция дает на выходе единственное число для каждой функции в гильбертовом пространстве, но число это не действительное, а комплексное.

В классической механике наблюдаемое (величина, которую мы можем измерить) связывает каждое возможное состояние системы с числом. Например, если мы наблюдаем расстояние от Земли до Луны, то получаем в результате единственное число – наблюдаемое здесь есть функция, определенная на пространстве всех возможных конфигураций, в которых Земля и Луна могут хотя бы в принципе находиться. В квантовой механике наблюдаемые величины суть операторы. Оператор берет элемент гильбертова пространства состояний и превращает его в комплексное число. Операторы должны подчиняться короткому списку математических правил. Одно из них – линейность. Предположим, у вас есть два состояния x и y, и оператор L дает для них на выходе L(x) и L(y). В квантовой теории состояния могут накладываться друг на друга, наслаиваться – складываться – и давать в результате состояние x + y. Линейность означает, что оператор L должен в этом случае дать на выходе L(x) + L(y). Полный список требуемых свойств дает так называемый эрмитов оператор, который прекрасно ведет себя в связи с расстояниями в гильбертовом пространстве.

Физики выбирают эти пространства и операторы разными способами для моделирования конкретных квантовых систем. Если их интересуют состояния координат и импульса единичной частицы, гильбертово пространство состоит из всех квадратично интегрируемых функций и имеет бесконечную размерность. Если их интересует спин единичного электрона, гильбертово пространство двумерно и состоит из так называемых спиноров. В качестве примера можно привести уравнение Шрёдингера, которое выглядит примерно так:

Вам не обязательно разбираться в математике, но давайте посмотрим на символы. Особенно на первый, который в значительной мере все проясняет: это i, квадратный корень из минус единицы. Мы смотрим на базовое уравнение квантовой механики, и первый же символ, который видим перед собой, – это мнимое число i.

Следующий символ,  – это число, которое называют приведенной постоянной Планка, и оно очень-очень мало: около 10^–34 Дж∙сек. Именно оно дает квантовой механике ее кванты – крохотные, но дискретные скачки в значениях, которые могут принимать различные величины. Затем стоит дробь d/dt. Здесь t – время, а буквы d говорят нам о том, что следует найти скорость изменения, как в дифференциальном исчислении, так что это дифференциальное уравнение. Комбинация символов  – это волновая функция, определяющая состояние системы в момент времени t, то есть та штука, скорость изменения которой мы хотим узнать. Наконец,  – это так называемый гамильтониан: по сути, энергия.

Обычная интерпретация волновой функции состоит в том, что она представляет не отдельное состояние, а вероятность того, что наблюдение обнаружит систему в этом состоянии. Однако вероятности – это действительные числа от 0 до 1, тогда как значения волновой функции – комплексные числа любой величины. Поэтому физики сосредоточиваются на амплитуде (которую математики называют модулем) комплексного числа, которая говорит о том, насколько далеко это число располагается от начала координат, – в полярных координатах это r. Они считают это число относительной вероятностью, так что если у одного состояния амплитуда равна 10, а у другого – 20, то второе состояние вдвое вероятнее первого.

Модуль говорит о том, насколько далеко от начала координат лежит комплексное число, но он ничего не говорит о направлении, в котором следует двигаться, чтобы до него добраться. Это направление определяется еще одним действительным числом, углом A в полярных координатах. Математики называют этот угол аргументом комплексного числа, а физики называют его фазой – насколько далеко вдоль единичной окружности следует пройти, чтобы выйти на нужное направление. Так что у комплексной волновой функции есть амплитуда, которая дает количественную оценку относительной вероятности данного наблюдения, и фаза, которая не влияет на амплитуду и которую почти невозможно измерить. Фазы влияют на то, как накладываются друг на друга отдельные состояния, и, следовательно, на вероятности возникновения этих составных состояний, но на практике они скрыты от взгляда экспериментатора.

Все это означает, что одного только действительного числа недостаточно для количественного определения квантового состояния. Невозможно даже сформулировать квантовую механику с помощью традиционных действительных чисел.

* * *

Если вопрос в том, какие практические применения имеют комплексные числа, то можно указать на квантовую механику в полной уверенности, что они непременно находят применение там. До недавнего времени в большинстве случаев это относилось к лабораторным экспериментам – самому что ни на есть переднему краю физики, но не к тому, что можно обнаружить на собственной кухне или в гостиной. Современная электроника полностью изменила ситуацию, и многие из наших любимых устройств работают по квантово-механическим причинам. Их конструкторы должны разбираться в подобных вещах очень глубоко, а мы можем просто сидеть в сторонке и восхищаться их творениями. Или время от времени ругать их, когда они не делают того, что нам нужно, из-за непонятных технических заморочек с конфигурированием этой проклятой штуковины.

В данном случае я имею в виду свою новенькую оптоволоконную широкополосную линию связи. Выглядит она как обычный кабель, но является частью передающей системы, которая уже опирается на квантовые технологии. Впрочем, ее квантовая часть заключается не в кабеле как таковом: она в устройствах на маршруте, генерирующих световые импульсы, на которых построена работа всей сети. Конечно, свет в любом случае имеет квантовый характер, но эти устройства сконструированы с использованием квантовой механики и не могли бы работать без нее.

Слово «волоконный» в названии означает многожильный кабель, где отдельные волокна представляют собой тонкие стеклянные нити, по которым передается свет. Они сделаны так, что свет отражается от их стенок и не выходит наружу, поэтому такие кабели можно изгибать – свет все равно остается внутри. Информация в световом луче кодируется в виде серии коротких импульсов. Оптическое волокно начали использовать в телекоммуникационной отрасли, потому что оно имеет ряд преимуществ. Современное волокно обладает высокой прозрачностью и потому передает свет на большие расстояния без ослабления сигнала. Световые импульсы способны нести намного больше информации, чем можно передать по традиционному медному телефонному проводу. Именно большая ширина полосы пропускания обеспечивает повышенную «скорость» – дело не столько в том, с какой скоростью движутся импульсы, сколько в числе этих самых импульсов – и, соответственно, в количестве информации, – которое можно втиснуть в одно волокно или в один кабель. Оптоволоконные кабели легче медных, поэтому их проще перевозить и монтировать, и меньше подвержены влиянию электрических помех.

Оптические системы связи включают в себя четыре основных компонента: передатчик (источник света); кабель для передачи сигнала; ряд повторителей, которые подхватывают сигнал, пока он не слишком сильно ослаб, очищают его и ретранслируют; и, конечно, приемник (детектор). Я сосредоточу свое внимание только на одном из этих компонентов – на передатчике. Это должно быть устройство, способное генерировать серии световых импульсов, которые можно включать (1) и выключать (0), чтобы эта серия представляла собой сообщение в двоичном коде. Включение/выключение должно происходить чрезвычайно быстро и с очень высокой точностью. В частности, длина волны («цвет») света должна иметь одно значение. Наконец, импульсы должны сохранять свою форму, чтобы приемник мог их распознать.

Идеальным (и, строго говоря, единственным) гаджетом, способным это делать, является лазер – устройство, испускающее мощный луч когерентного света с определенной длиной волны. Когерентность означает, что все волны в луче находятся в одной фазе и потому не подавляют друг друга. Чтобы добиться этого, лазер гоняет свет (в виде фотонов) туда и обратно между двумя зеркалами, инициируя при этом благодаря положительной обратной связи все более мощный каскад фотонов. Когда луч становится достаточно мощным, его выпускают.

Первые лазеры были большими и неудобными, но сегодня при создании большинства легких лазеров используются примерно те же процессы, что и при производстве микроскопических цепей в компьютерных чипах – интегральных полупроводниковых схемах. Последние 30 лет почти все лазеры, используемые в бытовых и промышленных устройствах (таких как плееры Blu-Ray, которые стали возможны после изобретения лазеров, дающих синий свет), представляют собой гетероструктурные лазеры с раздельным удержанием (SCH). Это улучшенная разновидность лазера на квантовых ямах, которые похожи на сэндвич, средний слой которого работает как квантовая яма. Такая структура создает волновые функции, похожие скорее на серию ступенек, чем на кривую, так что энергетические уровни в них оказываются квантованными – они резко отличаются друг от друга, а не сливаются размытыми пятнами. Эти уровни можно настроить при помощи подходящей конструкции квантовой ямы, чтобы получить свет нужной частоты для работы лазера.

В SCH-лазерах сверху и снизу сэндвича добавляют еще два слоя с более низким коэффициентом преломления, чем у трех средних слоев, и эти два слоя запирают свет внутри резонатора лазера. Нетрудно предположить, что сконструировать квантовое устройство такого типа невозможно без активного применения квантовой механики. Так что даже в волоконной оптике 1990-х годов использовались квантовые компоненты, а на сегодняшний день это утверждение стало еще более верным.

В будущем появится громадное разнообразие новых квантовых устройств, которые преобразят нашу жизнь. Принцип неопределенности Гейзенберга для квантовой механики гласит, что определенные наблюдаемые параметры невозможно точно измерить в одно и то же время – например, если вы знаете, где в точности находится частица, то не можете с уверенностью сказать, как быстро она движется. Это свойство позволяет определять, не слушает ли секретные сообщения кто-нибудь, не имеющий такого права. Когда Ева (устройство перехвата сообщений) потихоньку наблюдает за квантовым состоянием проходящего сигнала – скажем, за спином фотона, – то состояние изменяется и она не может контролировать характер этого изменения. Как будто в сообщение встроен колокольчик, который звонит всякий раз, когда Ева пытается это сообщение прочесть.

Схематичное изображение структуры SCH-лазера. Термины n-тип и p-тип относятся, соответственно, к полупроводникам, где заряд переносится электронами или «дырками»

Один из способов реализации этой идеи состоит в использовании квантовой фотоники – квантово-механических свойств фотонов. Другой способ – манипулирование спинами квантовых частиц, этим занимается развивающаяся область – спинтроника. Подобные устройства могут переносить больше информации, чем традиционный сигнал, за счет кодирования дополнительных данных в спинах частиц, а не только в их присутствии или отсутствии. Так что моя сверхбыстрая оптоволоконная широкополосная связь, вполне возможно, скоро превратится в супер-пупер-быструю спинтронную широкополосную связь, способную по тому же кабелю передать гораздо больше информации. И она будет действовать, пока какой-нибудь умник не изобретет шестимерную гиперчеткую сенсорную голографию и не перекроет разом всю эту дополнительную пропускную способность.

Деревня имеет средневековый вид, дома в ней крыты тростником, по грязной дороге катятся запряженные лошадьми повозки, вокруг виднеются засеянные поля и пасущиеся овцы. Узкая лента реки тянется меж тесно стоящих домиков, посверкивая золотом в свете заходящего солнца. Мы видим эту сцену сверху, как будто с самолета – когда самолет закладывает вираж или покачивает крыльями, вид тоже поворачивается и раскачивается. Но это не самолет: на экране появляются новые кадры – теперь это вид с земли, откуда просматривается силуэт дракона. Он приближается. Снова смена плана, мы видим пейзаж глазами дракона, который пикирует, скользит над крышами, изрыгает пламя, пересохший тростник вспыхивает…

Это может быть кино или компьютерная игра – в наше время то и другое порой трудно отличить друг от друга. В любом случае это триумф сгенерированной компьютером графики – CGI.

Математика ли это?

О да!

Должно быть, это какая-то новая математика.

Не слишком. Такое применение для нее действительно является новым, да и сама математика здесь в какой-то мере новая и хитроумная, но в той части, которую я имею в виду, ей уже около 175 лет. И эта часть математики раньше не предназначалась для компьютерной графики. Да и компьютеров тогда не было.

А предназначалась она для работы с более общей проблемой, не имеющей отношения к «железу»: с геометрией в трехмерном пространстве. С сегодняшней точки зрения потенциальная связь этой области с компьютерной графикой очевидна. Но она была похожа не на геометрию, а скорее на алгебру. Если, конечно, не считать, что она нарушает одно из базовых алгебраических правил. Придумал ее ирландский математический гений сэр Уильям Роуэн Гамильтон, который назвал свое изобретение кватернионами. По иронии судьбы кватернионы оказались не совсем тем, что он искал, и это было не случайно.

Того, что он искал, попросту не существовало.

Сегодня на нашей планете компьютеров больше, чем людей. Как известно, представителей рода человеческого насчитывается 7,6 млрд. А одних только ноутбуков на Земле больше 2 млрд, а еще существует почти 9 млрд смартфонов и планшетов, причем те и другие часто обладают большей вычислительной мощностью, чем лучший суперкомпьютер, который можно было купить в 1980 году{52}. А если учесть еще крохотные компьютеры, которые производители массово втискивают в посудомоечные машины, в тостеры, холодильники, стиральные машины и дверцы для кошки, то количество компьютеров превысит численность людей вчетверо.

Сейчас трудно представить, что так было не всегда. Инновационные изменения носят взрывной характер. Первые домашние компьютеры – Apple II, TRS-80, Commodore PET – появились на потребительском рынке в 1977 году, то есть больше 40 лет назад. Почти с самого начала одной из главных сфер применения домашних компьютеров стали игры. Графика была примитивной, игры очень простыми.

По мере того как компьютеры становились все быстрее, память росла, а цены падали, качество картинок росло, и компьютерная графика начала завоевывать киноиндустрию. Первым полнометражным анимационным фильмом, целиком сделанным на компьютере, стала «История игрушек» в 1995 году, хотя более короткие ролики начали появляться десятилетием раньше. К сегодняшнему дню спецэффекты стали сверхреалистичными и используются так широко, что мы едва их замечаем. Когда Питер Джексон снимал трилогию «Властелин колец», он не беспокоился об освещении вообще: с ним разбирались после, при последующей компьютерной обработке.

Мы настолько привыкли к высококачественной, быстро движущейся графике, что редко задумываемся, откуда это все взялось. Когда появилась первая видеоигра? За 30 лет до того, как мир увидел первые домашние компьютеры. В 1947 году пионеры телевидения Томас Голдсмит – младший и Эстл Рэй Манн оформили патент на «развлекательное устройство на основе катодно-лучевой трубки». Катодно-лучевая трубка – это короткая толстая стеклянная бутылка с широким, слегка выпуклым основанием – экраном – и узкой горловиной. Устройство в горловине бомбардирует экран потоком электронов, а электромагниты изменяют направление этого потока так, что он делает на экране последовательные горизонтальные проходы, подобно движению человеческого глаза при чтении текста. Электронный луч, попадая на переднюю часть трубки, вызывает свечение специального покрытия и создает яркую точку. В большинстве телевизоров для создания изображения использовались именно катодно-лучевые трубки (еще их называют электронно-лучевыми), пока в 1997 году на рынке не появились телевизоры с плоским экраном. Игра Голдсмита и Манна родилась под впечатлением от радарных дисплеев Второй мировой войны. Световая точка представляла летящую ракету, а игрок пытался заставить ее попасть в цель, которую рисовали на бумаге и прикрепляли к экрану.

К 1952 году большая вычислительная машина EDSAC одолела головокружительные высоты игры в крестики-нолики. Хитом у пользователей стала игра Pong – одна из первых диалоговых видеоигр компании Atari – упрощенная двумерная игра в настольный теннис с шариком, отскакивавшим от двух ракеток, каждой из которых управлял один игрок. По сегодняшним меркам графика там была очень примитивной – ракетки изображали два подвижных прямоугольника, а шарик – маленький квадратик. Действие в этой игре почти отсутствовало, но до появления более совершенных технологий она была заметным достижением.

Вряд ли надо говорить, что Гамильтон не мог даже вообразить подобное применение для своего математического детища. Чтобы созреть и прорасти, этой идее потребовалось 142 года. Но задним числом мы понимаем, что эта возможность изначально присуща тому типу задач, на решение которых было нацелено его открытие. В математике существует множество стилей. Математики могут заниматься решением задач и искать ответы на конкретные вопросы, будь то в реальной жизни или в высоком мире чистой математики. Они могут посвящать себя построению теорий и заниматься доказательством бесчисленных специализированных теорем в рамках единой системы. Среди них могут встречаться талантливые одиночки, перескакивающие с одной области на другую и работающие над тем, что захватило их воображение. Они могут быть и инструментальщиками, разрабатывающими новые инструменты, пригодные для решения пока не поставленных вопросов, и методы, пока не нашедшие применения.

Гамильтон известен в основном как создатель теорий, но кватернионы – достойный пример его мастерства как инструментальщика. Он придумал их, чтобы обеспечить алгебраическую структуру для системных расчетов в области геометрии трехмерного пространства.

Гамильтон родился в Дублине (Ирландия) в 1805 году и был в семье четвертым ребенком из девяти. Его матерью была Сара Хаттон, а отцом – Арчибальд Гамильтон, стряпчий. В три года Уильяма отправили жить к его дяде Джеймсу, который управлял школой. У Уильяма не по годам рано проявился талант к языкам, но он сумел самостоятельно освоить и математику. Именно математику он изучал позже, с 18 лет, в дублинском Тринити-колледже и получал самые высокие оценки. Джон Бринкли, епископ Клойнский, выразился так: «Этот молодой человек, я не говорю станет, он уже является первым математиком своего поколения». Епископ, похоже, был прав, и в 1837 году, будучи еще студентом, Гамильтон стал эндрюсским профессором астрономии и королевским астрономом Ирландии. Оставшуюся часть своей профессиональной жизни он провел в Дансинкской обсерватории близ Дублина.

Самые известные его работы посвящены оптике и динамике, в первую очередь замечательной связи между двумя этими очень разными областями математической физики. Гамильтон переформулировал их с точки зрения общей математической концепции – основной функции. Сегодня мы называем эту функцию гамильтонианом и понимаем, что она привела к крупным успехам в обеих областях. Позже она оказалась именно тем, что нужно было для совершенно новой и очень странной теории – квантовой механики.

Мы уже упоминали Гамильтона в предыдущей главе. В 1833 году он сумел найти решение не поддававшейся разгадке несколько столетий квазифилософской головоломки: очистил комплексные числа от загадочности, показал, что они притворщики, что их кажущаяся новизна есть результат хитрой маскировки, а истинная природа почти тривиальна. Комплексное число, сказал Гамильтон, представляет собой ни больше ни меньше чем упорядоченную пару действительных чисел, снабженную конкретным списком правил сложения и перемножения пар. Мы видели также, что решение головоломки появилось слишком поздно, чтобы кого-нибудь впечатлить, и что Гаусс, когда ему пришла в голову та же идея, не потрудился даже опубликовать ее. Тем не менее размышления Гамильтона о комплексных числах оказались весьма ценными, потому что вдохновили его на создание кватернионов.

За эти и другие математические достижения в 1835 году Гамильтон был возведен в рыцарское достоинство. Кватернионы появились позже, и когда это произошло, мало кто, если не считать самого Гамильтона и нескольких почитателей, по достоинству оценил их значение. Мне кажется, при жизни Гамильтона большинство математиков и физиков рассматривало его энтузиазм в отношении кватернионов как чудачество – если не безумие в полном смысле этого слова, то нечто опасно к нему близкое. Они ошибались. Новое изобретение Гамильтона запустило настоящую революцию и завело математиков на незнакомые, неисследованные территории. Можно понять, почему большинство не сумело оценить их потенциал, но сам Гамильтон не сомневался, что наткнулся на что-то важное. Его новые территории до сих пор предлагают нам дразнящие новые открытия.

Есть вопросы, которые мало беспокоят геймеров или посетителей кинотеатров. Как работает графика? Как создаются эти иллюзии? Что делает их такими убедительными? Это понятно: не обязательно знать эти вещи, чтобы получать удовольствие от игры или просмотра фильма. Однако компании, которые специализируются на компьютерной графике и создают игры, нуждаются в большом количестве высокообразованных людей, знающих, как работают различные фокусы, разбирающихся в технических деталях и обладающих мастерством и креативностью, чтобы изобретать новые. Эта не та область деятельности, где можно почивать на лаврах.

Базовые принципы геометрии известны уже как минимум 600 лет. В эпоху итальянского Возрождения ряд видных художников начали понимать геометрию перспективного рисунка. Эта техника позволяет художнику создавать реалистичные изображения трехмерного мира на двумерном холсте. Человеческий глаз делает примерно то же самое, только роль холста играет сетчатка. Полное описание довольно сложно, но в принципе художник проецирует реальную сцену на плоский холст, проводя прямую линию от каждой точки пейзажа до точки, представляющей глаз зрителя, и отмечая место, где эта прямая достигает холста. Чудесная гравюра Альбрехта Дюрера «Художник, рисующий лютню» может служить наглядным изображением такой процедуры.

Это геометрическое описание можно перевести в простую математическую формулу, которая превращает три координаты точки в пространстве в две координаты соответствующего изображения на холсте. Чтобы применять эту формулу, нужно только знать положение холста и глаза зрителя по отношению к объекту. По практическим соображениям эту трансформацию, называемую проекцией, применяют не к каждой точке объекта, а лишь к достаточному их числу для получения хорошей аппроксимации. Эта особенность заметна и на гравюре, где видно множество точек, образующих контур лютни, а не полные ее очертания. Тонкие детали, такие как тростник на кровле или рябь на поверхности воды, а также, разумеется, цвета можно позже «наложить» на этот набор точек, пользуясь методами, которые я не буду описывать, потому что для этого потребовалась бы целая книга.

Именно это, в сущности, происходит, когда нам показывают вид деревни глазами дракона. У компьютера в памяти уже хранятся репрезентативные координаты всех значимых элементов деревни. Сетчатка драконьего глаза играет роль холста. Если мы знаем, где она находится и под каким углом располагается, то можем воспользоваться формулой и вычислить, что дракон должен видеть. Это дает один кадр фильма, который показывает зрителю деревню в конкретный момент времени. На следующем кадре деревня остается на том же месте, но дракон – и, соответственно, сетчатка его глаза – немного смещается. Вычисляем, куда именно, повторяем расчет – и получаем следующий кадр. Следуем по маршруту дракона в небесах и кадр за кадром складываем картину того, что он видит.

Гравюра «Художник, рисующий лютню» Альбрехта Дюрера иллюстрирует проецирование трехмерного пространства на двумерный холст

Это не буквальное описание процесса, разумеется, а всего лишь основная идея, лежащая в его основе. Существуют специальные приемы, позволяющие сделать расчеты более эффективными и сэкономить компьютерное время. Для простоты мы их проигнорируем.

Аналогичный расчет применяется и для сцен с приближающимся драконом, наблюдаемых с земли. Здесь нам нужно другое множество точек, определяющее положение дракона в пространстве, а экран, на который все проецируется, находится на земле, а не в глазу дракона. Для определенности возьмем вид со стороны дракона. С его точки зрения, его глаз неподвижен, зато деревня движется. По мере того как дракон подлетает ближе и проходит над деревней, все в ней зрительно увеличивается, она поворачивается и покачивается, повторяя собственные движения дракона. Если дракон взмывает в небеса, деревня уменьшается. Все это время перспектива должна оставаться убедительной, и математический ключ к этому – представление деревни в виде жесткого (и сложного) объекта. Вы можете приблизительно понять, как это происходит, если представите себя драконом, который держит перед глазами некий объект и рассматривает его, отодвигая или придвигая поближе, поворачивая так или этак.

Мы при этом представляем все в драконовой «системе отсчета», которая неподвижна относительно него. Деревня движется как жесткое целое, а это математически означает, что расстояние между любыми двумя ее точками остается неизменным. Но объект как целое может двигаться в пространстве. Существует два основных типа движения: параллельный перенос и вращение. При параллельном переносе объект скользит в некотором направлении, не наклоняясь и не разворачиваясь. При вращении объект поворачивается вокруг неподвижной прямой – оси вращения, и каждая его точка поворачивается на один и тот же угол на плоскости, перпендикулярной оси. Осью может быть любая прямая в пространстве, и угол поворота тоже может быть любым.

Любое жесткое движение является комбинацией параллельного переноса и вращения (но параллельный перенос может осуществляться на нулевое расстояние, а вращение – на нулевой угол, в этих случаях преобразования не производят никакого действия). На самом деле это неправда: существует еще один тип движения – отражение, которое работает по принципу зеркала. Но отражение невозможно получить при помощи непрерывного перемещения, так что про него можно забыть.

Ну вот, мы сделали ключевой шаг на пути превращения летающих драконов в математику. Теперь необходимо понять, как меняются координаты точки в пространстве, когда мы применяем к объекту параллельный перенос или вращение. Сделав это, мы сможем воспользоваться стандартной формулой проецирования результата на плоский экран. Оказывается, параллельный перенос никаких сложностей не представляет. Зато вращение – это большая головная боль.

* * *

В двух измерениях – на плоскости – все намного проще. Евклид формализовал геометрию плоскости примерно в 300 году до н. э. Однако он не прибегал при этом к помощи движений, а использовал конгруэнтные треугольники[6] – треугольники одинаковой формы и размера, различающиеся только положением на плоскости. К XIX веку математики научились интерпретировать такую пару треугольников как жесткое движение, то есть как такое преобразование плоскости, которое переносит первый треугольник на позицию второго. Георг Бернхард Риман определил геометрию через конкретные типы преобразований.

Следуя совсем другим путем, математики смогли также предложить эффективные способы расчета жесткого движения на плоскости – это был неожиданный побочный эффект одного нововведения в алгебре, которое мы уже упоминали в предыдущей главе: комплексных чисел. Чтобы осуществить параллельный перенос (скольжение) фигуры, например PIG (см. рис. в главе 6), мы прибавляем одно и то же комплексное число к каждой ее точке. Чтобы повернуть ее на угол A, мы умножаем каждую точку фигуры на e^iA. В качестве вишенки на торте оказалось, что комплексные числа идеальны для решения дифференциальных уравнений физики… но только в двумерном пространстве.

Все это натолкнуло Гамильтона на идею, которая вскоре захватила его. Поскольку комплексные числа так эффективны в двумерной физике, должны существовать и аналогичные им «суперкомплексные» числа, обеспечивающие те же преимущества в трех измерениях. Если бы ему удалось найти новую систему чисел, способную играть эту роль, вся реалистичная физика широко распахнулась бы перед ним. Было даже очевидно, с чего следует начать. Поскольку комплексные числа представляют собой пары действительных чисел, эти гипотетические суперкомплексные числа должны быть тройками действительных чисел. По одному действительному числу на измерение. Формула для сложения таких троек (или триплетов, как Гамильтон их часто называл) была очевидна: достаточно просто сложить соответствующие компоненты. С параллельным переносом разобрались. Оставалось найти способ перемножения триплетов. Но, что бы ни пробовал Гамильтон, с умножением у него ничего не получалось. К 1842 году его настолько захватила эта проблема, что на нее обратили внимание даже дети. Каждый день они спрашивали у отца: «Папа, ты научился перемножать триплеты?» И каждый день Гамильтон отрицательно качал головой. Складывать и вычитать – да, а перемножать – никак.

Зачастую трудно определить точную дату великого математического открытия или прорыва. Дело в том, что у подобных событий нередко длинная и запутанная предыстория. Но иногда и точная дата, и место известны. В данном случае дата – это понедельник, 16 октября 1843 года, а место – Дублин. Можно даже высказать вполне обоснованную догадку о времени, когда это произошло, поскольку Гамильтон, ставший к тому моменту президентом Королевской ирландской академии, шел с женой по тропинке вдоль канала на заседание Совета академии. Когда он остановился передохнуть на Брумском мосту, его осенило. Он увидел решение давней задачи и выцарапал его карманным ножом прямо на камнях моста.

i² = j² = k² = ijk = –1.

С тех пор надпись, конечно, стерлась, но каждый год группа физиков и математиков проходит по «тропе Гамильтона», чтобы сохранить память об этом событии.

Без объяснения эта надпись безнадежно туманна. Даже с объяснением она может показаться нелепой и бессмысленной, но так часто случается с великими математическими открытиями. На их осмысление требуется время. Если бы открытием были комплексные числа, Гамильтон нацарапал бы простое правило: i² = –1. В этом уравнении – ключ ко всей системе комплексных чисел, все остальное вытекает из него, если поставить условие, что обычные правила арифметики должны соблюдаться и здесь. Добавьте к i еще j и k, и окажется, что формула Гамильтона определяет более широкую систему чисел, или, если вам так больше нравится, числоподобных объектов. Автор назвал эти объекты кватернионами, поскольку в них четыре компонента, в роли каждого из которых выступает традиционное действительное число. Вот эти компоненты: обычное действительное число; действительное число, умноженное на число i, которое ведет себя как обычное мнимое число, обозначаемое этим символом; два новых компонента – действительное число, умноженное на число j, и действительное число, умноженное на число k. Таким образом, типичный кватернион представляет собой комбинацию вида a + bi + cj + dk, где a, b, c, d – четыре обычных действительных числа. Или, если мы хотим избавиться от мистики и загадочности, это четверка (a, b, c, d) действительных чисел, подчиняющаяся короткому списку арифметических правил.

На следующий день после своего поступка, отдающего мелким хулиганством, Гамильтон написал своему другу математику Джону Грейвзу: «Меня вдруг осенило, что мы должны признать в каком-то смысле четвертое измерение пространства, чтобы проводить расчеты с тройками». В письме к отцу он отметил: «Такое впечатление, что замкнулся электрический контур и проскочила искра». В его словах было больше правды, чем ему могло показаться, потому что сегодня это открытие играет принципиально важную роль в миллиардах электрических схем, в которых задействованы квадриллионы крохотных искр. Они известны под такими названиями, как Playstation 4, Nintendo Switch и Xbox, а используются для воспроизведения таких видеоигр, как Minecraft, Grand Theft Auto и Call of Duty.

Сегодня мы понимаем, почему Гамильтону никак не удавалось перемножить триплеты. Эта операция невозможна. Он ведь считал, что обычные законы алгебры при этом должны по-прежнему действовать, в частности, что можно делить на любое ненулевое число. Однако, какую бы формулу он ни пробовал, всем необходимым правилам она подчиняться не желала. Позже алгебраисты доказали, что такие требования логически противоречивы. Если вы хотите, чтобы все законы продолжали действовать, то не можете пойти дальше комплексных чисел. Вы заперты в двух измерениях. Если поиграть с формулами Гамильтона, считая при этом, что сочетательный закон действует, можно без труда убедиться, что один из законов уже отброшен, а именно перестановочный закон умножения. Например, из его формул следует, что ij = k, тогда как ji = –k.

Гамильтону хватило воображения, чтобы отказаться от данного закона, несмотря на все затруднения, и это еще мягко сказано. Но мы сегодня знаем, что даже в этом случае невозможно построить замкнутую числовую систему троек. Красивая теорема Адольфа Гурвица, опубликованная после смерти автора в 1923 году, гласит, что действительные числа, комплексные числа и кватернионы представляют собой единственно возможные «алгебры действительного деления». То есть этот фокус можно проделывать с одним, двумя или четырьмя действительными компонентами, но не с тремя. Из перечисленных только действительные и комплексные числа подчиняются перестановочному закону. Ослабив еще и сочетательный закон, можно получить также систему с восемью компонентами, известную как октонионы, или числа Кэли. Следующим естественным числом компонентов было бы 16, но в этом случае откажет даже ослабленный вариант сочетательного закона. Вот и все. Ничего больше по указанному принципу построить нельзя. Это одна из тех странных диковинок, которые иногда выдает математика: в данном контексте следующий член в последовательности 1, 2, 4, 8, … не существует.

Так что несчастный сэр Уильям провел несколько лет в бесплодных усилиях, пытаясь достичь невозможного. Совершенный им в конечном итоге прорыв опирался на отказ от двух ключевых принципов: что умножение должно подчиняться перестановочному закону и что «правильная» числовая система для трехмерной физики должна иметь три компонента. Он заслуживает огромного уважения за то, что сумел понять: чтобы сделать шаг вперед, необходимо отказаться от обоих принципов.

* * *

Название, предложенное Гамильтоном для новой системы, – кватернионы – отражает связь с четырьмя измерениями. Он пропагандировал их использование во многих областях математики и физики, показывая, что особый тип кватерниона, его «векторная часть» bi + cj + dk, может весьма элегантно представлять трехмерное пространство. Однако кватернионы вышли из моды, когда появилась более простая структура – векторная алгебра. Они остались интересными для специалистов по чистой математике и теоретической физике, но не оправдали надежд своего создателя на широкое практическое использование. Ну, то есть до появления компьютерных игр и компьютерной графики в киноиндустрии.

Связь с кватернионами возникает потому, что объекты в компьютерной графике требуется вращать в трехмерном пространстве, а лучше всего делать это с помощью кватернионов Гамильтона. Они дают нам простой алгебраический инструмент для быстрого и точного расчета результатов вращения. Гамильтон был бы поражен, поскольку в его время кинематографа не существовало. Старая математика может находить совершенно новые сферы применения.

Предложение использовать кватернионы в компьютерной графике впервые было высказано в 1985 году в статье Кена Шумейка «Анимация вращения при помощи кватернионных кривых»{53}. Статья начиналась с утверждения: «Твердые тела вертятся и кувыркаются, двигаясь в пространстве. В компьютерной анимации то же самое делают камеры. Вращение этих объектов лучше всего описывается с использованием четырехкоординатной системы, кватернионов». Далее Шумейк заявлял, что кватернионы обладают ключевым преимуществом – позволяют гладко «заполнять промежутки», то есть интерполировать изображения между двумя заданными граничными точками.

Прежде чем разбирать подробности, имеет смысл обсудить ряд особенностей компьютерной анимации, которые обусловливают такой подход. Разговор будет сильно упрощенным, к тому же, помимо описанного, используется немало других методов. Фильм или движущееся изображение на компьютерном экране на самом деле представляет собой серию неподвижных изображений, показываемых быстро одно за другим, чтобы создать у зрителя иллюзию движения. На заре мультипликации – вспомните хотя бы мультфильмы Уолта Диснея – художники рисовали каждое из неподвижных изображений на отдельном листе. Для получения реалистичных движений (в той мере, в какой говорящая мышь может быть реалистичной) требовалось огромное мастерство. Существовали приемы, позволявшие упростить процесс. Например, иногда фон делали единым для последовательности кадров и уже на него накладывали изображения объектов, которые менялись в каждом кадре.

Это очень трудоемкий метод, к тому же он плохо подходит для съемки стремительных космических сражений или любой другой высококачественной анимации. Представьте, что вам нужно снять последовательный ряд кадров для фильма или игры, где взаимодействуют несколько звездолетов. Каждый звездолет уже прорисован и проработан (на компьютере) дизайнером. Он представлен в виде фиксированного набора точек в пространстве, связанных воедино и образующих сеть из крохотных треугольничков. Эти треугольнички, в свою очередь, могут быть представлены подходящими списками чисел – координатами точек и закодированной информацией о том, какие точки должны быть соединены друг с другом. Компьютерная программа может «отрисовать» этот набор чисел (и добавить туда другую информацию, например цвет), чтобы получилось двумерное изображение звездолета. Это изображение позволяет увидеть, как будет выглядеть звездолет, когда его поместят в начальное положение и будут рассматривать с определенного направления.

Чтобы заставить звездолет двигаться, мультипликатор меняет определяющие его числа нужным образом. Например, чтобы переместить его в новую точку, ко всем точкам прибавляют фиксированную тройку чисел (вектор смещения), тогда как связи внутри объекта остаются неизменными. Затем этот новый список чисел вновь отрисовывают, чтобы получить следующий кадр, и т. д. Прибавление вектора – операция простая и быстрая, но объекты могут также вращаться в пространстве. Они могут поворачиваться вокруг любой оси, и направление оси тоже может меняться по мере движения объекта. Повороты также меняют список чисел, но более сложным образом.

Довольно часто мультипликатор знает, откуда объект начинает движение (скажем, с поверхности Земли) и куда он должен переместиться (скажем, вдоль линии, ведущей к далекой Луне). Принципиально важно и точное положение двумерного экрана, потому что именно его видит зритель. Он должен выглядеть достаточно художественно или увлекательно, в зависимости от ситуации. Поэтому обе локации, начальная и конечная, тоже представлены тщательно рассчитанными списками чисел. Если характер движения в промежутке между ними не так важен, компьютер может получить задание интерполировать объект между начальной и конечной точками. Тогда два списка объединяются согласно определенному математическому правилу, которое представляет характер перехода от одного к другому. Усреднение каждой пары соответствующих координат, например, дает нам объект посередине между стартом и финишем. Однако такое слишком сильное упрощение неприемлемо, поскольку оно обычно искажает форму звездолета.

Фокус в том, чтобы воспользоваться для интерполяции жестким движением в пространстве. Можно, например, начать с переноса звездолета в центральную точку и поворота его на 45°. Если проделать это еще раз, звездолет окажется в конечной точке с разворотом на 90° относительно начальной ориентации. Для получения иллюзии непрерывного движения можно раз за разом переносить звездолет на 1/90 дистанции и поворачивать при этом на 1°. На практике, конечно, используются намного более мелкие шаги.

Более отвлеченно мы можем рассматривать эту процедуру с точки зрения «пространства конфигураций» всех движений. Каждая точка в этом пространстве соответствует конкретному движению, причем близкие точки дают близкие движения. Так что последовательность движений, каждое из которых близко к предыдущему, соответствует последовательности точек, каждая из которых близка к предыдущей. Связывая эти точки в упорядоченную цепочку, мы получаем ломаную траекторию в пространстве жестких движений, а очень маленький шаг делает траекторию непрерывной. Так что теперь задача заполнения промежутков от начального изображения до конечного превращается в задачу нахождения маршрута через пространство конфигураций. Если мы хотим, чтобы переход получился гладким, траектория тоже должна быть гладкой, без резких поворотов. Существуют хорошие способы сглаживания ломаной линии.

«Размерность» пространства конфигураций, то есть число координат, необходимых для определения точки в нем, равна шести. В это число входят три измерения для параллельного переноса: по одной координате для каждого направления север-юг, восток-запад, верх-низ. Еще два измерения нужны, чтобы обозначить положение оси вращения, а последнее – для угла вращения. Итак, то, что начиналось как задача о плавном движении объекта в трех измерениях, превращается в задачу о движении точки вдоль гладкой траектории в шести измерениях. Таким образом, преобразованная задача анимации может быть решена при помощи методов из многомерной геометрии, которые помогают строить подходящие траектории.

* * *

В прикладной математике традиционный подход к описанию вращения цельного объекта восходит к Эйлеру. В 1752 году он доказал, что любое движение, в котором не присутствует зеркальное отражение, представляет собой либо параллельный перенос, либо вращение вокруг оси{54}. Однако для расчетов он комбинировал три вращения вокруг трех осей в обычном координатном представлении пространства, сегодня этот метод называют эйлеровыми углами. В качестве примера Шумейк рассматривал ориентацию самолета, которая в аэронавтике определяется тремя углами:

• рысканье относительно вертикальной оси дает направление движения самолета в горизонтальной плоскости;

• тангаж – вращение вокруг горизонтальной оси, проходящей через крылья;

• крен – вращение вокруг оси, проходящей из носа в хвост.

Первая проблема такого представления состоит в том, что принципиально важен порядок, в котором применяются компоненты. Вращения не коммутативны, их нельзя переставлять местами. Вторая проблема в том, что выбор осей не является единственно возможным, и в разных сферах используются разные варианты. Третья – в том, что формулы для объединения двух последовательных вращений, выраженных через эйлеровы углы, чрезвычайно сложны. Эти особенности не вызывают чересчур больших проблем в аэродинамике, где речь идет в основном о силах, действующих на самолет, когда он находится в заданной ориентации, но для компьютерной анимации, где объекты претерпевают последовательности движений, они весьма неудобны.

Шумейк утверждал, что кватернионы обеспечивают хотя и менее непосредственный, но куда более удобный для аниматоров способ определения вращений, особенно когда дело касается заполнения промежутков. Кватернион a + bi + cj + dk расщепляется на скалярную часть a и векторную часть v = bi + cj + dk. Чтобы повернуть вектор v на кватернион q, нужно умножить v на q^-1 слева и на q справа, чтобы получить q^-1vq. Каким бы ни был q, результатом будет вновь вектор с нулевой скалярной частью. Правила перемножения кватернионов Гамильтона показывают, что любое вращение соответствует единственному кватерниону. Скалярная часть равна косинусу половины угла поворота; векторная часть направлена вдоль оси вращения и имеет длину, равную синусу половины этого угла. Так что кватернион очень аккуратно кодирует всю геометрию вращения, и единственное небольшое неудобство состоит в том, что естественные формулы работают с половиной угла, а не непосредственно с самим углом{55}.

Кватернионы позволяют уйти от искажений, которые могут накопиться, если объект проворачивается многократно, как часто и требуется. Компьютеры способны проводить точные расчеты с целыми числами, но действительные числа не могут быть представлены с абсолютной точностью, так что в результат вкрадываются крохотные ошибки. При обычных методах представления трансформаций объект, которым манипулируют, слегка меняет форму, а глаз хорошо замечает подобные вещи. Если же взять кватернион и слегка изменить в нем числа, результат по-прежнему будет кватернионом и по-прежнему будет представлять вращение, поскольку каждый кватернион представляет определенное вращение. Просто это будет чуть иное вращение, не точно совпадающее с первоначальным. К подобным ошибкам глаз значительно менее чувствителен, кроме того, если они становятся слишком большими, их несложно скомпенсировать.

* * *

Кватернионы – один из способов создания реалистичного движения в трех измерениях, но все, что я описывал до сих пор, относится исключительно к цельным, жестким объектам. К звездолетам, возможно, но к драконам нет. Драконы изгибаются. Как же получить средствами компьютерной графики реалистично движущегося дракона? Общий метод, который я буду описывать, применим не только к драконам, но почти ко всему, и мы возьмем для примера динозавра, потому что у меня есть подходящие картинки[7]. Такой подход сводит движение гибкого объекта к движению множества связанных между собой жестких объектов. Вы используете для этих жестких объектов любой метод, какой вам нравится, с дополнительными поправками, позволяющими корректно связать их воедино. В частности, если для вращения и параллельного переноса жестких объектов используются кватернионы, то эти же методы можно приспособить для работы с гибким динозавром.

Слева: грубая полигональная сетка для Tyrannosaurus rex.

Справа: сетка, прикрепленная к рудиментарному скелету

На первом этапе создается трехмерная цифровая модель динозавра, поверхность которого представляет собой сложную сетку из плоских многоугольников – треугольников, прямоугольников, менее правильных четырехугольников. Программа, используемая для этой цели, показывает форму геометрически, и вы можете двигать объект, вращать его, приближать и т. д. Каждое движение при этом отображается на компьютерном экране. Однако непосредственно программа работает не с геометрией как таковой, а со списком координат точек, где стыкуются многоугольники. Мало того, математика, которую при этом использует программа, помогая рисовать динозавра, примерно та же, что задействуется для анимации результата. Основное различие состоит в том, что на этом этапе динозавр как бы закреплен, а вращается и переносится точка наблюдения. При анимации закрепленной может быть точка наблюдения, а динозавр движется, или, как с летящим драконом, точка наблюдения может двигаться тоже.

Так что теперь у нас имеется грубый и жесткий динозавр. Как заставить его двигаться? Чего мы точно не делаем, так это того, что приходилось делать художникам во времена Микки-Мауса: мы не перерисовываем изображение с динозавром в чуть разном положении сотни раз. Мы хотим, чтобы компьютер делал за нас всю рутинную работу. Поэтому мы сводим нашего динозавра к рудиментарному скелету – небольшому числу жестких стержней («костей»), концы которых соединены. Мы пропускаем эти стержни через туловище, конечности, хвост и голову динозавра. Это не анатомически корректный скелет, а просто рамка, которая позволяет изгибать основные части животного. Скелет также представлен в виде списка координат для двух концов каждой кости.

Очень эффективный способ получения реалистичных движений, особенно людей и других гуманоидных существ, – захват движения. Актер проделывает необходимые движения перед камерой или несколькими камерами, если нужно получить трехмерные данные. При этом на ключевых точках его тела, таких как ступни, колени, бедра и локти, закрепляются белые кружки (точки), а затем компьютер, анализируя полученное видео, получает данные о движении этих точек. Эти данные используются для анимации скелета. Именно так был анимирован Голлум в трилогии «Властелин колец». Естественно, если вам нужны странные нечеловеческие (но при этом реалистичные) движения, то и актеру приходится двигаться соответствующим образом.

Каким бы способом ни анимировался скелет, как только результат нас устраивает, мы «набрасываем» на него подготовленную сетку. То есть мы объединяем два списка координат, определяя дополнительные связи между положением костей и положением окружающих их кусочков сетки. Затем на большую часть процесса мы забываем о сетке и занимаемся исключительно анимацией скелета. Именно на этом этапе очень кстати оказывается наша работа, связанная с жестким движением, потому что каждая кость является жесткой, и мы хотим, чтобы они двигались в трех измерениях. Кроме того, мы должны наложить на движение ограничения, благодаря которым скелет будет оставаться целым. Если мы двигаем одну кость, концы костей, прикрепленных к ней, тоже должны сдвинуться, так что мы переносим координаты этих концов в правильные позиции. Затем можно жестко двигать и эти кости тоже, что, конечно, влияет на кости, прикрепленные уже к ним… так, кость за костью, мы заставляем весь скелет слегка изогнуться. Можно сдвинуть ступни, чтобы заставить динозавра идти, изогнуть хвост вверх, вниз или в сторону, открыть ужасные челюсти – но все это мы проделываем на скелете. Это проще, быстрее и дешевле, потому что у скелета намного меньше частей.

Когда характер движений скелета нас устраивает, мы набрасываем на скелет сетку, начиная с первого кадра движения. А программа анимации заставляет следовать за движениями скелета на последовательных кадрах, причем нам уже не нужно ничего делать, за исключением, возможно, одного-двух кликов мышкой. Это позволяет убедиться, что анимация по-прежнему выглядит реалистично, когда весь динозавр следует за тем, что происходит с его скелетом.

Далее можно заняться творчеством и поиграть разными параметрами. Мы можем сдвигать положение «камеры», менять точку зрения, используемую программой, приближать объекты, получая крупный план, или, наоборот, рассматривать бегущего динозавра издалека – все что угодно. Мы можем создавать других существ, например стадо травоядных, убегающих от чудовищного тираннозавра. Делается это аналогично – сначала скелеты, на которые затем набрасывается сетка. Можно анимировать каждое существо отдельно, а затем собрать их вместе в единую сцену охоты хищника.

Поскольку скелеты – это всего лишь схематичные фигурки, на этом этапе мы, пожалуй, еще ничего не сделали, чтобы предотвратить появление двух существ в одном и том же объеме пространства. Дополнительные настройки программы позволяют ей предупреждать нас о столкновениях такого рода. Когда мы набрасываем на скелеты сетки, те многоугольники, которые оказываются впереди, перекрывают те, что сзади, и, поскольку динозавры непрозрачны, приходится убирать те области, которые должны быть скрыты. Все это делается при помощи простых вычислений координатной геометрии, но таких вычислений оказывается довольно много. До тех пор пока компьютеры не стали по-настоящему быстрыми, это было невыполнимо. Теперь это рутина.

Дел остается еще немало, поскольку динозавр, похожий на скопище многоугольников, не слишком впечатляет. Нужно задрапировать многоугольники реалистичным кожным узором, затем разобраться в цветовой информации, может быть, создать какие-то реалистичные текстуры – мех выглядит совсем иначе, нежели чешуя. Каждый шаг требует отдельного программного обеспечения и применения соответствующих математических методов. Этот этап называется отрисовкой, и именно на нем собирается окончательная картинка, которая появляется на экране, когда мы смотрим кино. Но в сердце всего лежат миллиарды вычислительных операций, обеспечивающих жесткое движение точек и ребер.

Эти математические методы обладают и еще одним преимуществом. На любом этапе, когда нас что-то не устраивает, мы можем изменить соответствующую деталь. Если мы хотим, чтобы динозавр был зеленым, а не коричневым, то не нужно перерисовывать все заново. Мы воспользуемся тем же скелетом и той же сеткой, возьмем те же движения и ту же текстуру кожи, но поменяем ее цвет.

Занимаясь созданием фильма или игры, команды специалистов используют целый ряд стандартных пакетов программ, разработанных для обеспечения этих процессов. Чтобы дать вам хотя бы примерное представление о сложности происходящего, я назову некоторые из компаний и программных пакетов, использованные при создании фильма «Аватар».

Основной объем анимации обеспечивала компания Weta Digital в Новой Зеландии, известная своей работой над «Властелином колец» и «Хоббитом». Почти две сотни видеопоследовательностей – в основном это были летательные аппараты в финальном сражении – создала компания Industrial Light & Magic, основанная в 1975 году Джорджем Лукасом для создания спецэффектов для первого фильма саги «Звездные войны». Остальные компании из Великобритании, Канады и США добавляли к изображению важные детали, такие как экраны в аппаратной и информационные табло на забралах шлемов, имитирующие технологии будущего. Большая часть подобных кадров была сделана в редакторе Autodesk Maya. Дизайн моделей летательных аппаратов, в особенности Scorpion, был сделан в программе MODO компании Luxology. Сцены в поселке Хеллс-Гейт и интерьеры создавались в редакторе трехмерной графики Houdini. Инопланетные существа были нарисованы с помощью ZBrush. Первоначальный концепт и текстуры создавались при помощи программы Adobe Photoshop. Всего в работе над фильмом участвовало около десятка компаний и использовалось 22 пакета программ плюс бесчисленные специально написанные плагины.

* * *

В настоящее время комплекс инструментов, применяемых для компьютерной анимации, пополняют кое-какой весьма хитроумной математикой. Цель, как всегда, – сделать задачу аниматора как можно более простой, получить реалистичный результат и снизить затраты денег и времени. Мы хотим всё, причем сразу и дешево.

Предположим, например, что у киностудии имеется библиотека анимаций динозавра, содержащих последовательности его движений. В одной он несется вперед, совершая один «цикл бега», то есть один сегмент периодически повторяющегося движения. В другой – подпрыгивает и приземляется. Вам нужно создать последовательность, в которой он гонится за небольшим травоядным животным и прыгает на него. Эффективным началом работы над этой последовательностью будет сшивание десятка-другого циклов бега и добавление в конце прыжка. Конечно, затем придется чуть-чуть все поменять, чтобы зрителю не было видно, что повторяется одна и та же анимация, но для начала это совсем неплохо.

Разумно сшивать и выстраивать последовательности на уровне скелета. Все остальное – набросить сетки, добавить цвет и текстуру – можно сделать позже. Поэтому вы делаете очевидное – соединяете подряд 12 копий цикла бега и прыжок и смотрите, как выглядит результат.

Он выглядит ужасно.

Отдельные кусочки ничего, но друг с другом они гладко не стыкуются. Результат получается дерганым и неубедительным.

До недавнего времени единственным выходом была модификация стыков вручную с интерполяцией новых небольших кусочков движений. Но это было не очень просто. Однако кое-какие недавние новинки в области математических методов обещают облегчить эту задачу. Идея заключается в использовании методов сглаживания для заполнения прорех и выравнивания резких переходов. Главное – найти способы делать это с единичной костью скелета или, в более общем случае, с единичной кривой. Решив такую задачу, можно вновь сшить скелет воедино из отдельных костей.

Область математики, которую сейчас пытаются применить, называется теорией форм. Поэтому начнем с очевидного вопроса: что такое форма?

В обычной геометрии встречается множество стандартных форм: треугольник, квадрат, параллелограмм, окружность. При интерпретации в координатной геометрии эти формы превращаются в уравнения. На плоскости, например, точки (x, y) на единичной окружности в точности удовлетворяют уравнению x² + y² = 1. Еще один очень удобный способ представления окружности состоит в использовании так называемого параметра. Это вспомогательная переменная, скажем t, которую мы можем рассматривать как время, вместе с формулами, определяющими, как x и y зависят от t. Если t принимает ряд численных значений, то каждое его значение дает нам две координаты x(t) и y(t). Возьмите правильные формулы, и эти точки определят окружность.

Стандартные параметрические формулы для окружности имеют тригонометрический характер:

x(t) = cos t, y(t) = sin t.

Можно также изменить вид параметра в формуле и все равно получить окружность. Например, если заменить t на t³, то формулы

X(t) = cos t³, y(t) = sin t³

тоже определяют окружность, причем ту же самую. Такой эффект наблюдается потому, что параметр времени несет больше информации – не только о том, как меняются x и y. Согласно первой формуле, точка при изменении t движется с постоянной скоростью. Согласно второй формуле, нет.

Теория форм – это способ обойти проблему неопределенности. Форма – это кривая, которая рассматривается как объект, не зависящий от конкретной параметрической формулы. Так что две параметрические кривые определяют одну и ту же форму, если можно изменением параметра превратить одну формулу в другую, как при замене t на t³. За последнее столетие математики придумали общепринятый способ делать подобные вещи. Никто другой, скорее всего, об этом не подумал бы, потому что для этой идеи требуется абстрактное мышление.

Первый шаг заключается в том, чтобы рассматривать не просто одну параметрическую кривую, а «пространство» всех возможных параметрических кривых. Тогда мы говорим, что две «точки» в этом пространстве (то есть две параметрические кривые) эквивалентны, если можно перейти от одной из них к другой посредством изменения параметра. Тогда «форма» определяется как целый класс эквивалентности кривых – множество всех кривых, эквивалентных данной.

Это более обобщенный вариант приема, используемого в модулярной арифметике. Для целых чисел по модулю 5, например, «пространство» – это все целые числа, а два целых числа эквивалентны, если их разность кратна пяти. Существует пять классов эквивалентности:

Все числа, кратные 5; Все числа, кратные 5, плюс 1; Все числа, кратные 5, плюс 2; Все числа, кратные 5, плюс 3; Все числа, кратные 5, плюс 4.

Почему здесь следует остановиться? Потому что число, кратное 5, при добавлении 5 становится всего лишь следующим кратным 5.

В данном случае множество классов эквивалентности, обозначаемое Z₅, обладает весьма полезной структурой. И правда, глава 5 показала, что значительная часть фундаментальной теории чисел опирается именно на эту структуру. Мы говорим, что Z₅ – это «фактор-пространство» целых чисел по модулю 5. Именно его вы получите, если сделаете вид, что числа, различающиеся на 5, идентичны.

Нечто аналогичное приводит нас к созданию пространства форм. Здесь вместо целых чисел мы имеем пространство всех параметрических кривых. Вместо того чтобы менять числа на кратное 5, мы меняем формулу параметра. Так что в конечном итоге мы получаем «фактор-пространство», то есть пространство всех параметрических кривых по модулю изменений параметра. Звучит, возможно, бессмысленно, но это давно уже ставший стандартным прием, ценность которого подтверждена временем. Одна из причин его ценности в том, что фактор-пространство – это естественное описание интересующих нас объектов. Другая – в том, что обычно фактор-пространство наследует от исходного пространства его интересную структуру.

Для пространства форм основной интересной особенностью структуры является мера расстояния между двумя формами. Если взять окружность и слегка ее деформировать, мы получим замкнутую кривую, близкую к окружности, но не совпадающую с ней. Если деформировать окружность сильно, получим замкнутую кривую, которая, на интуитивном уровне, отличается от окружности сильнее: она «дальше» от окружности. Это интуитивное представление можно сделать более точным и доказать, что в пространстве форм есть разумная и естественная концепция расстояния: метрика.

Если пространство обладает метрикой, в нем можно делать множество разных полезных вещей. Можно, в частности, отличать непрерывные изменения от тех, которые непрерывными не являются, а можно пойти дальше: отличать плавные изменения от неплавных. Здесь, наконец, мы возвращаемся к проблеме сшивания анимационных последовательностей. Метрика пространства форм позволяет как минимум находить разрывы непрерывности или недостаток плавности на компьютере, посредством вычислений, а не на глаз. Но это еще не все.

В математике много методов сглаживания, способных превратить функцию с разрывами в непрерывную функцию, а негладкую функцию – в гладкую. Как выяснилось, эти методы можно применять и к пространству форм. Так что сшитую последовательность с внезапным разрывом непрерывности можно автоматически – посредством надлежащих компьютерных расчетов – модифицировать и, таким образом, избавиться от разрыва. Это непросто, но возможно. Даже в простом расчете расстояния между двумя кривыми используются методы оптимизации, немного похожие на те, что мы встречали в рассказе о задаче коммивояжера. Для сглаживания последовательности необходимо решить дифференциальное уравнение, напоминающее уравнение Фурье для теплопередачи, которое мы встретим в главах 9 и 10. Теперь вся анимированная последовательность кривых «перетекает» в другую анимированную последовательность, сглаживая при этом все нарушения непрерывности и плавности – и это опять же похоже на то, как тепловой поток сглаживает прямоугольный импульс{56}.

Кроме того, аналогичные абстрактные формулировки делают возможным перевод анимационных последовательностей в похожие, но другие. Последовательность, показывающую, как динозавр идет, можно при помощи небольших поправок изменить так, что животное побежит. Для этого недостаточно просто ускорить действие, потому что бег динозавра зрительно отличается от его ходьбы. Эта методология пока еще находится в начале своего развития, но она позволяет надеяться, что в будущих кинематографических спецэффектах важную роль будет играть математическая мысль очень высокого уровня.

Это всего лишь некоторые из методов, привнесенных в мультипликацию математикой. Другие методы создают упрощенные варианты физических процессов для имитации волн на поверхности океана, сугробов, облаков и гор. Их цель в том, чтобы получить реалистичные результаты, пользуясь как можно более простыми расчетами. В настоящее время существуют масштабные математические теории о представлении человеческих лиц. В фильме «Изгой-один», который является частью сериала «Звездные войны: Истории», актеров Питера Кушинга (умершего в 1994 году) и Кэрри Фишер (умершую в 2016 году) воссоздали в цифровом формате, наложив их лица поверх лиц их телесных двойников. Получилось не слишком убедительно, и фанаты шумно протестовали. В «Последнем джедае» воспользовались более подходящим методом: нарезали из материала, не вошедшего в предыдущие фильмы, кадров с Фишер и сшили их воедино, адаптировав сценарий под имеющийся видеоряд. Тем не менее потребовалось немало компьютерной графики, чтобы заменить на персонаже одежду для единства сюжета. Мало того, почти все, за исключением лица, было отрисовано в цифровом формате – голова, прическа, тело, одежда{57}.

Эти методы уже используются для создания «глубоких фейков» в политической борьбе. Достаточно снять, как какой-то человек делает расистские или сексистские замечания или ведет себя как пьяный, а затем наложить поверх лица этого человека лицо вашего оппонента и выложить ролик в социальные сети. Даже если выяснится, что это фейк, вы все равно останетесь в выигрыше, потому что слухи распространяются куда быстрее фактов. Математика и технологии, на ней основанные, могут нести как зло, так и благо. Все зависит от того, в чьих они руках.

Недавно мы купили новый матрац. Тот, что мы выбрали, содержит 5900 пружин. На разрезе матраца в магазине видны плотно упакованные группы пружин с редкими витками и целый слой пружин меньшего размера сверху. В матрацы верхнего ценового сегмента добавляют еще 2000 пружин внутрь основного слоя. Сегодняшние технологии далеко ушли от тех времен, когда в среднем матрасе насчитывалось порядка 200 довольно больших и не слишком удобных пружин.

Пружина – одна из тех деталей, которые поистине вездесущи, но которые редко замечают – пока они не испортятся. Есть клапанные пружины в двигателях автомобилей, есть длинные тонкие пружинки в шариковых авторучках, есть пружины всевозможных форм и размеров в компьютерных клавиатурах, тостерах, дверных ручках, часах, батутах, диванах и blu-ray-проигрывателях. Мы их не замечаем, потому что они прячутся внутри приборов и мебели, а, как говорится, с глаз долой – из сердца вон. Экое дело – пружины!

А знаете ли вы, как делают пружины? Я точно не знал, пока в 1992 году у меня в кабинете не зазвонил телефон.

– Алло? Это Лен Рейнольдс. Я инженер из Ассоциации исследователей и производителей пружин в Шеффилде. Я тут читал вашу книгу по теории хаоса, где упоминается метод нахождения формы хаотического аттрактора по результатам наблюдений. Мне кажется, этот метод мог бы помочь в решении проблемы, с которой мы, производители пружин, боремся последние 25 лет. Я попробовал кое-что посчитать на тестовых данных на своем ZX81.

Sinclair ZX81 был одним из первых массовых домашних компьютеров. В качестве монитора в нем использовался телевизор, а для записи программ – кассетный магнитофон. Размером он был примерно с книгу, сделан из пластика и имел целый 1 Kб памяти. Сзади можно было воткнуть еще 16 Kб при условии, что вы не забывали позаботиться о том, чтобы эта память не отваливалась. Я сделал тогда деревянную рамку, которая должна была удерживать блок RAM на месте, а некоторые пользовались офисным пластилином.

Конечно, это были далеко не передовые вычислительные технологии, но полученные Леном предварительные результаты оказались достаточно многообещающими, чтобы получить под них грант £90 000 (что соответствовало на тот момент примерно $150 000) от Министерства торговли и промышленности и примерно столько же (но уже не деньгами) от консорциума производителей пружин и проволоки. Денег хватило на трехлетний проект по улучшению контроля качества пружинной проволоки, который дал начало еще двум проектам. По одной из оценок, результат мог принести производителям пружин и проволоки экономию £18 млн ($30 млн) в год.

Таких случаев применения математики для решения производственных проблем буквально тысячи, они возникают постоянно – и столь же постоянно остаются незамеченными. Многие из них являются коммерческой тайной и защищены соглашениями о неразглашении. Время от времени такие британские организации, как Исследовательский совет по инженерным и физическим наукам и Институт математики и ее приложений, публикуют краткие обзоры проектов, то же происходит в США и других странах. Без этих проектов и без многих других случаев целевого использования математики крупными и мелкими компаниями по всему миру ничего из тех приспособлений и устройств, которыми мы сегодня пользуемся ежедневно, не было бы. Тем не менее это скрытый мир и мало кто из нас подозревает о его существовании.

В этой главе я приоткрою завесу тайны над тремя проектами, в которых мне довелось принимать участие. Их нельзя назвать особенно значимыми, просто я знаю, что в них было задействовано. Основные идеи были опубликованы в отраслевых журналах и являются общедоступными. Моя цель – показать, что использование математики в промышленности зачастую незаметно, но результаты его иногда приносят приятные неожиданности.

Как тот телефонный звонок Лена.

Проблема, которая четверть века ставила в тупик производителей пружин и проволоки, была простой и фундаментальной. Для пружин (продукт производителей пружин) нужна проволока (продукт производителей проволоки), которую пропускают через пружинонавивочные машины. По большей части проволока ведет себя как полагается, и пружины из нее получаются нужного размера и упругости. Но время от времени партия проволоки отказывается правильно навиваться даже в руках высококвалифицированного мастера. Обычные методы контроля качества начала 1990-х годов не могли отличить хорошую проволоку от плохой. Та и другая проходили одинаковые тесты на химический состав, прочность при растяжении и т. п. Визуально негодная проволока не отличалась от годной. Но когда годную проволоку запускали в пружинонавивочную машину, на выходе получались пружины с нужными характеристиками. Из негодной проволоки на выходе получалось либо что-то похожее на пружину, но неправильного размера, либо, в худшем случае, просто безнадежно спутанная проволока.

Попытка сделать из проволоки пружину не могла считаться практичным и эффективным способом проверки. Проволока, оказавшаяся негодной, занимала дорогостоящую пружинонавивочную машину на пару дней, прежде чем оператор убеждался в том, что из нее пружин не получится. К несчастью, поскольку эта проволока прошла обычные тесты, производитель всегда мог утверждать, что с проволокой все в порядке, а дело, похоже, в неправильной настройке пружинонавивочной машины. Обе отрасли сетовали на возникшее в результате безвыходное положение, обеим был нужен надежный способ определения правых и виноватых, – и обе жаждали доказательств, что виноваты не они. Добрая воля присутствовала, но необходим был объективный тест.

Когда мы начинали проект, то для начала показали математикам реальное производство пружин, чтобы они поняли, как проволока превращается в пружины. Все дело в геометрии.

Наиболее распространены пружины сжатия. Нажмите на их концы и почувствуйте, как они сопротивляются. Простейшая конструкция – спираль, похожая на винтовую лестницу. Представьте себе точку, бегающую вдоль окружности с постоянной скоростью, и начните равномерно смещать ее в направлении, перпендикулярном окружности. Кривая, которую будет описывать в пространстве эта точка, и есть спираль. Из практических соображений витки спиральных пружин на концах часто сближают, как если бы движущаяся точка сначала обежала несколько раз окружность на плоскости, потом двинулась под прямым углом к ней, а в конце вновь перестала двигаться в этом направлении и сделала пару последних витков в одной плоскости. Это помогает пружине не цепляться за все подряд – и защищает людей, помогая им не оказаться тем объектом, за который зацепится конец пружины.

Математически спираль характеризуется двумя параметрами – кривизной и кручением. Кривизна – мера того, насколько резко или плавно она изгибается. Кручение – мера того, насколько сильно спираль уходит от плоскости, определяемой направлением, в котором она изгибается. (Очевидно, существует формальное определение этих понятий, но я предлагаю не углубляться в дифференциальную геометрию пространственных кривых.) Для спирали оба эти параметра постоянны. Поэтому, когда вы смотрите на спираль сбоку, ее витки распределены равномерно и наклонены под одинаковым углом – это объясняется постоянной скоростью движения вдоль оси спирали. Когда вы смотрите в торец, все витки сливаются воедино и образуют окружность: здесь причина в равномерном движении по окружности. Маленькая окружность соответствует высокой кривизне, большая – низкой; круто восходящая спираль соответствует большому кручению, медленно восходящая – малому.

Пружинонавивочная машина воплощает эти характеристики механически, удивительно простым образом. В машину проволока поступает с большой неплотно намотанной катушки, называемой барабаном, через небольшое приспособление, представляющее собой просто жесткий кусок металла. Это приспособление одновременно изгибает проволоку в одном направлении и прикладывает небольшое усилие в направлении, перпендикулярном первому. Изгибание порождает кривизну, а усилие придает кручение. По мере того как проволока поступает, машина наматывает витки спирали один за другим. Когда спираль становится достаточно длинной, другое приспособление обрезает проволоку, и начинается формирование следующей пружины. Дополнительные устройства уменьшают кручение до нуля на концах спирали, чтобы сделать крайние витки плоскими и сблизить их. Процесс идет быстро – машина изготавливает по несколько пружин в секунду. Один производитель делал крохотные пружинки из специальной проволоки со скоростью 18 штук в секунду на каждой машине.

Компании, производящие пружины и проволоку, обычно относительно невелики и относятся к категории малых и средних предприятий. Они находятся между очень крупными поставщиками, такими как British Steel, и очень крупными потребителями, такими как автопроизводители или производители матрацев, так что их рентабельность сильно поджимается с обеих сторон. Чтобы выжить, они должны оставаться эффективными. Ни одна компания такого рода не может содержать собственный исследовательский отдел, поэтому Ассоциация исследователей и производителей пружин (SRAMA), переименованная с тех пор в Институт пружинных технологий (IST), представляет собой своего рода совместную исследовательско-конструкторскую организацию, финансируемую входящими в нее компаниями. Лен и его коллеги из SRAMA на тот момент уже добились некоторого успеха в решении проблемы навивки, устраняя то, что идет не так. Кривизна и кручение наматываемой пружины зависят от свойств проволоки, например пластичности, определяющей, насколько легко или, наоборот, трудно проволоку согнуть. Если при намотке образуется отличная правильная спираль, это значит, что свойства одинаковы по всей длине проволоки. Если правильной спирали не получается, свойства не одинаковы. Поэтому представлялось весьма вероятным, что плохая свиваемость возникает из-за беспорядочных изменений свойств материала по длине проволоки. Поэтому вопрос стоял так: как обнаружить нестабильность свойств?

С этой целью проволоку наматывали на круглый металлический стержень, примерно как спагетти наматывают на вилку, а затем измеряли расстояние между последовательными витками. Если все они примерно одинаковы – проволока годится. Если витки ложатся вкривь и вкось – проволока не годится. Правда, иногда расстояние между витками может варьировать довольно сильно, но проволока все равно годится на пружины. Может быть, они будут не настолько хороши, как в случае по-настоящему качественной проволоки, но все же пригодны для некоторых применений. Так что суть проблемы на тот момент заключалась в следующем: как количественно – иначе говоря, числами – оценить степень возникающего беспорядка, сказать, насколько «вкривь и вкось» ложатся витки?

Инженеры SRAMA применяли к списку измеряемых параметров все традиционные статистические инструменты, но не нашли параметров, которые хорошо коррелировали бы со свиваемостью. Именно здесь на сцену вышла моя книга по теории хаоса.

Название «теория хаоса» придумали журналисты, математикам она лучше известна как часть более широкой теории нелинейной динамики, которая изучает, как системы ведут себя, когда их поведение во времени управляется конкретным математическим правилом. Измерьте состояние системы сейчас, примените правило и рассчитайте состояние через крохотный промежуток времени в будущем. Затем повторите эту операцию. Время тикает, и вы можете вычислить состояние системы в сколь угодно далеком будущем. Методика расчета отвечает за динамику в названии. «Нелинейная» приблизительно означает, что правило не просто делает будущее состояние пропорциональным текущему состоянию или разнице между текущим и опорным состояниями. Для непрерывно изменяющегося времени правило задается дифференциальным уравнением, которое соотносит скорость изменения переменных системы с их текущими значениями.

Существует также дискретная версия, в которой время тикает небольшими интервалами, шаг за шагом. Она описывается уравнением в конечных разностях: состояние после одного тика есть то, что происходит с текущим состоянием при применении правила. Именно дискретная версия решает проблему навивки пружин. К счастью, она легче для понимания, чем непрерывная. Работает она примерно так:

где стрелочка означает «применить правило». Например, если правило звучит как «удвоить число», а стартуем мы с начального состояния, равного 1, то последовательные шаги дадут нам цепочку состояний 1, 2, 4, 8, …, которые всякий раз удваиваются. Это линейное правило, потому что результат пропорционален входным данным. Правило вроде «возвести в квадрат и вычесть 3» нелинейно, и в данном случае оно дает цепочку состояний

где раз за разом повторяются одни и те же два числа. Это «периодическая» динамика, примерно как смена времен года. При заданном начальном состоянии будущее поведение системы полностью предсказуемо: состояния 1 и –2 просто сменяют друг друга.

Если правило звучит как «возвести в квадрат и вычесть 4», мы получаем

и дальше числа все возрастают и возрастают (уменьшение происходит только на первом шаге). Последовательность по-прежнему предсказуема: достаточно просто вовремя применять правило. Поскольку оно носит детерминистский характер – в нем нет случайных величин, – каждая последующая величина однозначно определяется предыдущей, так что все будущее полностью предсказуемо.

То же относится и к непрерывным версиям, хотя в этом случае предсказуемость не так очевидна. Такая последовательность чисел называется временны́м рядом.

Вдохновляясь примерами Галилео Галилея и Ньютона, математики и физики открыли бесчисленное количество правил подобного рода, таких как галилеево правило для положения тела, падающего под действием силы тяжести, и ньютонов закон всемирного тяготения. Этот процесс привел к всеобщей вере в то, что любая механическая система подчиняется детерминистским правилам и, соответственно, предсказуема. Однако великий французский математик Анри Пуанкаре обнаружил в этих рассуждениях прореху, о чем и написал в 1890 году. Закон всемирного тяготения Ньютона подразумевает, что два небесных тела, например звезда и планета, движутся по эллиптическим орбитам вокруг общего центра масс, который в таком случае обычно располагается внутри звезды. Движение носит периодический характер, а периодом называется время, за которое система делает один оборот и возвращается в начальное положение. Пуанкаре задался вопросом, что происходит в случае, если тел три (Солнце, планета, Луна), и выяснил, что в некоторых случаях движение носит чрезвычайно нерегулярный характер. В дальнейшем математики, следуя за его открытием, поняли, что нерегулярность такого типа делает будущее системы непредсказуемым. Прореха в «доказательстве» предсказуемости заключается в том, что оно верно только в том случае, если вы можете измерить начальное состояние и провести все расчеты с идеальной точностью – с точностью до бесконечного числа десятичных знаков. Иначе даже крохотные расхождения могут вырасти экспоненциально и поглотить истинное значение.

Это и есть хаос или, правильнее сказать, детерминистский хаос. Даже если вы знаете правила и в них нет случайных составляющих, на практике будущее может оказаться непредсказуемым, даже если оно предсказуемо в теории. Мало того, поведение системы может оказаться настолько нерегулярным, что будет выглядеть как случайное. В истинно случайной системе текущее состояние не дает вообще никакой информации о следующем состоянии. В хаотической системе присутствуют тонкие закономерности. Тайные закономерности, стоящие за хаосом, носят геометрический характер и могут быть визуализированы путем построения решений модельных уравнений как кривых в пространстве, координатами которого являются переменные состояния. Иногда, если немного подождать, эти кривые начинают прорисовывать сложную геометрическую фигуру. Если кривые, выходящие из разных начальных точек, выписывают одну и ту же фигуру, мы называем эту фигуру аттрактором. Аттрактор характеризует скрытые закономерности в хаотическом поведении.

Слева: аттрактор Лоренца. Справа: реконструкция его топологии по одной переменной

В качестве стандартного примера обычно приводят уравнения Лоренца – динамическую систему с непрерывным временем, моделирующую конвекционный поток, например движение теплого воздуха в атмосфере. В этом уравнении три переменные. На рисунке, отражающем их изменения в трехмерной системе координат, все кривые решений в конечном итоге движутся вдоль фигуры, напоминающей маску, – это и есть аттрактор Лоренца. Хаос возникает потому, что, хотя кривые решений странствуют туда и сюда по этому аттрактору (ну хорошо, очень близко к нему), разные решения делают это очень по-разному. Одно может, например, шесть раз обойти вокруг левой петли, а затем семь раз вокруг правой; близлежащая кривая может восемь раз обойти левую петлю, затем трижды правую и т. д. Так что предсказанные варианты будущего этих кривых сильно различаются, хотя и начинаются они с очень похожих значений переменных.

Однако краткосрочные предсказания более надежны. Поначалу две близкие кривые остаются близкими, и только позже они начинают расходиться. Так что хаотическая система предсказуема в краткосрочной перспективе, в отличие от истинно случайной системы, которая вообще непредсказуема. Это одна из тех скрытых закономерностей, которые отличают детерминистский хаос от случайности.

При работе с конкретной математической моделью мы знаем все переменные и можем с помощью компьютера рассчитать, как они изменяются. Мы можем также визуализировать аттрактор, изобразив эти изменения в соответствующих координатах. Когда же мы наблюдаем реальную систему, которая может оказаться хаотической, такая роскошь доступна не всегда. В худшем случае удается измерить только одну из переменных. Поскольку остальные переменные неизвестны, мы не можем построить аттрактор.

Именно здесь в дело вступает догадка Лена. Математики придумали немало хитроумных методов «восстановления» аттрактора по измерениям одной-единственной переменной. Простейший из них – метод Паккарда – Такенса, или метод скользящего окна, разработанный Норманом Паккардом и Флорисом Такенсом. Этот метод вводит новые несуществующие переменные на основе измерений одной и той же переменной в разные моменты времени. Так что вместо оригинальных трех переменных, измеряемых синхронно, мы смотрим всего на одну переменную в окне длиной в три шага по времени. Затем мы сдвигаем окно вдоль оси времени на один шаг и повторяем эту операцию много раз. Правый рисунок показывает, как это работает для аттрактора Лоренца. Фигура на нем не совпадает с фигурой на левом рисунке, но, если вы не испортили дело, очень неудачно выбрав шаг по времени, то оба рисунка имеют одинаковую топологию: восстановленный аттрактор представляет собой непрерывно искаженный вариант реального. Здесь оба рисунка похожи на маски с двумя дырками для глаз, но один из них является перекрученной версией другого.

Этот метод дает качественную картину аттрактора, по которой можно судить, какого рода хаос нам ожидать. Так что Лен, задавшись вопросом о том, не сработает ли такой же прием с данными по пружинам, построил двумерный график, рассматривая последовательные промежутки между витками как временной ряд и применяя метод скользящего окна. Однако он получил не четкую геометрическую фигуру, похожую на маску, а всего лишь размытое облако точек. Это указывало на то, что последовательность промежутков, возможно, не является хаотической в формальном смысле, который используют математики.

Так что же, метод оказался бесполезным?

Вовсе нет.

Внимание Лена привлекла общая форма размытого облака. Образцы проволоки были тщательно проверены на навивочной машине, поэтому он заранее знал, какие из них годные, какие негодные, а какие так себе. Могло ли восстановленное облако точек сказать, что есть что? Судя по всему, да. Когда проволока была по-настоящему хорошей, легко навивалась и давала очень качественные пружины, облако получалось маленькое и приблизительно круглое. Когда проволока имела приемлемое качество и навивалась достаточно легко, но пружины давала с более значительным разбросом размеров, облако получалось крупнее, но по-прежнему приблизительно круглое. В случае некачественной проволоки, из которой невозможно было сделать пружину, облако получалось вытянутым, длинным и тонким, как сигара.

Если такая закономерность справедлива и для остальных образцов, то можно отказаться от требующих времени и дорогих испытаний на пружинонавивочной машине и судить о годности проволоки по форме и размеру размытого облака. Это решило бы практическую задачу поиска дешевого и эффективного теста для определения свиваемости. На самом деле неважно, является ли такой параметр, как промежутки между витками, случайным, хаотичным или в какой-то мере тем и другим. Не обязательно точно знать, как меняются свойства материала по длине проволоки или даже что это за свойства. Совершенно не обязательно проводить очень сложные расчеты упругости и подтверждать их не менее сложными экспериментами, чтобы понять, как изменчивость свойств влияет на свиваемость. Знать нужно лишь то, как различаются графики скользящего окна для годной и негодной проволоки, а это можно определить испытаниями на большом количестве образцов проволоки и сравнением с тем, как они ведут себя на пружинонавивочной машине.

Теперь стало ясно, почему такие стандартные статистические характеристики данных, как средняя величина и дисперсия (разброс), бесполезны. Они не учитывают порядок получения данных: как каждое следующее расстояние соотносится с предыдущим. Если перемешать числа, их среднее значение и дисперсия не изменятся, но форма облака точек может измениться кардинально. Здесь, скорее всего, и кроется ключ к производству качественных пружин.

Чтобы проверить эту догадку, мы построили машину контроля качества FRACMAT, которая наматывала тестовую пружинку на круглый металлический стержень, сканировала ее при помощи лазерного микрометра, чтобы измерить последовательные промежутки, передавала эти данные в компьютер, применяла к ним метод скользящего окна для восстановления аттрактора, получала облако точек, оценивала описывающий его эллипс, проверяя, какой он формы – округлый или сигарообразный – и велик ли он, и устанавливала, годным или негодным является образец. Это было практическое применение теории хаоса и метода восстановления аттрактора к задаче, которая формально даже не была хаотической. В полном соответствии с целью финансирования от Министерства торговли и промышленности, которое предназначалось не для исследований, а для распространения технологических достижений, мы перенесли метод восстановления аттрактора из математики хаотической динамики на временной ряд наблюдений вовсе не хаотической, а вполне реальной системы. Собственно, мы с самого начала говорили им, что собираемся сделать именно это.

* * *

Хаос – это не просто красивое слово для обозначения случайности. В краткосрочной перспективе хаос предсказуем. Если вы бросите игральную кость, то текущий бросок ничего не скажет о том, что произойдет дальше. Что бы ни выпало сейчас, любое из имеющихся на гранях чисел – 1, 2, 3, 4, 5, 6 – может выпасть в следующий раз с равной вероятностью. Если, конечно, эта игральная кость честная, а не налита, скажем, свинцом с одной стороны. Хаос не таков. Если бы с игральной костью ассоциировался хаос, в выпадениях были бы закономерности. Возможно, после 1 выпадали бы только 2 или 5, а после 2 – только 4 или 6 и т. д. Следующий результат был бы до некоторой степени предсказуем, но результат пятого или шестого броска после текущего мог бы уже быть любым. Чем дальше будущее, о котором вы хотите знать, тем более неопределенными становятся предсказания.

Второй проект, DYNACON, вырос из первого, когда мы поняли, что можно использовать краткосрочную предсказуемость хаоса для управления пружинонавивочной машиной. Если бы удалось каким-то образом измерять длины пружин по мере их изготовления и выявлять тенденции в полученных данных, говорящие о том, что машина действительно работает хаотически, то можно было бы заметить ухудшение качества пружин и подстроить машину так, чтобы компенсировать его. Производители к тому моменту уже нашли способы измерения длины пружины при ее изготовлении, чтобы отбраковывать изделия с отклонениями в размерах, но мы хотели большего. Не просто отсортировывать некачественные пружины при изготовлении, а вообще предотвратить их появление. Не полностью, но в достаточной мере, чтобы избежать значительных потерь проволоки.

Математика в основном имеет дело с точными расчетами. Некое число равно (или не равно) двум. Это число принадлежит (или не принадлежит) множеству простых чисел. Однако реальный мир зачастую не столь однозначен. Результат измерения может быть близок к 2, но не равен двум в точности; более того, если измерить ту же величину снова, результат может слегка отличаться от первого. Хотя число не может быть «почти простым», оно определенно может быть «почти целым». Такое описание вполне разумно для таких чисел, как, скажем, 0,99 или 2,01. В 1965 году Лотфи Заде и Дитер Клауа независимо друг от друга сформулировали точное математическое описание такого рода размытости, получившее название теории нечетких множеств, наряду с родственной концепцией нечеткой логики.

В традиционной теории множеств объект (такой как число) либо принадлежит конкретному множеству, либо не принадлежит. В теории нечетких множеств существует точная численная мера степени его принадлежности множеству. Так что число 2 может, в принципе, принадлежать множеству наполовину или, скажем, на треть. Если такая мера равна 1, число определенно принадлежит множеству, а если она равна 0 – определенно не принадлежит. Если оставить только значения 0 и 1, получится традиционная теория множеств. Если разрешить этой мере принимать любые значения между 0 и 1, степень нечеткой принадлежности захватит серую зону между двумя этими крайними значениями.

Некоторые видные математики сразу отбросили эту идею под тем предлогом, что теория нечетких множеств – это просто замаскированная теория вероятностей или что логика большинства людей и без того нечеткая, а потому ни к чему делать такой и математику. Вопрос о том, что заставляет некоторых ученых поспешно отбрасывать новые идеи, всегда ставит меня в тупик, особенно в ситуации, когда их возражения лишены смысла. Никто не предлагал заменять стандартную логику на нечеткую. Нечеткая логика предлагалась всего лишь как дополнительный инструмент в математическом арсенале. Хотя на первый взгляд нечеткие множества действительно напоминают вероятности, подчиняются они иным правилам, и интерпретация там тоже иная. Если число принадлежит множеству с вероятностью 1/2 и вам нравится частотный подход к вероятностям, то вы говорите, что при многократном повторении эксперимента число будет принадлежать этому множеству примерно в половине случаев. Если вы сторонник байесовского подхода, то будете считать, что число принадлежит множеству на 50 %. Но в теории нечетких множеств элемент случайности отсутствует. Число определенно принадлежит множеству, но степень его принадлежности не равна 1. Она в точности равна 1/2. Что касается презрительного замечания о плохой логике, то заметим: в нечеткой логике есть точные правила, и любые рассуждения, в которых она используется, либо верны, либо нет – в зависимости от того, выполняются ли в них эти правила. Мне кажется, слово «нечеткая» внушает некоторым мысль о том, что сами правила там легко поддаются воздействию и плохо определены. Это не так.

Другой вопрос, способный еще больше замутить воду, состоит в том, добавляют ли нечеткие множества и нечеткая логика что-нибудь ценное в математику. Ведь совсем несложно придумывать обширные формальные системы, которые оказываются немногим лучше нагромождения бессмысленных формул, то есть «абстрактной чепухи». Подозреваю, что искушение увидеть в детище Заде нечто подобное было довольно сильным, особенно поскольку основы теории едва ли можно назвать глубокими или сложными. В то же время если доказательством пудинга может быть только его употребление, то ценность математики можно установить разными способами, лишь в одном из которых фигурирует ее интеллектуальная глубина. Другим, довольно показательным в свете этой книги фактором является полезность. И надо сказать, что многие почти тривиальные математические идеи оказались в конечном итоге чрезвычайно полезными. Десятичная запись чисел, например. Она блестяще, новаторски, умно меняет правила игры, но никакой особой глубины в ней нет. Даже ребенок способен это понять.

Нечеткая логика и теория нечетких множеств, пожалуй, тоже не удовлетворяют критерию глубины, по крайней мере в сравнении с гипотезой Римана или Великой теоремой Ферма. Но они оказались очень, очень полезными. Они выходят на первый план всякий раз, когда мы не до конца уверены в точности информации, которую получаем из наблюдений. Сегодня нечеткая математика широко применяется в таких областях, как лингвистика, принятие решений, анализ данных и биоинформатика. Она используется, когда способна сделать дело лучше любого альтернативного метода, в остальных же случаях ее можно спокойно игнорировать.

Я не хочу вдаваться в подробности теории нечетких множеств, которые не нужны, чтобы оценить по достоинству наш второй проект. Мы опробовали несколько методов, позволяющих предсказать, что пружинонавивочная машина вот-вот начнет выдавать некачественные пружины, и соответствующим образом изменить настройки. Один из этих методов известен в отрасли как модель нечеткой идентификации Такаги – Сугено и назван в честь инженеров Томахиро Такаги и Митио Сугено{58}.

Эффект подключения контроллера нечеткой самонастройки. Слева направо идет подсчет изготовленных пружин. Вверху: измеренные длины пружин. Внизу: работа контроллера, измеренная числом включений исполнительного двигателя контроллера. Пружины 1–400 изготавливаются без участия контроллера, и длины их варьируют довольно сильно. Пружины 401–800 навиты при включенном контроллере, и вариативность их длин заметно ниже

Это устройство реализует в строгом формальном контексте нечеткой математики систему правил, которые сами по себе являются нечеткими. В данном случае эти правила принимают вид «если измерение (нечеткое, тут никуда не денешься) длины текущей пружины равно X, следует изменить настройки навивочной машины методом Y». Эти правила принимают во внимание предыдущую поправку, а также оценку возмущений, вызванных изменчивостью свойств проволоки, износом рабочих органов машины и т. п. Все данные носят нечеткий характер, и такой же характер носят предпринимаемые действия. Математический аппарат обрабатывает все это автоматически и подстраивает машину на ходу.

Для нашего проволочного проекта мы опробовали три метода управления. Сначала мы погоняли машину с выключенной системой управления, чтобы установить базовые параметры, по которым можно оценить эффективность любого контроллера. Полученные данные помогли также уточнить параметры в математических моделях. Затем мы подключили к машине интегральный контроллер, в котором для предсказания изменений в настройках от одной навивки к другой используется фиксированная математическая формула. И наконец, мы применили нечеткое самонастраивающееся управление, в котором тонкая настройка правил происходит на ходу в соответствии с наблюдаемыми длинами пружин. Проделав все вышеперечисленное с проволокой из углеродистой стали, мы получили следующие результаты: стандартное отклонение длин пружин – мера их изменчивости – составила 0,077 вообще без контроллера, 0,065 с интегральным контроллером и 0,039 с нечеткой самонастройкой. Так что метод нечеткой логики сработал лучше всего и уменьшил изменчивость наполовину.

* * *

Еще один базовый принцип математики состоит в том, что если вам удалось найти что-то полезное, то использовать это можно везде. Идея, доказавшая свою ценность, зачастую может пригодиться в похожих, но все же иных обстоятельствах. Наш третий проект, тоже часть DYNACON, вновь вернулся к FRACMAT, но при этом мы усовершенствовали тестовое устройство так, чтобы использовать его в другом бизнесе, близком к производству пружин, но имеющем дело не с проволокой, а с полосовым металлом.

У вас дома почти наверняка есть вещи, изготовленные из полосового металла. В Великобритании, например, в каждой электрической вилке есть плавкий предохранитель, удерживаемый медными скобами. Скобы изготавливаются из тонкой и узкой медной ленты, намотанной на катушки. Станок пропускает ленту металла через серию приспособлений, расположенных вокруг центрального канала, через который проходит полоса. Каждый инструмент выполняет какую-то операцию: изгибает полосу в нужном месте под определенным углом, пробивает отверстие и т. д. В конце резак отсекает готовую скобу, которая падает в корзину. Типичный станок может делать 10 и больше скоб в секунду.

Аналогичным образом производят громадное число разнообразных мелких металлических деталей. Одна британская компания, например, специализируется на производстве скоб, удерживающих крепления для навесных потолков, и выпускает их ежедневно сотнями тысяч. И точно так же, как производители пружин маялись с проблемой оценки пригодности проволоки, у производителей скоб были проблемы с оценкой того, будет ли данный образец металлической полосы сгибаться так, как нужно для производства. Источник проблемы аналогичен: непостоянство свойств материала, таких как пластичность. Именно поэтому мы решили попытаться применить к полосовому металлу тот же метод восстановления аттрактора по скользящему окну.

Однако вряд ли разумно навивать полосовой металл на круглый стержень. Он для этого не предназначен, да и форма у него неподходящая. Кроме того, навивка практически не имеет отношения к изготовлению скоб. Ключевое качество здесь – это степень изгиба полосы при приложении заданной силы. Так что после долгих размышлений мы изменили конструкцию испытательного стенда, получив при этом нечто гораздо более простое. Нужно просто провести полосу между тремя роликами, так чтобы средний из них заставлял ее изогнуться. При этом средний ролик должен быть подвижным и поджиматься жесткой пружиной. Тогда можно измерять его сдвиг по мере прохождения металлической полосы. Полоса изгибается, а затем вновь выпрямляется, и вы можете непрерывно измерять силу, необходимую для ее изгиба. Если пластичность полосы меняется по ее длине, то меняться будет и сила.

Вместо дискретных измерений расстояний между витками для проволоки, которые делались при помощи лазерного микрометра, мы теперь имели непрерывные измерения сил. Наша машина измеряла также поверхностное трение, имеющее, как выяснилось, важное значение для качества изделий. Тем не менее анализ данных проходил примерно по тому же алгоритму. Тестовый стенд получился меньше по размеру, чем FRACMAT, и проще в производстве, а в качестве бонуса само испытание оказалось неразрушающим: металлическая полоса после проверки возвращалась в первоначальное состояние и при желании могла быть использована в производстве.

* * *

Итак, что мы узнали?

Надо полагать, мы сэкономили производителям проволоки и пружин немало денег и на практике убедились, что такого рода математический анализ данных имеет вполне материальную ценность. В какой-то мере само появление FRACMAT подтолкнуло производителей проволоки к усовершенствованию технологических процессов, что в свою очередь облегчило жизнь производителям пружин. Эти испытательные машины используются до сих пор, а Институт пружинных технологий продолжает обслуживать множество мелких компаний, проводя для них испытания.

Мы узнали, что восстановление по методу скользящего окна может быть полезным даже в тех случаях, когда неизвестно, генерируются ли данные чистой, математически точной системой динамического хаоса. Действительно ли свойства проволоки меняются хаотично с формальной точки зрения? Мы не знаем. Нам не обязательно это знать, чтобы создавать новые тестовые процедуры и машины. Математические методы не ограничены тем конкретным контекстом, для которого они были первоначально разработаны. Они переносимы.

Мы узнали, что иногда, если пытаться перенести работающий прием в новый контекст – скажем, систему контроля, – он не работает. Тогда приходится искать другие методы, которые справятся с задачей, и это может быть нечеткая логика.

Мы узнали, что иногда подобный перенос прекрасно работает. В некоторых отношениях даже лучше, чем первая попытка. Наша машина для полосового металла работает и с проволокой, и при этом тестирование остается неразрушающим.

А главное, мы узнали, что объединение людей с разным опытом и подготовкой в одну команду для решения общей задачи позволяет найти подход, до которого ни один из членов команды не способен додуматься в одиночку. Для человечества, которое в XXI веке сталкивается с новыми сплетенными в тесный клубок задачами на всех уровнях, от социального до технологического, это очень важный урок.

В наше время редкий визит к врачу обходится без прохождения обследования с помощью сканера. Эти аппараты бывают разными: магнитно-резонансными, позитронно-эмиссионными, ультразвуковыми… Какие-то из них дают движущиеся изображения в реальном времени, другие используют компьютерные фокусы (то есть математику) для получения трехмерных изображений. Но у всех этих технических чудес есть одно примечательное качество: они позволяют увидеть то, что происходит внутри организма. Не так давно это сочли бы волшебством. Да и сегодня подобное кажется чудом.

В давние времена – а в данном случае эти слова обозначают все, что было до 1895 года, – врачи, исследуя недуги пациентов, вынуждены были полагаться исключительно на собственные чувства и интуицию. Они могли пальпировать тело пациента, чтобы получить представление о форме, размере и положении некоторых внутренних органов; они могли послушать сердцебиение и пощупать пульс; они могли оценить температуру, а также понюхать и попробовать на вкус физиологические жидкости. Но чтобы выяснить, как выглядят внутренности человека, нужно было разрезать его тело. Иногда нельзя было сделать и этого, поскольку религиозные власти нередко запрещали проводить вскрытие, хотя на поле боя это случалось сплошь и рядом, но не в медицинских целях. Допускалось лишь вскрытие людей иной веры.

Новая эпоха началась 22 декабря 1895 года, когда немецкий профессор-физик Вильгельм Рентген сделал снимок руки своей жены, на котором были видны косточки ее пальцев. Снимок был черно-белым, как практически все фотографии того времени, и довольно размытым, но возможность заглянуть внутрь живого организма не имела прецедентов. На жену Рентгена этот снимок, однако, впечатления не произвел. Взглянув на снимок части собственного скелета, она сказала: «Я видела свою смерть».

Рука жены Рентгена на снимке в рентгеновских лучах

Открытие Рентгена можно считать классическим примером счастливой случайности. В 1785 году Уильям Морган провел ряд экспериментов с пропусканием электрического тока через разреженный воздух в запаянной стеклянной трубке и наблюдал слабое свечение, лучше всего заметное в темноте. Свои результаты он представил в Лондонском королевском обществе. К 1869 году физики, экспериментировавшие в модной к тому моменту области разрядных трубок, заметили новое необычное излучение, названное катодными лучами, поскольку оно исходило от катода (отрицательного электрода) трубки. В 1893 году профессор физики Фернандо Санфорд опубликовал статью, посвященную «электрической фотографии». Он соорудил трубку с тонким алюминиевым листом с одного конца и прорезал в этом листе отверстие. При подаче тока то, что вызывало слабое свечение, проходило сквозь это отверстие, попадало на фотопластинку и воспроизводило на ней форму отверстия. Его открытие было описано в прессе – в газете San Francisco Examiner появился заголовок «Без объектива и света, фотографии получены при помощи пластинки и объекта в темноте». Это было поразительно, непонятно и, судя по всему, бесполезно, но физики заинтересовались и стали выяснять, что происходит.

Рентген понял, что странное свечение вызывается каким-то излучением, сходным со светом, но невидимым. Он назвал это излучение X-лучами, где символ X, по освященной временем традиции, указывал на неизвестность его природы. Судя по всему – мы не можем быть в этом совершенно уверены, поскольку записные книжки Рентгена не сохранились, – он случайно обнаружил, что эти лучи способны проходить сквозь лист картона. Это заставило его задаться вопросом о том, сквозь что еще они могут проходить. Сквозь алюминиевую фольгу, очевидно, нет, поскольку на фотографии были видны лишь контуры отверстия. Сквозь книгу – да, сквозь научные статьи – да, сквозь руку жены – да. X-лучи представляли собой беспрецедентное окно, позволявшее заглянуть в живое человеческое тело. Рентген сразу же увидел их медицинский потенциал, и средства массовой информации не замедлили разнести эту новость. В 1896 году журнал Science опубликовал 23 статьи по рентгеновским лучам, а всего в том году этим лучам было посвящено более тысячи научных работ.

Вскоре выяснилось, что рентгеновские лучи хотя и не наносят очевидного ущерба, могут при многократном или длительном воздействии вызывать ожоги кожи и выпадение волос. Как-то раз в лабораторию Университета Вандербилта привезли ребенка, которому выстрелили в голову, и Джон Дэниел сделал рентгеновский снимок его головы с экспозицией в один час. Три недели спустя он заметил на голове ребенка лысинку в том месте, где он размещал рентгеновскую трубку. Несмотря на подобные свидетельства, многие врачи верили в безопасность рентгеновских лучей, а нанесенный ущерб списывали на ультрафиолетовое излучение или озон до тех пор, пока американский рентгенолог Элизабет Флейшман не умерла в 1905 году от осложнений, вызванных рентгеновским излучением. Медицинское использование рентгеновских лучей продолжалось, но с большей осторожностью, к тому же появление более качественных фотографических пластинок позволило снизить время экспозиции. Сегодня мы признаем, что, какими бы полезными для медиков ни были рентгеновские лучи, суммарную дозу излучения следует как можно сильнее ограничивать. Это понимание пришло не сразу. В 1950-е годы, когда мне было около 10 лет, я помню обувные магазины с рентгеновским аппаратом, который позволял при примерке новых туфель посмотреть, насколько хорошо они соответствуют форме ступни.

Недостатков у рентгеновских снимков хватало. Они были черно-белыми: черные области соответствовали тем местам, где лучи не проникали сквозь преграду, белые – тем местам, где проникали, а полутени соответствовали частичной проницаемости материала. Или, чаще, наоборот, поскольку изготовить фотографический негатив всегда проще. Кости были ясно видны, мягкие ткани по большей части не видны. Но самым серьезным недостатком была двумерность изображения. По существу, снимок уплощал внутреннюю картину, и изображения всех органов, располагавшихся между источником рентгеновских лучей и фотопластинкой, накладывались друг на друга. Можно было, конечно, попытаться сделать несколько рентгеновских снимков с разных ракурсов, но в любом случае интерпретация результатов требовала серьезных навыков и опыта, а дополнительные снимки увеличивали дозу радиации.

Возникал вопрос: нельзя ли как-то получить изображение внутренних тканей организма в трех измерениях?

* * *

Вообще-то, к тому моменту математики уже сделали несколько фундаментальных открытий, имеющих к этому вопросу непосредственное отношение, и показали, что если сделать множество двумерных «уплощенных» изображений с разных направлений, то можно выстроить трехмерную структуру изображенного объекта. Однако подталкивали их к этому вовсе не рентгеновские лучи и не медицина. Они просто исследовали метод, придуманный для решения задач, связанных с волнами и тепловыми потоками.

Среди действующих лиц этой истории было немало настоящих звезд, начиная с Галилея, который спускал шары по наклонной плоскости и наблюдал восхитительно простые математические закономерности, связывавшие пройденное расстояние и время, и Ньютона, открывшего фундаментальные закономерности движения планет. Ньютон вывел обе закономерности из математических уравнений, описывающих движение системы тел под действием сил. В своем монументальном труде «Математические начала натуральной философии», которые обычно называют просто «Началами», Ньютон объяснял свои идеи через классическую геометрию, но «самая чистая» их математическая формулировка пришла из другого его открытия – дифференциального и интегрального исчисления, которое независимо от Ньютона открыл также Готфрид Вильгельм Лейбниц. При такой интерпретации Ньютон понял, что фундаментальные законы природы можно выразить и другими уравнениями, в которых речь идет о скорости изменения величин во времени. Так, скорость движения объекта есть скорость изменения его положения, или координат, а ускорение объекта есть скорость изменения его скорости.

Закономерности Галилея выглядят проще всего, когда выражены через ускорение: катящийся шар движется с постоянным ускорением. Его скорость, таким образом, увеличивается с постоянной скоростью – возрастает линейно. Его положение определяется равномерно увеличивающейся скоростью, то есть, если шар начинает движение из состояния покоя в момент времени нуль, его координата пропорциональна квадрату прошедшего времени. Ньютон соединил эту идею с другим простым законом об обратной пропорциональности силы тяготения квадрату расстояния и вывел в результате, что планеты движутся по эллиптическим орбитам, объяснив таким образом более ранние эмпирические выводы Иоганна Кеплера.

Математики континентальной Европы ухватились за эти открытия и применили дифференциальные уравнения к широкому спектру самых разных физических явлений. Волны на воде и звуковые волны подчиняются волновому уравнению, электричество и магнетизм тоже имеют собственные уравнения, сильно напоминающие уравнение гравитации. Многие из них являются дифференциальными уравнениями в «частных» производных, которые позволяют соотнести скорость изменений в пространстве со скоростью изменений во времени. В 1812 году Французская академия наук объявила, что темой ее ежегодного призового конкурса будет теплопередача. Нагретые тела остывают, и тепло распространяется через материалы, способные его проводить, – вот почему металлическая ручка кастрюли может сильно нагреться, пока содержимое готовится. Академия хотела получить математическое описание этого процесса, и дифференциальные уравнения в частных производных представлялись вполне правдоподобными кандидатами на решение, потому что распределение теплоты меняется как в пространстве, так и во времени.

Жозеф Фурье отправил в Академию статью о теплопередаче еще в 1807 году, но ее отказались публиковать. Объявленный конкурс вдохновил Фурье на разработку собственного дифференциального уравнения в частных производных для теплопередачи, и это уравнение принесло ему победу. Его «уравнение теплопроводности» утверждает, в математической форме, что теплота в заданном месте изменяется во времени, проникая в соседние области пространства и рассеиваясь в них, как растекается потихоньку капля чернил по промокательной бумаге.

Проблемы начались, когда Фурье попытался решить свое уравнение, начиная с очень простого случая: распространения теплоты по металлическому стержню. Он заметил, что у этого уравнения имеется простое решение, если начальное распределение теплоты выглядит как кривая синуса или косинуса в тригонометрии. Затем он заметил, что, в принципе, можно разобраться и с более сложными вариантами начального распределения, если соединить множество отдельных синусоид и косинусоид. Он даже нашел формулу из дифференциального исчисления, точно описывающую вклад каждого слагаемого: нужно умножить формулу для начального распределения на соответствующий синус или косинус и проинтегрировать результат. Это привело к дерзкому заявлению: его формула, которая в настоящее время называется рядом Фурье, решает задачу совершенно для любого начального распределения теплоты. В частности, утверждал он, формула работает для распределений с разрывами, таких как прямоугольная ступень: полстержня имеет одну постоянную температуру, полстержня – другую.

Это заявление сразу же окунуло Фурье с головой в спор, который шел уже несколько десятилетий. Тот же вопрос – мало того, с той же интегральной формулой – уже всплывал в исследованиях Эйлера и Бернулли, посвященных уравнению волнового движения. Там обычно в качестве любимого примера выступала идеальная скрипичная струна – и понятно, что нельзя заставить струну звучать, нарушив ее непрерывность: она просто порвется. Поэтому физическая интуиция подсказывает, что с представлением функций с разрывами могут возникнуть проблемы, а математическая интуиция усиливает сомнения, заставляя тревожиться о том, сходится ли тригонометрический ряд. То есть имеет ли смысл сумма бесконечного числа синусоидальных кривых, а если имеет, то сойдется ли она в конечном итоге к прямоугольной волне с разрывом или, может быть, к чему-то другому.

Как получить прямоугольный график из синусов и косинусов. Слева: компоненты – синусоидальные волны. Справа: сумма первых пяти членов ряда Фурье аппроксимирует прямоугольный уступ. Дополнительные члены (не показаны) улучшают качество аппроксимации

Не желая никого обижать, замечу, что часть проблемы заключалась в том, что Фурье думал как физик, а его критики – как математики. Физически прямоугольный импульс имеет смысл как модель теплоты. Металлический стержень рассматривается как отрезок идеальной прямой – именно так, кстати говоря, Эйлер и Бернулли рассматривали скрипичную струну. Если теплота распределена равномерно по половине этого отрезка, а вторая половина намного холоднее и перепад между ними резок, то естественной моделью для такого распределения становится прямоугольная ступенька.

Ни одна модель не может быть абсолютно точным представлением реальности, но механика в те дни всегда работала с идеализированными объектами, такими как точечные массы, идеально упругие столкновения, бесконечно тонкие идеально жесткие стержни и т. д. Прямоугольная волна едва ли оказалась бы лишней в такой компании. Более того, математически решение Фурье предсказывает, что нарушение непрерывности сразу же сглаживается диффузией и превращается в резко изгибающуюся, но непрерывную кривую, которая постепенно уплощается, что разумно с физической точки зрения и устраняет математический разрыв. К несчастью, подобные аргументы были слишком неопределенными, чтобы убедить математиков – ведь те знали, что бесконечные ряды часто ставят тонкие и сложные вопросы. Представители Академии пришли к компромиссу: Фурье получил приз, но его работа так и не была опубликована.

Неунывающий Фурье опубликовал эту работу в 1822 году в виде книги «Аналитическая теория теплоты». Затем, чтобы всех подразнить, он умудрился получить должность секретаря Академии и сразу же напечатал свою оригинальную выигравшую приз статью в журнале Академии. Ловко?

Потребовалось около 100 лет, чтобы окончательно разрешить математические вопросы, поднятые заявлениями Фурье. Говоря в целом, он был во многом прав, но ошибался в нескольких принципиальных вопросах. Его метод в самом деле работал для прямоугольного импульса, плюс-минус кое-какие поправки в отношении того, что происходит непосредственно в точке разрыва. Но метод определенно не работал для более сложных начальных распределений. Полное понимание ситуации пришло лишь после того, как математики разработали более общее понятие интеграла, наряду с топологическими понятиями, которые лучше всего формулируются в контексте теории множеств.

Задолго до того, как математическое сообщество разобралось наконец с тем, на что замахнулся Фурье, инженеры ухватились за его базовую идею и, по существу, присвоили ее и начали активно использовать. Они поняли, что сутью его работы было то, что ныне называют преобразованием Фурье, при котором сложный сигнал, изменяющийся во времени, может быть интерпретирован как комбинация простых сигналов с различными частотами. Формула интеграла Фурье подсказывает, как перенести точку наблюдения из временно́й области в частотную и обратно – при этом используется почти та же самая формула, что устанавливает «дуализм» между двумя представлениями.

Этот дуализм означает, что преобразование обратимо, то есть можно восстановить первоначальный сигнал по частотам, которые он создает. Это как перевернуть монету с орла на решку, а затем обратно. Полезность этой процедуры для инженерного дела состоит в том, что некоторые свойства, которые трудно обнаружить во временно́й области, становятся очевидными в частотной области. Это может работать и в обратную сторону, так что мы получаем два очень разных метода анализа одних и тех же данных, и каждый из них естественным образом выявляет именно те черты, которые упускает второй.

Например, реакция высотного здания на землетрясение во временной области кажется случайной и хаотичной. Однако в частотной области можно увидеть несколько больших пиков на определенных частотах. Эти пики позволяют выявить резонансные частоты, которые вызывают особенно сильную реакцию здания. Чтобы здание не рухнуло при землетрясении, необходимо подавить эти частоты. На практике здание ставят на массивное бетонное основание, имеющее возможность двигаться из стороны в сторону. Затем это боковое движение «гасится» гигантскими грузами или пружинами.

Еще одно применение преобразования Фурье восходит к открытию структуры ДНК Фрэнсисом Криком и Джеймсом Уотсоном. Ключевым свидетельством, подтвердившим их правоту, тогда стала фотография дифракции рентгеновских лучей на кристалле ДНК. Для получения такого снимка пучок рентгеновских лучей пропускают сквозь кристалл, который заставляет их отклоняться и отражаться, – такое поведение и называют дифракцией. Волны, как правило, собираются в группы под определенными углами, согласно закону дифракции Лоуренса и Уильяма Брэгга, и на снимке появляется сложная геометрическая композиция из множества точек. Дифракционная картина представляет собой, по существу, своего рода преобразование Фурье позиций атомов в молекуле ДНК. Применив обратное преобразование (сложный расчет, реализовать который сегодня намного проще, чем тогда), можно получить форму молекулы. Как я уже сказал, преобразование иногда делает структурные особенности очевидными, хотя разглядеть их в оригинале довольно трудно. В данном случае опыт работы с другими рентгеновскими дифракционными картинами помог Крику и Уотсону сразу же, без вычисления обратного преобразования, понять, что молекула представляет собой спираль. Другие идеи позволили уточнить это представление, что и привело в конечном итоге к открытию знаменитой двойной спирали, существование которой позже удалось подтвердить при помощи преобразования Фурье.

Это всего лишь два случая практического применения преобразования Фурье и его многочисленной родни. В числе других можно назвать улучшение радиоприема, устранение шума, создаваемого царапинами на старых виниловых пластинках, улучшение эффективности и чувствительности гидролокационных систем, используемых подводными лодками, и устранение нежелательных колебаний в автомобилях на стадии их конструирования.

И все это, как вы можете заметить, не имеет никакого отношения к теплопередаче. Непостижимая эффективность. Главное – это не физическая интерпретация задачи, хотя она вполне могла серьезно повлиять на оригинальную работу, а ее математическая структура. Одни и те же методы применяются при решении задач с одинаковой или похожей структурой, и здесь на сцене появляются сканеры.

Математиков тоже заинтересовало преобразование Фурье, и они перевели его на язык функций. В общем случае функция – это математическое правило превращения одного числа в другое, например «возведение в квадрат» или «извлечение кубического корня». Все традиционные функции, такие как многочлены, корни, экспоненты, логарифмы, и тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) включены в это понятие, но могут существовать и более сложные «правила», которые не выражаются формулами, – взять хотя бы прямоугольный импульс, принесший Фурье так много огорчений.

С этой точки зрения преобразование Фурье берет функцию одного типа (первоначальный сигнал) и преобразует ее в функцию иного типа (список частот). Существует также обратное преобразование, компенсирующее действие прямого. А их двойственность – тот факт, что обратное преобразование почти совпадает с прямым, – представляет собой первоклассный бонус. Корректным контекстом для подобных вещей являются пространства функций с определенными свойствами: функциональные пространства. Гильбертовы пространства, используемые в квантовой теории (глава 6), – это функциональные пространства, где значениями функций являются комплексные числа, а их математика находится в близком родстве с математикой преобразования Фурье.

Математики-исследователи неизменно приобретают устойчивый рефлекс. Когда предлагают новую идею, обладающую замечательными и полезными свойствами, они сразу же задумываются, а нет ли аналогичных идей, которые использовали бы тот же прием в иных обстоятельствах. Существуют ли другие преобразования, подобные преобразованию Фурье? Другие варианты двойственности? Специалисты по теоретической математике ищут ответы на эти вопросы абстрактными и обобщенными способами, тогда как прикладники (а также инженеры, физики и бог знает кто еще) сразу начинают думать о том, как все это можно использовать. В данном случае хитроумный прием Фурье положил начало целой отрасли преобразований и двойственностей, не исчерпавшей свои возможности и по сей день.

* * *

Одна из вариаций на тему Фурье открыла нам путь к современным медицинским сканерам. Ее изобретателем был Иоганн Радон. Родился он в 1887 году в городе Течен в Богемии, области Австро-Венгрии (ныне это Дечин в Чешской Республике). По всем отзывам это был дружелюбный и симпатичный человек, спокойный, воспитанный и легко сходившийся с другими. Подобно многим ученым и людям свободных профессий, он любил музыку, а в те времена, до появления радио и телевидения, люди часто собирались у кого-нибудь дома и музицировали. Радон хорошо играл на скрипке и прекрасно пел. Как математик, он поначалу работал над вариационным исчислением – именно ему была посвящена его докторская диссертация – и естественным образом переключился на новую быстро растущую область функционального анализа. В этой области, начало которой положили польские математики под руководством Стефана Банаха, ключевые идеи классического анализа интерпретировались заново с точки зрения функциональных пространств бесконечной размерности.

На начальном этапе развития математического анализа математики сосредоточивались на вычислении таких вещей, как производная функции, то есть скорость ее изменения, и ее интеграл, то есть площадь под графиком функции. С развитием предмета фокус сместился на общие свойства операций дифференцирования и интегрирования и на то, как они ведут себя в случае комбинации функций. Если сложить две функции, что произойдет с их интегралами? На передний план вышли особые свойства функций. Непрерывна ли функция (нет ли у нее скачков)? Дифференцируема ли она (плавно ли изменяется)? Интегрируема ли (имеет ли смысл площадь)? Как связаны друг с другом эти свойства? Как все это работает, если взять предел последовательности функций или сумму бесконечного ряда? Какого рода предел или сумму?

Банах и его коллеги сформулировали эти более общие вопросы с точки зрения «операторов». Точно так же, как функция превращает одно число в другое, оператор превращает функцию в число или в другую функцию. Примеры – «взять интеграл» или «продифференцировать». Польские и другие математики обнаружили, что можно взять теоремы о числовых функциях и превратить их в теоремы об операторах функций. Получившееся в результате утверждение может быть истинным, а может и не быть: самое интересное здесь – понять, что, собственно, происходит. Идея получила развитие, потому что довольно скучные теоремы о функциях превращаются в очевидно более глубокие теоремы об операторах, но при этом доказать их зачастую можно теми же простыми методами. Еще один прием состоял в отбрасывании формальных вопросов о том, как интегрировать сложные формулы с синусами, логарифмами и т. п., и в переосмыслении основ. Чем на самом деле занимается математический анализ? Самым фундаментальным вопросом анализа оказалось измерение близости двух чисел. Она определяется разностью между ними в том порядке, который позволяет сделать разность положительной. Функция непрерывна, если маленькая разность между числами на входе дает маленькую разность между числами на выходе. Чтобы найти производную функции, нужно увеличить переменную на маленькую величину и посмотреть, как меняется значение функции в пропорции к этой маленькой величине. Чтобы играть в подобные игры на следующем уровне, с операторами, следует определить, что означает близость между двумя функциями. Сделать это можно множеством способов. Можно посмотреть на разность их значений в любой заданной точке и сделать так, чтобы эта разность была маленькой (во всех точках). Можно сделать интеграл этой разницы маленьким. Каждый вариант ведет нас к иному «функциональному пространству», содержащему все функции с заданными свойствами и снабженному собственной «метрикой» или «нормой». Если вернуться к аналогии между числами и функциями, то функциональное пространство играет роль множества действительных или комплексных чисел, а оператор – это правило преобразования функции из одного функционального пространства в функцию из другого функционального пространства. Преобразование Фурье – особенно важный пример оператора, преобразующего функцию в последовательность коэффициентов Фурье. Обратное действие преобразует последовательности чисел в функции.

С этой точки зрения большие фрагменты классического анализа внезапно становятся частью единой картины как примеры функционального анализа. Функции одной или нескольких действительных или комплексных переменных можно рассматривать как довольно простые операторы на довольно простых пространствах – на множестве действительных чисел, множестве комплексных чисел или векторных пространствах конечной размерности, образованных последовательностями таких чисел. Функция трех переменных – это всего лишь функция, или оператор, определенная на пространстве всех троек действительных чисел. Более заумные операторы, такие как «проинтегрировать», определены на (скажем) пространстве всех непрерывных функций, переводящих трехмерное пространство в пространство действительных чисел, с метрикой «интегрировать квадрат разности значений двух функций, о которых идет речь». Основное различие здесь в пространствах: пространство действительных чисел и трехмерное пространство имеют конечную размерность, а размерность пространства всех непрерывных функций бесконечна. Функциональный анализ во всем похож на обычный математический анализ, но применяемый к пространству бесконечной размерности.

Еще одна крупная инновация того периода тоже аккуратно встала на свое место в этой картине: это новая, более общая и более гибкая теория интегрирования, предложенная Анри Лебегом под названием «теория меры». Мера – это величина вроде площади или объема, позволяющая присвоить число множеству точек в пространстве. Интересная особенность здесь в том, что это множество может быть чрезвычайно сложным, хотя некоторые множества настолько сложны, что даже концепция меры Лебега к ним неприменима.

Вариационное исчисление, тема диссертации Радона, буквально «кричит» об операторах, как только мы видим, что речь в нем идет о поиске функций (не чисел) с оптимальными свойствами. Так что для Радона отход от классического вариационного исчисления и погружение в функциональный анализ были вполне естественным шагом. Это привело его к большому успеху – несколько важных идей и теорем в теории меры и функциональном анализе названы в его честь.

Среди них преобразование Радона, на которое он наткнулся в 1917 году. С точки зрения функционального анализа оно – близкий математический родственник преобразования Фурье. Для начала берется изображение на плоскости, которое рассматривается как черно-белая картинка с областями, окрашенными в различные оттенки серого. Любой оттенок может быть представлен действительным числом от 0 (черный) до 1 (белый). Можно сжать изображение в линию в любом направлении, сложив при этом числа, представляющие темные и светлые области и получив проекцию изображения. Преобразование Радона охватывает все эти сжатые проекции во всех направлениях. По-настоящему важная идея – обратное преобразование, позволяющее восстановить первоначальное изображение по этим проекциям.

Насколько я могу судить, Радон изучал свое преобразование из чисто математических соображений. В его статье, посвященной преобразованию, не упоминается какое-либо его практическое применение. Ближе всего к реальной жизни подходит краткое упоминание о связи преобразования с математической физикой, а именно с теорией потенциала, где сходятся электричество, магнетизм и тяготение. Радона, кажется, куда больше интересовала математика и возможные обобщения. В более поздней работе он исследовал трехмерный аналог этого преобразования, в котором распределение светлых и темных областей в пространстве сжимается до плоскости во всех возможных направлениях, и нашел формулу восстановления для этой операции. Позже другие математики отыскали обобщения для более высоких размерностей. Радон мог ориентироваться на рентгеновские лучи, которые порождают именно такого рода проекции органов и костей в человеческом теле: «светлое» и «темное» здесь интерпретируются как разница в прозрачности для рентгеновских лучей. Но потребовалось целое столетие, чтобы его открытие нашло применение в устройствах, способность которых зондировать внутренности человека кажется почти чудесной.

* * *

Аппараты компьютерной томографии (КТ) используют рентгеновские лучи для создания трехмерных изображений внутренностей человека. Эти изображения хранятся в компьютере, ими можно манипулировать, чтобы показывать кости и мышцы или чтобы обнаруживать раковые опухоли. Широко используются и другие типы сканеров, например ультразвуковые. Но как сканер выясняет, что находится внутри нашего тела, не вскрывая его? Мы все знаем, что рентгеновские лучи легко проходят сквозь мягкие ткани, тогда как более плотные ткани, например кости, менее проницаемы для них. Но рентгеновское изображение, полученное с определенного направления, показывает только среднюю плотность тканей на пути луча. Как подобный снимок превратить в трехмерное изображение? Радон начинает свою статью с заявления о том, что ему удалось решить эту проблему:

При интегрировании функции двух переменных x, y – подчиняющейся подходящим условиям регулярности функции от точки f(P) на плоскости – вдоль произвольной прямой g, получаются интегральные значения F(g) – функция от прямой. В части A данной статьи решается задача поиска преобразования, обратного данному линейному функциональному преобразованию, и даются ответы на следующие вопросы: может ли каждая функция от прямой, удовлетворяющая подходящим условиям регулярности, рассматриваться как построенная таким образом? Если да, восстанавливается ли f единственным образом из F и как можно вычислить f?

Ответ – обратное преобразование Радона, то есть формула, восстанавливающая внутреннее распределение тканей (точнее говоря, степени их непроницаемости для рентгеновских лучей) по множеству проекций со всех направлений.

Чтобы понять, как это работает, для начала опишем, что можно увидеть на единственном скане (проекции) тела. Такой скан берется на одном двумерном срезе тела. На картинке схематически изображены параллельные рентгеновские лучи, проходящие через срез тела, содержащий несколько внутренних органов с разной степенью непроницаемости для рентгеновских лучей. Проходя сквозь эти органы, лучи меняют интенсивность. Чем более непроницаем орган, встретившийся на пути луча, тем ниже интенсивность луча на выходе. Мы можем построить график изменения наблюдаемой интенсивности в зависимости от положения луча.

Чем темнее область, тем менее она проницаема. Слева: сканирование единичного среза тела с одного направления дает график наблюдаемой непроницаемости для рентгеновских лучей только в этом направлении. Справа: другое распределение внутренних тканей дает тот же самый график

В результате одно изображение такого рода сжимает распределение серого внутри тела вдоль направления луча в точку. Технически мы получаем проекцию распределения в этом направлении. Понятно, что одна проекция такого рода не может сказать в точности, как расположены органы внутри тела. Например, если сдвинуть черный орган в направлении луча, проекция не изменится. Однако если сделать еще один скан, рассматривая тело в вертикальном направлении, то изменение положения черного кружочка будет заметно на графике непроницаемости. Интуитивно понятно, что можно получить еще больше информации о пространственном расположении органов и тканей, сделав серию сканов, слегка повернутых относительно друг друга. Но достаточно ли будет информации, чтобы определить положение всех значимых деталей в точности?

Превращение графика непроницаемости в серию полос, окрашенных в оттенки серого и выстроенных в направлении рентгеновского луча

Как доказал Радон, если имеются графики непроницаемости для случаев, когда срез тела рассматривается со всех возможных направлений, то можно определить двумерное черно-белое распределение тканей и органов в точности. Мало того, существует очень простой способ сделать это – обратная проекция. Он позволяет как бы размазать черно-белое распределение вдоль направления луча, причем размазать однородно. Так что мы получаем квадратную область, заполненную серыми полосками разных оттенков. Чем выше в данном месте график, тем темнее получается полоска. Мы интуитивно размазываем серый цвет вдоль полоски, поскольку не можем определить из одной проекции, где именно располагаются конкретные внутренние органы.

Мы можем проделать эту операцию для каждого направления оригинальной серии сканов. Обратная формула Радона говорит, что, если наклонить все эти полосатые картинки на соответствующий угол и наложить друг на друга, так чтобы в каждой точке оттенки серого сложились, то результат – надлежащим образом отмасштабированный – покажет первоначальное распределение внутренних органов. На следующем рисунке видно, как это работает, если первоначальное изображение – квадрат и мы восстанавливаем его при помощи обратной проекции с нескольких (от 5 до 100) направлений. Чем больше направлений, тем лучше результат.

Слева: квадрат. В середине: обратная проекция с пяти направлений. Справа: обратная проекция со 100 направлений[8]

Восстановив распределение тканей в одном срезе, мы сдвигаем тело вдоль оси прибора на небольшое расстояние и проделываем эту же операцию еще раз. И еще, и еще, пока не нарежем тело условными плоскостями на ломти, как батон внарезку. После этого можно собрать ломтики, сложить их в компьютере и получить полное описание трехмерного распределения тканей. Этот метод определения трехмерной структуры по серии двумерных срезов известен как томография и давно используется микроскопистами, поскольку позволяет заглянуть внутрь твердых объектов, таких как насекомые или растения. Объект при этом заливают воском, а затем отрезают от него тончайшие ломтики при помощи устройства, похожего на миниатюрную машинку для нарезки колбасы и называемого микротомом (от греческих слов micros – «маленький» + temnein – «резать»). КТ-сканеры используют эту же идею, разве что «нарезку» здесь производит не микротом, а рентгеновские лучи при помощи математических фокусов.

После этого остается только прибегнуть к рутинным математическим методам обработки трехмерных данных и получения всевозможной информации. Мы можем посмотреть, как выглядели бы ткани на сечении, взятом под совершенно другим углом, или показать только ткани определенного типа, или обозначить условными цветами мышцы, органы и кости. В общем, любые украшательства, на ваш вкус. Главные инструменты здесь – стандартные методы обработки изображений, опирающиеся в конечном итоге на трехмерную координатную геометрию.

На практике все далеко не так просто. Сканер, конечно, делает не бесконечное число снимков с непрерывного множества направлений, а просто большое конечное их число с близких дискретных направлений. Алгоритмы математической обработки приходится модифицировать, чтобы учесть этот факт. Полезно, например, фильтровать данные, чтобы избежать помех на изображении, возникающих в результате использования дискретного множества направлений. Но базовый принцип остается тем же, что выработал Радон более чем за 50 лет до изобретения первого сканера. Английский инженер-электрик Годфри Хаунсфилд построил первый работоспособный сканер в 1971 году. Теорию разработал в 1956–1957 годах американский физик южноафриканского происхождения Аллан Кормак, а опубликована она была в 1963–1964 годах. В то время Кормак не знал о результатах Радона, так что он вывел все, что требовалось, самостоятельно, но позже наткнулся на статью Радона, которая носит более общий характер. Разработка метода и прибора для компьютерной томографии принесла Хаунсфилду и Кормаку в 1979 году Нобелевскую премию по физиологии и медицине. Их аппарат стоил $300. Сегодня стоимость коммерческого КТ-сканера составляет порядка $1,5 млн[9].

Сканеры используются не только в медицине. Египтологи, например, теперь привычно прибегают к их помощи при изучении мумий. Они могут осмотреть скелет и оставшиеся внутренние органы, поискать признаки переломов и болезней и выяснить, где спрятаны религиозные амулеты. Музеи часто добавляют в свои экспозиции виртуальные мумии, снабдив их тачскрином, которым могут управлять посетители: они могут сами снять полотняные пелены слой за слоем, затем удалить кожу, затем мышцы, пока не останутся одни кости. Все это делается при помощи математики, воплощенной в компьютере: трехмерная геометрия, обработка изображения, методы отображения графической информации.

Существует немало и других типов сканеров. Есть ультразвуковые аппараты; аппараты позитронно-эмиссионной томографии (ПЭТ), регистрирующие элементарные частицы, испускаемые радиоактивными веществами, которые вводятся в организм; магнитно-резонансные томографы (МРТ), регистрирующие магнитные эффекты в ядрах атомов. Последние одно время называли сканерами на эффекте ядерного магнитного резонанса (ЯМР), пока рекламщики не сообразили, что слово «ядерный» может отпугивать людей. И у каждого типа сканера своя математическая история.

Каждый год человечество загружает в интернет около триллиона фотографий. Судя по этой цифре, мы излишне оптимистично оцениваем интерес других людей к нашим отпускным селфи, родившемуся в семье ребенку и другим объектам, некоторые из которых даже упоминать не стоит. А снимают сейчас все: делается это быстро и просто, а в телефоне у каждого имеется камера. В работе и производстве этих камер огромную роль играет математика. Крохотные высокоточные объективы – настоящее чудо техники, невозможное без сложнейшей математической физики, связанной с преломлением света трехмерными телами с изогнутыми поверхностями. В этой главе я хочу сосредоточиться всего на одном аспекте современной фотографии: сжатии изображений. Цифровые камеры, самостоятельные или встроенные в телефон, хранят очень подробные изображения в виде двоичных файлов. Создается впечатление, что карты памяти способны хранить больше информации, чем должно на них помещаться. Как же удается заключить так много детальных картинок в небольшой компьютерный файл?

Фотографические изображения содержат много избыточной информации, которую можно удалить без потери точности. Математика позволяет делать это тщательно выстроенными способами. Стандарт JPEG в небольших цифровых камерах типа «навел и щелкнул», который до самого недавнего времени был самым распространенным форматом файлов и до сих пор используется очень широко, предусматривает пять математических преобразований, выполняемых последовательно. В них задействован дискретный фурье-анализ, алгебра и теория шифрования. Все эти преобразования заложены в программное обеспечение камеры, которое сжимает данные, прежде чем записать их на карту памяти.

Если, конечно, вы не предпочитаете данные в формате RAW – по существу, это непосредственно то, что камера считала с матрицы. Емкость карт памяти растет так быстро, что сжимать файлы уже нет абсолютной необходимости. Но в этом случае вам в конечном итоге приходится манипулировать изображениями объемом по 32 мегабайта каждое, тогда как раньше они имели вдесятеро меньший размер, да и в «облако» такие файлы загружаются много медленнее. Стоит ли этим заморачиваться, зависит от того, кто вы и для чего нужны фотографии. Если вы профессионал, это для вас, надо полагать, важно. Если вы турист, как и я, и снимаете все подряд, то можете получить хороший снимок тигра и в двухмегабайтном JPEG-файле.

Сжатие изображений – важная часть более общего вопроса сжатия данных, который, несмотря на громадные технологический успехи, по-прежнему остается жизненно важным. Каждый раз, когда интернет следующего поколения становится в 10 раз быстрее и приобретает еще более впечатляющую пропускную способность, какой-нибудь гений изобретает новый формат данных (скажем, трехмерное видео сверхвысокой четкости), требующий куда больше данных, чем прежде, и все возвращается на круги своя.

Иногда у нас просто нет другого выбора, кроме как выжимать каждый байт пропускной способности из канала связи. На Марсе 4 января 2004 года что-то свалилось с неба, ударилось о поверхность и отскочило. Если говорить точнее, то марсианский ровер A под названием Spirit подскочил над марсианским грунтом 27 раз. Он был со всех сторон окружен надувными баллонами, как будто завернут в эдакую космическую пузырчатую пленку – последнее слово в методах посадки. После общей проверки систем и различных процедур инициализации ровер пустился исследовать поверхность чужой планеты, где к нему вскоре присоединился компаньон, Opportunity. Оба ровера работали необычайно успешно и прислали на Землю громадное количество данных. Тогда же математик Филип Дэвис указал, что в этой программе многое зависит от математики, но «общественность вряд ли это сознает». Оказалось, что не сознает этого не только общественность. В 2007 году датские аспиранты-математики Уффе Янквист и Бьёрн Толдбод посетили Лабораторию реактивного движения в Пасадене с журналистской миссией: раскрыть роль математики в программе Mars Rover. И услышали в ответ:

– Мы ничего такого не делаем. На самом деле мы не используем никакой абстрактной алгебры, теории групп, ничего подобного.

Это встревожило молодых людей, и один из них спросил:

– За исключением кодирования канала?

– Там используется абстрактная алгебра?

– Коды Рида – Соломона основаны на полях Галуа.

– Это для меня новость.

На самом деле в космических программах NASA задействована очень и очень продвинутая математика для сжатия данных и их кодирования таким способом, который позволяет исправлять ошибки, неизбежно возникающие при передаче. Это просто приходится делать, когда передатчик находится чуть ли не в миллиарде километров от Земли и имеет мощность электрической лампочки. (Немного помогает передача данных через аппарат на орбите Марса, такой как Mars Odissey или Mars Global Surveyor.) Большинству инженеров нет нужды это знать, они и не знают. В этой ситуации, как в зеркале, отражается неверное представление широкой общественности о математике.

Все в вашем компьютере, будь то электронная почта, фото-, видео– или аудиоальбом, хранится в памяти как поток двоичных цифр, битов, нулей и единиц. Восемь бит образуют байт, а 1 048 576 байт – мегабайт. Типичная фотография низкого разрешения занимает около 2 Мб. Хотя все цифровые данные записываются именно в этом виде, разные приложения используют разные форматы, так что смысл данных зависит от приложения. Каждый тип данных имеет скрытую математическую структуру, и удобство обработки часто оказывается куда более значимым, нежели размер файла. Удобный формат данных может означать их избыточность – использование для их хранения больше битов, чем реально требует содержание информации. Это создает возможность сжатия данных посредством устранения избыточности.

Письменный (и устный) язык весьма и весьма избыточен. В качестве доказательства можно привести фразу, уже встретившуюся нам в этой главе, удалив при этом каждый пятый знак:

Надо полагать, вы можете разобрать, что в ней говорится, без особых размышлений или усилий. Оставшейся информации достаточно, чтобы восстановить первоначальную фразу целиком.

Тем не менее эта книга будет намного легче восприниматься зрительно, если не заставлять издателей экономить на краске, пропуская каждый пятый знак. Правильные слова мозгу обрабатывать намного проще, потому что именно это он обучен делать. Однако если вы хотите передать битовую строку, вместо того чтобы обрабатывать эти данные при помощи какого-то приложения, эффективнее будет переслать более короткую последовательность нулей и единиц. Уже на заре развития теории информации такие ее пионеры, как Клод Шеннон, поняли, что избыточность информации дает возможность закодировать сигнал с использованием меньшего числа битов. Мало того, Шеннон вывел формулу, позволяющую вычислить, насколько короче код может получиться из данного сигнала для данного уровня избыточности.

Избыточность принципиально важна, потому что сообщения без нее невозможно сжать без потери информации. Доказательство основано на простом подсчете. Предположим, например, что нас интересуют сообщения длиной 10 бит, такие как 1001110101. Существует ровно 1024 таких битовых строки. Предположим, мы хотим сжать 10 бит данных в 8-битную строку. Таких строк существует ровно 256. Так что сообщений у нас имеется вчетверо больше, чем сжатых строк, и невозможно каждой 10-битной строке поставить в соответствие 8-битную строку так, чтобы разным 10-битным строкам соответствовали разные 8-битные строки. Если каждая 10-битная строка может встретиться с равной вероятностью, то выясняется, что у нас нет умного способа обойти это ограничение. Однако если некоторые из 10-битных строк встречаются очень часто, а остальные очень редко, мы можем выбрать код, который обозначит короткими битовыми строками (скажем, по 6 бит) самые часто встречающиеся сообщения и более длинными строками (может быть, по 12 бит) – редкие сообщения. 12-битных строк существует много, так что их недостаток нам не грозит. Всякий раз, когда встречается редкое сообщение, оно добавляет два бита к длине передачи, зато когда встречается частое сообщение, оно убавляет четыре бита. При подходящих вероятностях из сообщений будет отнято больше бит, чем добавлено.

Вокруг подобных методов выросла целая отрасль математики – теория кодирования. В общем случае эти методы куда тоньше, чем описанный выше, и обычно в них для определения кодов используются свойства абстрактной алгебры. Это не должно слишком удивлять: в главе 5 мы видели, что, по существу, коды – это математические функции и что особенно полезны здесь функции теории чисел. Там целью была секретность, здесь цель – сжатие данных, но общий принцип одинаков в обоих случаях. Алгебра имеет отношение к структуре, как и избыточность.

Сжатие данных, а следовательно, и сжатие изображений, использует избыточность для создания кодов, укорачивающих данные конкретного типа. Иногда данные сжимаются «без потерь»: в этом случае первоначальную информацию можно восстановить по сжатой версии в точности. Иногда данные теряются, и тогда восстановленный вариант лишь приближение первоначальных данных. Это было бы плохо, скажем, для банковских счетов, но зачастую вполне годится для изображений: главное – устроить все так, чтобы приближенный вариант по-прежнему выглядел для человеческого глаза похожим на первоначальное изображение. Тогда информация, которая теряется безвозвратно, вообще не имеет значения.

Изображения в реальном мире по большей части избыточны. Отпускные фотки часто содержат большие блоки голубого неба, нередко примерно одинакового оттенка по всей площади, так что множество пикселей с одинаковым цветовым кодом может быть заменено двумя парами координат для противоположных углов прямоугольника и коротким кодовым сообщением типа «окрасить эту область этим оттенком голубого цвета». Такой метод сжимает изображения без потерь. Реально его не применяют, но он наглядно показывает, почему сжатие без потерь возможно.

Я старомоден, то есть пользуюсь фототехникой, которой – какой ужас! – уже около 10 лет. Возмутительно! Я умею обращаться с техникой и вполне могу снять что-то с помощью смартфона, но это не превратилось в рефлекс, и в серьезные путешествия, такие как сафари с тиграми в национальных парках Индии, я беру с собой маленькую автоматическую цифровую камеру. Она создает файлы изображений с такими названиями, как IMG_0209.JPG. Идентификатор JPG свидетельствует о том, что файлы сохранены в формате JPEG, по первым буквам названия Joint Photographic Expert Group, и указывает на систему сжатия данных. JPEG – отраслевой стандарт, хотя с годами он получил некоторое развитие и теперь существует в нескольких формально разных формах.

Формат JPEG{59} предполагает выполнение не менее пяти последовательных преобразований, большинство из которых сжимает данные, полученные на предыдущем этапе (первоначальные сырые данные на первом этапе). Остальные перекодируют их для дальнейшего сжатия. Цифровые изображения состоят из миллионов крохотных квадратиков, именуемых пикселями – элементами картинки (на английском слово pixel расшифровывается как picture element). Сырые данные с камеры присваивают каждому пикселю битовую строку, представляющую как цвет, так и яркость. Обе величины представляются как доли трех компонентов: красного, зеленого и синего. Низкие доли всех трех компонентов соответствуют бледным цветам, высокие – темным. Эти числа конвертируются в три связанных друг с другом числа, которые лучше соответствуют тому, как человеческий мозг воспринимает изображения. Первое из них – светлота – дает общую яркость изображения и измеряется числами от черного, через все более светлые оттенки серого, до белого. Если удалить информацию о цвете, у вас останется старомодное черно-белое изображение – на самом деле это множество оттенков серого. Другие два числа, известные как цветность, представляют собой разности между светлотой и количеством синего и красного света соответственно.

Символьно, если R – красный, G – зеленый и B – синий, то начальные числа для R, G и B заменяются светлотой R + G + B и двумя цветностями (R + G + B) – B = R + G и (R + G + B) – R = G + B. Если вы знаете R + G + B, R + G и G + B, то можете вычислить R, G и B, так что этот этап проходит без потерь.

Реализовать второй этап без потерь не удастся. Здесь данные цветности урезаются до меньших значений за счет огрубления разрешения. Один только этот этап снижает размер файла данных наполовину. Это приемлемо, потому что в сравнении с тем, что «видит» камера, зрительная система человека более чувствительна к яркости и менее – к цветовым различиям.

Третий этап наиболее математичен. Он сжимает информацию светлости с использованием цифровой версии преобразования Фурье, которую мы встречали в главе 9 в связи с медицинскими сканерами. Там оригинальное преобразование Фурье, которое превращает сигналы в составляющие их частоты и наоборот, было модифицировано, чтобы представлять проекции черно-белых изображений. На этот раз мы представляем сами черно-белые изображения, но в простом цифровом формате. Изображение разбивается на крохотные блоки 8 × 8 пикселей, так что в каждом из них присутствуют 64 возможных значения светлости, по одному на каждый пиксель. Дискретное косинусное преобразование – цифровой вариант преобразования Фурье – представляет это черно-белое изображение 8 × 8 как суперпозицию 64 стандартных изображений с коэффициентами. Эти коэффициенты суть амплитуды соответствующих изображений, а сами изображения выглядят как полосы и клетки разной ширины. Таким образом может быть получен любой блок 8 × 8 пикселей, так что этот этап тоже проходит без потерь. Во внутренних координатах эти блоки представляют собой дискретные версии cos mx cos ny для разных целых m и n, где x меняется по горизонтали, а y – по вертикали, и оба они принимают значения от 0 до 7.

Хотя дискретное преобразование Фурье реализуется без потерь, его нельзя назвать бессмысленным, потому что именно оно делает возможным четвертый этап. Этот этап опять же основан на недостаточной чувствительности человеческого зрения, которая порождает избыточность. Если яркость или цвет меняется на большой площади изображения, мы это замечаем. Если они меняются на очень небольших участках, зрительная система сглаживает эффект, и мы видим лишь среднее. Именно поэтому печатные изображения воспринимаются как картинки, хотя при ближайшем рассмотрении они представляют оттенки серого россыпью черных точек на белой бумаге. Эта особенность человеческого зрения означает, что узоры с очень тонкими полосками менее важны, так что их амплитуды могут быть записаны с меньшей точностью.

64 базовых паттерна дискретного косинусного преобразования

Пятый этап – это технический прием, известный как «код Хаффмана», для более эффективной записи амплитуд 64 базовых паттернов. Дэвид Хаффман придумал этот метод в 1951 году еще студентом. Он тогда получил задание написать курсовую работу по оптимально эффективным двоичным кодам, но не мог доказать, что хотя бы какой-нибудь из существовавших на тот момент кодов оптимален. Уже собираясь сдаться, Хаффман придумал новый метод, а затем и доказал, что он является наилучшим из возможных. Грубо говоря, задача в том, чтобы закодировать множество символов при помощи двоичных строк, а затем использовать их как словарь для кодирования сообщения. Сделать это необходимо так, чтобы минимизировать общую длину закодированного сообщения.

Например, в качестве словарных символов можно использовать буквы алфавита. В английском алфавите их 26, так что каждой из них можно было бы присвоить 5-битную строку, скажем, A = 00001, B = 00010 и т. д. Пять бит нужны потому, что из четырех бит можно составить только 16 строк. Но использовать 5-битные строки было бы неэффективно, потому что на буквы, которые встречаются редко, такие как Z, уходит ровно столько же битов, сколько на распространенные буквы, такие как E. Лучше было бы присвоить E короткую строку, такую как 0 или 1, и постепенно удлинять строки по мере того, как буквы становятся менее вероятными. Однако, поскольку в этом случае кодовые строки получаются разными по длине, потребуется дополнительная информация, которая сообщит реципиенту, где следует разбить строку на отдельные буквы. В принципе, это можно сделать при помощи префикса перед кодовой строкой, но у нас сам код должен быть, как говорят математики, беспрефиксным: кодовая строка не должна начинаться с другой, более короткой кодовой строки. Редко используемые буквы, такие как Z, при этом требуют намного больше битов, но, поскольку они редкие, более короткие строки для E с лихвой компенсируют это. Общая длина типичного сообщения оказывается короче.

В коде Хаффмана это достигается формированием «дерева» – своеобразного графа, не имеющего замкнутых петель и очень распространенного в информатике, потому что такой граф представляет целую стратегию решений типа да/нет, где каждое решение зависит от предыдущего. Листьями дерева являются символы A, B, C, …, и из каждого листа выходит по две ветви, соответствующие двум битам 0 и 1. Каждый лист обозначен числом, которое называют его весом и которое показывает, как часто встречается соответствующий символ. Дерево строится шаг за шагом путем слияния двух наименее частых листьев в новый «материнский» лист, тогда как первые два листа становятся листьями-«дочками». Материнскому листу присваивается вес, равный сумме весов двух дочерних листьев. Этот процесс продолжается до тех пор, пока все символы не сольются. Тогда кодовая строка для символа считывается с пути, который ведет по дереву к этому символу.

Построение кода Хаффмана

Например, на рисунке слева вверху показаны пять символов A, B, C, D, E и числа 18, 9, 7, 4, 3, указывающие на частоту их встречаемости. Самые редко встречающиеся символы здесь D и E. На втором этапе, вверху по центру, их смешивают с образованием материнского листа (ненумерованного) с весом 4 + 3 = 7, а символы D и E становятся дочерними. Две ведущие к ним ветви получают обозначения 0 и 1. Этот процесс повторяется несколько раз, пока все символы не сливаются воедино (внизу слева). Теперь мы считываем кодовые строки, следуя по путям вниз по дереву. К A ведет одна-единственная ветвь, обозначенная как 0. К B ведет путь 100, к C – путь 101, к D – путь 110 и к E – путь 111. Обратите внимание, что A, самый часто встречающийся символ, получает короткий путь, а менее распространенные символы – более длинные пути. Если бы вместо этого мы использовали код с фиксированной длиной строки, нам потребовалось бы по крайней мере три бита, чтобы закодировать пять символов, потому что двухбитных строк всего четыре. Здесь же в самых длинных строках по три бита, но в самой часто встречающейся – всего один, так что в среднем этот код более эффективен. Эта процедура гарантирует, что наш код беспрефиксный, поскольку любой путь на дереве ведет к какому-нибудь символу и на нем останавливается. Он не может продолжаться до другого символа. Более того, начав с наименее распространенных символов, мы гарантируем, что к самым распространенным символам будут вести самые короткие пути. Это отличная идея, легкая в программировании и очень простая концептуально, стоит один раз в ней разобраться.

Когда ваша камера создает файл JPEG, ее электроника производит все расчеты на лету, как только вы нажимаете на спуск. Процесс сжатия проходит не без потерь, но большинство из нас никогда этого не заметит. В любом случае экраны компьютеров и принтеры при распечатке не передают цвета и яркость в точности, за исключением случаев, когда их заранее тщательно калибруют. Непосредственное сравнение оригинального изображения и его сжатой версии делает различия более очевидными, но даже в этом случае только эксперт заметит разницу, если файл был сжат до 10 % от первоначального объема. Обычные смертные замечают разницу, только когда файл уменьшается до примерно 3 % от оригинала. Так что JPEG позволяет записать на карту памяти в 10 раз больше изображений, чем оригинальный формат данных RAW. Описанная выше сложная пятиступенчатая процедура, выполняемая в мгновение ока за кулисами, – это и есть магия, в которой задействованы пять областей математики.

* * *

Другой способ сжатия изображений вырос в конце 1980-х годов из фрактальной геометрии. Фрактал, как вы помните, это геометрическая фигура, структура которой детализируема на всех масштабах, как у береговой линии или облака. С фракталом связано определенное число, называемое размерностью и представляющее собой меру того, насколько данный фрактал угловат или волнист. Как правило, размерность фрактала не является целым числом. Полезный класс математически разрешимых фракталов включает самоподобные фракталы: небольшие их кусочки, надлежащим образом увеличенные, выглядят в точности так же, как более крупные куски целого. Классический пример – папоротник, состоящий из десятков листов, каждый из которых выглядит как миниатюрный папоротник. Самоподобные фракталы могут быть представлены математической структурой, известной как система итерированных функций (IFS). Это набор правил, говорящих, как следует сжимать копии формы и сдвигать получившиеся плитки так, чтобы они сложились и образовали целое. Фрактал можно восстановить по этим правилам, а для размерности фрактала существует даже формула.

Фрактальный папоротник, составленный из трех преобразованных копий самого себя

В 1987 году математик Майкл Барнсли, давно увлекавшийся фракталами, понял, что их главное свойство может стать основой для нового метода сжатия изображений. Вместо того чтобы использовать огромное количество данных для кодирования каждой крохотной детали папоротника, можно просто закодировать соответствующую систему итерированных функций, на что потребуется значительно меньше данных. Программное обеспечение всегда может восстановить изображение папоротника по IFS. Барнсли вместе с Аланом Слоуном основал компанию Iterated Systems Inc., которая получила более 20 патентов. В 1992 году она совершила настоящий прорыв: был разработан автоматический метод нахождения подходящих правил IFS. Программа ищет на изображении маленькие области, которые можно рассматривать как съежившиеся версии бо́льших по размеру областей. Таким образом, она использует намного больше плиток для мощения изображения. Однако метод остается общим и применим к любым изображениям, а не только к тем из них, которые очевидно самоподобны. Фрактальное сжатие изображений не настолько популярно, как JPEG, по разным причинам, но использовалось в нескольких практических приложениях. Пожалуй, самым успешным из них была цифровая энциклопедия Encarta компании Microsoft, где все основные изображения были сжаты методом IFS.

Кто это? Прищурьтесь

На протяжении 1990-х годов компания предпринимала энергичные попытки распространить свой метод на сжатие видео, но из этого ничего не вышло, в основном потому, что тогдашние компьютеры были недостаточно быстрыми и имели недостаточно памяти. На сжатие одной минуты видео уходило 15 часов. Сегодня все изменилось, и фрактальное видеосжатие в отношении 200:1 можно проводить со скоростью один видеокадр в минуту. Повышение мощности компьютеров делает реальными и другие методы, и на данный момент от фрактального видеосжатия практически отказались. Но идея, лежащая в его основе, в свое время была полезна, да и сейчас таит в себе интересные возможности.

* * *

У людей есть очень странный прием для расшифровки некачественных изображений: мы прищуриваемся. Поразительно, но часто это помогает разобрать, что на самом деле изображено на картинке, особенно если она слегка размыта или если это компьютерное изображение с очень грубыми пикселями. Существует знаменитое изображение, составленное из 270 черных, белых и серых квадратов, которое создал в 1973 году Леон Хармон из Bell Labs для статьи о человеческом восприятии и компьютерном распознавании образов. Кто это? Если внимательно вглядеться в изображение, можно различить в нем что-то слегка напоминающее Авраама Линкольна, но если прищуриться, изображение начинает и правда походить на Линкольна.

Мы все это делаем, то есть знаем, что это работает, но вообще такой способ кажется безумием. Как можно улучшить плохую картинку, ухудшив собственное зрение? Отчасти ответ лежит в области психологии: прищуриваясь, мы переводим систему обработки визуальной информации в мозге в режим «плохое изображение», который, по всей видимости, запускает особые алгоритмы обработки изображений, развившиеся в ходе эволюции для работы с некачественными данными. Но есть и другая часть: как ни парадоксально, прищуривание выполняет роль своего рода предварительной обработки и очищает изображение в нескольких полезных отношениях. Так, оно размывает у Линкольна границы пикселей-квадратиков, так что портрет перестает походить на штабель серых строительных блоков.

Около 40 лет назад математики начали исследовать точный и гибкий эквивалент человеческого прищуривания, известный как вейвлет-анализ, или анализ формы сигнала. Этот метод применим не только к изображениям, но и к численным данным и первоначально был предложен для выделения структуры на конкретном пространственном масштабе. Вейвлет-анализ позволяет заметить лес, не обращая внимания на то, что он состоит из множества сложных деревьев и кустов.

Сначала математиками двигали в основном теоретические соображения: вейвлеты прекрасно годились для проверки научных гипотез о таких вещах, как турбулентный поток жидкости. Позже вейвлетам нашлись кое-какие чрезвычайно практические применения. В США Федеральное бюро расследований применяет вейвлеты для хранения дактилоскопических данных, и правоохранительные службы других стран следуют их примеру. Вейвлеты позволяют не просто анализировать изображения, а сжимать их.

В JPEG изображения сжимаются за счет отбрасывания информации, которая не слишком важна для человеческого зрения. Однако информация редко бывает представлена таким образом, что сразу становится очевидно, какие из битов можно считать лишними. Предположим, вы хотите отправить другу по электронной почте рисунок, сделанный на довольно грязном листе бумаги. Помимо собственно рисунка, на нем видно множество мелких черных пятнышек. Мы с вами, взглянув на этот рисунок, сразу понимаем, что эти пятнышки не важны, но сканер этого понять не может. Он просто сканирует лист, представляя изображение в виде длинной строки двоичных черно-белых сигналов, и не может определить, является ли какое-то черное пятнышко значимой частью рисунка или случайной помаркой. Некоторые «помарки», кстати говоря, могут в реальности оказаться зрачком далекой коровы или пятнышками мультяшного леопарда.

Главное препятствие заключается в том, что сигналы сканера не представляют данные об изображении в таком виде, который облегчал бы распознавание и устранение нежелательных элементов. Однако существуют и другие способы представления данных. Преобразование Фурье заменяет кривую списком амплитуд и частот, кодируя ту же самую информацию иначе. А когда данные представляются разными способами, то операции, которые сложны или невозможны в одном случае, могут стать простыми в другом. Например, вы можете взять телефонный разговор, применить к нему преобразование Фурье, а затем удалить все те части сигнала, фурье-компоненты которых имеют частоты слишком высокие или слишком низкие для человеческого уха. После этого вы можете применить к результату обратное преобразование Фурье и получить звук, идентичный с точки зрения человеческого восприятия оригиналу. Таким образом можно передавать больше разговоров по тому же каналу связи. Но в эту игру невозможно играть с оригинальным непреобразованным сигналом, поскольку у него нет «частоты» как очевидной характеристики.

Для некоторых целей метод Фурье обладает одним-единственным недостатком: синусовые и косинусовые компоненты продолжаются до бесконечности. Преобразование Фурье плохо представляет компактный сигнал. Единичный «всплеск» – простой сигнал, но для получения хотя бы умеренно убедительного всплеска требуются сотни синусов и косинусов. Проблема не в получении правильной формы всплеска, а в том, чтобы сделать все за его пределами равным нулю. Приходится избавляться от бесконечно длинных волнистых хвостов всех синусов и косинусов и, как следствие, добавлять еще более высокочастотные синусы и косинусы в отчаянной попытке компенсировать нежелательный мусор. В конечном итоге преобразованный вариант становится более сложным и требует больше данных, чем первоначальный всплеск.

Преобразование элементарных волн, или вейвлет-преобразование, полностью меняет ситуацию, поскольку использует в качестве базовых компонентов всплески (вейвлеты). Это непросто, и это нельзя сделать с любым подвернувшимся всплеском, но математику ясно, с чего следует начинать. Выбираем конкретную форму всплеска, которая будет служить материнским вейвлетом. Получаем дочерние вейвлеты (а также внучатые, правнучатые и т. д.), сдвигая материнский вейвлет вбок в различные позиции, а также расширяя или сжимая при помощи изменения масштаба. Чтобы представить более общую функцию, добавляем подходящие кратные этих вейвлетов на различных масштабах. Точно так же базовые синус и косинус фурье-преобразования являются «материнскими синусоидами», а синусы и косинусы всех остальных частот – дочерними по отношению к ним.

Слева: кривая синуса продолжается бесконечно. В центре: вейвлет локализован. Справа: еще три поколения

Вейвлеты придуманы для эффективного описания всплескоподобных данных. Более того, поскольку дочерние и внучатые вейвлеты представляют собой всего лишь отмасштабированные версии материнского, можно сосредоточиться на конкретных уровнях детализации. Если вы хотите устранить мелкомасштабную структуру, то удаляете все праправнучатые вейвлеты в вейвлет-преобразовании. Представьте себе превращение леопарда в вейвлеты – несколько крупных для тела, более мелкие для глаз, носа и пятен, затем совсем крохотные для шерстинок. Стремясь сжать эти данные, но сохранить их внешнее сходство с леопардом, вы решаете, что отдельные шерстинки не имеют значения, и удаляете все праправнучатые вейвлеты. Пятна остаются, и в целом все по-прежнему выглядит как леопард. Нечто подобное очень трудно – а то и вообще невозможно – сделать при помощи преобразования Фурье.

Подавляющая часть математических инструментов, необходимых для создания вейвлетов, существовала на тот момент в абстрактном виде уже полстолетия и даже больше в области функционального анализа. Когда вейвлеты получили известность, выяснилось, что заумный аппарат функционального анализа – это именно то, что требуется для их понимания и превращения в эффективный метод. Главным предварительным требованием для того, чтобы машина функционального анализа заработала, является хорошая форма материнского вейвлета. Мы хотим, чтобы все дочерние вейвлеты были математически независимы от матери, чтобы информация, закодированная матерью и дочерью, не перекрывалась и чтобы ни одна часть ни одной дочери не была избыточной. Говоря языком функционального анализа, мать и дочь должны быть ортогональны.

В начале 1980-х годов геофизик Жан Морле и специалист по математической физике Александр Гроссман предложили реалистичный материнский вейвлет. В 1985 году математик Ив Мейер доработал вейвлеты Морле и Гроссмана. Открытие, широко распахнувшее перспективы в этой области, сделала в 1987 году Ингрид Добеши. Предыдущие материнские вейвлеты выглядели надлежаще похожими на всплески, но все они имели крохотный математический хвостик, который волнами убегал в бесконечность. Добеши построила материнский вейвлет совсем без хвоста: за пределами определенного интервала мать всегда в точности равна нулю. Ее материнский вейвлет представлял собой настоящий всплеск, полностью заключенный в конечную область пространства.

* * *

Вейвлеты действуют как своего рода числовое увеличительное стекло, сфокусированное на свойствах данных, которые занимают конкретные пространственные масштабы. Эта способность может быть использована не только для анализа данных, но также и для их сжатия. Манипулируя вейвлет-преобразованием, компьютер «прищуривается» на изображение и отбрасывает нежелательные масштабы разрешения. Именно это решило сделать ФБР в 1993 году. В то время дактилоскопическая его база данных содержала 200 млн записей, которые хранились в виде чернильных отпечатков на бумажных карточках. В процессе модернизации эти изображения оцифровывались, а результаты закладывались в компьютер. Очевидным преимуществом новой системы была возможность быстро искать в базе соответствия отпечаткам, найденным на месте преступления.

Традиционное изображение с достаточным разрешением дает компьютерный файл объемом 10 Мб для каждой карточки с отпечатками. Архив ФБР занимает 2000 терабайт памяти. Каждый день в него поступает по крайней мере 30 000 новых карточек, так что требования к объему хранилища возрастают на 2,4 трлн двоичных цифр ежедневно. ФБР отчаянно нуждалось в сжатии данных. Там пробовали JPEG, но этот формат бесполезен для отпечатков пальцев (в отличие от отпускных фоток), когда коэффициент сжатия – отношение размера первоначальных данных к размеру сжатых – становится высоким, примерно 10:1. Тогда сжатые изображения теряют смысл из-за так называемых артефактов в виде квадратиков, в которых деление на блоки 8 × 8 оставляет заметные границы. Естественно, метод был практически бесполезен для ФБР, если не мог обеспечить сжатия по крайней мере 10:1. Артефакты-квадратики – это не просто эстетическая проблема: они серьезно ухудшают способность алгоритмов проверять отпечатки пальцев на соответствие. Альтернативные методы на основе преобразования Фурье также привносили в изображения нежелательные артефакты, причем все они связаны с проблемой бесконечных «хвостов» в синусах и косинусах рядов Фурье. Так что Том Хоппер из ФБР и Джонатан Брэдли с Крисом Брислоном из Лос-Аламосской национальной лаборатории решили кодировать оцифрованные записи с отпечатками пальцев при помощи вейвлетов с использованием метода, известного как вейвлет-скалярное квантование, или, короче, WSQ.

Вместо того чтобы удалять избыточную информацию путем создания артефактов-квадратиков, WSQ удаляет мелкие детали по всей площади изображения – детали настолько мелкие, что они не влияют на способность глаза распознавать структуру отпечатка пальца. В проведенных ФБР испытаниях все три опробованных вейвлет-метода показали себя лучше двух фурье-методов, таких как JPEG. В итоге самым разумным методом оказался WSQ. Он обеспечивает коэффициент сжатия не менее 15:1, снижая стоимость хранения информации на 93 %. Теперь WSQ является стандартом для обмена и хранения отпечатков пальцев. Большинство американских правоохранительных органов пользуются им для сжатия отпечатков пальцев с разрешением 500 dpi (пикселей на дюйм). Для отпечатков с более высоким разрешением они используют JPEG{60}.

Вейвлеты появляются практически везде. Команда Денниса Хили применяет основанные на вейвлетах методы коррекции изображений к результатам КТ, ПЭТ и МРТ-сканирования. Они также используют вейвлеты для доработки стратегий, посредством которых сканеры получают свои данные. Рональд Койфман и Виктор Викерхаузер использовали их для удаления нежелательного шума в записях. Настоящим триумфом стало восстановление записи исполнения Иоганнесом Брамсом одного из своих «Венгерских танцев», сделанной на восковом валике в 1889 году, хотя он и был частично оплавленным. Запись перевели на диск так, что она воспроизводилась на скорости 78 оборотов в минуту. Койфман начал с того, что передал запись по радио, хотя к тому моменту музыка там была уже почти неслышна на фоне шума. После вейвлетной очистки на записи уже можно было услышать, что играет Брамс, – не идеально, но все же услышать.

Отпечатки пальцев. Слева: оригинал. Справа: после сжатия до 1/26 объема данных

Лет 40 назад функциональный анализ был всего лишь еще одной мудреной областью абстрактной математики, которая если где и применялась, то разве что в теоретической физике. Появление вейвлетов все изменило. Теперь функциональный анализ обеспечивает базу, необходимую для разработки новых типов вейвлетов с особыми свойствами, которые делают их применимыми в прикладной физике и технике. Сегодня вейвлеты незаметно вошли практически во все аспекты нашей жизни – они используются в сфере профилактики преступности, в медицине, в цифровой музыке нового поколения. Завтра они захватят весь мир.

Этот сценарий знаком каждому родителю, который водит машину. Семья направляется в другой город навестить бабушку, до нее 400 с лишним километров и шесть часов езды. Дети разместились на заднем сиденье. Через полчаса после отправления сзади начинают ныть: «Мы уже почти приехали?»

Здесь у меня имеются разногласия с заокеанскими родичами, которые, похоже, убеждены, что фраза звучит немного иначе: «Мы уже приехали?» Может быть, в США спрашивают именно так, но это неверно, потому что такой вариант говорит о недопонимании. Ответ в этом случае всегда очевиден: мы либо приехали и тогда вопрос излишен, либо нет и тогда спрашивать бесполезно. Нет, на самом деле в любом долгом путешествии, когда дети начинают капризничать, добрые (или просто раздраженные) родители их успокаивают: «Уже почти приехали». Даже если до места добираться еще пять часов. На некоторое время это успокаивает детей. В любом случае после нескольких поездок дети начинают адресовать родителям этот вопрос скорее с отчаянием, чем с надеждой: «Мы уже почти приехали?» Это разумный вопрос, потому что определить местоположение, глядя в окно, невозможно. Если, конечно, вы не знаете местных ориентиров. У нас когда-то был кот, который их знал.

Мы уже почти приехали? Где мы сейчас? Два десятилетия назад для ответа на этот вопрос нужна была карта, хорошие навыки ее чтения и штурман на пассажирском сиденье. Сегодня эти задачи отданы на откуп всевозможным электронным помощникам. Вам достаточно посмотреть на прибор спутниковой навигации. Правда, он иногда заводит людей в чистое поле, где и бросает. Одна машина не так давно заехала по указаниям навигатора в реку. Так что на дорогу смотреть тоже полезно. Но даже эта предосторожность может не помочь. В прошлом году мы, занимаясь поисками придорожного мотеля, заехали во двор сельского дома, потому что наш спутниковый навигатор не смог отличить настоящую дорогу, похожую на подъездную дорогу к усадьбе, от подъездной дороги к усадьбе, похожей на настоящую дорогу.

Спутниковая навигация похожа на волшебство. У вас в машине есть экран, на котором видна часть карты. Эта карта показывает в точности, где вы находитесь. Вы едете вперед, и карта движется так, что символ, обозначающий вашу машину, всегда находится в правильном месте. Устройство знает, в каком направлении вы едете, ему известно название или номер дороги, на которой вы находитесь. Оно предупреждает вас о пробках. Оно знает, куда вы едете и как быстро, когда превышаете скорость, где находятся дорожные камеры и скоро ли вы окажетесь у ближайшей из них. Научите детей пользоваться этой информацией, и они перестанут спрашивать.

«Любая достаточно развитая технология, – писал великий фантаст и футуролог Артур Кларк, – неотличима от магии». Другой писатель-фантаст Грегори Бенфорд переиначил Кларка так: «Любая технология, которую можно отличить от магии, развита недостаточно». Спутниковая навигация достаточно развита, но не является магией. Как она работает?

Прибор знает, куда вы едете, потому что вы сами ему об этом сказали. Для этого вы прикасались к буквам и цифрам на экране. Это очевидно. Кстати говоря, очевидно здесь только это. Остальное опирается на высокие технологии – спутники на орбитах, радиосигналы, коды, псевдослучайные числа и много-много хитроумных компьютерных вычислений. Алгоритмы для поиска самого быстрого/дешевого/безопасного для окружающей среды маршрута. Совершенно необходима теоретическая физика: орбитальная механика, основанная на законе всемирного тяготения Ньютона, дополненном специальной теорией относительности Эйнштейна и его же общей теорией относительности. Спутники на орбитах передают так называемый дальномерный код – сигналы с точной временно́й привязкой. У вас же почти все происходит в одном крохотном компьютерном чипе. Плюс задействуются какие-то чипы памяти, где хранятся карты и т. п.

Мы ничего этого не видим и воспринимаем как магию.

Стоит ли говорить, что значительная часть магии носит математический характер и требует немалых объемов математики из множества областей, а также физики, химии, материаловедения и инженерных премудростей. Возможно, некоторым пользователям не помешала бы и психиатрическая помощь, ну да ладно.

Даже если оставить в стороне производство и создание космических аппаратов и технологий их доставки на орбиту, в спутниковой навигации задействовано не менее семи областей математики, без которых она работать не будет. Вот что я имею в виду:

• Расчет траекторий ракет-носителей, доставляющих спутники на орбиту.

• Баллистическое проектирование набора орбит, позволяющего получить хорошее покрытие территории: необходимо, чтобы из любой точки в любой момент были видны по крайней мере три спутника, но лучше больше.

• Использование генератора псевдослучайных чисел для создания сигналов, позволяющих измерять с высокой точностью расстояние до каждого из спутников.

• Использование тригонометрии и орбитальных данных для вычисления положения вашей машины.

• Использование уравнений специальной теории относительности для внесения в расчеты поправок, связанных с действием высокой скорости движения спутников на ход времени.

• Использование уравнений общей теории относительности для внесения в расчеты поправок, связанных с действием гравитации Земли на ход времени.

• Решение одного из вариантов задачи коммивояжера для нахождения лучшего маршрута в соответствии с выбранным вами критерием: самого быстрого, самого короткого, наименее вредного для окружающей среды.

О большей части перечисленного я расскажу подробнее на следующих страницах, причем больше всего внимания постараюсь уделить самым удивительным моментам.

Спутниковая навигация зависит от чрезвычайно точных синхронизированных сигналов, получаемых при помощи атомных часов и рассылаемых со специальных орбитальных аппаратов. Цезиевые часы сами по себе очень точны и имеют погрешность хода не более чем 5/10¹⁴, то есть ошибаются не более чем на 4 наносекунды в сутки. Это соответствует ошибке в определении вашего положения, равной примерно одному метру в сутки. Чтобы скомпенсировать постепенный дрейф, часы периодически синхронизируются с наземной станцией. Существуют и другие источники временны́х ошибок, к которым я еще вернусь.

В настоящее время существует несколько спутниковых навигационных систем, но я сосредоточусь на первой и наиболее широко используемой из них – Global Positioning System (GPS). Проект был начат в 1973 году под эгидой Министерства обороны США. Основа системы – группировка орбитальных аппаратов: первоначально их было 24, теперь 31. Первый спутник-прототип был запущен в 1978 году, а полная группировка начала функционировать в 1993 году. Первоначально система GPS предназначалась для военного использования, но указ президента Рональда Рейгана от 1983 года сделал ее доступной гражданам в низком разрешении. GPS постоянно модернизируется, и еще несколько стран в настоящее время имеют собственные системы спутникового позиционирования, начиная с российской Глобальной навигационной спутниковой системы (ГЛОНАСС), дающей точность до двух метров. В 2018 году Китай начал создавать свою навигационную спутниковую систему BeiDou, которая сейчас, возможно, функционирует в полном объеме. Навигационная система Европейского союза называется Galileo. Великобритания покинула ЕС и не участвует теперь в эксплуатации системы, но в ознаменование триумфа идеологии над здравым смыслом объявила о разработке собственной системы навигации. Индия строит NavIC, а Япония – Quasi-Zenith Satellite System (QZSS), что должно позволить им ликвидировать зависимость от GPS к 2023 году.

Первоначальная группировка GPS из 24 спутников, по четыре на каждой из шести орбит[10]

С технической точки зрения GPS включает в себя три «сегмента»: космический (собственно спутники), управляющий (наземные станции) и пользовательский (вы в своей машине). Спутники рассылают дальномерные коды. Управляющий сегмент следит за орбитами спутников и точностью их часов и при необходимости передает команды на коррекцию орбиты или синхронизацию часов. Пользователю достаточно дешевого маломощного приемника, встроенного в мобильный телефон и сообщающего приложениям, где он находится.

Совокупность спутников традиционно называется «группировкой». По проекту группировка GPS включает в себя 24 спутника на примерно круговых орбитах на высоте 20 200 км над поверхностью Земли, или 26 600 км от ее центра. Я оставлю в стороне более поздние дополнительные спутники, которые не меняют основную идею, а лишь делают систему более надежной и точной. Существует шесть орбит в плоскостях, пересекающих плоскость экватора под углом 55° и распределенных равномерно вдоль экватора. На каждой орбите находятся четыре равноудаленных спутника, которые вечно гонятся друг за другом. Радиус орбиты рассчитан таким образом, чтобы спутник возвращался в одну и ту же точку орбиты каждые 11 часов 58 минут. В результате он оказывается примерно над одним и тем же местом на Земле дважды в сутки, но при этом медленно дрейфует.

Следующий математический элемент – геометрия орбиты. Такая конфигурация орбит и размещения спутников означает, что в любой момент по крайней мере шесть спутников видны (то есть сигналы с них могут быть получены) из любой точки планеты. Какие именно шесть, зависит от того, где вы находитесь, и этот набор меняется со временем, поскольку Земля вращается и спутники тоже обращаются по своим орбитам.

В системе GPS пользователям не нужно передавать на спутники никакой информации. У них есть приемник, который принимает дальномерные коды со всех видимых на данный момент спутников. Приемник обрабатывает сигналы с точной привязкой ко времени, чтобы определить с их помощью, где он находится. Базовый принцип прост, так что давайте сначала рассмотрим его. Затем я укажу на некоторые тонкости, о которых необходимо позаботиться, чтобы эта система работала в реальном мире.

Начнем с одного спутника. Он отправляет дальномерные коды, по которым ваш приемник определяет, как далеко этот спутник находится в настоящий момент. (Позже мы увидим, как это рассчитывается.) Возможно, это расстояние составляет 21 000 км. Если исходить из этой информации, то вы находитесь на поверхности сферы со спутником в центре и радиусом 21 000 км. Сама по себе такая информация не слишком полезна, но в это же мгновение видимы еще по крайней мере пять спутников. Я буду называть их спутником 2, спутником 3 и т. д. до спутника 6. Каждый из них передает свои сигналы, которые вы принимаете одновременно, и каждый сигнал помещает вас на свою сферу с соответствующим спутником в центре: это сферы 2, 3, 4, 5, 6. Сигнал со спутника 2 совместно с сигналом со спутника 1 помещает вас на пересечение сфер 1 и 2, которое представляет собой окружность. Спутник 3 добавляет в эту систему свою сферу, которая пересекается со сферой 1 по другой окружности. Эти две окружности пересекаются друг с другом в двух точках, каждая из которых лежит на всех трех сферах. Сигнал от спутника 4 образует сферу 4, которая в общем случае позволяет определить, какая из двух точек является вашим истинным местоположением.

В идеальном мире мы могли бы остановиться на этом, и привлечение спутников 5 и 6 было бы уже излишне. В реальности все не так просто. Всюду могут возникать ошибки. Атмосфера Земли может исказить сигнал, его прохождению могут помешать радиопомехи или еще что-нибудь. Для начала из этого следует, что ваше местоположение скорее близко к соответствующей сфере, а не на ней. Точка вашего местоположения лежит не на поверхности сферы, а скорее в пределах утолщенной оболочки, включающей в себя эту поверхность. Так что четыре спутника и их четыре сигнала могут определить ваше положение с некоторым уровнем точности, но не идеально. Чтобы улучшить результат, GPS использует дополнительные спутники. Их утолщенные сферические оболочки еще сильнее сужают область вашего возможного пребывания. На этом этапе уравнения, определяющие ваше положение, почти наверняка несовместимы друг с другом, если не обращать внимания на вероятные ошибки, но, воспользовавшись старым статистическим приемом, можно минимизировать суммарную ошибку и получить наилучшую оценку положения. Этот прием, известный как метод наименьших квадратов, был предложен Гауссом в 1795 году.

В результате вашему GPS-приемнику достаточно систематически производить серию относительно простых геометрических расчетов, которая и приведет к наилучшей возможной для этого прибора оценке местоположения. Сравнивая полученный результат с детализированной формой Земли, прибор может определить даже, как высоко над уровнем моря вы находитесь. Как правило, высоты определяются менее точно, чем координаты по широте/долготе.

* * *

Спутник «рассылает дальномерные коды», или, говоря иначе, «рассылает сигналы с точной привязкой по времени». Звучит просто, но на самом деле это не так. Если вы слышите раскат грома, то понимаете, что начинается гроза, но сам по себе раскат грома не скажет вам, насколько она далека. Если же вы не только слышите гром, но и видите молнию, что происходит раньше, чем раздается гром, поскольку свет распространяется быстрее звука, то можно использовать разницу во времени прихода двух сигналов для оценки расстояния до молнии. Для прикидки достаточно знать, что три секунды запаздывания соответствуют примерно одному километру. Однако скорость звука зависит от состояния атмосферы, так что это правило нельзя считать точным.

GPS не может использовать в качестве второго сигнала звуковые волны по очевидным причинам – они слишком медленные, к тому же в космосе царит вакуум, так что звук там в любом случае не может распространяться. Но сама идея получения временно́й разницы между двумя разными, но взаимосвязанными сигналами верная. Каждый спутник рассылает последовательность импульсов 0/1, не содержащую повторений, – разве что вы будете ждать очень долго, чтобы последовательность повторилась целиком. GPS-приемник может сравнить строку из нулей и единиц, которую он получает со спутника, с той же строкой, получаемой от местного источника. Спутниковый сигнал приходит с задержкой, потому что ему приходится преодолевать расстояние между спутником и приемником, а время задержки можно определить, выровняв оба сигнала и посмотрев, насколько нужно сдвинуть один из них, чтобы он соответствовал второму.

Мы можем проиллюстрировать этот процесс, используя вместо нулей и единиц слова из этой книги.

Предположим, что сигнал, полученный со спутника, таков:

выровняв оба сигнала и посмотрев, насколько нужно,

тогда как опорный сигнал, получаемый одновременно практически с соседнего двора, таков:

посмотрев, насколько нужно сдвинуть один из них.

Тогда мы можем сдвинуть местный сигнал так, чтобы одинаковые слова совпали, примерно так:

Теперь мы видим, что сигнал со спутника приходит на четыре слова позже местного сигнала.

Остается только сгенерировать подходящие битовые строки. Простой способ генерирования строки из нулей и единиц с очень редкими повторениями состоит в подбрасывании монеты миллионы раз с записью 0 для орла и 1 для решки. Каждый бит возникает с вероятностью 1/2, так что строка из, скажем, 50 бит возникает с вероятностью 1/2⁵⁰, что соответствует примерно одному шансу на квадриллион. В среднем она повторится примерно через квадриллион знаков вдоль строки. Если сравнить такой сигнал с его вариантом, смещенным на гораздо меньшую величину, то «верное» смещение, дающее наилучшее совпадение строк, окажется единственным.

Компьютеры, однако, не сильны в подбрасывании монет. Они следуют конкретным инструкциям, и весь смысл их работы состоит в том, что они должны делать это точно и безошибочно. К счастью, существуют точные математические процессы, способные генерировать битовые строки, которые кажутся случайными в разумном статистическом смысле, хотя реальная процедура их создания носит детерминистский характер. Подобные методы известны как генераторы псевдослучайных чисел. Это третий крупный математический ингредиент системы GPS.

На практике поток битов из генератора псевдослучайных чисел объединяется с другими данными, которых требует GPS, – такой метод называется модуляцией. Спутник передает данные с относительно невысокой скоростью: 50 бит в секунду. Он соединяет этот сигнал с куда более быстрым потоком битов из генератора псевдослучайных чисел, скорость которого более миллиона чипов в секунду. Чип здесь – примерно то же, что и бит, но значения он принимает +1 или –1, а не 0 или 1. Физически это прямоугольный импульс с амплитудой либо +1, либо –1. «Модуляция» означает, что первоначальная строка данных умножается на значение чипа в каждое мгновение. Поскольку все другие данные меняются, по сравнению с этим, очень медленно, методика «сдвинуть и совместить» по-прежнему работает достаточно хорошо, но иногда сигналы совпадают полностью, а иногда они оказываются противоположными по знаку. Если воспользоваться статистическим методом корреляции, то получится, что вам нужно просто сдвигать сигналы друг относительно друга, пока их корреляция не станет достаточно высокой.

Мало того, GPS проделывает то же самое и с другим псевдослучайным числом, модулирующим сигнал на вдесятеро большей скорости. Более медленный сигнал называется «код грубого определения местоположения объектов» и предназначен для гражданского использования. Более быстрый – «точный код» – зарезервирован для военных. Он, кроме того, зашифрован и повторяется не чаще чем раз в семь суток.

Генераторы псевдослучайных чисел, как правило, основаны на абстрактной алгебре, такой как многочлены над конечными полями, или на теории чисел, такой как целые числа по некоторому модулю. Простой пример последнего – линейный конгруэнтный генератор. Выберем модуль m, два числа a и b (mod m) и начальное число x₁ (mod m). Затем определим последовательные числа x₂, x₃, x₄ и т. д., вычисляемые по формуле

x_n+1 = ax_n + b (mod m),

где a играет роль постоянного множителя текущего числа x_n, а b сдвигает полученное значение на постоянную величину. Это дает следующее число последовательности, после чего операция повторяется. Например, если m = 17, a = 3, b = 5 и x₁ = 1, то мы получаем последовательность

1 8 12 7 9 15 16 2 11 4 0 5 3 14 13 10,

которая затем повторяется бесконечно. Никаких явных закономерностей, заметных глазу, здесь нет. На практике, разумеется, m намного больше. Существуют математические условия, которые гарантируют, что последовательность повторяется очень и очень редко и при этом удовлетворяет разумным статистическим тестам на случайность. Например, после превращения выходной последовательности в двоичную, каждое число (по модулю m) должно появляться в ней с равной частотой в среднем. То же можно сказать и о каждой строке из нулей и единиц заданной длины, вплоть до некоторого разумного размера.

Линейные конгруэнтные генераторы слишком просты, чтобы быть надежными, поэтому были разработаны более сложные варианты. В качестве примера можно назвать вихрь Мерсенна, который придумал Макото Мацумото в 1997 году. Такой генератор наверняка есть у многих из вас, потому что он используется в десятках стандартных программных пакетов, в том числе в Microsoft Excel. В вихре Мерсенна сочетаются простые числа, благодаря которым математика упрощается, и симпатичные двоичные выражения, упрощающие вычисления. Простое число Мерсенна – это число вида 2^p – 1 (где p – простое число), такое как 31 = 2⁵–1 или 131 071 = 2¹⁷–1. Простые числа Мерсенна встречаются редко, и мы даже не знаем, бесконечно ли их количество. В январе 2021 года было известно ровно 51 простое число Мерсенна, самое большое из которых равно 2^82 589 933–1.

В двоичном виде два простых числа Мерсенна выглядят так:

31 = 11111

131 071 = 11111111111111111

и представляют собой 5 и 17 единиц соответственно. Это позволяет цифровому компьютеру легко оперировать ими при вычислениях. Вихрь Мерсенна основан на каком-нибудь очень большом простом числе Мерсенна, обычно 2^19 937–1, и он заменяет числа в сравнениях матрицами над полем с элементами 0 и 1. Этот метод удовлетворяет тестам для подстрок длиной вплоть до 623 бит.

Сигнал GPS включает в себя также сигнал гораздо более низкой частоты, несущий информацию об орбите спутника, его временны́х поправках и других факторах, влияющих на статус системы. Возможно, это кажется сложным – так оно и есть на самом деле, – но современная электроника способна безошибочно выполнять чрезвычайно сложные инструкции. Для такой сложности существуют серьезные причины. Она помогает приемнику не захватить случайно какой-то другой сигнал, поскольку крайне маловероятно, что он воспроизведет такую сложную закономерность. Каждому спутнику присваивается собственный псевдослучайный код, и та же сложность гарантирует, что приемник не спутает сигнал одного спутника с сигналом другого. Помимо прочего, все спутники могут работать на одной и той же частоте, не глуша друг друга, что позволяет высвободить дополнительные частоты в нашем все более забитом радиодиапазоне. К тому же, что особенно важно для военных, противник не может вмешаться в работу системы или организовать передачу ложных сигналов. В целом псевдослучайным кодом распоряжается Министерство обороны США, так что оно может контролировать доступ к GPS.

* * *

Помимо постепенного дрейфа атомных часов, существуют и другие источники временны́х погрешностей, например небольшие отклонения формы и размера орбит спутников от расчетных. Наземная станция передает связанные с этим поправки на спутник, который в свою очередь раздает их пользователям, обеспечивая синхронность с эталонными часами Военно-морской обсерватории США. Однако наибольшую погрешность вносят релятивистские эффекты, так что вместо доброй старой ньютоновской физики нам здесь не обойтись без эйнштейновских теорий относительности{61}.

В 1905 году Эйнштейн опубликовал статью «К электродинамике движущихся тел». Он исследовал связь между ньютоновской механикой и максвелловскими уравнениями электромагнетизма и нашел две эти теории несовместимыми друг с другом. Главной проблемой здесь является то, что скорость, с которой распространяются электромагнитные волны, – скорость света – постоянна не только в неподвижной системе координат, но и в движущейся системе. Если посветить фонариком с мчащегося автомобиля, фотоны будут лететь в пространстве с той же скоростью, что и испускаемые из неподвижного автомобиля.

В ньютоновской физике скорость автомобиля следовало бы прибавить к скорости света. Эйнштейн предлагал модифицировать ньютоновские законы движения таким образом, чтобы скорость света в них была абсолютной константой. Это означало, что и уравнения для относительного движения тоже следовало модифицировать. По этой причине новая идея получила название теории относительности. Это может вводить в заблуждение, поскольку ее основная мысль состоит как раз в том, что скорость света не относительна. Много лет Эйнштейн пытался включить в свою теорию и гравитацию, что ему в конечном итоге удалось сделать в 1915 году. Эти две родственные, но отдельные теории получили известность как специальная и общая теории относительности соответственно.

Настоящая книга не учебник по теории относительности, поэтому я лишь слегка коснусь некоторых основных моментов, чтобы дать вам очень упрощенную картину того, о чем идет речь. Мы не будем вдаваться в философские нюансы, которые далеки от нашей темы.

В специальной теории относительности уравнения движения модифицированы таким образом, чтобы скорость света имела одинаковое значение в любой системе координат, движущейся с постоянной скоростью. Достигается это при помощи преобразований Лоренца – математических формул, названных в честь нидерландского физика Хендрика Лоренца и описывающих, как меняются координаты и время при сравнении разных систем отсчета. Основные предсказания этой теории с ньютоновской точки зрения выглядят очень странно. Ничто не может двигаться быстрее света; длина объекта уменьшается с увеличением скорости и становится сколь угодно малой по мере того, как скорость приближается к скорости света; при этом субъективное время замедляется до черепашьей скорости, а масса неограниченно растет. Грубо говоря, при скорости света длина объекта (в направлении движения) уменьшается до нуля, время останавливается, а масса становится бесконечной.

Общая теория относительности сохраняет все эти элементы, но встраивает в систему еще и гравитацию. Однако гравитация здесь уже не сила, как представлял ее Ньютон, а эффект кривизны пространства-времени – четырехмерного математического конструкта, объединяющего три пространственных измерения и одно временно́е. Вблизи любой массы, например массы звезды, пространство-время искривляется, образуя своеобразную вмятину, но в четырех измерениях. Световой луч или частица, пролетающие мимо, отклоняются от прямой траектории и следуют за кривизной. Это создает иллюзию притягивающей силы, действующей между звездой и частицей.

Обе теории получили основательное подтверждение при помощи высокочувствительных экспериментов. Несмотря на свою необычность, они дают наилучшую модель реальности, известную физикам. Математика GPS должна учитывать релятивистские эффекты, обусловленные как скоростью спутника, так и гравитационной ямой Земли, – в противном случае система GPS будет бесполезной. В самом деле, успех GPS со всеми этими поправками – серьезный тест на истинность как специальной, так и общей теории относительности.

Большинство пользователей GPS либо неподвижны относительно поверхности Земли, либо движутся медленно – чаще всего не быстрее автомобиля. По этой причине конструкторы решили передавать информацию об орбитах спутников с использованием системы отсчета, жестко привязанной к вращающейся Земле, и считать, что скорость ее вращения постоянна. Форма нашей планеты, называемая геоидом, приблизительно соответствует слегка уплощенному эллипсоиду вращения.

Когда вы находитесь в машине, а спутники проносятся где-то в вышине, они, очевидно, движутся относительно вас. Специальная теория относительности говорит, что для вас часы на спутнике будут тикать медленнее, чем эталонные часы на Земле. Они должны отставать примерно на 7 микросекунд в сутки из-за релятивистского растяжения времени. Помимо этого, сила тяготения на высоте спутниковых орбит очевидно меньше, чем на поверхности Земли. С точки зрения общей теории относительности пространство-время наверху, рядом со спутниками, является более плоским – менее искривленным, – чем возле вашего автомобиля. Этот эффект заставляет часы на спутнике идти быстрее наземных часов. Общая теория относительности предсказывает, что они должны обгонять наземные часы на 45 микросекунд в сутки. Сложив эти разнонаправленные эффекты, мы получим, что часы на спутнике должны идти быстрее часов на Земле примерно на 45–7 = 38 микросекунд в сутки. Такая ошибка стала бы заметной через две минуты, а ваше местоположение смещалось бы на 10 км в сутки от правильной точки. Всего за сутки спутниковый навигатор переместил бы вас в другой город, за неделю – в другую область, за месяц – в другую страну.

Первоначально инженеры и ученые, работавшие над проектом GPS, не были уверены в том, что релятивистские эффекты имеют значение. Спутники, конечно, летят быстро по нашим меркам, но по сравнению со скоростью света они лишь медленно ползут. Тяготение Земли в космических масштабах тоже очень невелико. Так или иначе, величины этих эффектов постарались оценить как можно точнее. В 1977 году, когда на орбиту был выведен первый прототип цезиевых атомных часов (или атомного стандарта частоты, как это чаще называют), разработчики все еще не могли точно сказать, насколько велики эти эффекты и будут ли они положительными или отрицательными. Некоторые вообще считали, что релятивистские поправки не потребуются. Так что инженеры включили в часы схему, способную по сигналу с Земли изменять их частоту, чтобы скомпенсировать предсказанные релятивистские эффекты при необходимости. В первые три недели они, не включая эту схему, тщательно измеряли частоту часов, которая оказалась на 442,5 триллионных долей выше частоты наземного эталона. Общая теория относительности предсказывала повышение частоты на 446,5 триллионных долей. Весьма точное попадание.

* * *

GPS используется для решения множества других задач, помимо очевидного позиционирования (машин, коммерческого транспорта, туристов) и военных применений, которые, собственно, и привели в свое время к созданию этой глобальной системы. Я упомяну лишь несколько таких задач.

Вам не обязательно знать, где вы находитесь, при вызове через специальную программу службы техпомощи при поломке машины – GPS сделает все сама. Кроме того, система используется для предотвращения угона автомобилей, для картографирования и геодезических измерений, для отслеживания перемещений домашних животных и пожилых родственников, а также для охраны произведений искусства. Среди главных областей применения – морская и воздушная навигация и отслеживание движения судов для транспортных компаний. Теперь, когда в большинстве сотовых телефонов имеются GPS-приемники, вы можете привязывать фотографии к месту, где они сделаны, GPS поможет определить местоположение потерянного или украденного телефона и вызвать такси. GPS в сочетании с интерактивными картами, такими как Google Maps, автоматически показывает, где вы находитесь. Фермерам она позволяет управлять беспилотными тракторами, банкирам – мониторить финансовые переводы, туристам – отслеживать свой багаж. Ученые с помощью GPS могут наблюдать за миграцией редких видов животных и отслеживать последствия экологических катастроф, таких как разливы нефти.

Как же мы прежде обходились без GPS? Поразительно, насколько быстро математическая магия, открывающая простор для революционных (и очень дорогостоящих) технологий, может изменить нашу жизнь.

Наша планета разогревается, это опасно, и в этом наша вина. Мы знаем об этом, потому что тысячи экспертов-климатологов, работающих с сотнями математических моделей, предсказывали такое развитие событий не один десяток лет, и наблюдения не менее компетентных метеорологов подтверждают большую часть их выводов. Я мог бы посвятить оставшуюся часть книги разглагольствованиям о распространителях фейковых новостей и приводить в противовес изрекаемым ими нелепостям все более многочисленные свидетельства реальности антропогенных климатических изменений, но, как говорит Арло Гатри в середине фильма «Ресторан Элис», я пришел рассказать вам не об этом.

Изменения климата носят статистический характер, так что любое конкретное событие можно представить как одно из отклонений, которые просто происходят время от времени. Если монета подделана так, что три раза из четырех она выпадает орлом, то отдельный бросок все равно дает нам либо орла, либо решку – в точности так же, как и бросок нормальной монеты. Поэтому отдельный бросок не позволяет заметить разницу. Даже серию из трех или четырех орлов можно иногда получить с нормальной монетой. Однако, если 100 бросков дадут 80 орлов и 20 решек, станет ясно, что монета неправильная.

Так и с климатом. Климат – не то же самое, что погода, которая меняется час от часа и день ото дня. Климат – это 30-летнее скользящее среднее. А также глобальные климатические средние для целой планеты. Изменение климата невозможно без серьезных долгосрочных изменений планетарного масштаба. У нас есть надежные записи температуры в мире примерно за 170 лет, и 17 из 18 самых теплых лет приходятся на период после 2000 года. Это уже не случайность.

Статистический характер климата позволяет отрицателям глобального потепления без труда мутить воду. Не имея возможности перемотать время и заглянуть в будущее планеты, климатологи вынуждены полагаться на математические модели. Им приходится оценивать скорость климатических изменений, разбираться, к каким результатам изменения могут привести, и выяснять, что может предпринять человечество, если договорится действовать сообща. Первые модели были довольно рудиментарными, что открывало двери для возражений со стороны любого, кому не нравились предсказания, хотя теперь, задним числом, выясняется, что даже те модели давали довольно точный результат и по скорости повышения температуры, и по многим другим параметрам. С годами модели дорабатывались и улучшались, и предсказанные температуры достаточно хорошо совпадают с реальностью уже на протяжении полувека. Сколько льда растает вследствие этого – менее понятно, и, судя по всему, этот параметр был недооценен. Этот процесс изучен не слишком хорошо, а ученые слишком опасаются прослыть паникерами.

До сих пор я говорил в основном о том, как математика, действуя за сценой, влияет на нашу повседневную жизнь. Я намеренно опустил целую кучу важных областей применения математики в науке, в первую очередь в теоретической науке. Но климатические изменения уже видны – спросите об этом австралийцев, которым в начале 2020 года пришлось бороться с беспрецедентными природными пожарами. Взгляните на периоды рекордной жары по всему земному шару, сильнейшие за столетие наводнения, которые теперь случаются каждые 5–10 лет. Взгляните, как ни странно, на редкие всплески аномального холода. Тот факт, что глобальное потепление может привести к значительному похолоданию в некоторых местах, противоречит интуитивным представлениям, но объяснить это несложно. Глобальное потепление – это повышение среднего количества тепла, поступающего в атмосферу, океаны и сушу. Никто не утверждает, что потепление будет идти везде одинаково.

По мере повышения полной тепловой энергии планеты отклонения от среднего – флуктуации – становятся больше и могут быть как холодными, так и теплыми. Смысл в том, что в целом тепло выигрывает. Внезапное похолодание в одном месте не говорит о том, что глобальное потепление – вымысел. Если в вашем городе на 10 градусов холоднее обычного, но в 11 городах где-то еще на один градус теплее, то средняя глобальная температура выросла. Если в вашем городе на 10 градусов холоднее обычного сегодня, но на один градус теплее в течение 11 случайных дней позже, то средняя глобальная температура выросла, при прочих равных условиях. Мало того, выросла и средняя температура в вашем городе.

Проблема в том, что мы замечаем внезапный всплеск холода, но компенсационные эффекты могут оказаться слишком слабыми, чтобы они отложились у нас в голове, слишком распыленными или происходящими где-то еще. Необычные всплески холода в Европе и Северной Америке в последние годы происходили потому, что воздушные потоки забросили холодный воздух из Арктики дальше на юг, чем обычно. Поэтому холодный воздух, который в нормальных условиях циркулировал бы около полярной ледяной шапки, оказался над океанами, над Гренландией, Северной Канадой и Россией. Почему этот холодный воздух пришел на юг? Потому что воздух в полярных областях был много теплее обычного и вытеснил холодный воздух. В целом весь регион стал теплее – в среднем.

В моделировании климата достаточно математики на целую книгу, но я собираюсь говорить не об этом. Как Арло, я просто готовлю сцену для того, о чем я действительно хочу рассказать.

Лед по всему земному шару тает. В ряде необычных мест количество льда потихоньку увеличивается, но во всех остальных местах снижается, причем быстро. Ледники отступают, а ледяные шапки на обоих полюсах уменьшаются. Эти явления угрожают лишить питьевой воды пару миллиардов человек, а подъем уровня моря приведет к затоплению домов еще полумиллиарда, если мы не сумеем остановить эти процессы. В результате физика и математика таяния льда приобретают жизненно важное значение, причем буквально для каждого из нас.

Физики много чего знают о таянии льда. Наряду с кипением и парообразованием, это классический пример фазового перехода – изменения состояния вещества. Вода может существовать в разных состояниях. Она может быть твердой, жидкой или газообразной. То, в каком состоянии она находится, зависит в основном от температуры и давления. При атмосферном давлении достаточно холодная вода является твердым телом – льдом. При нагревании она проходит точку плавления и превращается в жидкость – собственно воду. Нагрейте ее еще, до точки кипения, и она превратится в газ – водяной пар. В настоящее время наука знает о существовании 18 фаз льда, последняя из которых, «квадратный лед», открыта в 2014 году. Три из 18 фаз существуют при нормальных давлениях, остальные требуют куда более высоких его значений.

Темные прудики с талой водой выделяются на фоне белого арктического льда. Почему они образуют такие затейливые узоры?

Бо́льшая часть того, что нам известно про лед, исходит из лабораторных экспериментов с относительно небольшими его количествами. Нам же в настоящее время настоятельно необходимо как можно больше знать о таянии чрезвычайно больших количеств льда в естественной среде. Существует два взаимосвязанных способа получения такой информации: наблюдение за происходящим и измерение параметров и построение теоретических моделей физических процессов. Ключ к реальному пониманию – соединение обоих методов.

Одним из признаков того, что полярные льды, особенно морские, тают, можно считать образование прудиков с талой водой. Поверхностный лед начинает таять, и небольшие темные лужи постепенно пятнают девственную белизну льда, хотя зачастую поверхность льда сейчас имеет не слишком девственный серый цвет от покрывающей его пыли. Лужи заполнены водой, в отличие от льда, имеют темный цвет и поглощают солнечные лучи, вместо того чтобы отражать их. Инфракрасное излучение, в частности, прогревает лужи быстрее, чем лед, так что они постепенно растут. Они увеличиваются, со временем сливаются друг с другом и образуют талые пруды замысловатой формы – кляксы, соединенные тонкими каналами, которые ветвятся и тянутся во все стороны, как заросли каких-то странных грибов.

Физика роста талых прудов – одна из принципиально важных особенностей поведения морского льда при потеплении. А сейчас происходит именно это, особенно с арктическим морским льдом. Что случится с морским льдом, когда планета разогреется, – важная часть проблемы понимания последствий изменения климата. Поэтому математики, естественно, исследуют поведение математических моделей тающего льда, надеясь вытащить из них хотя бы некоторые его секреты. Иногда это удается, что, впрочем, неудивительно. Удивительно то, что одна из изучаемых в настоящее время моделей вообще не имеет отношения к таянию льда. Она связана с магнетизмом и датируется 1920 годом. Магнитные материалы тоже претерпевают своего рода фазовый переход – при слишком сильном нагреве они теряют изначально присущие им магнитные свойства.

Данная модель давно стала образцом для фазовых переходов. Придумал ее немецкий физик Вильгельм Ленц, но все называют ее моделью Изинга, поскольку математики и физики неизменно дают названия в честь того, кто в их сознании теснее всего ассоциируется с открытием. У Ленца был ученик Эрнст Изинг, которому он дал тему для докторской диссертации: рассмотреть эту модель и показать, что в ней есть магнитный фазовый переход. Изинг рассмотрел модель и показал, что такого перехода в ней нет. Тем не менее его исследование дало начало новой отрасли математической физики и сильно продвинуло вперед наши представления о магнитах.

А теперь о таянии льда.

* * *

Магниты сегодня настолько обычны и привычны, что мы редко задумываемся о том, как они работают. С их помощью мы прикрепляем пластиковых свинок на дверцу холодильника (во всяком случае, в моем доме так делают), застегиваем чехол мобильного телефона и даже ловим знаменитый бозон Хиггса, который наделяет элементарные частицы массой. Без магнитов не было бы компьютерных жестких дисков и электрических машин вроде тех, что автоматически поднимают и опускают окна автомобиля, или тех, что генерируют гигаватты электроэнергии. Несмотря на свою вездесущность, магниты очень загадочны. Они притягивают или отталкивают друг друга посредством невидимого силового поля. Самые простые и знакомые магниты – стержневые – имеют полюса на концах, называемые северным и южным. Северный и южный полюса притягиваются, а два северных полюса отталкиваются, как, впрочем, и два южных. Если попытаться сблизить одноименные полюса мощных маленьких магнитов, то можно почувствовать силу их отталкивания. Если попытаться развести разноименные полюса, то можно почувствовать силу их притягивания друг к другу. Они действуют друг на друга, даже если не соприкасаются, – вот вам «дальнодействие». При помощи магнитов можно заставить предметы левитировать, даже такие большие предметы, как поезда. Загадочное силовое поле невидимо.

Магниты известны человеку не менее 2500 лет. Они возникают естественным образом в минерале магнетите, который представляет собой оксид железа. Небольшой кусок магнетита, известного еще как магнитный железняк, может притягивать железные предметы. Его можно превратить в компас, подвесив на нитке или пустив плавать в воде на деревянной дощечке. Природные магниты используются для навигации примерно с XII века. Подобные материалы, способные обретать постоянное магнитное поле, называют ферромагнетиками. По большей части они представляют собой сплавы железа, никеля и/или кобальта. Одни материалы сохраняют магнитные свойства почти вечно, а другие можно намагнитить на какое-то время, но они довольно быстро размагничиваются.

Ученые начали серьезно заниматься магнитами в 1820 году, когда датский физик Ханс Кристиан Эрстед открыл связь между магнетизмом и электричеством, а именно тот факт, что электрический ток может создавать магнитное поле. В 1824 году британский ученый Уильям Стерджен изготовил электромагнит. История электромагнетизма слишком обширна, чтобы описывать ее подробно, но ключевыми в развитии этой области физики стали эксперименты Майкла Фарадея. Они позволили Джеймсу Клерку Максвеллу сформулировать математические уравнения для электрического и магнитного полей и их взаимосвязи. Эти уравнения показывают, что движущееся электрическое поле порождает магнетизм, а движущее магнитное поле порождает электричество. Вместе они создают электромагнитные волны, которые распространяются со скоростью света. Мало того, свет и сам является такой волной. Как и радиоволны, рентгеновские лучи и микроволны.

Одно из загадочных свойств ферромагнетиков заключается в том, как они реагируют на нагрев. У каждого из них есть критическая температура, именуемая точкой Кюри. Если нагреть ферромагнетик выше точки Кюри, его магнитное поле исчезает. И не просто исчезает: переход происходит резко. При приближении температуры к точке Кюри магнитное поле начинает ослабевать, причем тем быстрее, чем она ближе к этой точке. Физики называют такой тип поведения фазовым переходом второго типа. Большой вопрос: почему так происходит?

Подсказку дало открытие электрона – элементарной частицы, несущей крохотный электрический заряд. Электрический ток – это поток электронов. Атом имеет ядро из протонов и нейтронов, окруженное облаком электронов. Число и расположение электронов определяет химические свойства атома. Кроме того, электроны обладают спином – это квантовое свойство, и, хотя электроны на самом деле не вращаются, у спина много общего с моментом импульса, одним из свойств вращающихся тел в классической физике. Это свойство показывает, насколько интенсивно вращение и в каком направлении оно происходит – вокруг какой оси вращается тело.

Физики экспериментально установили, что спин электрона наделяет его магнитным полем. Поскольку квантовая механика такая, какая она есть, то есть странная, спин электрона, измеренный относительно почти любой конкретной оси, всегда имеет значение либо «вверх», либо «вниз». Эти состояния примерно соответствуют крохотному магниту с северным полюсом вверху, а южным внизу или такому же магниту с противоположным расположением полюсов. До измерения спина он может представлять собой любую комбинацию из «вверх» и «вниз», то есть вращаться вокруг совершенно разных осей, но когда вы наблюдаете спин относительно выбранной вами оси, он всегда равен «вверх». Или «вниз». Одно из двух. Это, конечно, странно и совершенно непохоже на спин в классической физике.

Связь между спином электрона и его магнитным полем вносит значительный вклад в понимание не только того, почему магниты теряют свои магнитные свойства при сильном нагреве, но и того, как они это делают. До намагничивания ферромагнетика спины его электронов ориентированы произвольным образом, так что их крохотные магнитные поля компенсируют друг друга. Когда материал намагничивается при помощи электромагнита или под влиянием постоянного магнита, спины его электронов ориентируются в одном направлении. При этом они складываются и порождают заметное крупномасштабное магнитное поле. Без внешнего вмешательства такое расположение спинов электронов сохраняется, и мы получаем постоянный магнит.

Однако если материал нагреть, тепловая энергия начинает раскачивать электроны, некоторые из них переворачиваются и меняют спин на противоположный. Магнитные поля, направленные в разные стороны, ослабляют друг друга, так что общее магнитное поле объекта тоже ослабевает. Это качественно объясняет потерю магнитных свойств, но ничего не говорит о том, почему происходит резкий фазовый переход или почему он всегда происходит при определенной температуре.

Здесь на сцене появился Ленц. Он предложил простую математическую модель: множество электронов, которые влияют на соседей в соответствии с их относительными спинами. В этой модели каждый электрон располагается в фиксированной точке пространства, обычно в узле регулярной решетки, напоминающей клетки большой шахматной доски. Каждый электрон в этой модели может существовать в одном из двух состояний: +1 (спин «вверх») и –1 (спин «вниз»). В каждый момент решетка покрыта узором из плюс и минус единиц. Если продолжить аналогию с шахматной доской, то каждый квадратик окрашен либо в черный цвет (спин «вверх»), либо в белый (спин «вниз»). Может возникнуть любой узор из белых и черных квадратиков, по крайней мере в принципе, потому что квантовые состояния в определенной мере случайны, но некоторые паттерны более вероятны, чем другие.

Расчеты или эксперименты, которые руководитель не хочет проводить сам, обычно поручают аспирантам, что и сделал Ленц, который дал задание Изингу рассмотреть эту модель. Надо отметить, что в данном случае под словом «рассмотреть» подразумевалась довольно тонкая вещь. Речь не шла о динамике переворачивания спинов или конкретных паттернов. Речь шла о расчете распределения вероятностей возможных паттернов и выяснении, как это распределение зависит от температуры и внешних магнитных полей. Распределение вероятностей – это математический инструмент, часто формула, которая в данном случае показывает, насколько вероятен любой заданный паттерн.

Научный руководитель дал задание, и вы, если хотите получить в конечном итоге степень доктора философии, делаете что вам сказано. Или, по крайней мере, стараетесь изо всех сил, потому что руководители иногда ставят перед аспирантами слишком сложные задачи. В конце концов, причина, по которой руководитель предлагает аспиранту решить задачу, состоит в том, что сам он не знает ответа и часто не имеет понятия, насколько сложно его найти.

Так что Изинг засучил рукава и принялся разбираться в модели Ленца.

* * *

Существуют общепринятые приемы, о которых знают научные руководители и которые они могут подсказать аспирантам. По-настоящему умные аспиранты открывают их для себя сами, наряду с идеями, которые руководителям даже не приходили в голову. Один из таких приемов звучит забавно, но, как правило, помогает: если вы собираетесь работать с очень большим числом, все заметно упростится, если сделать это число бесконечным. Например, если вы хотите разобраться в модели Изинга для большой, но конечной шахматной доски, представляющей кусок ферромагнитного материала реалистичного размера, математически удобнее работать с бесконечной шахматной доской. Причина в том, что у конечной доски есть края, которые, как правило, осложняют расчет, поскольку клетки на краю отличаются от клеток в середине. Это разрушает симметрию строя электронов, а симметрия упрощает расчеты. У бесконечной шахматной доски краев нет.

Картина шахматной доски соответствует тому, что математики и физики называют двумерной решеткой. Слово «решетка» означает, что базовые единицы, то есть клетки доски, выстроены регулярным образом – в данном случае идеально ровными строками и столбцами. Математические решетки могут иметь любую размерность, тогда как физические обычно имеют размерность один, два или три. Самыми показательными для физики являются трехмерные решетки: бесконечный ряд идентичных кубиков, составленных в штабеля, как одинаковые ящики на складе. В данном случае электроны заполняют область пространства примерно как атомы в кристалле с кубической симметрией, скажем в кристалле соли.

Математики и специалисты по математической физике предпочитают начинать с более простой, но менее реалистичной модели: одномерной решетки, где точки нахождения электронов располагаются вдоль прямой линии на равных расстояниях, как целые числа на числовой прямой. Картина не слишком физическая, но удобная для рассмотрения идей на простейшей подходящей модели. С увеличением размерности решетки возрастают и математические сложности. Так, кристаллическая решетка на прямой существует всего одна, на плоскости их уже 17, а в трехмерном пространстве – целых 230. Так что Ленц поставил перед своим аспирантом задачу выяснить, как ведут себя подобные модели, и ему хватило здравого смысла рекомендовать юноше сосредоточиться на одномерной решетке. Успехи аспиранта оказались достаточными, чтобы такие модели сегодня назывались моделями Изинга.

Хотя модель Изинга связана с магнитными явлениями, ее структура и способы работы с ней относятся скорее к термодинамике. Эта область зародилась в классической физике, где занималась такими величинами, как температура и давление в газах. К 1905 году, когда физики наконец удостоверились в том, что атомы существуют и соединяются в молекулы, они поняли также, что переменные вроде температуры и давления представляют собой статистические средние величины. Это «макроскопические» величины, которые мы можем легко измерить, но определяются они событиями значительно более мелкого «микроскопического» масштаба. Кстати говоря, их невозможно разглядеть в микроскоп, хотя сегодня существуют микроскопы, позволяющие получать изображения атомов. Эти приборы работают, только когда атом неподвижен. В газе громадное число молекул носится вокруг, иногда сталкиваясь и отскакивая друг от друга. Столкновения рандомизируют движение молекул, то есть делают его случайным.

Теплота есть форма энергии, заключенная в движении молекул: чем быстрее они движутся, тем горячее газ и, соответственно, выше его температура. А температура отличается от теплоты: это мера качества теплоты, а не ее количества. Существует математическая взаимосвязь между положением и скоростью молекул и термодинамическими средними параметрами. Эта взаимосвязь является предметом отдельной научной области – статистической механики, которая пытается вычислять макроскопические переменные через микроскопические, с особым акцентом на фазовые переходы. Например, что именно меняется в поведении молекул воды, когда лед тает? И какое отношение к этому имеет температура вещества?

* * *

Перед Изингом стояла аналогичная задача, но вместо молекул H₂O и льда, превращающегося при нагревании в воду, он анализировал спины электронов и магниты, теряющие свои свойства при нагревании. Ленц сделал модель – ту самую, которую мы сегодня называем моделью Изинга, – как можно более простой. Однако, как часто случается в математике, ее рассмотрение простым не было.

Напомню, что «рассмотрение» модели Изинга означает расчет того, как статистические свойства группы крохотных магнитиков меняются с температурой. Это сводится к нахождению полной энергии системы, которая зависит от магнитного паттерна – числа и организации положительных и отрицательных спинов, черных и белых клеток на шахматной доске. Физические системы стремятся к состояниям с минимально возможной энергией. Именно поэтому, например, упало легендарное ньютоновское яблоко: его потенциальная гравитационная энергия уменьшалась, пока оно летело к земле. Ньютон догадался, что те же рассуждения применимы и к Луне, которая непрерывно падает, но пролетает мимо поверхности Земли, поскольку одновременно уходит в сторону. При помощи вычислений он показал, что одна и та же сила тяготения количественно объясняет оба движения.

Так или иначе, все крохотные магнитики – электроны с определенным направлением спинов – стремятся сделать свою суммарную энергию как можно меньше. Но как они это делают и в какое состояние приходят, зависит от температуры материала. На микроскопическом уровне теплота – это форма энергии, которая заставляет молекулы и электроны двигаться беспорядочно. Чем горячее становится материал, тем активнее они движутся. В магните конкретное пространственное распределение спинов постоянно меняется из-за этого беспорядочного движения, вот почему «рассмотрение» модели дает статистическое распределение вероятностей, а не конкретный узор спинов. Однако наиболее вероятные узоры выглядят очень похоже, так что можно поставить вопрос о том, как выглядит типичный паттерн при заданной температуре.

Принципиально важная часть модели Изинга – математическое правило взаимодействия электронов, которое определяет энергию любого паттерна. Модель принимает упрощающее предположение о том, что электроны взаимодействуют только с ближайшими соседями. При ферромагнитном взаимодействии считается, что вклад в энергию отрицателен, когда соседние электроны имеют одинаковый спин. В антиферромагнитных системах он положителен, когда соседние электроны имеют одинаковый спин. Существует также дополнительный вклад в энергию от взаимодействия каждого электрона с внешним магнитным полем. В упрощенных моделях сила всех взаимодействий между соседними электронами одинакова, а внешнее магнитное поле считается равным нулю.

Ключ к математике данной модели – понять, как энергия данного паттерна меняется с изменением цвета одного квадратика с черного на белый или наоборот. То есть единичный электрон в произвольной позиции переключается между +1 (черный) и –1 (белый). Одни переключения увеличивают суммарную энергию, другие уменьшают. Переключения, которые понижают суммарную энергию, более вероятны, однако переключения, которые ее повышают, не исключаются полностью в связи со случайным тепловым движением. Интуитивно мы ожидаем, что паттерн спинов сведется к варианту с минимальной энергией. В ферромагнитном материале при этом все электроны должны иметь одинаковый спин, но на практике мы имеем не совсем это, потому что на достижение такого состояния потребовалось бы слишком много времени. Вместо этого при умеренных температурах существуют участки, где спины почти идеально выровнены, что создает черно-белый рисунок. При более высоких температурах случайная толкотня берет верх над взаимодействием между соседними спинами, и выровненные участки становятся настолько маленькими, что связь между спином данного электрона и спинами его соседей практически исчезает, а узор становится хаотичным и выглядит в целом серым, несмотря на крошечные черно-белые детали. При низких температурах выровненные участки увеличиваются и дают более упорядоченный паттерн. Паттерны никогда полностью не стабилизируются, в них всегда происходят случайные изменения. Но статистические свойства паттерна для заданной температуры довольно стабильны.

Больше всего физиков интересует переход от четких цветовых пятен – упорядоченного состояния – к случайному серому хаосу. Это тоже фазовый переход. Эксперименты с фазовым переходом ферромагнетиков из состояния намагниченности в немагнитное состояние показывают, что при температуре ниже точки Кюри магнитный паттерн имеет пятнистый характер. Размеры пятен различны, но группируются вокруг конкретного типичного размера, или «масштаба длины», который становится меньше по мере роста температуры. При температуре выше точки Кюри пятен нет: два значения спина беспорядочно перемешаны. Больше всего физиков занимает то, что происходит непосредственно в точке Кюри. В этот момент наблюдаются пятна разных размеров, без доминирующего масштаба длины. Пятна образуют фрактал – паттерн с детальной структурой на любом масштабе. Увеличенная картинка части узора обладает теми же статистическими чертами, что и узор целиком, поэтому из паттерна невозможно вычленить преобладающий размер пятна. Определенного масштаба длины больше не существует. Однако скорость, с которой меняется паттерн во время перехода, можно связать с численной мерой, которую называют критической экспонентой. Эксперименты позволяют измерить критическую экспоненту очень точно, что делает этот параметр весьма чувствительным тестом для теоретических моделей. Одной из главных целей теоретиков является создание моделей, которые дают верное значение критической экспоненты.

Компьютерное моделирование не позволяет «рассмотреть» модель Изинга в точности – модели не в состоянии привести формулу для статистических свойств со строгим математическим доказательством ее корректности. В принципе, современные системы компьютерной алгебры могли бы помочь исследователям угадать формулу, если таковая существует, но ей все равно потребуется доказательство. Более традиционное компьютерное моделирование позволяет получить убедительные свидетельства в пользу или против того, что модель соответствует реальности. Заветная цель математических физиков (или склонных к физике математиков, поскольку главная задача здесь носит чисто математический характер, хотя и мотивируется физикой) – получение точных результатов в отношении статистических свойств спиновых паттернов в модели Изинга, особенно в отношении того, как эти свойства меняются при прохождении температуры через точку Кюри. В частности, исследователи заняты поиском доказательств того, что в модели наблюдается фазовый переход, и намерены охарактеризовать его через критическую экспоненту и фрактальные свойства наиболее вероятных паттернов в точке перехода.

* * *

Теперь наша история становится более сложной для понимания, но я попытаюсь дать вам основные идеи, не углубляясь в подробности. Отбросьте недоверие и плывите по течению.

Самым важным математическим инструментом в термодинамике является так называемая функция разбиения. Получается она путем сложения, для всех состояний системы, определенного математического выражения, которое зависит от состояния и температуры. Точнее говоря, чтобы получить это выражение для любого заданного состояния, мы берем энергию этого состояния, делаем ее отрицательной и делим на температуру. Затем находим экспоненту этой величины и складываем эти выражения для всех возможных состояний{62}. Физическая идея здесь состоит в том, что вклад состояний с более низкими энергиями в эту сумму больше, так что в функции разбиения доминируют наиболее вероятные состояния (а сама она, соответственно, имеет в этом месте максимум).

Все обычные термодинамические переменные могут быть выведены при помощи подходящих манипуляций из функции разбиения, так что наилучший способ «рассмотрения» термодинамической модели состоит в вычислении функции разбиения. Изинг нашел свое решение, выведя формулу для свободной энергии{63} и предложив формулу для намагничивания{64}. Формула выглядит внушительно, но для Изинга она, должно быть, стала большим разочарованием, поскольку после всех хитроумных вычислений оказалось, что при отсутствии внешнего магнитного поля материал собственного магнитного поля не имеет. Хуже того, это верно для абсолютно любой температуры. Так что модель предсказывает отсутствие фазового перехода и спонтанного намагничивания, казалось бы, ферромагнитного материала.

Сразу же возникло подозрение, что главной причиной такого отрицательного результата стала простота модели. Конкретнее, подозрение пало на размерность решетки. По сути, размерность один слишком мала, чтобы привести к реалистичным результатам. Очевидно, следовало бы провести расчет для двумерной решетки, но это оказалось по-настоящему трудно. Методы Изинга для этого не годились. Только в 1944 году, после нескольких прорывных открытий, сделавших подобные расчеты более систематическими и простыми, Ларс Онсагер решил-таки двумерную задачу Изинга. Это было настоящее математическое достижение, давшее сложный, но явный ответ. Но даже тогда расчет предполагал отсутствие внешних магнитных полей.

Формула показывает, что теперь фазовый переход есть и приводит к существованию ненулевого внутреннего магнитного поля при температуре ниже критической, равной где k_B – постоянная Больцмана из термодинамики, а J – сила взаимодействия между спинами. Для температур вблизи критической точки удельная теплота уходит в бесконечность, как и логарифм разности между реальной и истинной температурой – одной из характеристик фазового перехода. В более поздних работах были выведены также различные критические экспоненты.

* * *

Но какое отношение эти игры со спинами электронов и магнитами имеют к прудам с талой водой во льдах Арктики? Тающий лед находится в состоянии фазового перехода, но лед – это не магнит, а таяние не связано с переворачиванием спинов. Откуда здесь может взяться полезная связь?

Если бы математика была жестко связана с какой-то одной физической интерпретацией, которая ее и породила, то ответ был бы «ниоткуда». Однако это не так. По крайней мере, не всегда. Именно здесь вступает в игру пресловутая непостижимая эффективность математики.

Моделирование развития системы талых прудов на базе модели Изинга[11]

Часто первым указанием на возможность такой мобильности, когда математическая идея перекочевывает из одной области применения в другую, вроде бы не связанную с ней область, становится неожиданное семейное сходство в какой-нибудь формуле, графике, числе или картинке. Как правило, сходство такого рода оборачивается не более чем визуальной ассоциацией, совпадением, привлекающим внимание, но ничего не означающим. В конце концов, на свете не так уж много разных графиков и фигур.

Иногда, однако, такое сходство является ключом и указывает на глубокую взаимосвязь.

Именно так началось исследование, к которому я наконец перехожу в этой главе. Около 10 лет назад математик Кеннет Голден, рассматривая фотографии морских арктических льдов, заметил, что они необычайно похожи на картинки пятен электронных спинов вблизи фазового перехода в точке Кюри. Он задался вопросом, нельзя ли приспособить модель Изинга для объяснения процесса формирования и распространения талых прудов. Модель для льда, конечно, применяется на гораздо более крупном масштабе, ведь состояния «вверх»/«вниз» у крохотных электронов здесь заменяются на состояние лед/вода на участке поверхности морского льда площадью около одного квадратного метра.

Потребовалось время, чтобы превратить эту мысль в серьезную математику, но она привела Голдена, работавшего вместе с метеорологом Куртом Стронгом, к новой модели влияния климатических изменений на морской лед. Голден показал результаты моделирования по Изингу одному из коллег, специализировавшемуся на анализе изображений талых прудов, и тот принял их за фотографии реальных прудов. Более подробный анализ статистических свойств этих изображений – например, соотношения между площадью прудов и их периметрами, указывающего на степень извилистости береговой линии, – показал очень близкое численное совпадение.

Геометрия талых прудов жизненно важна для климатических исследований, потому что она влияет на важные процессы, протекающие на морском льду и в верхних слоях океана. Среди этих процессов – изменение альбедо льда (коэффициента, указывающего, какую часть света и теплового излучения он отражает) по мере его таяния, дробление ледяных полей и изменение их размеров. Это, в свою очередь, влияет на распределение светлых и темных пятен подо льдом, на фотосинтез водорослей и экологию микроорганизмов.

Приемлемая модель не должна противоречить двум основным наборам наблюдаемых данных. В 1998 году экспедиция SHEBA определила размеры талых прудов посредством фотографирования с вертолетов. Из наблюдений получилось, что распределение вероятностей в отношении размеров прудов подчиняется степенному закону: вероятность обнаружения пруда площадью A примерно пропорциональна A^k, где постоянная k примерно равна –1,5 для прудов площадью от 10 до 100 м². Такой тип распределения часто указывает на фрактальную геометрию. Те же данные, вкупе с наблюдениями Трансарктической экспедиции Хили – Одена 2005 года HOTRAX, показывают фазовый переход во фрактальной геометрии талых прудов по мере их роста и слияния. Геометрия прудов развивается от простых форм в самоподобные области, границы которых ведут себя как заполняющие пространство кривые. Фрактальная размерность граничных кривых – соотношение между площадью и периметром – изменяется при этом от 1 до примерно 2 при критической площади пруда около 100 м². Это влияет также на изменение ширины и глубины прудов, на площадь контакта вода – лед, через который происходит расширение прудов, и, наконец, на скорость таяния.

Полученная из наблюдений величина показателя степени k составляет –1,58 ± 0,03, что хорошо согласуется с величиной –1,5 от SHEBA. Изменение фрактальной размерности, замеченное HOTRAX, может быть рассчитано теоретически с использованием модели просачивания, для которой максимальная размерность, соответствующая примерно 2, оказывается равной 91/48 = 1,896. Численное моделирование по модели Изинга тоже дает фрактальную размерность, очень близкую к данной{65}.

Одна интересная особенность этой работы состоит в том, что используемая модель оперирует очень небольшими масштабами длин – всего в несколько метров. Большинство климатических моделей имеет масштаб длины в несколько километров. Так что подобное моделирование – совершенно новый раздел. На данный момент он еще находится в стадии становления, и модель требует немалой доработки, чтобы вобрать в себя больше физики тающего льда, поглощения и излучения солнечного света, даже ветров. Но она уже подсказывает новые пути сравнения наблюдаемых данных с математическими моделями и позволяет в какой-то степени объяснить, почему талые пруды образуют такие замысловатые фрактальные формы. Кроме того, это первая математическая модель фундаментальной физики талых прудов.

Репортаж The Guardian, процитированный в эпиграфе к данной главе, рисует мрачную картину. Недавнее ускорение таяния арктических льдов и уменьшения ледового покрова, выведенное из наблюдений, а не из математических моделей, подразумевает, что подъем уровня моря к 2100 году составит две трети метра. Это на 7 см больше, чем ранее предсказывала Межправительственная группа экспертов по изменению климата (IPCC). Около 400 млн человек будет ежегодно подвергаться риску наводнений, что на 10 % больше, чем 360 млн человек, предсказанные IPCC. Кроме того, подъем уровня моря усиливает штормовой нагон волны, что может нанести дополнительный ущерб прибрежным регионам. В 1990-е годы Гренландия ежегодно теряла по 33 млрд тонн льда. За последние 10 лет этот показатель увеличился до 254 млрд тонн в год, а всего с 1992 года потеряно уже 3,8 трлн тонн льда. Примерно половина этих потерь вызвана ускорением сползания ледников и отламыванием от них айсбергов на границе с океаном. Вторая половина обусловлена таянием льда, в основном на поверхности. Так что физика талых прудов сегодня приобретает жизненно важное значение для каждого из нас.

Если находку Изинга удастся уточнить, то все связанные с ней идеи можно будет применить к талым прудам. Особенно связь с фрактальной геометрией, которая позволяет глубже заглянуть в сложную геометрию талых прудов. Кроме того, история Изинга и таяния Арктики – это чудесный пример непостижимой эффективности математики. Кто мог бы предсказать столетие назад, что модель Ленца, относящаяся к ферромагнитному фазовому переходу, может иметь что-то общее с изменением климата и грядущим исчезновением полярных ледяных шапок?

Топология – одна из гибких разновидностей геометрии – первоначально представляла собой в высшей степени абстрактную часть чистой математики. Большинство из тех, кто хотя бы слышал о ней, по-прежнему так считает, но ситуация потихоньку начинает меняться. То, что может существовать нечто под названием «прикладная топология», на первый взгляд кажется невероятным. Это как учить свинью петь: замечательным результатом было бы не то, что свинья поет хорошо, а уже то, что она вообще поет. Такая оценка справедлива в отношении свиней, но совершенно несправедлива в отношении топологии. Сегодня, в XXI веке, прикладная топология несется вперед на всех парах и решает важные задачи в реальном мире. На самом деле это незаметно происходит уже не первый день, но сейчас процесс достиг такой стадии, когда прикладную топологию уже можно вполне обоснованно считать новой отраслью прикладной математики. И речь идет не о случайных применениях каких-то аспектов топологии: ее применения едва ли не повсеместны, а используемые топологические инструменты охватывают значительную часть предмета, включая самые хитроумные и абстрактные моменты. Косы. Комплексы Вьеториса – Рипса. Векторные поля. Гомология. Когомология. Гомотопия. Теория Морса. Индекс Лефшеца. Расслоенные пространства. Пучки. Категории. Копределы.

На это есть причина: единство. Сама топология тоже выросла, всего за столетие с небольшим, из кучки небольших диковинок до полностью интегрированной области исследований и знаний. Сегодня это одна из главных опор, на которых зиждется вся математика. А везде, куда приходит чистая математика, появляется и прикладная математика. Со временем. (Обратный процесс тоже случается.)

Топология изучает, как изменяются фигуры под действием непрерывных преобразований и, в частности, какие свойства они при этом сохраняют. Знакомые примеры топологических структур – лента Мёбиуса, то есть односторонняя поверхность, и узлы. На протяжении почти 80 лет математики изучали топологию из природного любопытства и не думали ни о каком практическом применении. Предмет становился все более абстрактным, появлялись заумные алгебраические структуры, получившие название гомологии и когомологии, чтобы делать такие вещи, как подсчет числа отверстий в топологической фигуре. Все это казалось очень невразумительным и не имело значения для практики.

Однако математики не теряли присутствия духа и продолжали работать над топологией из-за ее центральной роли в развитом математическом мышлении. Компьютеры становились все более мощными, и математики начали искать способы электронного воплощения топологических концепций, которое позволило бы исследовать очень сложные формы. Но, чтобы компьютеры получили возможность производить нужные вычисления, исследователям пришлось изменить подход к вопросу. Результат, известный как «постоянная гомология», – это цифровой метод поиска отверстий.

Вверху слева: цилиндр. Вверху справа: лента Мёбиуса.

Внизу слева: тор. Внизу справа: бутылка Клейна

На первый взгляд, задача распознавания отверстий кажется очень далекой от реального мира. Но топология оказывается идеальным средством для решения некоторых задач, связанных с сетями датчиков охранной сигнализации. Представьте себе секретное правительственное учреждение, окруженное лесом и неизменно привлекающее к себе внимание террористов и воров. Чтобы вовремя заметить их приближение, вы размещаете в лесу датчики движения. Как эффективнее всего это сделать и как убедиться, что в кордоне нет дыр, через которые плохие парни смогут пройти незамеченными?

Дыры? То есть отверстия? Конечно! Зовите тополога.

* * *

Когда вы впервые знакомитесь с топологией, вам обычно рассказывают о базовых формах. Они кажутся очень простыми и странными маленькими игрушками. Одни из них причудливы, другие откровенно жутковаты. Но эти причуды имеют смысл. Как однажды сказал великий математик Гильберт, «искусство математики состоит в нахождении того частного случая, который содержит все зародыши общности». Стоит выбрать правильную игрушку, и перед вами откроются совершенно неизведанные области.

Первые две игрушки на рисунке можно сделать, взяв полоску бумаги и соединив ее концы. Очевидный способ сделать это дает нам цилиндрическую полоску. Менее очевидный состоит в предварительном перекручивании одного конца на 180°. Это лента Мёбиуса, названная в честь Августа Мёбиуса, наткнувшегося на такую забавную штуку в 1858 году, хотя еще до этого ее заметил ученик Гаусса Иоганн Листинг. Именно Листинг в 1847 году первым пустил в оборот название «топология», но прозорливо подталкивал его к этому зарождающемуся предмету с самого начала не кто иной, как Гаусс.

У цилиндра имеются два края, каждый из которых представляет собой окружность, и две стороны, или поверхности. Можно раскрасить цилиндр внутри в красный цвет, а снаружи в синий, и эти два цвета нигде не встретятся. В топологии значение имеют те свойства фигур, которые сохраняются при непрерывной деформации фигуры. Вы можете растягивать ее части, сжимать их или скручивать, но не имеете права разрезать или рвать – разве что позже соедините все как было. Одинаковая всюду ширина цилиндрической ленты на рисунке не является ее топологическим свойством: ширину можно изменить путем непрерывной деформации. Округлость краев тоже не топологическое свойство, по аналогичным причинам. Но само наличие двух краев и двух сторон – топологические свойства.

Фигуры, которые считаются идентичными при деформации, имеют особое название: мы называем их топологическими пространствами. Настоящее определение звучит в высшей степени абстрактно и заумно, так что я буду пользоваться более неформальными изобразительными средствами. Однако все, что я говорю, может быть сформулировано точно и надлежащим образом доказано.

Мы можем использовать эти топологические свойства для доказательства того, что цилиндр невозможно непрерывной деформацией превратить в ленту Мёбиуса. Хотя то и другое получается в результате склеивания концов бумажной полоски, это разные топологические пространства. Причина в том, что у ленты Мёбиуса всего один край и одна сторона. Если провести по краю бумажной ленты пальцем, то палец сделает два оборота, прежде чем вернется в исходную точку. При этом он благодаря перекручиванию на 180° перейдет сверху вниз и обратно. Если вы начнете закрашивать поверхность красной краской, то сделаете полный оборот и обнаружите, что закрашиваете оборот той части бумаги, которую уже окрасили, опять же благодаря перекручиванию на 180°. Так что лента Мёбиуса имеет другие топологические свойства по сравнению с цилиндром.

Фигура внизу слева похожа на бублик. Математики называют такую фигуру тором, имея в виду только поверхность, но не внутреннюю часть, где у бублика находится мякиш. В этом тор больше напоминает надувной спасательный круг. В нем есть отверстие. Вы можете просунуть в это отверстие палец или, в случае спасательного круга, тело. Но это отверстие не в самой поверхности. Если бы это было так, надувной спасательный круг сдулся бы – и вы бы утонули. Отверстие расположено в месте, где поверхности как раз нет. Это совершенно логично: инженер широкополосной связи, сидящий в инспекционном люке, тоже находится там, где нет поверхности. Но у люка есть края, а вот у тора имеется отверстие, но нет ни одного края. Как и у цилиндра, у тора две стороны: та, что мы видим на рисунке, и та, что «внутри».

Фигура внизу справа менее известна. Это бутылка Клейна. Она называется так в честь великого немецкого математика Феликса Клейна и потому, что внешне похожа на бутылку. Название, по-видимому, было немецким каламбуром, поскольку по-немецки Fläche означает «поверхность», а Flasche – «бутылка». В одном отношении рисунок выглядит обманчиво: кажется, что поверхность протыкает себя насквозь. В бутылке Клейна такого не происходит. Самопересечение возникает потому, что мы, естественно, рисуем так, будто предмет находится в трехмерном пространстве. Чтобы получить бутылку Клейна без самопересечений, нужно либо выйти в четыре измерения, либо, что еще лучше, последовать стандартной топологической практике – вообще отбросить потребность в окружающем пространстве. Тогда бутылку Клейна можно рассматривать как цилиндр, два круглых конца которого соединены друг с другом, но после того, как один из них вывернули наизнанку. Чтобы проделать это в трехмерном пространстве, необходимо проткнуть концом цилиндра его стенку и вновь его там раскрыть, но можно сделать то же самое концептуально, просто добавив правило, по которому вы, падая с одного конца цилиндра, оказываетесь на другом его конце, со сменой направления вдоль окружности. У бутылки Клейна, как у тора, нет краев, а ленту Мёбиуса она напоминает тем, что имеет только одну сторону.

Итак, мы описали различия всех четырех приведенных на рисунке топологических пространств. Они различаются либо числом концов, либо числом сторон. Либо типами отверстий, если мы только сможем сказать, что подразумеваем под отверстием. Это наблюдение открывает один из фундаментальных вопросов топологии. Как определить, являются ли данные топологические пространства идентичными или отличаются друг от друга? Для этого недостаточно просто посмотреть на фигуру, потому что она может быть деформирована. Как говорится, для тополога что бублик, что кофейная чашка – все едино. Чтобы ответить на вопрос, необходимо привлечь топологические свойства, по которым различаются пространства.

Сделать это не всегда просто.

* * *

Бутылка Клейна выглядит как классическая математическая игрушка. Трудно понять, как она может, хотя бы в принципе, быть полезной в реальном мире. Конечно, Гильберт настаивал, что математические игрушки ценны не сами по себе, а через теории, на создание которых они вдохновляют, так что бутылке Клейна нет нужды оправдывать свое существование непосредственно. На самом деле эту невероятную фигуру все же можно отыскать в природе. Она возникает в зрительной системе приматов – а это обезьяны обычные и человекообразные, ну и, конечно, мы.

Более столетия назад невролог Джон Хьюлингс Джексон выяснил, что кора головного мозга человека содержит своеобразную топографическую карту мышц тела. Кора – это извилистая поверхность мозга, так что все мы держим в голове карту собственных мышц. Это полезно, потому что мозг управляет сокращением и расслаблением мышц и, соответственно, нашими движениями. Значительная часть коры отвечает за зрение, и мы сегодня знаем, что зрительная кора содержит в себе аналогичные карты, управляющие зрительным процессом.

Зрение – это не только глаз, работающий как камера и посылающий фотографию в мозг. Оно намного сложнее, потому что мозг должен не только получить изображение, но и распознать его. Подобно камере, глаз имеет линзу для фокусировки входящего изображения, а работа сетчатки немного напоминает работу пленки. На самом деле зрительный процесс ближе к работе цифровых камер. Свет попадает на крохотные рецепторы на сетчатке, именуемые палочками и колбочками, а нейронные связи передают сигналы в кору мозга по зрительному нерву – пучку нервных волокон. По пути эти сигналы обрабатываются, но основную часть анализа берет на себя кора.

Зрительную кору можно представить в виде ряда слоев, уложенных друг на друга. У каждого слоя своя роль. Верхний слой V1 распознает границы между частями изображения. Это первый шаг сегментирования сигнала на составляющие части. Информация о границах передается глубже в кору и на каждом шаге анализируется на наличие следующего типа структурной информации, а затем преобразуется для передачи на следующий уровень. Естественно, это сильно упрощенное описание, да и «слои» – тоже упрощение. На самом деле много сигналов передается и в обратном направлении. Эта система создает в наших головах многоцветное трехмерное представление внешнего мира – настолько живое и подробное, что по умолчанию мы считаем, что это и есть окружающий мир. Это не совсем соответствует истине, что и демонстрируют наглядно зрительные иллюзии и двусмысленности. Во всяком случае, в конечном итоге кора сегментирует изображение на части, в которых мы можем узнать кошку, или тетю Веру, или что угодно еще. А затем мозг может вызвать дополнительную информацию: кличку кошки или тот факт, что Вера недавно выиграла в лотерею.

Слой V1 распознает границы при помощи островков нервных клеток, чувствительных к краям, ориентированным в тех или иных направлениях. На рисунке показана часть V1, полученная путем оптической записи из зрительной коры макаки. Разные оттенки серого (в статье, послужившей мне источником, их называют цветами, так что и я буду их так называть) соответствуют нейронам, которые срабатывают при получении данных, указывающих на границу такой ориентации. Цвет непрерывно переходит от одного оттенка к другому, за исключением отдельных изолированных точек, где все цвета существуют рядом в конфигурации, напоминающей колесо со спицами. Эти точки представляют собой сингулярности поля ориентации.

Эта конфигурация ограничена топологическими свойствами поля ориентации. Существует всего два способа расположить серию цветов вокруг сингулярности так, чтобы все переходы были непрерывны: цвета будут меняться либо последовательно по часовой стрелке, либо против. На рисунке показаны примеры обоих вариантов. Присутствие сингулярностей неизбежно, поскольку зрительной коре, чтобы распознать линию целиком, приходится использовать много вертушек – поворотных пунктов.

Теперь мы зададимся вопросом, как мозг совмещает информацию об ориентации с информацией о том, как граница движется. Направление – это не только прямая, но и стрелочка на ней (север противолежит югу, хотя то и другое находится на одной прямой), и после поворота на 180° стрелочка меняется на противоположную. Чтобы направление вернулось к первоначальному, необходимо совершить поворот на 360°. Границы не имеют стрелочек и потому возвращаются к первоначальному состоянию после поворота на 180°. Кора должна каким-то образом обеспечить работу и направлений, и границ одновременно. Если обвести сингулярность петлей, ориентации вокруг петли будут меняться непрерывно, но поле направлений должно будет перевернуться с заданного направления на противоположное – скажем, с северного на южное – нечетное число раз. Эти утверждения по природе своей топологичны, и они привели ученого по имени Сигеру Танака к выводу о том, что рецептивные поля связаны друг с другом с топологией бутылки Клейна{66}. Это предсказание уже проверено экспериментально на разных животных, в том числе на мартышках, кошках и хорьках, и полученные данные указывают на то, что организация зрительной коры у многих млекопитающих схожа. С людьми эксперименты не проводились по этическим соображениям, но мы тоже млекопитающие, более того – приматы. Поэтому вполне вероятно, что у нас, как и у макак, в голове имеются бутылки Клейна, помогающие нам воспринимать движущиеся объекты.

Цвета (здесь оттенки серого) показывают ориентацию, которая порождает больше всего активности в каждом участке коры. Воспринимаемая ориентация меняется плавно, за исключением точек сингулярности, где все цвета сходятся[12]

Эти идеи интересны не только биологам. В стремительно развивающейся области биомиметики инженеры учатся у природы, что позволяет им создавать новые материалы и новые машины. Например, в изобретении рентгеновских телескопов важнейшую роль сыграла любопытная структура глаза омара{67}. Чтобы сфокусировать пучок рентгеновских лучей, необходимо изменить их направление, но у них настолько высокая энергия, что подходящее зеркало может отклонить луч только на очень небольшой угол. Эволюция омара решила аналогичную проблему для видимого света миллионы лет назад, и эта же геометрия работает для рентгеновских лучей. Новые представления о слое V1 коры головного мозга у млекопитающих могут быть перенесены и на компьютерное зрение, с потенциальным применением в таких сферах, как беспилотные автомобили и машинная интерпретация спутниковых снимков для военных и гражданских целей.

* * *

Центральный вопрос топологии звучит так: «Какая это фигура?» То есть «Какое топологическое пространство мы здесь видим?» Вопрос может показаться банальным, но математика представляет нам топологические пространства самыми разными способами – в виде картинок, формул, решений уравнений, поэтому не всегда понятно, что мы получаем. Например, только тополог способен разглядеть бутылку Клейна в слое V1 мозга макаки. Мы замахнулись на решение этой задачи, когда заметили, что четыре пространства на моем рисунке – цилиндр, лента Мёбиуса, тор и бутылка Клейна – различаются топологическими свойствами. Ближе к концу XIX века и в начале XX века математики разработали систематические подходы к этому вопросу. Ключевая идея состоит в том, чтобы определить топологические инварианты – свойства, которые можно вычислить и которые одинаковы у топологически эквивалентных пространств, но различны по крайней мере у некоторых неэквивалентных пространств. Обычно этого недостаточно, чтобы различать все неэквивалентные пространства, но даже частичная классификация полезна. Если у двух пространств различается какой-то из инвариантов, то эти пространства определенно имеют различную топологию. При рассмотрении четырех фигур, о которых мы говорили, инвариантами являются такие аспекты, как «сколько краев?» и «сколько сторон?».

За прошедшие десятилетия выяснилось, что одни инварианты полезнее других, и было построено несколько инвариантов, имеющих фундаментальное значение. Тот, о котором я хочу сейчас рассказать (отчасти потому, что в последнее время у него появились серьезные сферы применения), называется гомологией. По существу, он подсчитывает, сколько отверстий заданной размерности имеет пространство. Мало того, он не просто подсчитывает: он соединяет отверстия и неотверстия в единый алгебраический объект, называемый группой гомологий.

Есть одно базовое топологическое пространство, которое я до сих пор не упоминал: сфера. Как и в случае с тором, когда математики произносят это слово, они подразумевают бесконечно тонкую поверхность, а не заполненную сферу (которую называют шаром). У сферы нет краев, как у тора и бутылки Клейна. Мы можем показать, что она топологически отличается и от тора, и от бутылки Клейна, если посмотрим на отверстия или их отсутствие.

Начнем с тора. С первого взгляда очевидно, что у тора прямо в середине есть огромное и очень заметное отверстие. Сферы выглядят совершенно иначе. Но как определить отверстие математически, так, чтобы определение не зависело от окружающего пространства? Ответ в том, что смотреть надо на замкнутые кривые на поверхности. Любая замкнутая поверхность на сфере образует границу области, которая с топологической точки зрения представляет собой диск – внутренность окружности{68}. Доказательство этого довольно заковыристо, поэтому будем просто считать, что так оно и есть. На торе некоторые замкнутые кривые также ограничивают диски, но некоторые нет. Мало того, любая замкнутая кривая, проходящая «сквозь» отверстие, не может ограничивать диск. Доказать это тоже довольно непросто, но мы опять смиримся с судьбой и будем считать, что все в порядке. Таким образом, мы показали, что сфера топологически отличается от тора, потому что «замкнутая кривая» и «ограничивает (топологический) диск» – это топологические свойства.

Слева: на торе некоторые замкнутые кривые являются границами, а некоторые нет. Справа: на сфере все замкнутые кривые являются границами

В эту игру можно играть и при более высоких размерностях. Например, в трех измерениях можно заменить «замкнутую кривую» на «(топологически) сферическую поверхность», а «ограничивает диск» на «ограничивает шар». Если вы сумеете найти сферу, которая не ограничивает шар, это будет означать, что в пространстве имеется трехмерное отверстие. Если вы хотите пойти дальше и определить это отверстие, то знайте, что еще первые топологи обнаружили возможность складывать и вычитать замкнутые кривые, или сферы. Я расскажу, как это происходит с кривыми на поверхностях, для более высоких размерностей все аналогично, но более хлопотно.

Цикл на торе

По существу, вы складываете две замкнутые кривые, когда рисуете их на одной поверхности. Чтобы сложить целое множество кривых, следует нарисовать их все. Существуют, правда, технические тонкости: часто полезно бывает рисовать вдоль кривой стрелочку, обозначая ее ориентацию, а одну и ту же кривую можно рисовать много раз и даже отрицательное число раз. Это почти то же самое, что рисовать обратную ей кривую (та же кривая, противоположная ориентация) положительное число раз, в смысле, который я скоро объясню.

Множество кривых, помеченных числами, которые показывают, сколько раз нужно нарисовать каждую из них, называется циклом. На поверхности существует бесконечное число возможных циклов, но топологически многие из них эквивалентны друг другу. Итак, я только что сказал, что минус цикл – это тот же цикл, где все стрелочки перевернуты. На самом деле это не совсем верно, потому что «тот же» означает «идентичный», а циклы эти не идентичны. Но мы можем сделать их одинаковыми, применив топологический вариант фокуса, который проделывают специалисты по теории чисел в модулярной арифметике. Там, хотя числа 0 и 5 не одинаковы, мы можем сделать вид, что они одинаковы для определенных целей, и получить кольцо Z₅ целых чисел по модулю 5. В теории гомологий мы проделываем фокус того же рода и делаем вид, что любая замкнутая кривая, которая ограничивает диск, – то же самое, что нулевая кривая, и не рисуем ни одной ее копии. Такую кривую называют границей и говорят, что она гомологична нулю. Эта же идея распространяется и на циклы: цикл гомологичен нулю, если представляет собой комбинацию кривых, каждая из которых является границей.

Мы можем сложить циклы C и D и получить C + D, как уже описывалось, а можем вычесть один из другого, перевернув стрелочки в цикле D, и получить C – D; правда, C – С не обязательно должно равняться 0. Это раздражает, но выход есть: эта разность всегда гомологична нулю. Если мы сделаем вид, что все гомологичное нулю равно нулю, то получим прекрасный алгебраический объект, называемый группой гомологий на поверхности. В результате мы производим алгебраические операции над циклами по модулю (то есть игнорируя) границ. Точно так же, как мы занимаемся арифметикой (mod 5), игнорируя числа, кратные 5.

Это и есть гомология.

Группа гомологий сферы тривиальна: каждый цикл гомологичен нулю и группа состоит только из одного 0. Группа гомологий тора не тривиальна: некоторые циклы в ней не гомологичны нулю. Оказывается, каждый цикл гомологичен целому кратному цикла, обозначенного на рисунке как «не граница», так что группа гомологий тора представляет собой замаскированное множество целых чисел Z. Я не буду ничего считать и рисовать диаграммы, но группа гомологий бутылки Клейна – это Z₂ × Z₂, пары (m, n) целых чисел по модулю 2. Так что у бутылки тоже имеется отверстие, но это отверстие иного рода, чем отверстие в торе (ну, не совсем в нем).

Я рассказал вам о довольно сложной конструкции – группе гомологий – не без причины: мне хотелось дать вам представление о том, как топологи строят инварианты. Но единственное, что вам следует вынести отсюда, – это мысль о том, что у каждого пространства имеется группа гомологий, что это топологический инвариант и что с его помощью можно многое выяснить о форме пространства. В топологическом смысле.

* * *

Понятие группы гомологий восходит к новаторским исследованиям Энрико Бетти и Пуанкаре, проводившимся в конце XIX века. Их подход состоял в подсчете топологических особенностей, таких как отверстия, но в конце 1920-х годов он был переведен на язык теории групп стараниями Леопольда Вьеториса, Вальтера Майера и Эмми Нётер, а вскоре появились и широкие обобщения. То, что я называю просто группой гомологий, – это всего лишь первая из целого ряда таких групп, определяющих алгебраическую структуру отверстий размерности 1, 2, 3 и т. д. Существует также парное понятие когомологии и родственное понятие гомотопии, связанное скорее с тем, как кривые трансформируются и соединяются конец к концу, а не с тем, какое отношение они имеют к границам. Пуанкаре понимал, что эта конструкция дает группу, в которой, как правило, не выполняется перестановочный закон. Сегодня алгебраическая топология – это громадная узкоспециализированная область, где продолжают открывать новые топологические инварианты.

Существует также стремительно растущая область, известная как прикладная топология. Поскольку новое поколение математиков и физиков знакомо с топологией практически с детства, для них она оказывается куда менее странной и пугающей, чем была в свое время для старшего поколения. Они бегло говорят на языке топологии и видят новые возможности применения ее для решения практических задач. Бутылка Клейна в зрительной системе – пример с передовых позиций биологии. В материаловедении и радиоэлектронике можно найти такие понятия, как топологические изоляторы: это материалы, которые можно переводить из проводящего состояния в непроводящее, меняя топологию их электрических свойств. Топологические качества, сохраняющиеся при деформациях, очень стабильны.

Одна из наиболее перспективных концепций прикладной топологии возникла, когда специалисты по чистой математике пытались написать алгоритмы, которые позволили бы компьютеру вычислять группы гомологий. Им удалось это сделать, переписав определение группы гомологий так, чтобы оно больше подходило для компьютерных вычислений. Впоследствии эти идеи оказались эффективным новым методом анализа «больших данных». При этом чрезвычайно модном подходе ко всем областям науки компьютеры используются для поиска скрытых закономерностей в численных данных. Как явствует из названия, он работает лучше всего с очень большими объемами данных. К счастью, современные датчики и электроника чрезвычайно хорошо умеют измерять, хранить и манипулировать гигантскими объемами данных. К несчастью, мы часто понятия не имеем, что делать с этими данными после того, как собрали их, но именно здесь и кроются математические загадки больших данных.

Предположим, вы наизмеряли миллионы чисел и принципиально представляете их как своего рода облако точек в многомерном пространстве переменных. Чтобы извлечь из этого облака данных осмысленные закономерности, необходимо найти выраженные структурные особенности. Первостепенна среди них форма облака. Ее невозможно определить, просто нанеся точки на экран и посмотрев на них, – может оказаться, что вы смотрите не с того направления, или важные группы точек затенены другими точками, или число переменных слишком велико, чтобы зрительная система нормально их обрабатывала. Но, как мы уже видели, «Какой это формы?» – фундаментальный вопрос в топологии. Поэтому резонно предположить, что топологические методы могут помочь отличить, скажем, примерно сферическое облако данных от тороидального с отверстием в нем. Что-то отдаленно похожее на это мы делали для проекта FRACMAT из главы 8. Там важно было, насколько компактно облако точек и является ли оно округлым или вытянутым. Более тонкие топологические детали значения не имели.

Невозможно разобраться в топологии миллиона точек данных вручную: необходимо использовать компьютер. Но компьютеры сконструированы не для того, чтобы анализировать топологию. Так что методы, которые специалисты по чистой математике разрабатывали для компьютерных расчетов групп гомологий, были перенесены в область больших данных. И, как всегда, в готовом виде они не делали работу полностью. Их нужно было адаптировать к новым требованиям больших данных, главное из которых – то, что форма облака данных не является четко определенной. Она зависит, в частности, от масштаба, в котором вы рассматриваете облако.

Представьте, например, шланг, уложенный в бухту. При взгляде с умеренного расстояния сегмент шланга похож на кривую, которая топологически есть одномерный объект. Вблизи он похож на длинную цилиндрическую поверхность. Еще ближе поверхность обретает толщину, более того, вдоль середины цилиндра проходит отверстие. Если отойти и посмотреть издалека, но под широким углом, шланг окажется свернутым как сжатая пружина. А стоит расфокусировать зрение, бухта расплывется в… тор.

Подобного рода эффект означает, что форма облака данных – не постоянное понятие. Так что группа гомологий тоже не такая уж замечательная идея. Вместо этого математики задаются вопросом о том, как воспринимаемая топология облака данных меняется с масштабом наблюдения.

Соединение точек данных, разделенных различными расстояниями, создает ряд триангуляций и вскрывает отверстия разных размеров. Постоянная гомология распознает эти эффекты

Начиная с облака и выбранной мерки длины, вы можете создать то, что топологи называют симплексным комплексом. Для этого следует соединить точки попарно ребрами везде, где они оказываются ближе друг к другу, чем предписывает выбранная мерка. Тогда ребра, которые находятся близко друг к другу, окружают треугольники, а треугольники, которые находятся близко друг к другу, окружают тетраэдры и т. д. Многомерный тетраэдр называется симплексом, а набор симплексов, объединенных определенным образом, есть симплексный комплекс. Для нас подойдет и более простое его название «триангуляция». Помните только, что треугольники могут быть любой размерности.

Если у вас есть триангуляция, существуют математические правила вычисления гомологии. Но ведь триангуляция зависит от масштаба наблюдения. Так что и гомология тоже от него зависит. Наш интересный вопрос о форме тогда приобретает вид: как меняется гомология триангуляции с изменением масштаба? Важнейшие особенности формы должны быть менее подвержены изменениям, нежели более неустойчивые черты, которые чувствительны к масштабу. Так что мы можем сосредоточиться на тех аспектах группы гомологий, которые сохраняются при изменениях масштаба. Результирующий инструмент – не просто группа гомологий, а семейство таких групп, по одной на каждый масштаб, – известен как постоянная гомология.

Здесь последовательность из шести рисунков показывает, какие точки соединяются на разных масштабах, при разных мерках длины. С увеличением мерки – а мы при этом видим все более грубые структуры – в начальном облаке отдельных точек начинают формироваться небольшие сгустки, в одном из которых мы видим столь же небольшое отверстие. Это отверстие заполняется, а сгустки растут. Затем сгустки объединяются в кольцо, открывая нашему взору большое отверстие. Его стенки постепенно утолщаются, но само оно остается большим отверстием, пока мерка длины не станет такой большой, что все заполнится целиком. Рисунок схематичен, а подробности, которые добавил бы компьютерный алгоритм, опущены для ясности. Доминантной чертой, существующей на максимальном диапазоне шкал, является большое отверстие в середине.

Штрихкод постоянной гомологии показывает, какие структуры сохраняются на каких масштабах. (Схематично.)

Обратите внимание, что это описание включает в себя не только топологию, но и информацию о расстоянии. Формально топологическое преобразование не обязано сохранять расстояния, но в анализе данных их реальные значения важны не менее, чем общая топологическая форма. Поэтому постоянная гомология обращает внимание не только на топологические, но и на метрические свойства. Один из способов представления информации, полученной при помощи постоянной гомологии, предполагает построение штрихкода, где горизонтальные линии обозначают диапазон масштабов, на которых сохраняются те или иные гомологические черты (такие как отверстия). Например, штрихкод для представленного на рисунке облака точек мог бы выглядеть примерно как штрихкод на рисунке выше. В штрихкоде схематически обобщается информация о том, как топология меняется с масштабом.

* * *

Постоянная гомология и ее штрихкоды – все это прекрасно, но для чего они могут пригодиться?

Представьте, что вы управляете бизнесом и ваши офисы располагаются на поляне в лесу. Грабители могут подойти к ним по лесу незамеченными. Поэтому вы устанавливаете вокруг датчики, каждый из которых способен регистрировать движение и поддерживать связь с соседними датчиками, и включаете эту систему по ночам. При появлении кого бы то ни было, законном или нет, датчики должны поднять тревогу, и тогда ваша служба безопасности может пойти на место и выяснить, в чем дело. Или представьте, что вы генерал и управляете военной базой в местности, где активно действуют террористические группы. Вы делаете что-то похожее, только с оружием.

Как гарантировать, что покрытие территории датчиками достаточно, что нет прорех, через которые преступник или террорист мог бы прокрасться внутрь?

Если датчиков немного, вы можете нанести их на карту и визуально оценить распределение. Если число датчиков велико или имеются различные ограничения, обусловленные рельефом местности, то такой метод становится менее реальным. Поэтому нужен способ обнаружения прорех в зоне действия датчиков… Искать прорехи? Похоже, это задача как раз для постоянной гомологии. В самом деле, это одна из тех многочисленных областей, где в настоящее время применяется эта новая идея. Аналогичное применение можно назвать «барьерным покрытием»: определить, защищает ли данный набор датчиков охраняемое здание или комплекс полностью. «Прочесывающее покрытие» относится к подвижным датчикам, а домашний, или коммерческий, вариант этого алгоритма используется в роботах-пылесосах. Весь ли пол он почистит?

Более научное применение метода реализуется совместно с методом скользящего окна для восстановления динамических аттракторов, который я упоминал в главе 8. Постоянная гомология может распознать момент, когда топология аттрактора существенно меняется. В теории динамических систем этот момент называют точкой бифуркации, он свидетельствует о серьезном изменении в динамике. Еще одно важное применение – выяснение того, как менялся климат Земли за миллионы лет, от теплых периодов к оледенениям и даже к полностью покрытой снегом и льдом Земле. Джесси Бервальд с коллегами показал, что штрихкоды облаков данных скользящего окна прекрасно помогают распознавать изменения в общем климатическом режиме{69}. Тот же метод применяется и к другим физическим системам, например в случае вибрации в станках. Фирас Хасавнех и Элизабет Манч выяснили, что временная серия измерения режущего инструмента может уловить эти вибрации, известные среди профессионалов как «дрожь»{70}. Кроме того, метод применяется и в медицинском сканировании, например для распознавания бифонирования при видеоэндоскопии гортани, которой занимаются Кристофер Трали и Хосе Переа{71}. Этот эффект возникает, когда голосовая связка производит звук сразу двух частот, и может указывать на повреждение или паралич связки. При эндоскопии гортани камера на конце оптоволоконного кабеля вводится в нос и опускается в горло. Саба Эмрани и другие{72} применили штрихкоды к аудиоданным, чтобы распознавать у пациентов свистящее дыхание – ненормальный высокий звук, который может указывать на частичную блокировку дыхательных путей или легочные заболевания, такие как астма, рак легких и хроническая сердечная недостаточность.

У вас проблемы с данными? Нужна срочная помощь?

Зовите тополога.

Собирая материалы для этой книги, я наткнулся на фразу: Πόλλ' οἶδ' ἀλώπηξ, ἀλλ' ἐχῖνος ἓν μέγα. В школе я учил латынь, а не греческий, но математики знают греческий алфавит. Даже я смог узнать здесь слова «эхинос» и «мега» и предположить, что речь идет о каком-то большом ежике. На самом деле фраза переводится так: «Лиса знает много секретов, а еж – всего один, но большой». Сказал это предположительно древнегреческий поэт Архилох.

Чей подход выбрать – лисы или ежика? Что лучше – перечислить кучу поразительных открытий в математике за последние 50 лет и рассказать, как они используются, или сосредоточиться на чем-то одном, но большом?

Я решил сделать и то и другое.

Лисью часть вы уже одолели, все ее 13 глав. Пришел черед ежовой части, где я попробую подвести итог.

Оглядываясь на рассмотренные нами темы, я не устаю удивляться богатству и разнообразию тех областей математики, которые в настоящее время прочно вошли в системы и устройства, определяющие характер жизни в начале XXI века. Жизни не только обеспеченных людей в западных странах – хотя они, наверное, выигрывают от этого больше других, – а миллиардов людей во всех без исключения странах мира. Мобильный телефон принес современную связь в развивающиеся страны. Сегодня связь вездесуща и меняет все. Не всегда к лучшему, но перемены – это палка о двух концах. Без математики и без множества людей, обученных пользоваться ею на профессиональном уровне, мобильных телефонов не было бы.

Кроме того, существует великое множество областей применения, которые я не упомянул за недостатком места. Те, о которых вы здесь прочли, не обязательно самые лучшие, важнейшие, яркие или ценные. Это всего лишь несколько примеров, которые близки мне, поскольку касаются применения чаще всего новой математики в неожиданных областях. Помимо прочего, я стремился к разнообразию: не думаю, что было бы разумно посвятить 90 % книги, скажем, применению дифференциальных уравнений в частных производных, хотя материала на эту тему предостаточно, да и обосновать их значимость совсем несложно. Я хотел показать не только значимость математики для человечества в целом, но и разнообразие и широкий охват современных областей практического использования моего предмета.

Для успокоения совести я кратко упомяну еще ряд областей применения, о которых можно было бы рассказать. И это тоже будет лишь верхушка айсберга. Проводя исследования для книги, я собрал немало примеров и теперь приведу некоторые из них. Располагаются они в произвольном порядке.

Любое из этих направлений могло бы с успехом послужить темой для отдельной главы. И это лишь небольшая часть примеров использования математики на благо всех живущих на этой планете.

Эти примеры – и другие, о которых я рассказывал подробнее, – ясно показывают, что само разнообразие применений математики поразительно, особенно если учитывать, что значительная часть математических методов создавалась либо с совершенно иными целями, либо просто потому, что какому-то математику они показались интересными. Это вновь подводит нас к глубокому философскому вопросу, занимавшему Вигнера в далеком 1959 году. И этот вопрос остается – по крайней мере, для меня – таким же интригующим, каким был тогда. Даже более интригующим, если это возможно. Вигнер писал в основном о непостижимой эффективности математики в теоретической физике, но сегодня мы видим, что она непостижимо эффективна в гораздо более широком и более близком нам спектре видов деятельности. Большинство из них имеет еще меньше очевидных связей с какой бы то ни было математикой.

Как и Вигнера, меня не убеждает объяснение, которое дают многие: математика выводит свои закономерности из реального мира и должна поэтому быть эффективной в реальном мире. Как я уже говорил, на мой взгляд, оно упускает главное, хотя и неплохо объясняет понятную эффективность. Истории, рассказанные в этой книге, иллюстрируют те самые аспекты, которые и делают математику полезной в областях, на первый взгляд никак не связанных с ее происхождением. Математик и философ Бенджамин Пирс определил математику как «науку, которая делает необходимые выводы». Что произойдет при таких-то и таких-то условиях? Это глобальный вопрос, общий для большинства задач, которые возникают в окружающем мире. Поскольку математика в наше время носит очень общий характер, она дает набор полезных инструментов для ответов на такие вопросы, только и ожидающих, когда их задействуют. Не обязательно представлять себе все возможные варианты использования молотка, чтобы увидеть его полезность. Им можно что-то сколотить или разбить – в общем, это универсальный инструмент, и его, скорее всего, много где можно применить. Раз молоток помогает решить одну задачу, то он вполне может быть полезным и в других. Так и математический метод, отработанный на одной области, часто может быть перенесен – с надлежащей модификацией – и на другие.

Еще одно определение математики, которое мне нравится, дал Линн Артур Стин: «Наука значимой формы». Математика занимается структурой. Она исследует, как эффективно использовать структуру для понимания и решения задачи. Эта точка зрения опять же имеет весьма общий характер, и опыт показывает, что она вполне может отражать суть вопроса.

Третье определение, предложенное в отчаянии, выглядит так: это «то, чем занимаются математики». Сюда нужно добавить еще, что математик – это «тот, кто занимается математикой». Мне кажется, можно дать определение и без тавтологии, в ней нет необходимости. Стоит ли говорить, что бизнес – это «то, чем занимаются бизнесмены», а бизнесмен – это «человек, который занимается бизнесом»? Да, но этого мало. Успешным предпринимателем человека делает не само занятие бизнесом, а умение заметить возможность для бизнеса, которую упустили остальные. Точно так же математик – это человек, который замечает возможности для применения математики там, где остальные ничего не увидели.

Для этого необходимо мыслить математически.

За столетия математики выработали образ мышления, который позволяют сразу видеть суть задачи. В каком естественном контексте существует эта задача? Какое у нее пространство возможностей? Какая естественная структура подходит для выражения значимых свойств? Какие свойства принципиально важны, а какие представляют собой ненужные подробности или помехи, которые можно отбросить? Как их отбросить? Какой будет естественная структура оставшегося? Математическое сообщество отточило эти методы на бесчисленных трудных задачах, отшлифовало их, превратив в элегантные и мощные теории, проверило на задачах из реального мира. Эти методы становятся все более общими, взаимосвязанными, мощными и переносимыми.

Может быть, эффективность математики не так уж и непостижима.

Может быть, это вообще не загадка.

Представьте себе мир без математики.

Мне слышатся радостные крики множества людей, и я их понимаю, поскольку нет причин, по которым то, что нравится мне, должно нравиться и вам. Но я говорю не о том, что вам лично теперь ее не нужно учить. Дело не только в вас.

Представим, что где-то в огромной Вселенной существует цивилизация, которая потребляет математику в огромных количествах. Я имею в виду буквально потребляет. Некоторые физики утверждают, что математика так непостижимо эффективна в объяснении Вселенной, потому что Вселенная состоит из математики. Математика – не придуманный человеком метод понимания вещей, это реальная, хотя и нематериальная, субстанция, которая встроена во все сущее.

Лично я считаю это мнение безумным, оно делает философскую загадку тривиальной, но инопланетяне знают, что я неправ. Они уже миллиард лет назад открыли, что Вселенная на самом деле сделана из математики, и их цивилизация потребляет ее в огромных количествах, точно так же, как мы потребляем многие ресурсы Земли. Мало того, они использовали уже столько математики, что она у них давно закончилась бы, если бы им не удалось найти простое решение. У них ужасно продвинутые технологии и чрезвычайно агрессивное отношение к окружающему миру, поэтому они отправляют в поход целые флотилии гигантских, напичканных оружием космических кораблей, которые ищут обитаемые планеты и забирают себе их математику.

Математикоядные приближаются.

Обнаружив новый мир, они съедают всю его математику. Не идеи, а саму нематериальную субстанцию – и все, что когда-либо зависело от математики и опиралось на нее, исчезает тоже, лишенное опоры. Математикоядные предпочитают самую очищенную и переработанную пищу, так что начинают с продвинутой математики и постепенно съедают ее всю, до самых прозаических вещей. Обычно они уходят, когда добираются до умножения в столбик, потому что простейшая арифметика им не по вкусу, так что цивилизация на атакованных ими планетах не гибнет полностью. Остается, однако, лишь бледная тень прежнего величия, и Галактика буквально усеяна планетами, обитатели которых вынуждены вернуться в Темные века без надежды на спасение.

Если бы математикоядные появились в Солнечной системе завтра, что бы мы потеряли?

Скорее всего, исчезновения чистой математики на передовых рубежах мы бы просто не заметили. Хотя лет через 100 кое-что из этой категории приобрело бы жизненно важное значение, сейчас без всего этого можно обойтись. Но по мере того как математикоядные будут спускаться с башен из слоновой кости вниз, ближе к земле, у нас начнут пропадать важные вещи. Первыми в очереди стоят компьютеры, мобильные телефоны и интернет – самые математически сложные продукты на планете. Далее идет все, что связано с космосом: метеорологические, экологические и коммуникационные спутники, спутниковая навигация, в том числе авиационная и морская, спутниковое телевидение, отслеживание вспышек на Солнце. Перестанут работать электростанции. Промышленные роботы остановятся, производственные отрасли умрут, и мы вновь вернемся к веникам и швабрам вместо пылесосов. Никаких самолетов: без компьютеров мы уже не сможем их проектировать, а без аэродинамики не разберемся, как удержать их в воздухе. Радио и телевидение исчезнут в клубах инопланетного дыма, потому что эти технологии опираются на уравнения Максвелла для электромагнитного излучения – радиоволн. Все крупные здания рухнут, потому что их конструкции сильно зависят от компьютерных методов проектирования и теории упругости, которая должна обеспечить целостность конструкции. Никаких небоскребов, никаких крупных больниц и стадионов.

История течет назад. Мы уже вернулись к жизни, какой она была столетие назад, а математикоядные еще только начали.

Можно отметить, что некоторые потери пойдут нам только на пользу: ядерное оружие, например, и большинство других военных применений математики исчезнут, хотя при этом мы потеряем и способность защитить себя. Сам предмет нейтрален: хорош он или плох, зависит от того, что делает с ним человек.

Некоторые потери имеют двойственный характер: банки прекратят инвестиции в фондовый рынок, потому что потеряют способность предсказывать его поведение и минимизировать финансовые риски. Банкиры не любят риски, за исключением тех, о которых не знают до момента краха финансовой системы. Это снизит нашу разрушительную одержимость деньгами, но лишит финансирования многие полезные проекты.

В большинстве своем потери будут вредными. Для прогнозирования погоды придется, как встарь, облизывать палец и с его помощью определять направление ветра. Медицина лишится сканеров и способности моделировать распространение эпидемий, хотя сохранит анестетики и рентгеновские лучи. Все, что зависит от статистики, канет в Лету. Врачи больше не смогут оценивать безопасность и эффективность новых лекарств и методов лечения. Сельское хозяйство потеряет способность оценивать новые сорта растений и породы животных. Производство лишится эффективных методов контроля качества, поэтому все, что вы купите, – из ограниченного ассортимента, который останется доступным, – будет ненадежным. Правительства потеряют способность предсказывать тенденции и запросы. Они и сейчас-то справляются с этим так себе, но будет намного хуже. Средства связи вновь станут примитивными, исчезнет даже телеграф. Самым быстрым способом доставки письма вновь станет гонец на лошади.

К этому моменту мы уже не сможем обеспечивать жизнь существующего населения. Перестанут работать все наши хитроумные приемы, помогающие выращивать больше пищи и перевозить товары через океаны. Придется вернуться к парусным кораблям. Когда миллиарды людей начнут умирать от голода, нахлынут разные болезни. Наступит конец времен и Армагеддон, когда уцелевшие начнут драться за то немногое, что останется от нашего мира.

Вам может показаться, что мой сценарий – преувеличение. Однако единственное, что я действительно преувеличил, это представление математики в виде съедобной субстанции. Мы на самом деле полагаемся на математику почти во всем, что обеспечивает нашу жизнь на планете. Повседневная жизнь людей, которые считают математику бесполезной, в реальности зависит от деятельности тех, кто точно знает, что это не так, хотя огромное большинство об этом и не подозревает. Это, конечно, не их вина – ведь такая деятельность происходит за сценой, где никто, кроме специалистов, ее не видит.

Я не говорю «без математики мы по-прежнему жили бы в пещерах», поскольку убежден, что без математики мы нашли бы другие пути развития. Я не утверждаю, что одной только математикой объясняется наш прогресс. Математика наиболее полезна в сочетании со всем остальным, что человечество может применить для решения проблем и достижения целей. Но мы находимся в современном состоянии, потому что именно математика, наряду со всем остальным, помогла нам до него добраться. Мы так глубоко внедрили математику в свои технологические и социальные структуры, что без нее оказались бы в жуткой ситуации.

В главе 1 я перечислил шесть характерных черт математики: реальность, красота, общность, переносимость, единство и разнообразие. Все вместе они обусловливают полезность. Укладывается ли все это в единую картину теперь, когда вы прочли главы 1–13?

Многие математические идеи, о которых мы говорили, берут начало в реальном мире: числа, дифференциальные уравнения, задача коммивояжера, теория графов, преобразование Фурье, модель Изинга. Математика черпает вдохновение в природе, и это ей идет только на пользу.

Другие области интересующего нас предмета возникли в значительной степени благодаря чувству прекрасного, свойственному математикам-теоретикам. Комплексные числа были придуманы потому, что некрасиво, когда одни числа имеют два квадратных корня, а другие – ни одного. Модулярная арифметика, эллиптические кривые и другие части теории чисел появились, потому что людям нравятся красивые числовые закономерности, а преобразование Радона – потому что это интересный вопрос геометрии. Топология на протяжении столетия имела мало общего с реальностью, но стала одним из столпов математического здания, потому что речь в ней идет о непрерывности, а непрерывность фундаментальна.

Стремление все обобщать заметно в математике всюду. Эйлер не просто решил головоломку о мостах Кёнигсберга – он решил все без исключения головоломки этого типа и создал новую область математики, теорию графов. Шифры на основе модулярной арифметики привели к вопросам о вычислительной сложности и о том, действительно ли P ≠ NP. Комплексные числа вдохновили Гамильтона на создание кватернионов. Анализ был обобщен до функционального анализа, где пространствам конечной размерности на смену пришли функциональные пространства бесконечной размерности, а на смену функциям – функционалы и операторы. Математики придумали гильбертовы пространства квантовой теории задолго до того, как физики нашли для них применение. Топология началась с игрушек вроде ленты Мёбиуса, а затем во взрывном темпе переросла в одну из самых глубоких и абстрактных областей человеческой мысли. Теперь она начинает находить себе применение и в повседневной жизни.

Многие рассмотренные нами методы переносимы и используются в других местах независимо от того, где они в свое время появились. Теория графов применяется в медицинских задачах о пересадке почек, в задаче коммивояжера, в квантовых шифрах (расширяющие графы), в спутниковых навигаторах. Преобразование Фурье изначально было придумано для изучения тепловых потоков, но среди его родичей можно найти и преобразование Радона, используемое в медицинских сканерах, и дискретное родственное преобразование, необходимое для сжатия изображений в формате JPEG, и вейвлеты, которые ФБР использует для эффективного хранения отпечатков пальцев.

Тема единства математики тоже проходит красной нитью через все мои истории. Теория графов переходит в топологию. Комплексные числа появляются в задачах по теории чисел. Модулярная арифметика вдохновляет на построение групп гомологий. Спутниковая навигация соединяет в одной области применения по крайней мере пять частей математики, от псевдослучайных чисел до теории относительности. Динамика помогает вывести спутники на орбиту и предлагает новый метод контроля качества пружинной проволоки.

Разнообразие? В главах этой книги, если взять их вместе, фигурируют десятки областей математики, как правило, в сочетаниях. Их спектр простирается от числовых областей до геометрических, от иррациональных чисел до бутылок Клейна, от принципов справедливого дележа тортика до климатических моделей. Вероятности (цепи Маркова), графы и исследование операций (методы Монте-Карло) объединяются ради повышения шансов пациентов на получение почки для пересадки.

Что касается полезности, то спектр применений еще более разнообразен и охватывает сферы от компьютерной анимации до медицины, от производства пружин до фотографии, от интернет-торговли до прокладки авиамаршрутов, от мобильных телефонов до датчиков безопасности. Математика всюду. А я показал вам лишь крохотную часть того, что незаметно и без лишних слов управляет миром. Я понятия не имею о большей ее части. И вообще, многие лучшие идеи являются коммерческими секретами.

Именно поэтому в критических ситуациях нам нужно, чтобы как можно больше людей имели предельно широкие знания математики. Это необходимо не только для нашей собственной пользы. Понятно, что для большинства из нас значительная часть математики, которую нам преподают, практически бесполезна. Но так можно сказать и о любом другом школьном предмете. Я в школе изучал историю, и это определенно позволило мне лучше почувствовать культуру, в которой я живу, но одновременно напичкало меня пропагандой колониализма, которая сегодня кажется все более и более сомнительной. Но я не использую историю в своей работе или в жизни. Мне она интересна (причем с возрастом все больше), и я рад, что существуют историки, которые ее используют. Мне в голову бы не пришло требовать, чтобы историю перестали преподавать в школе. Но математика для нашего сегодняшнего образа жизни имеет принципиальное значение. Более того, очень трудно предсказать, какие ее разделы окажутся полезными для нас завтра. Работавший в моем доме плиточник Спенсер считал число π бесполезным, пока оно не понадобилось ему в работе.

Математика, воспринимаемая надлежащим образом – как насыщенная творческая дисциплина, какой она и является, а не примитивная карикатура, какой ее нередко представляют, – одно из величайших достижений человечества. Не только интеллектуальных, но и практических. Тем не менее мы постоянно прячем ее. Пора вытащить ее на свет, пока реальные аналоги моих фантастических математикоядных не попытались отнять ее у нас.

Да, лиса знает много секретов, а математики – всего один, но очень большой. Он называется математикой, и он преобразует наш мир.