Математическое описание мира основано на тонкой игре непрерывного и дискретного. Дискретное более заметно. "Функции, как и живые существа, характеризуются своими особенностями", как заметил П. Монтель. Особенности, бифуркации и катастрофы — термины, описывающие возникновение дискретных структур из гладких, непрерывных.

За последние 30 лет теория особенностей достигла высокого технического уровня, главным образом благодаря работам X. Уитни (1955), Р. Тома (1959) и Дж. Мазера (1965). Сейчас это — мощный новый математический аппарат, имеющий широкую область приложений в естествознании и технике (в особенности в комбинации с теорией бифуркаций, восходящей к диссертации А. Пуанкаре 1879 г. и далеко развитой А. А. Андроновым, 1933).

Цель этой книги — объяснить, как этот аппарат работает, читателю-нематематику. Однако я надеюсь, что и специалисты найдут здесь новые для себя факты и идеи.

Одни считают теорию катастроф частью теории особенностей, другие, наоборот, включают теорию особенностей в теорию катастроф. Чтобы избежать схоластического диспута, я называю катастрофистами тех, кто сам заявляет, что его работа относится к теории катастроф, предоставляя тем самым свободный выбор между терминами "особенности", "бифуркации" и "катастрофы" самим авторам соответствующих работ.

Первые разделы этой книжки впервые появились в виде статьи в журнале "Природа" (1979, № 10). Французский перевод с комментариями Р. Тома был опубликован в 1980 г. в сборнике переводов "Математика". Русские издания 1981 и 1983 г. и английские 1984 и 1986 г. каждое содержало новые разделы. Настоящее, наиболее полное издание, во многом отличается от предыдущих. Добавлены сведения об истории теории катастроф, расширены разделы о геометрических приложениях, о теории бифуркаций и о приложениях к "мягкому моделированию", включая исследование перестроек. Быть может, интересно отметить, что мои попытки, начиная с 1986 г., опубликовать анализ перестроек с точки зрения теории особенностей увенчались успехом лишь теперь, несомненно, вследствие самой перестройки.

Из более математических вопросов, включенных в новое издание, отмечу здесь теорию затягивания потери устойчивости, результаты о нормальных формах неявных дифференциальных уравнений и релаксационных колебаний, теорию внутреннего рассеяния волн в неоднородной среде, теорию граничных особенностей и несовершенных бифуркаций, описание каустики исключительной группы Ли F₄ терминах геометрии поверхности с краем и появление группы симметрий Н₄ правильного четырехмерного 600-гранника в задачах вариационного исчисления и оптимального управления, теорию перестроек ударных волн, универсальность каскадов удвоений, утроений и т. д.

Автор благодарен профессорам Р. Тому, М. Берри и Дж. Наю за полезные замечания о предыдущих изданиях этой книжки. Том указал, что термин "теория катастроф" изобретен К. Зиманом, а термин "аттрактор", заменивший прежнее "притягивающее множество", употреблялся уже С. Смейлом (тогда как в первых изданиях эти заслуги были приписаны Тому). По совету Берри я включил в это издание аннотированную библиографию (для читателей-специалистов, которые найдут в ней источники большинства сообщаемых здесь сведений, за исключением небольшого числа результатов, впервые опубликованных в этой книжке с любезного согласия авторов). Профессор Най заметил, что некоторые очень интересные топологические причины препятствуют реализации ряда перестроек каустик (таких, как рождение "летающей тарелочки") в оптике, для каустик, порожденных уравнением эйконала или Гамильтона — Якоби с выпуклым по импульсам гамильтонианом.

Я научился теории особенностей в четырехчасовой беседе с Б. Мореном после его замечательного доклада об особенностях Уитни и Морена на семинаре Тома в 1965 г. Морен объяснил мне тогда формулировку фундаментальной теоремы Мазера об устойчивости, анонсированной Мазером в только что полученном Мореном письмо (доказательство — не такое, как у Мазера, — я нашел позже, в тот же день). Неопубликованная работа Мазера 1968 г. о правой эквивалентности к несчастью (или к счастью) не была мне известна, и я осознал взаимоотношение между аналогичной работе Мазера работой Г. Н. Тюриной 1967 г. (опубликованной в 1968 г.) и моей работой 1972 г. об "A, D, Е", посвященной памяти Тюриной, только после того, как Дж. Милнор разъяснил мне его.

Ни в 1965 г., ни позже я никогда не был в состоянии понять ни слова в собственных докладах Тома о катастрофах. Однажды он описал их мне (по-французски?) как "бла-бла-бла", когда я спросил его, в начале семидесятых годов, доказал ли он свои утверждения. Даже сегодня я не знаю, справедливо ли утверждение Тома о локальной топологической классификации бифуркаций в градиентных динамических системах, зависящих от четырех параметров (в исправленной форме, ибо контрпример к исходной "теореме" Тома, анонсированной в Topology в 1969 г., был опубликован Дж. Гукенхеймером в 1973 г., и "великолепная семерка", столь превозносимая катастрофистами, должна быть увеличена, чтобы теорема стала верной). Локальная топологическая классификация бифуркаций в градиентных динамических системах, зависящих от трех параметров, недавно получена Б. А. Хесиным (1985). Число топологически различных бифуркаций оказалось конечным, но значительно большим, чем предполагал Том, пропустивший ряд бифуркаций. Конечно ли число таких бифуркаций при четырех параметрах (Том утверждал, что их семь) — вопрос, до сих пор не решенный.

Я не в состоянии также обсуждать и философские или поэтические декларации Тома, сформулированные таким образом, чтобы нельзя было решить, справедливы они или нет (в стиле, типичном для средневековой науки до Декарта и Бэкона или даже Бэконов). К счастью, фундаментальные математические открытия великого тополога независимы от какой бы то ни было иррациональной философии.

Пуанкаре сказал как-то, что математики не уничтожают препятствия, мешающие им, но просто отодвигают их за границы своей науки. Отодвинем же эти специфические препятствия как можно дальше от границ науки, в область бессознательного и иррационального.

Первые сведения о теории катастроф появились в западной печати около 1970 г. В журналах типа "Ньюс уик" сообщалось о перевороте в математике, сравнимом разве что с изобретением Ньютоном дифференциального и интегрального исчисления. Утверждалось, что новая наука — теория катастроф — для человечества гораздо ценнее, чем математический анализ: в то время как ньютоновская теория позволяет исследовать лишь плавные, непрерывные процессы, теория катастроф дает универсальный метод исследования всех скачкообразных переходов, разрывов, внезапных качественных изменений. Появились сотни научных и околонаучных публикаций, в которых теория катастроф применяется к столь разнообразным объектам, как, например, исследования биения сердца, геометрическая и физическая оптика, эмбриология, лингвистика, экспериментальная психология, экономика, гидродинамика, геология и теория элементарных частиц. Среди опубликованных работ по теории катастроф есть исследования устойчивости кораблей, моделирования деятельности мозга и психических расстройств, восстаний заключенных в тюрьмах, поведения биржевых игроков, влияния алкоголя на водителей транспортных средств, политики цензуры по отношению к эротической литературе.

В начале семидесятых годов теория катастроф быстро сделалась модной, широко рекламируемой теорией, напоминающей универсальностью своих претензий псевдонаучные теории прошлого века.

Математические статьи основоположника теории катастроф Р. Тома были переизданы массовым тиражом в карманной серии — событие, которого не было в математическом мире со времени возникновения кибернетики, у которой теория катастроф заимствовала многие приемы саморекламы.

Вслед за панегириками теории катастроф появились и более трезвые критические работы; некоторые из них также печатались в рассчитанных на широкого читателя изданиях под красноречивыми названиями вроде "А король-то — голый". Сейчас имеется уже много статей, специально посвященных критике теории катастроф. (См., например, обзор Дж. Гуккенхеймера "Споры о катастрофах" и пародию на критику теории катастроф.)

Источниками теории катастроф являются теория особенностей гладких отображений Уитни и теория бифуркаций динамических систем Пуанкаре и Андронова.

Теория особенностей — это грандиозное обобщение исследования функций на максимум и минимум. В теории Уитни функции заменены отображениями, т. е. наборами нескольких функций нескольких переменных.

Слово "бифуркация" означает раздвоение и употребляется в широком смысле для обозначения всевозможных качественных перестроек или метаморфоз различных объектов при изменении параметров, от которых они зависят.

Катастрофами называются скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий. Чтобы понять, что такое теория катастроф, нужно вначале познакомиться с элементами теории особенностей Уитни.

В 1955 г. американский математик Хасслер Уитни опубликовал работу "Об отображениях плоскости на плоскость", заложившую основу новой математической теории — теории особенностей гладких отображений.

Отображение поверхности на плоскость — это сопоставление каждой точке поверхности точки плоскости. Если точка поверхности задана координатами (х₁, х₂) на поверхности, а точка плоскости координатами (y₁, у₂) на плоскости, то отображение задается парой функций у₁ = f₁ (х₁, х₂), у₂ = f₂ (х₁, х₂). Отображение называется гладким, если эти функции гладкие (т. е. дифференцируемые достаточное число раз, например многочлены).

Отображения гладких поверхностей на плоскость окружают нас со всех сторон. Действительно, большинство окружающих нас тел ограничено гладкими поверхностями. Видимые контуры тел — это проекции ограничивающих тела поверхностей на сетчатку глаза. Приглядываясь к окружающим нас телам, например к лицам людей, мы можем изучить особенности видимых контуров.

Уитни заметил, что в случаях "общего положения"[1] встречаются особенности лишь двух видов. Все другие особенности разрушаются при малом шевелении тел или направлений проектирования, в то время как особенности этих двух видов устойчивы и сохраняются при малых деформациях отображения.

Примером особенности первого вида — она названа складкой Уитни — является особенность, возникающая при проектировании сферы на плоскость в точках экватора рис. 1). В подходящих координатах это отображение задается формулами у₁ = x²₁, у₂ = х₂. Проектирования поверхностей гладких тел на сетчатку в общих точках имеют именно такую особенность, и тут нет ничего удивительного. Удивительно то, что кроме этой особенности (складки) мы всюду встречаем еще ровно одну особенность, но практически никогда ее не замечаем.

Рис. 1. Складка проектирования сферы на плоскость

Поскольку гладкие отображения встречаются повсеместно, повсюду должны встречаться и их особенности. А поскольку теория Уитни дает значительную информацию об особенностях отображений общего положения, можно попытаться использовать эту информацию для изучения большого количества разнообразных явлений и процессов во всех областях естествознания. В этой простой идее и состоит вся сущность теории катастроф.

В случае, когда отображение, о котором идет речь, достаточно хорошо известно, имеется в виду более или менее прямое применение математической теории особенностей к различным явлениям природы. Такое применение действительно приводит к полезным результатам, например в теории упругости и в геометрической оптике (теория особенностей каустик и волновых фронтов, о которых мы еще будем говорить дальше).

Однако в большинстве работ по теории катастроф речь идет о куда более спорной ситуации, когда не только неизвестно изучаемое отображение, но и само его существование весьма проблематично.

Приложения теории особенностей в этих ситуациях носят характер спекуляций: чтобы дать о них представление, мы воспроизводим принадлежащий английскому математику К. Зиману пример спекулятивного применения теории Уитни к исследованию деятельности творческой личности.

Будем характеризовать творческую личность (например, ученого) тремя параметрами, называемыми "техника", "увлеченность", "достижения". По-видимому, между этими параметрами должна быть зависимость. Тем самым возникает поверхность в трехмерном пространстве с координатами (Т, У, Д).

Спроектируем эту поверхность на плоскость (Т, У) вдоль оси Д. Для поверхности общего положения особенности — складки и сборки (по теореме Уитни). Утверждается, что сборка, расположенная так, как это изображено на рис. 6, удовлетворительно описывает наблюдаемые явления.

Действительно, посмотрим, как в этих предположениях будут меняться достижения ученого в зависимости от его техники и увлеченности. Если увлеченность невелика, то достижения монотонно и довольно медленно растут с техникой. Если увлеченность достаточно велика, то наступают качественно новые явления. В этом случае достижения с ростом техники могут расти скачком (такой скачок будет, например, если техника и увлеченность меняются вдоль кривой 1 на рис. 6 в точке 2). Область высоких достижений, в которую мы при этом попадаем, обозначена на рис. 6 словом "гении".

Рис. 6. Модель 'ученый' в пространстве 'техника — увлеченность — достижения'

В отличие от описанного выше примера, применения теории особенностей к исследованию бифуркаций положений равновесия в теории упругости безупречно обоснованы.

Во многих упругих конструкциях при одинаковых внешних нагрузках возможно несколько положений равновесия. Рассмотрим, например, горизонтальную линейку, концы которой шарнирно закреплены, нагруженную весом стоящего на середине линейки груза.

Наряду с положением равновесия, при котором линейка прогнута грузом, возможно также положение, при котором линейка выгнута дугой вверх, наподобие моста.

При увеличении груза в некоторый момент происходит "катастрофа" или "хлопок": линейка скачком переходит из одного состояния в другое. Теория особенностей применима к изучению таких хлопков, и ее предсказания прекрасно оправдываются в экспериментах.

Для наглядной иллюстрации применений этого рода изобретен ряд приспособлений: одно из простейших, называемое машиной катастроф Зимана, изображено на рис. 7.

Машину катастроф каждый может легко изготовить сам. Для этого нужно взять доску (А) (см. рис. 7) и, вырезав из картона диск (В), прикрепить его иглой в центре (С) к доске так, чтобы он мог свободно вращаться. Другая игла (D) втыкается только в диск на его краю, а третья (Е) — только в доску. Чтобы закончить сборку машины, нужно еще две ленты из легко растяжимой резины (F, G), карандаш (Н) и лист бумаги (I).

Рис. 7. Машина катастроф Зимана

Эволюционный процесс математически описывается векторным полем в фазовом пространстве. Точка фазового пространства задает состояние системы. Приложенный в этой точке вектор указывает скорость изменения состояния.

В некоторых точках вектор может обращаться в нуль. Такие точки называются положениями равновесия (состояние не меняется с течением времени). На рис. 10 изображено фазовое пространство системы, описывающей взаимоотношение хищника и жертвы (скажем, щук и карасей). Фазовое пространство — положительный квадрант плоскости. По оси абсцисс отложено число карасей, по оси ординат — щук. Точка Р — положение равновесия. Точка А соответствует равновесному количеству карасей при количестве щук, меньшем равновесного. Видно, что с течением времени в системе устанавливаются колебания; равновесное состояние рис. 10 неустойчиво. Установившиеся колебания изображаются замкнутой кривой на фазовой плоскости. Эта кривая называется предельным циклом.

Рис. 10. Фазовая плоскость модели хищник — жертва

Потеря устойчивости состояния равновесия при изменении параметра не обязательно связана с бифуркацией самого состояния равновесия: оно может терять устойчивость не только сталкиваясь с другим, но и самостоятельно.

Соответствующая перестройка фазового портрета на плоскости изображена на рис. 16. Возможны два варианта.

Рис. 16. Бифуркация рождения цикла

Рассмотрим положение равновесия системы, зависящей от нескольких параметров, и предположим, что (в некоторой области изменения параметров) это положение равновесия не бифурцирует.

Будем изображать систему, соответствующую какому-либо значению параметров, точкой на оси значений параметра (на плоскости, если параметров два, в пространстве параметров, если их три, и т. д.).

Изучаемая область в пространстве параметров разобьется тогда на две части в соответствии с тем, устойчиво или нет положение равновесия. Мы получаем таким образом на плоскости (в пространстве) параметров область устойчивости (составленную значениями параметров, при которых равновесие устойчиво), область неустойчивости и разделяющую их границу устойчивости.

Рис. 30. Типичная особенность границы двумерной области устойчивости

Один из наиболее важных выводов теории особенностей состоит в универсальности нескольких простых образов вроде складки, сборки и точки возврата, которые должны встречаться повсеместно и которые полезно научиться распознавать. Кроме перечисленных особенностей, часто встречаются еще несколько образов, которые также получили собственные имена: "ласточкин хвост", "пирамида", "кошелек" и др.

Пусть в какой-либо среде распространяется некоторое возмущение (например, ударная волна, свет или эпидемия).

Для простоты начнем с плоского случая. Допустим, в начальный момент времени возмущение имелось на кривой а (рис. 32), и пусть скорость его распространения равна 1. Чтобы узнать, где будет возмущение через время t, нужно отложить по каждой нормали к кривой отрезок длины t. Получающаяся кривая называется волновым фронтом.

Рис. 32. Эволюция волнового фронта

В настоящее время распределение вещества во Вселенной крайне неоднородно (существуют планеты. Солнце, звезды, галактики, скопления галактик и т. д.). Современная астрофизика считает, что на ранних этапах развития Вселенной таких неоднородностей не было. Как же они образовались? Я. Б. Зельдович в 1970 г. предложил объяснение образования скоплений пылевидной материи, математически эквивалентное анализу возникновения особенностей каустик, начатому в 1963 г. Е. М. Лифшицем, Халатниковым и Судаковым.

Рассмотрим бесстолкновительную среду, т. е. среду настолько разреженную, что ее частицы проходят друг "сквозь" друга, не сталкиваясь. Предположим, для простоты, что частицы не взаимодействуют и движутся по инерции: через время t частица, находившаяся в точке х, перейдет в точку х + vt.

Предположим, что в начальный момент скорость частицы, находящейся в точке х, была v₀ (х); векторное поле v₀ называется начальным полем скоростей среды. С течением времени частицы будут двигаться и поле скоростей будет меняться (хотя скорость каждой частицы и не меняется, в следующий момент времени эта частица находится на новом месте).

На рис. 47 изображено начальное поле скоростей одномерной среды v₀ и получающиеся аз него через время t = 1, 2 и 3 ноля v₁, v₂, v₃. Мы видим, что, начиная с некоторого момента, более быстрые частицы начинают обгонять более медленные; в результате поле скоростей становится трехзначным: через одну точку пространства проходят с разными скоростями три потока частиц.

Рис. 47. Эволюция поля скоростей бесстолкновительной среды

Многочисленные особенности, бифуркации и катастрофы (скачки) возникают во всех задачах о нахождении экстремумов (максимумов, минимумов), задачах оптимизации, управления и принятия решений. Представим себе, например, что мы должны выбрать х так, чтобы обеспечить наибольшее значение функции f (х) (рис. 50). При плавном изменении функции оптимальное решение меняется скачком, перескакивая с одного из двух конкурирующих максимумов (Л) на другой (В).

Рис. 50. Разрыв оптимального управления

Управляемая система в фазовом пространстве задается так: в каждой точке пространства дан не один вектор скорости (как в обычной эволюционной системе), а целее множество векторов, называемое индикатрисой допустимых скоростей (рис. 54).

Задача управления состоит в том, чтобы, выбирая в каждый момент времени вектор скорости из предосталяемого индикатрисой набора допустимых скоростей, достичь заданной цели (например, прийти за кратчайшее время на заданное подмножество фазового пространства).

Зависимость кратчайшего времени достижения цели от начальной точки может иметь особенности. Рассматривавшиеся в н. 10 особенности функции минимума расстояния до кривой — частный случай (индикатриса — окружность, а цель — кривая). В отличие от этого частного случая особенности кратчайшего времени в общей задаче управления изучены весьма слабо.

Рис. 54. Поле индикатрис допустимых скоростей управляемой системы

Гладкая кривая на плоскости может иметь касательную со сколь угодно большим числом точек касания (рис. 63), но это не в случае общего положения. Малым шевелением кривой можно добиться того, что никакая прямая не будет касаться ее более чем в двух точках.

Рис. 63. Тройная касательная нетипичной кривой

Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве препятствие, ограниченное гладкой поверхностью (рис. 70). Ясно, что кратчайший путь из х в у в обход препятствия состоит из отрезков прямых и отрезков геодезических (кратчайших линий) на поверхности препятствия. На геометрию кратчайших путей сильно влияют х различные перегибы поверхности препятствия.

Рис. 70. Кратчайший путь в обход препятствия

Многие вопросы теории особенностей (например, классификация особенностей каустик и волновых фронтов, а также исследование всевозможных особенностей в задачах оптимизации и вариационного исчисления) становятся понятными только в рамках геометрии симплектических и контактных многообразий, освежающе непохожей на обычные геометрии Евклида, Лобачевского и Римана.

Начнем с трех примеров особенностей специального вида.

1. Градиентное отображение. Рассмотрим в евклидовом пространстве гладкую функцию. Градиентным отображением называется отображение, сопоставляющее точке значение градиента функции в ней. Градиентные отображения — весьма специальный класс отображений пространств одинаковой размерности.

Особенности градиентных отображений общего положения отличны от общих особенностей отображений пространств одинаковых размерностей: их "меньше" потому, что не всякое отображение можно реализовать как градиентное, но "больше" потому, что явление, не типичное для общих отображений, может быть типичным для градиентных.

2. Нормальное отображение. Рассмотрим множество всех векторов нормалей к поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Сопоставим каждому вектору его конец (вектору р, приложенному в точке q, сопоставляем точку р + q). Мы получаем отображение трехмерного многообразия векторов нормалей в трехмерное пространство (n-мерного в n-мерное, если начать с подмногообразия любой размерности в n-мерном евклидовом пространстве).

Это отображение называется нормальным отображением исходного многообразия. Особенности нормальных отображений подмногообразий общего положения составляют специальный класс особенностей отображений пространств одинаковой размерности. Критические значения нормального отображения образуют каустику (геометрическое место центров кривизны) исходного подмногообразия: см. рис. 33, где исходное многообразие — эллипс.

3. Гауссово отображение. Рассмотрим двустороннюю поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Перенесем единичные векторы положительных нормалей из каждой точки поверхности в начало координат. Концы этих векторов лежат на единичной сфере. Полученное отображение поверхности на сферу называется гауссовым отображением.

Гауссовы отображения составляют еще один специальный класс отображений многообразий одинаковой размерности (n — 1, если начинать с гиперповерхности в n-мерном пространстве).

И вот оказывается, что типичные особенности отображений всех этих трех классов (градиентных, нормальных и гауссовых) одинаковы: все три теории — частные случаи общей теории лагранжевых особенностей в симплектической геометрии.

Симплектическая геометрия — это геометрия фазового пространства (пространства координат и импульсов классической механики). Она явилась итогом длительного развития механики, вариационного исчисления и т. д.

В прошлом веке эту область геометрии называли аналитической динамикой, и Лагранж гордился, что изгнал из нее чертежи. Чтобы проникнуть в симплектическую геометрию, минуя длинный исторический путь, проще всего воспользоваться аксиоматическим методом, имеющим, как заметил Б. Рассел, много преимуществ, подобных преимуществам воровства перед честным трудом.

Сущность этого метода состоит в том, чтобы превращать теоремы в определения. Содержательная часть теоремы становится тогда мотивировкой определения, и алгебраисты ради повышения авторитета своей науки ее обычно опускают (понять немотивированное определение невозможно, но многие ли из пассажиров самолета знают, как и почему он изготовлен?).

Теорема Пифагора, бывшая в свое время высшим достижением математической культуры, низведена в современном аксиоматическом изложении евклидовой геометрии до малозаметного определения: евклидовой структурой в линейном пространстве называется линейная по каждому аргументу симметрическая функция пары векторов (скалярное произведение), для которой скалярный квадрат любого ненулевого вектора положителен.

Определение симплектической структуры в линейном пространстве аналогично: это линейная по каждому аргументу кососимметрическая функция пары векторов (кососкалярное произведение), которая невырождена (любой ненулевой вектор не всем векторам косоортогонален, т. е. его кососкалярное произведение с некоторыми векторами ненулевое).

Пример. Назовем кососкалярным произведением двух векторов на ориентированной плоскости ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти векторы (т. е. определитель матрицы, составленной компонент векторов). Это произведение — симплектическая структура на плоскости.

В трехмерном пространстве (и вообще в нечетномерном пространстве) симплектических структур нет. Симплектическую структуру в четырехмерном (и вообще в четномерном) пространстве легко построить, представив пространство в виде суммы двухмерных плоскостей: кососкалярное произведение распадается в сумму площадей проекций на эти плоскости.

Все симплектические пространства фиксированной размерности изоморфны (как и все евклидовы). Мы будем называть кососкалярное произведение двух векторов "площадью" натянутого на них параллелограмма.

Каждое линейное пространство в евклидовом пространстве имеет ортогональное дополнение, его размерность равна коразмерности исходного подпространства.

В симплектическом пространстве определено косоортогоналыюе дополнение к линейному подпространству: оно состоит из всех векторов, кососкалярные произведения которых со всеми векторами подпространства равны нулю. Размерность косоортогонального дополнения также равна коразмерности исходного подпространства. Например, косоортогональное дополнение к прямой на плоскости — сама эта прямая.

Линейное подпространство, являющееся своим собственным косоортогональным дополнением, называется лагранжевым подпространством. Его размерность равна половине размерности исходного симплектического пространства.

Риманова структура на многообразии задается выбором евклидовой структуры в пространстве, касательном к многообразию в любой точке.

Точно так же симплектическая структура на многообразии задается выбором симплектической структуры в каждом его касательном пространстве; однако в отличие от риманова случая эти структуры не произвольны, а связаны между собой, как это объяснено ниже.

Риманова структура на многообразии позволяет измерять длины кривых на нем, суммируя длины малых векторов, составляющих кривую. Точно так же симплектическая структура позволяет измерять "площади" ориентированных двухмерных поверхностей, лежащих в симплектическом многообразии (суммируя "площади" составляющих поверхность малых параллелограммов). Дополнительное условие, связывающее симплектические структуры в разных касательных пространствах, таково: "площадь" всей границы любой трехмерной фигуры равна 0.

В линейном симплектическом пространстве можно ввести структуру симплектического многообразия, определив кососкалярное произведение приложенных в любой точке векторов как кососкалярное произведение векторов, полученных из них параллельным переносом в начало. Легко проверить, что условие согласования здесь выполнено.

Существует много неизоморфных друг другу римановых структур в окрестности точки плоскости или пространства большего числа измерений (для различения их Риман и ввел свою кривизну).

В отличие от римановых многообразий все симплектические многообразия фиксированной размерности в окрестности каждой своей точки изоморфны (отображаются друг на друга с сохранением "площадей"). Таким образом, локально каждое симплектическое многообразие изоморфно стандартному симплектическому линейному пространству. В таком пространстве можно ввести координаты (р₁, ..., р_n, q₁, ..., q_n) так, что кососкалярное произведение равно сумме ориентированных площадей проекций на плоскости (р₁, q₁), . . ., (р_n, q_n).

Подмногообразие симплектического пространства называется лагранжевым многообразием, если его касательная плоскость в каждой точке лагранжева.

Расслоение симплектического пространства на подмногообразия называется лагранжевым расслоением если слои лагранжевы.

Всякое лагранжево расслоение локально изоморфно стандартному расслоению фазового пространства над конфигурационным, (р, q) → q (слои — пространства импульсов, q = const). Конфигурационное q-пространство называется базой этого расслоения.

Предположим теперь, что в пространстве лагранжева расслоения дано еще одно лагранжево многообразие. Тогда возникает гладкое отображение этого лагранжева многообразия на базу лагранжева расслоения (т. е. на конфигурационное пространство с координатами q_i): каждой точке (р, q) лагранжева многообразия сопоставляется точка q конфигурационного пространства.

Полученное отображение многообразий одинаковой размерности n называется лагранжевым отображением, а его особенности — лагранжевыми особенностями.

Это — специальный класс особенностей гладких отображений многообразий одинаковой размерности. Для этого класса построена классификационная теория, аналогичная общей теории особенностей.

При n = 2 лагранжевы особенности общего положения исчерпываются складками и сборками, как и общие особенности (впрочем, лагранжева сборка имеет два лагранжево неэквивалентных[7] варианта).

Особенности лагранжевых отображений трехмерных лагранжевых многообразий общего положения уже не все встречаются среди обычных особенностей общего положения.

Теперь мы покажем, что градиентные, нормальные и гауссовы особенности лагранжевы.

1. Пусть F — гладкая функция от р. Тогда многообразие q = ∂F/∂p лагранжево. Поэтому особенности градиентного отображения лагранжевы.

2. Рассмотрим гладкое подмногообразие в евклидовом пространстве. Рассмотрим множество всех перпендикулярных ему векторов (во всех его точках q). Многообразие, образованное векторами р, приложенными в точках р + q, лагранжево. Нормальное отображение можно рассматривать как лагранжево отображение этого многообразия на базу, (р, р + q) → (р + q).

3. Рассмотрим многообразие всех ориентированных прямых в евклидовом пространстве. Это многообразие симплектическое, так как его можно рассматривать как фазовое пространство движения точки по сфере (направление прямой определяет точку на сфере, а точка пересечения прямой с перпендикулярной ей касательной плоскостью сферы — величину импульса).

Рассмотрим многообразие ориентированных нормалей к поверхности в нашем пространстве. Это подмногообразие в симплектическом многообразии прямых лагранжево. Гауссово отображение можно рассматривать как лагранжево отображение (отображение проектирования построенного подмногообразия на сферу, являющуюся базой лагранжева расслоения фазового пространства).

Таким образом, теории градиентных, нормальных и гауссовых особенностей сводятся к теории лагранжевых особенностей.

Встретившаяся нам в конце симплектическая структура многообразия ориентированных прямых — не столь искусственное образование, как это кажется на первый взгляд. Дело в том, что множество решений любой вариационной задачи (или вообще множество решений уравнений Гамильтона с фиксированным значением функции Гамильтона) образует симплектическое многообразие, очень полезное для исследования свойств решений.

Рассмотрим, например, двухпараметрическое семейство лучей, срывающихся с геодезических на поверхности препятствия в трехмерном пространстве, как это указано на рис, 72, Это семейство оказывается двухмерным лагранжевым подмногообразием четырехмерного пространства всех лучей. Но в отличие от ранее встречавшихся нам лагранжевых подмногообразий это лагранжево многообразие само имеет особенности. Особенности эти проявляются там, где срывающийся луч — асимптотический для поверхности препятствия, Такие лучи образуют ребро возврата (типа х² = у³) лагранжева многообразия срывающихся лучей.

На этом ребре возврата есть еще особые точки, в окрестности которых многообразие срывающихся лучей устроено как раскрытый ласточкин хвост (поверхность в четырехмерном пространстве многочленов х⁵ + ах³ + bх² + сх + d, образованная многочленами с трехкратными корнями).

Эта поверхность встречается также в других задачах теории особенностей (например, при исследовании заметания каустики ребрами возврата движущихся волновых фронтов) и является, видимо, одним из основных примеров будущей теории лагранжевых многообразий с особенностями,

В евклидовой и в римановой геометрии имеется обширная теория внешней кривизны: кроме внутренних свойств подмногообразия, определяемых его метрикой, имеются еще различия в расположении подмногообразий с одинаковыми внутренними геометриями в объемлющем пространстве.

В симплектической геометрии, как недавно доказал А. Б, Гивенталь, дело обстоит проще: внутренняя геометрия (сужение симплектической структуры на множество касательных векторов к подмногообразию) определяет внешнюю. Иными словами, подмногообразия с одинаковой внутренней геометрией локально переводятся друг в друга сохраняющим симплектическую структуру диффеоморфизмом объемлющего пространства.

Здесь открывается новая глава теории особенностей — исследование особенностей расположения подмногообразий в симплектическом пространстве, на важность которого обратил внимание Р. Мельроз в недавних работах по дифракции. Начало классификации таких особенностей получается, по теореме Гивенталя, из результатов Ж. Мартине и его последователей о вырождениях симплектической структуры. Например, двухмерное подмногообразие общего положения в четырехмерном симплектическом пространстве локально приводится сохраняющим симплектическую структуру преобразованием к одной из двух нормальных форм:

На нечетномерных многообразиях не бывает симплектических структур, но зато бывают контактные. Контактная геометрия играет для оитики и теории распространения волн такую же роль, как симплектическая для механики.

Контактная структура на нечетномерном многообразии определяется выбором в касательном пространстве в каждой точке гиперплоскости (подпространства коразмерности один). Два поля гиперплоскостей на многообразии фиксированной размерности локально эквивалентны (переводятся друг в друга диффеоморфизмом), если только оба они общего положения вблизи изучаемых точек.

Контактной структурой называется поле гиперплоскостей являющееся полем общего положения вблизи каждой точки нечетномерного многообразия.

Контактным является многообразие всех линейных элементов на плоскости. Оно трехмерно. Контактная структура задается так: скорость движения элемента принадлежит (гипер) плоскости поля, если скорость движения точки приложения принадлежит элементу. Точно так же определяется контактная структура в 2n — 1-мерном многообразии элементов гиперплоскостей на любом n-мерном многообразии.

Роль лагранжевых многообразий в контактном случае переходит к лежандровым (интегральным подмногообразиям поля гиперплоскостей наибольшей возможной размерности, т. е. размерности m в контактном многообразии размерности 2m + 1).

Особенности волновых фронтов, преобразований Лeжандра, а также гиперповерхностей, двойственных к гладким, — это лежандровы особенности. Вся симплектическая теория (включая, например, теорему Гивенталя) имеет контактные аналогу чрезвычайно полезные для исследования особенностей в вариационных задачах.

Распространение волн в сплошных средах описывается световой гиперповерхностью в контактном пространстве (называемой также "дисперсионным соотношением" или "многообразием нулей главного символа" в пространстве контактных элементов пространства-времени).

Для волн, описываемых вариационными принципами с гиперболическими уравнениями Эйлера — Лагранжа, указанная гиперповерхность, вообще говоря, имеет особенности.

Многообразие особенностей световой гиперповерхности типичной вариационной системы имеет коразмерность 3 в контактном пространстве. На трансверсальном к многообразию особенностей трехмерном пространстве световая гиперповерхность оставляет след, диффеоморфный квадратичному конусу u² + υ² = ω².

Особенности световых лучей и волновых фронтов определяются расположением световой гиперповерхности по отношению к контактной структуре (лучи — это проекции ее характеристик, а фронты — ее лежандровых многообразий). Анализ типичных расположений обнаруживает своеобразное явление внутреннего рассеяния волн на неоднородностях среды.

Обычно волны разных типов (скажем, продольные и поперечные) распространяются внутри среды независимо и лишь на границе могут порождать друг друга. Здесь же трансформация волн осуществляется во внутренних точках среды. Например, при распространении волн в одномерной нестационарной, неоднородной среде рассеяние в отдельные моменты времени испытывают отдельные лучи. Соответствующие характеристики в пространстве-времени касаются в одной точке (рис. 74).

Рис. 74. Трансформация волн в одномерной среде

Математики хорошо знают, что переход к комплексным числам обычно не усложняет, а упрощает задачу. Например, всякое алгебраическое уравнение степени n имеет ровно n комплексных корней, в то время как нахождение числа вещественных корней — нелегкая задача.

Причина этого явления состоит в следующем. Одно комплексное уравнение — это два вещественных. Множества, заданные двумя уравнениями (скажем, линии в пространстве или точки на плоскости) называются множествами коразмерности два. Множества коразмерности два не разделяют объемлющее пространство. Поэтому от любой точки пространства вне множества коразмерности два можно добраться до любой другой такой точки путем, обходящим это множество.

Рассмотрим пространство каких-либо комплексных объектов (скажем, многочленов фиксированной степени с комплексными коэффициентами). Особые объекты (скажем, многочлены с кратными корнями) определяются комплексным уравнением на коэффициенты. Следовательно, множество особых объектов имеет коразмерность два и не делит пространство всех объектов. Например, комплексный ласточкин хвост, образованный в пространстве комплексных многочленов х⁴ + ах² + bх + с многочленами с кратными корнями, не делит пространство всех таких многочленов (вещественно шестимерное).

Поэтому от любого неособого комплексного объекта (например, многочлена без кратных корней) к любому другому можно перейти непрерывным путем, оставаясь среди неособых объектов (в примере — среди многочленов без кратных корней). Но при малой деформации неоеобого объекта его топология не меняется (скажем, число корней многочлена без кратных корней не меняется при достаточно малом изменении коэффициентов). Следовательно, топологические инварианты одинаковы у всех неособых объектов данного класса (например, число комплексных корней всех многочленов данной степени без кратных корней одинаково). Итак, остается изучить топологию одного неособого комплексного объекта (найти число комплексных корней одного уравнения без кратных корней)[8], чтобы узнать топологию всех. Напротив, в вещественном случае множество особых объектов делит пространство всех объектов на части. Например, обычный ласточкин хвост (рис. 34) делит пространство вещественных многочленов х⁴ + ах² + bх + с на 3 части: в одной лежат многочлены с четырьмя вещественными корнями, в другой с двумя, в третьей — без вещественных корней (сообразите, в какой части сколько корней!).

Рассмотрим теперь в качестве объектов кривые, заданные на плоскости (х, у) условием f (х, у) = 0, где f — какой-либо многочлен фиксированной степени. Например, если степень равна 2, то неособая кривая будет, как правило, эллипсом или гиперболой (все другие кривые второго порядка соответствуют исключительным, особым случаям).

Множество пар комплексных чисел (х, у), удовлетворяющих уравнению f (х, у) = 0, называется комплексной кривой. С вещественной точки зрения это двумерная поверхность в четырехмерном пространстве. Как правило почти при любых коэффициентах многочлена f) комплексная кривая — неособая. Из предыдущих рассуждений следует, что все неособые кривые данной степени топологически одинаковы. Чтобы найти топологию этих поверхностей, достаточно поэтому изучить одну из неособых комплексных кривых данной степени.

Ответ оказывается таким: поверхность получается из сферы приделыванием g = (n — 1 )(n — 2)/2 ручек и выкидыванием из образовавшейся поверхности n точек. Например, комплексная прямая (n = 1) — это вещественная плоскость (сфера без одной точки), комплексная окружность — вещественный цилиндр (сфера без двух точек)" комплексная кривая степени 3 топологически устроена как поверхность тора, проколотая в трех местах.

Рис. 75. Риманова поверхность плоской алгебраической кривой

Естественнонаучные приложения теории особенностей не исчерпывают всех направлений теории катастроф: наряду с конкретными исследованиями типа работ Зимана имеются скорее философские труды математика Р. Тома, который первым осознал всеобъемлющий характер работ Уитни по теории особенностей (и предшествовавших им работ Пуанкаре и Андронова по теории бифуркаций), ввел термин "теория катастроф" и занялся широкой пропагандой этой теории.

Качественной особенностью работ Тома по теории катастроф является их своеобразный стиль: предчувствуя направление будущих исследований, Том не располагает не только доказательствами, но и точными формулировками своих результатов. Зиман, горячий поклонник этого стиля, замечает, что смысл слов Тома становится понятным лишь после того, как вставишь 99 своих строк между каждыми двумя строками Тома.

Чтобы читатель мог составить об этом стиле собственное представление, приведу здесь образчик из обзора перспектив теории катастроф, сделанного Томом в 1974 г.:

Прекрасные результаты теории особенностей, к счастью, не зависят от мрачной мистики теории катастроф. Но и в теории особенностей, как и во всей математике, есть нечто таинственное: это удивительные совпадения и связи между далекими на первый взгляд предметами и теориями.

Одним из примеров такого совпадения, остающегося загадочным (хотя кое-что и понято), является так называемая A, D, Е-классификация. Она встречается в таких разных отделах математики, как, например, теории критических точек функций, алгебр Ли, категорий линейных пространств, каустик, волновых фронтов, правильных многогранников в трехмерном пространстве и кристаллографических групп, порожденных отражениями.

Общим во всех этих случаях является требование простоты, или отсутствия модулей. Простота означает следующее. Каждая классификация есть разбиение некоторого пространства объектов на классы. Объект называется простым, если все близкие к нему объекты принадлежат конечному набору классов.

Пример 1. Назовем два набора проходящих через точку 0 на плоскости прямых эквивалентными, если один из них переходит в другой при линейном преобразовании (х, у) → (ах + by, сх + dy). Любой набор трех прямых прост (любой набор трех различных прямых эквивалентен набору х = 0, у = 0, х + у = 0). Любой набор четырех проходящих через 0 прямых не прост (докажите!).

Пример 2. Будем классифицировать критические точки (комплексных) гладких функций, относя функции в один класс, если они сводятся одна к другой гладкой (комплексной) локальной заменой переменных. Список простых особенностей (скажем, для функций трех переменных) состоит из двух бесконечных серий и трех исключительных особенностей:

Пример 3. Колчаном называется набор точек и соединяющих их стрелок. Если каждой точке сопоставлено линейное пространство (точка, прямая, плоскость,...), а каждой стрелке — линейное отображение (соответствующего началу стрелки пространства в соответствующее концу), то говорят, что задано представление колчана. Два представления называются эквивалентными, если одно переходит в другое при подходящих линейных преобразованиях пространств.

Колчан на рис. 82 слева прост, справа непрост (см. пример 1).

Рис. 82. Простой и непростой колчаны

Не претендуя на полноту, я приведу здесь несколько ярких работ, авторы которых рассматривали особенности, бифуркации и катастрофы в системах общего положения, возникающих в различных областях знания.

Каустики встречаются уже у Леонардо да Винчи, название им дал Чирнгаузен.

В 1654 г. Гюйгенс построил теорию эволют и эвольвент плоских кривых, обнаружив одновременно устойчивость точек возврата на каустиках и волновых фронтах (т. е. сборок соответствующих отображений). Перестройки фронтов на плоскости исследовались Лопиталем (около 1700 г.) и Кэли в 1868 г.

Гамильтон в 1837 — 1838 г. применил исследование критических точек семейств функций к изучению особенностей систем лучей в геометрической оптике, вроде конической рефракции и двойного лучепреломления.

Якоби в лекциях по динамике (1866) исследовал каустики системы геодезических эллипсоида, выходящих из одной точки, и обнаружил устойчивость точек возврата на каустиках.

Алгебраические геометры прошлого века хорошо знали типичные особенности кривых (Плюккер) и поверхностей (Сальмон), двойственных гладким. Ласточкин хвост подробно описан Кронекером (1878) и входил в учебники алгебры (Вебер, 1898); его можно найти в каталоге гипсовых поверхностей (Бриль, 1892), имеющихся в кабинетах геометрии старых университетов.

Типичные особенности отображений поверхностей в трехмерное пространство (зонтик Уитни, z² = ху², половина которого изображена выше, на рис. 31) исследованы Кэли в 1852 г. Кэли изучал также геометрию семейства эквидистант и каустику трехосного эллипсоида — тем самым "кошелек", изображенный выше, на рис. 39, в. Он явно сформулировал задачу о топологии семейств линий уровня гладкой функции общего положения (1868) и исследовал бифуркации в некоторых типичных трехпараметрических семействах функций двух переменных.

Алгебраические аналоги теорем трансверсальности теории особенностей систематически использовались алгебраическими геометрами, особенно итальянской школы (Бертини, 1882 и др.).

Пуанкаре далеко развил теорию бифуркаций (включая более сложные, чем "бифуркация Хопфа" случаи) в своей диссертации и в "Новых методах небесной механики" (т. I, п. 37, п. 51; т. III, гл. 28 и т. п.).

К сожалению, бесхитростные тексты Пуанкаре трудны для математиков, воспитанных на теории множеств. Пуанкаре сказал бы: "прямая делит плоскость на две полуплоскости" там, где современные математики пишуа просто: "множество классов эквивалентности дополнения [R² \ R¹ к прямой R¹ на плоскости R², определяемых следующим отношением эквивалентности: две точки А, В ∈ R² \ R¹ считаются эквивалентными, если соединяющий их отрезок АВ не пересекает прямую R¹, состоит из двух элементов" (цитирую по памяти из школьного учебника).

В книге "Математическое наследство Пуанкаре", изданной Американским математическим обществом, написано даже, что Пуанкаре не знал, что такое многообразие. В действительности определение (вещественного) гладкого многообразия в Analysis Situs Пуанкаре подробно изложено. В современных терминах оно таково: многообразием называется подмногообразие евклидова пространства, рассматриваемое с точностью до диффеоморфизма.

Это простое определение настолько же лучше современных аксиоматических конструкций, насколько определение группы как (рассматриваемой с точностью до изоморфизма) группы преобразований и определение алгоритма, основанное на какой-либо (универсальной) машине Тьюринга, понятнее абстрактных определений.

Абстрактные определения возникают при попытках обобщить "наивные" понятия, сохраняя их основные свойства. Теперь, когда мы знаем, что эти попытки не приводят к реальному расширению круга объектов (для многообразий это установил Уитни, для групп — Кэли, для алгоритмов — Черч), не лучше ли и в преподавании вернуться к "наивным" определениям?

Сам Пуанкаре подробно обсуждает методические преимущества наивных определений окружности и дроби в "Науке и методе": невозможно усвоить правило сложения дробей, не разрезая, хотя бы мысленно,: яблоко или пирог.

В 1931 г. А. А. Андронов выступил с обширной программой, отличающейся от современной программы катастрофистов только тем, что место еще не созданной к тому времени теории особенностей Уитни занимают качественная теория дифференциальных уравнений и теория бифуркаций Пуанкаре. Идеи структурной устойчивости (грубости), коразмерности (степени негрубости), бифуркационные диаграммы, явная классификация бифуркаций общего положения и даже исследование складок и сборок гладких отображений поверхностей на плоскость явно присутствуют в работах А. А. Андронова и его школы.

Физики всегда использовали более или менее эквивалентные теории катастроф построения при исследовании конкретных задач. В термодинамике эти идеи систематически использовались Максвеллом и особенно Гиббсом (1873). Перестройка изотерм диаграммы ван дер Ваальса — типичный пример применения геометрии сборки. Анализ асимптотики в окрестности критической точки быстро приводит к пониманию независимости этой геометрии от точного вида уравнения состояния — факт, хорошо известный со времен Максвелла и упоминаемый в большинстве учебников термодинамики (например, Ландау и Лифшица). Предложение Максвелла провести горизонтальный участок изотермы так, чтобы площади лунок над и под ним были равны, означает переход от одного из двух конкурирующих минимумов потенциала к другому в момент, когда второй становится ниже. Соответствующая бифуркационная диаграмма в теории катастроф называется стратом Максвелла. "Правило фаз" Гиббса доставляет топологические ограничения на строение этой и подобных ей бифуркационных диаграмм (открытие необходимости строго доказывать подобные факты — заслуга математики более позднего периода). Гиббс также явно указал на связь термодинамики с геометрией контактной структуры.

Геологические применения анализа особенностей указаны Скрейнемакерсом (1917).

В теории "теплового взрыва" Семенова (1929) и в работах его последователей по теории горения явно изучались перестройки стационарных режимов при изменении параметров, что приводило к необходимости исследования и складок, и сборок, и более сложных ситуаций. В частности, в работе Я. Б. Зельдовича 1940 г. проанализированы явления, происходящие при морсовской перестройке кривой равновесий на плоскости фазовой переменной и параметра (рождении новых островков или их слиянии с основной кривой). В современной математической теории аналогичный анализ выполнен лишь в последние годы.

Анализ волнового поля вблизи каустики и ее особенностей привел Эйри и Пирси к осциллирующим интегралам, фаза которых доставляет нормальную форму складки и сборки соответственно. В связи с этим стоит отметить, что найденные М. А. Леонтовичем и В. А. Фоком асимптотики поля вблизи границы до сих пор не переварены теорией катастроф.

В теории упругости Койтер в 1945 г. обнаружил полукубическую особенность в зависимости предельной нагрузки от нецентральности ее приложения в задаче о прощелкивании арки. Специалисты по теории упругости использовали геометрию сборки для выбора программ испытаний упругих конструкций, при которых не происходит прощелкивания несмотря на высокие нагрузки.

Вычисления в этих исследованиях обычно проводились без общей теории, за счет правильного отбрасывания одних членов ряда Тейлора и оставления других "наиболее важных". Из физиков, особенно систематически применявших теорию катастроф до ее возникновения, стоит особо выделить Л. Д. Ландау. В его руках искусство отбрасывать "несущественные" члены ряда Тейлора, сохраняя меньшие по величине "физически важные" члены, дало много включаемых в теорию катастроф результатов.

Так, в работе 1943 г. о возникновении турбулентности Ландау прямо выписывает этим методом уравнение "бифуркации Хопфа" для квадрата амплитуды теряющего устойчивость колебания. Теория фазовых переходов второго рода по Ландау сводится к анализу бифуркаций критических точек симметрических функций. Кривые Ландау в теории фейнмановских интегралов, зависящих от параметров, с их устойчивыми точками возврата, включаются в число основных бифуркационных диаграмм современной теории катастроф.

Конечно, современная общая теория позволяет с меньшей затратой сил исследовать более сложные особенности. Однако наибольшую практическую ценность имеют в большинстве случаев именно исследования наиболее простых и часто встречающихся особенностей: затрата сил на преодоление технических трудностей, стоящих на пути исследования более сложных случаев, не всегда оправдывается практической ценностью получаемых результатов. Напротив, фундаментальные работы предшественников теории катастроф (как упомянутых выше, так и многих других) сохраняют все свое значение и теперь, когда их математическая структура вполне выяснена теориями особенностей и бифуркаций.

Газеты приносят вести о все новых катастрофах. Землетрясения, наводнения, взрывы, войны, эпидемии окружают нас со всех сторон,5 и вдобавок над всем земным шаром нависает угроза страшнейшей из катастроф — ядерной. Пора запретить атомную гражданскую войну.

Математическая теория катастроф сама по себе не предотвращает катастрофы, подобно тому, как таблица умножения,, при всей ее полезности для бухгалтерского учета не спасает ни от хищений отдельных лиц, ни от неразумной организации экономики в целом.

Математические модели катастроф указывают, однако, некоторые общие черты самых разных явлений скачкообразного изменения режима системы в ответ на плавное изменение внешних условий. Например, устойчивый установившийся режим (скажем, режим работы реактора, или экологический или экономический режим) обычно погибает либо столкнувшись с неустойчивым (причем в момент столкновения скорость конвергенции бесконечно велика), либо вследствие нарастания (опять бесконечно быстрого) самоподдерживающихся колебаний. Это объясняет, почему так трудно бороться с катастрофой, когда ее признаки сделались уже заметными: скорость ее приближения неограниченно возрастает по мере приближения к катастрофе.

К катастрофической потере устойчивости может приводить оптимизация и интенсификация. Например,: для простейшей модели рыболовства

оптимизация (максимизация) квоты отлова с = 1/4 приводит к неустойчивости установившегося режима (рис. 85) и катастрофе — уничтожению популяции малыми случайными колебаниями.

Рис. 85. Катастрофическая потеря устойчивости при оптимизации в простейшей модели рыболовства с учетом конкуренции за пищу

То есть для всех случаев, кроме некоторых исключительных.

"Я так думаю, голубушка, что декадентство это самое не что иное, как просто к купечеству подход". — В. М. Дорошевич. Рассказы и очерки (М., 1966. С. 295).

Под "типом" здесь понимается класс эквивалентности с точностью до диффеоморфизма плоскости, а не с точностью расслоенного диффеоморфизма (расслоенный диффеоморфизм — это семейство диффеоморфизмов фазового пространства, зависящих от параметра, сопровождаемых диффеоморфной заменой параметра).

Все перечисленные особенности классифицируются по типам A_k, D_k, о которых подробнее рассказано выше.

Первоначальное доказательство теоремы Уитни, о которой мы начали, занимало около 40 страниц; хотя окончательные геометрические результаты теории особенностей легко могут быть понятны и использованы, доказательства продолжают оставаться сложными.

Диффеоморфизм — это замена координат, гладкая вместе с обратной заменой.

Лагранжева эквивалентность двух лагранжевых особенностей — это отображение первого лагранжева расслоения на второе, переводящее первую симплектическую структуру во вторую и первое лагранжево подмногообразие во второе.

Достаточно взять уравнение (х — 1) ... (х — n) = 0; к приведенным рассуждениям остается добавить очень немного, чтобы получить вполне строгое доказательство "основной теоремы алгебры", по которой всякое уравнение степени n имеет n комплексных корней.

Между прочим, из топологических свойств тора (а именно из того, что пара меридианов делит тор на две части) следует, что периоды колебаний с одинаковой полной энергией в обеих ямах механической системы с потенциальной энергией четвертой степени одинаковы (на торической римановой поверхности множества уровня энергии — фазовые кривые обеих ям — разные меридианы).

Ситуация здесь в точности такая же, как с листом Мёбиуса. При непрерывном обходе вдоль осевой окружности листа Мёбиуса мы можем непрерывно отождествлять поперечные ей отрезки. Но когда мы впервые вернемся к исходному отрезку, полученное отождествление этого отрезка с самим собой будет менять местами его концы.