Зачатки счета теряются в глубине веков и относятся к тому периоду истории человечества, когда еще не было письменности. Писать человек научился тогда, когда он довольно далеко продвинулся в умении считать. Математические знания в далеком прошлом применялись для решения повседневных задач, и именно практика в значительной степени руководила всем дальнейшим развитием математики. И в наше время, как и в далеком прошлом, практика выдвигает перед математикой сложные задачи. Именно в этом причина современного бурного развития математики, появления многих новых ее ветвей, позволяющих глубже и детальнее изучать явления окружающего нас мира и решать конкретные практические задачи, которые неизбежно возникают в связи с прогрессом инженерного дела и науки. Чтобы решить их, необходимо не только безукоризненно владеть теми знаниями, которые человечество приобрело в прошлом, но и находить, открывать новые средства математического исследования.

Не сомневаюсь, что многим читателям этой книги самим придется принять участие в решении проблем научно-технического прогресса: конструировать новые самолеты, космические ракеты, создавать системы связи, исследовать законы природы и использовать их для нужд практики. Чем больше и глубже нашим читателям удастся усвоить дух математики и научиться использовать ее методы хотя бы в простейших ситуациях, тем дальше и быстрее они сумеют продвинуться в использовании математических средств в той области деятельности, которой займутся после школы.

В ранней юности я мечтал стать кораблестроителем: хотелось конструировать корпуса судов идеальной формы, искать возможности увеличения их скорости без увеличения мощности двигателей. Однако я не стал кораблестроителем, а выбрал математику, но это не отдалило меня от осуществления давней мечты, поскольку математическими методами мне удалось решить ряд задач, способствующих развитию морского дела. Математика дала возможность заниматься и другими практическими вопросами, которые требовали не только применения уже имеющихся математических средств, но и развития самой математической науки. Что принесло большую радость, сказать трудно, поскольку удовлетворение получаешь только тогда, когда преодолеваешь трудности, когда удается найти такой путь, который приводит к решению задачи, казавшейся раньше неразрешимой. Убежден, что многие читатели этой книги в будущем не раз испытают ни с чем не сравнимое наслаждение от благополучного завершения работы над сложной проблемой, теоретической или производственной. Это убеждение связано с тем, что занятия математикой, решение математических проблем требуют непрерывного размышления, поиска, а не просто запоминания или применения уже готового приема.

Последние три столетия дали науке ряд блестящих математических результатов: решены три классические задачи древности, над которыми трудились ученые в течение четырех тысячелетий, - квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба, построены новые математические науки, позволившие открыть неизвестные ранее объекты математического познания; достигнута огромная гибкость математических понятий и методов исследования, способных охватить все многообразие проблем естествознания, технических и социальных дисциплин. Математика превратилась в необходимое орудие познания, без которого многие естествоиспытатели не мыслят себе саму возможность развития их областей знания.

Датский физик Нильс Бор говорил, что математика является значительно большим, чем наука, поскольку она является языком науки. И действительно, математика стала для многих отраслей знания не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Каждому ясно, что без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс физики, инженерного дела и организации производства, так и остались бы нерешенными многие принципиальные проблемы авиации и космонавтики, метеорологии и радиотехники. В наши дни без предварительных расчетов на заводе не начнут производства ни одной сложной машины, не станут модернизировать технологический процесс. С развитием науки возросло количество экспериментальных исследований. В связи с этим потребовалась разработка математической теории эксперимента, позволяющей так организовать наблюдения, чтобы при минимальном их числе получать максимальное количество информации об интересующем нас явлении или процессе. Роль математики в современном познании, современной практической деятельности так велика, что наше время называют эпохой математизации знаний.

Современная наука далеко продвинулась по пути изучения явлений макро- и микромира. Совершены первые полеты в космос, и в их осуществлении математика занимает почетное место. Расчет конструкций ракет, траекторий движения, построение моделей бомбардировки поверхности ракеты метеоритами и метеоритной пылью – это лишь малая часть тех отраслей естествознания и техники, где широко и по существу дела использовалась математика. Достаточно много говорит и тот факт, что о существовании ряда элементарных частиц удалось узнать не опытным путем, а из результатов математических расчетов.

Но для того чтобы математика и далее оставалась орудием исследования новых глубоких явлений микромира (и не только микромира), она должна систематически развивать и оттачивать разработанные ею методы исследования и создавать новые. Для этого абсолютно необходим приток в науку молодых сил, способных принести с собой и новые идеи.

Выявление и развитие способностей молодежи, привлечение их к творческому труду – одна из основных задач школы. Стране крайне необходимы творцы нового во всех областях деятельности, в том числе и в математике. Для этого делается многое: введены факультативные занятия, созданы математические классы и математические школы, издается обширная литература для школьников, в которой рассматриваются вопросы, требующие серьезного размышления, предлагаются нестандартные задачи.

Хотелось бы сказать, что хорошее математическое образование и развитие математических способностей необходимы не только тому, кто впоследствии займется научными исследованиями в области математики, физики, астрономии или инженерного дела, но и тому, кто станет экономистом, организатором производства, агрономом, квалифицированным рабочим. Математический стиль мышления, умение рассуждать строго, без логических скачков нужны также будущим юристам и историкам, биологам и лингвистам, врачам. В связи с моими научными интересами одно время мне нужно было работать с врачами. Хотелось бы отметить, что врачи, когда ставят диагноз, проявляют исключительную логическую скрупулезность при выводе заключений. Порой казалось, что я нахожусь среди коллег-математиков. Недаром многие врачи считают абсолютно необходимым для прогресса медицины привлекать не только физику, химию и биологию, но и математику.

Мой более чем пятидесятилетний педагогический опыт показал мне, что математические способности встречаются гораздо чаще, чем мы обычно думаем. Как правило, неудачи с усвоением школьного или вузовского курса математики происходят не из-за отсутствия математических способностей, а из-за отсутствия привычки систематически работать и доводить познаваемое до понимания, а не до запоминания. Часто случается, что учащийся переходит к последующим частям курса без хорошего усвоения предшествующих, он не проникает в суть фундаментальных понятий и идей, лежащих в основе всего изложения. А нередко учащиеся стремятся набить руку в пользовании определенными алгоритмами без проникновения в их смысл. Часто жалобы на отсутствие математических способностей приходится слушать от тех, кто учится с ленцой, которая мешает преодолевать трудности, встречающиеся на пути познания. А ведь только в самостоятельном преодолении препятствий вырабатывается характер и появляется уверенность в собственных силах.

Но мало выявить способности, необходимо создать условия для их развития, для творческого поиска. Вы, сегодняшние школьники, через несколько лет возьмете на свои плечи трудовые заботы отцов и матерей. Вам придется не только применять на практике достижения науки и техники, экономики и культуры, но и способствовать их прогрессу. Для того чтобы стать творцом, необходимо пройти своеобразную школу творчества. Она начинается в обычной школе и продолжается в кружках, при чтении специальной литературы, в размышлениях над нестандартными задачами, в самостоятельном преодолении трудностей, в воспитании привычки напряженно работать.

Жизнь - изумительный дар природы, но, чтобы она приносила радость, нужно научиться трудиться с увлечением, стремиться облегчить свой труд и усовершенствовать его привычные формы. Миллионы граждан нашей страны принимают участие в изобретательстве, совершенствовании орудий труда и методах их использования. Такая привычка мыслить, открывать новое в обыденном окажет вам огромную помощь в практической работе и позволит превратить труд во внутреннюю потребность.

В Постановлении Пленума ЦК КПСС от 18 февраля 1988 г. подчеркивается: «Важно предоставить каждому человеку возможность постоянного пополнения знаний через разнообразные формы обучения... Стремление к овладению знаниями, духовному росту должно поощряться, получать общественное, государственное признание... Следует уделять первостепенное внимание развитию индивидуальных способностей учащихся, расширять дифференцированное обучение учащихся в соответствии с их запросами и склонностями».

Мы убеждены, что предлагаемая книга внесет свой вклад в большое всенародное дело воспитания нового человека, способного отдавать свои знания и силы решению больших задач, стоящих перед нашим народом.

В добрый путь, друзья!

Академик АН УССР

ГНЕДЕНКО Б. В.

Ряд статей словаря, такие, как «Группа», «Геометрические преобразования», «Топология», знакомят с новыми областями математики, бурно развивающимися в последние десятилетия. Не забыты и математические развлечения, в том числе и знаменитый венгерский кубик.

В нашей стране много делается для того, чтобы математически одаренные юноши и девушки могли развивать свои способности. Проводятся математические олимпиады, создаются летние математические школы. Об этом вы также сможете прочитать в статьях словаря.

Книга познакомит вас с жизнью и творчеством великих математиков всех времен, с современными и русскими математиками.

Словарь иллюстрирован многочисленными схемами и графиками, которые дополняют текст. Образные иллюстрации, которые даны, например, к статьям «Алгебра», «Арифметика», «Анализ математический», «Геометрия», «Функция», тесно связаны с содержанием статьи, и понять их можно, только прочитав статьи.

Статьи в книге расположены в алфавитном порядке их названий. Если же интересующее вас понятие не является названием статьи словаря, то следует посмотреть в алфавитный указатель, находящийся в конце книги.

Некоторые слова в тексте набраны курсивом. Это значит, что в словаре имеется статья с таким названием. Ряд статей, в частности биографии ученых, даны не в алфавитном порядке, а как приложения к другим статьям. Чтобы найти их, также удобно воспользоваться алфавитным указателем, где даны страницы, на которых напечатаны эти статьи. В конце книги имеется список рекомендованной литературы.

Начальные геометрические знания были добыты опытным путем. Получение новых геометрических фактов при помощи рассуждений (доказательств) началось от древнегреческого ученого Фалеса (VI в. до н.э.). Ему приписывают установление свойств равнобедренного треугольника, доказательство равенства вертикальных углов, доказательство того, что вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой, и др. Фалес, по-видимому, применял поворот части фигуры и перегибание чертежа, т.е. то, что в наши дни называют перемещениями, или движениями (см. Геометрические преобразования).

Постепенно доказательства приобретают в геометрии все большее значение. К III в. до н.э. геометрия становится дедуктивной наукой, т.е. наукой, в которой большинство фактов устанавливается путем вывода (дедукции), доказательства. К этому времени относится книга «Начала», написанная древнегреческим ученым Евклидом (см. Евклид и его «Начала»). В ней доказываются свойства параллелограммов и трапеций, приведена теорема Пифагора (см. Пифагора теорема), изучается подобие многоугольников, рассматриваются многие другие геометрические факты.

В этой книге Евклид проводит аксиоматический взгляд на геометрию. Точка зрения Евклида была следующей. Взяв какую-либо теорему, можно проследить, какие ранее доказанные теоремы были использованы при ее выводе. Для этих ранее доказанных теорем в свою очередь можно выделить те более простые факты, из которых они выводятся, и т.д. В конце концов получается набор некоторых фактов, которые позволяют доказать все изучаемые теоремы геометрии. Эти выделенные факты настолько просты, что не возникает вопроса о необходимости их вывода. Их назвали аксиомами (это греческое слово означает «удостоенное, принятое положение»).

Весь набор аксиом (система) называется аксиоматикой. Таким образом, аксиомы – это первоначальные факты геометрии, которые принимаются без доказательства и позволяют вывести из них все дальнейшие факты этой науки. Утверждения, выводимые из аксиом, называют теоремами.

Среди сформулированных Евклидом аксиом имеются, например, следующие: «через две точки можно провести прямую»; «порознь равные третьему равны между собой»; «если в плоскости даны прямая и лежащая вне этой прямой точка, то через эту точку можно провести в плоскости не более одной прямой, которая не пересекается с данной» (последняя из этих аксиом – аксиома параллельности – у Евклида формулировалась иначе).

Аксиомы есть не только в геометрии, но и в алгебре, и других математических науках. Например, равенства:

a + b = b + a,

a · b = b · a,

a + (b + c) = (a + b) + c,

a · (be) = (ab) · c,

a + 0 = a,

a · 1 = a,

a + (-a) = 0,

a · (1/a) = 1, при a≠0,

a · (b + c) = ab + ac,

выражающие свойства сложения и умножения, являются в алгебре аксиомами: они принимаются без доказательства и используются для вывода новых фактов (для доказательства теорем). Например, с помощью аксиом доказывают формулы квадрата суммы или разности, правила умножения многочленов, формулу суммы членов геометрической прогрессии и т.д.

В каждой математической науке аксиомы возникают в процессе ее долгого и сложного исторического развития. Первоначальные факты накапливаются в результате практической деятельности человека. Их проверяют, уточняют, систематизируют. Исключают из них те, которые могут быть выведены из других первоначальных фактов. Иногда обнаруживается, что оставшийся список простейших фактов (аксиом) – неполный, т.е. этих фактов недостаточно для вывода всех теорем, и тогда к этому списку добавляют недостающие аксиомы. В результате и получается полный набор аксиом (аксиоматика).

После Евклида математики многих поколений стремились улучшить, дополнить его аксиоматику геометрии. Большую роль сыграли работы современника Евклида, древнегреческого ученого Архимеда, который сформулировал аксиомы, относящиеся к измерению геометрических величин. Из ученых более позднего времени существенный вклад в усовершенствование аксиоматики геометрии внесли русский математик Н.И.Лобачевский, французский математик М. Паш, итальянский математик Д. Ж. Пеано. Логически безупречный список аксиом геометрии был указан на рубеже XIX и XX вв. немецким математиком Д. Гильбертом.

Аксиоматический метод – важный научный инструмент познания мира. Большинство направлений современной математики, теоретическая механика и ряд разделов современной физики строятся на основе аксиоматическою метода. В самой математике аксиоматический метод дает законченное, логически стройное построение научной теории. Не меньшее значение имеет и то, что математическая теория, построенная аксиоматически, находит многократные приложения в математике и естествознании.

Во многих разделах современной математики применяются метрические пространства как совокупности элементов произвольной природы, в которых для каждой пары a и b определено число ρ(a,b), называемое расстоянием между a и b и удовлетворяющее аксиоматике, состоящей всего из трех аксиом:

1) ρ(a,b) = ρ(b,a);

2) ρ(a,b)≥0, причем ρ(a,b) = 0 в том, и только в том случае, если a = b ;

3) ρ(a,b)≤ρ(a,c)+ρ(b,c).

В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII в. Одним из крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок. 1170 – после 1228). Его «Книга абака» (1202) -  трактат, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительно (см. Числа Фибоначчи). Первым крупным самостоятельным достижением западноевропейских ученых было открытие в XVI в. формулы для решения кубического уравнения. Это было заслугой итальянских алгебраистов С. дель Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Ученик последнего – Л. Феррари решил и уравнение 4-й степени (см. Алгебраическое уравнение). Изучение некоторых вопросов, связанных с корнями кубических уравнений, привело итальянского алгебраиста Р. Бомбелли к открытию комплексных чисел.

Отсутствие удобной и хорошо развитой символики сковывало дальнейшее развитие алгебры: самые сложные формулы приходилось излагать в словесной форме. В конце XVI в. французский математик Ф. Виет ввел буквенные обозначения не только для неизвестных, но и для произвольных постоянных. Символика Виета была усовершенствована многими учеными. Окончательный вид ей придал в начале XVII в. французский философ и математик Р. Декарт, который ввел (употребляемые и поныне) обозначения для показателей степеней.

Постепенно расширялся запас чисел, с которыми можно было производить действия. Завоевывали права гражданства отрицательные числа, потом – комплексные, ученые стали свободно применять иррациональные числа (см. Число). При этом оказалось, что, несмотря на такое расширение запаса чисел, ранее установленные правила алгебраических преобразований сохраняют свою силу. Наконец, Декарту удалось освободить алгебру от несвойственной ей геометрической формы.

Все это позволило рассматривать вопросы решения уравнений в самом общем виде, применять уравнения к решению геометрических задач. Например, задача об отыскании точки пересечения двух линий свелась к решению системы уравнений, которым удовлетворяли точки этих линий. Такой метод решения геометрических задач получил название аналитической геометрии.

Развитие буквенной символики позволило установить общие утверждения, касающиеся алгебраических уравнений: теорему Безу о делимости многочлена P(x) на двучлен x-a, где a - корень этого многочлена; соотношения Виета между корнями уравнения и его коэффициентами; правила, позволяющие оценивать число действительных корней уравнения; общие методы исключения неизвестных из систем уравнений и т.д.

Особенно далеко было продвинуто в XVIII в. решение систем линейных уравнений – для них были получены формулы, позволяющие выразить решения через коэффициенты и свободные члены. Дальнейшее изучение таких систем уравнений привело к созданию теории матриц и определителей. В конце XVIII в. было доказано, что любое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. Это утверждение носит название основной теоремы алгебры.

В течение двух с половиной столетий внимание алгебраистов было приковано к задаче о выводе формулы для решения общего уравнения 5-й степени. Надо было выразить корни этого уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечений корней (решить уравнение в радикалах). Лишь в начале XIX в. итальянец П. Руффини и норвежец Н. Абель независимо друг от друга доказали, что такой формулы не существует. Эти исследования были завершены французским математиком Э. Галуа, методы которого позволяют для каждого данного уравнения определить, решается ли оно в радикалах.

Один из крупнейших математиков – К. Гаусс выяснил, при каких условиях можно построить циркулем и линейкой правильный n-угольник: вопрос оказался связанным с изучением корней уравнения xⁿ = 1. Выяснилось, что эта задача разрешима лишь в случае, когда число n является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма (простыми числами Ферма называются простые числа, представимые в виде ; до сих пор известны лишь пять таких чисел: 3, 5, 17, 257, 65 537). Тем самым молодой студент (Гауссу было в то время лишь 19 лет) решил задачу, которой безуспешно занимались ученые более двух тысячелетий.

В начале XIX в. были решены основные задачи, стоявшие перед алгеброй в первом тысячелетии ее развития. Она получила самостоятельное обоснование, не опирающееся на геометрические понятия, и, более того, алгебраические методы стали применяться для решения геометрических задач. Были разработаны правила буквенного исчисления для рациональных и иррациональных выражений, выяснен вопрос о разрешимости уравнений в радикалах и построена строгая теория комплексных чисел. Поверхностному наблюдателю могло показаться, что теперь математики будут решать новые и новые классы алгебраических уравнений, доказывать новые алгебраические тождества и т.д. Однако развитие алгебры пошло иным путем: из науки о буквенном исчислении и уравнениях она превратилась в общую науку об операциях и их свойствах.

Предписание считается алгоритмом, если оно обладает тремя следующими свойствами:

определенностью, т.е. общепонятностью и точностью, не оставляющими место произволу;

массовостью, т.е. возможностью исходить из меняющихся в известных пределах значений исходных данных;

результативностью, т.е. направленностью на получение искомого результата.

Перечисленных свойств вполне достаточно, чтобы можно было определить, является данное конкретное предписание алгоритмом или нет.

Совершенно очевидно, что хорошо известное предписание: «Пойди туда, не знаю куда, принеси то, не знаю что» - алгоритмом не является.

Примерами алгоритмов нематематического характера могут служить различные рецепты из поваренной книги. Рассмотрим алгоритм приготовления бутерброда.

Математический анализ – это обширная область математики с характерным объектом изучения (переменной величиной), своеобразным методом исследования (анализом посредством бесконечно малых или посредством предельных переходов), определенной системой основных понятий (функция, предел, производная, дифференциал, интеграл, ряд) и постоянно совершенствующимся и развивающимся аппаратом, основу которого составляют дифференциальное и интегральное исчисления.

Попробуем дать представление о том, какая математическая революция произошла в XVII в., чем характеризуется связанный с рождением математического анализа переход от элементарной математики к той, что ныне составляет предмет исследований математического анализа и чем объясняется его фундаментальная роль во всей современной системе теоретических и прикладных знаний.

Представьте себе, что перед вами прекрасно выполненная цветная фотография набегающей на берег штормовой океанской волны: могучая сутуловатая спина, крутая, но чуть впалая грудь, уже наклоненная вперед и готовая упасть голова с терзаемой ветром седой гривой. Вы остановили мгновение, вам удалось поймать волну, и вы можете теперь без спешки внимательно изучать ее во всех подробностях. Волну можно измерить, и, пользуясь средствами элементарной математики, вы сделаете много важных выводов об этой волне, а значит, и всех ее океанских сестрах. Но, остановив волну, вы лишили ее движения и жизни. Ее зарождение, развитие, бег, сила, с которой она обрушивается на берег, - все это оказалось вне вашего поля зрения, потому что вы не располагаете пока ни языком, ни математическим аппаратом, пригодными для описания и изучения не статических, а развивающихся, динамических процессов, переменных величин и их взаимосвязей.

«Математический анализ не менее всеобъемлющ, чем сама природа: он определяет все ощутимые взаимосвязи, измеряет времена, пространства, силы, температуры». Ж. Фурье

Движение, переменные величины и их взаимосвязи окружают нас повсюду. Различные виды движения и их закономерности составляют основной объект изучения конкретных наук: физики, геологии, биологии, социологии и др. Поэтому точный язык и соответствующие математические методы описания и изучения переменных величин оказались необходимыми во всех областях знания примерно в той же степени, в какой числа и арифметика необходимы при описании количественных соотношений. Так вот, математический анализ и составляет основу языка и математических методов описания переменных величин и их взаимосвязей. В наши дни без математического анализа невозможно не только рассчитать космические траектории, работу ядерных реакторов, бег океанской волны и закономерности развития циклона, но и экономично управлять производством, распределением ресурсов, организацией технологических процессов, прогнозировать течение химических реакций или изменение численности различных взаимосвязанных в природе видов животных и растений, потому что все это - динамические процессы.

Элементарная математика была в основном математикой постоянных величин, она изучала главным образом соотношения между элементами геометрических фигур, арифметические свойства чисел и алгебраические уравнения. Ее отношение к действительности в какой-то мере можно сравнить с внимательным, даже тщательным и полным изучением каждого фиксированного кадра киноленты, запечатлевшей изменчивый, развивающийся живой мир в его движении, которого, однако, не видно на отдельном кадре и которое можно наблюдать, только посмотрев ленту в целом. Но как кино немыслимо без фотографии, так и современная математика невозможна без той ее части, которую мы условно называем элементарной, без идей и достижений многих выдающихся ученых, разделенных порой десятками столетий.

Математика едина, и «высшая» ее часть связана с «элементарной» примерно так же, как следующий этаж строящегося дома связан с предшествующим, и ширина горизонтов, которые математика открывает нам в окружающий мир, зависит от того, на какой этаж этого здания нам удалось подняться. Родившийся в XVII в. математический анализ открыл нам возможности для научного описания, количественного и качественного изучения переменных величин и движения в широком смысле этого слова.

Каковы же предпосылки появления математического анализа?

К концу XVII в. сложилась следующая ситуация. Во-первых, в рамках самой математики за долгие годы накопились некоторые важные классы однотипных задач (например, задачи измерения площадей и объемов нестандартных фигур, задачи проведения касательных к кривым) и появились методы их решения в различных частных случаях. Во-вторых, оказалось, что эти задачи теснейшим образом связаны с задачами описания произвольного (не обязательно равномерного) механического движения, и в частности с вычислением его мгновенных характеристик (скорости, ускорения в любой момент времени), а также с нахождением величины пройденного пути для движения, происходящего с заданной переменной скоростью. Решение этих проблем было необходимо для развития физики, астрономии, техники.

Наконец, в-третьих, к середине XVII в. трудами Р. Декарта и П. Ферма были заложены основы аналитического метода координат (так называемой аналитической геометрии), позволившие сформулировать разнородные по своему происхождению геометрические и физические задачи на общем (аналитическом) языке чисел и числовых зависимостей, или, как мы теперь говорим, числовых функций.

(1883-1950)

Н. Н. Лузин – советский математик, основоположник советской школы теории функций, академик (1929).

Лузин родился в Томске, учился в томской гимназии. Формализм гимназического курса математики оттолкнул от себя талантливого юношу, и лишь способный репетитор смог раскрыть перед ним красоту и величие математической науки.

В 1901 г. Лузин поступил на математическое отделение физико-математического факультета Московского университета. С первых лет обучения в круг его интересов попали вопросы, связанные с бесконечностью. В конце XIX в. немецкий ученый Г. Кантор создал общую теорию бесконечных множеств, получившую многочисленные применения в исследовании разрывных функций. Лузин начал изучать эту теорию, но его занятия были прерваны в 1905 г. Студенту, принимавшему участие в революционной деятельности, пришлось на время уехать во Францию. Там он слушал лекции виднейших французских математиков того времени. По возвращении в Россию Лузин окончил университет и был оставлен для подготовки к профессорскому званию. Вскоре он вновь уехал в Париж, а затем в Геттинген, где сблизился со многими учеными и написал первые научные работы. Основной проблемой, интересовавшей ученого, был вопрос о том, могут ли существовать множества, содержащие больше элементов, чем множество натуральных чисел, но меньше, чем множество точек отрезка (проблема континуума).

Для любого бесконечного множества, которое можно было получить из отрезков с помощью операций объединения и пересечения счетных совокупностей множеств, эта гипотеза выполнялась, и, чтобы решить проблему, нужно было выяснить, какие еще есть способы конструирования множеств. Одновременно Лузин изучал вопрос, можно ли представить любую периодическую функцию, даже имеющую бесконечно много точек разрыва, в виде суммы тригонометрического ряда, т.е. суммы бесконечного множества гармонических колебаний. По этим вопросам Лузин получил ряд значительных результатов и в 1915 г. защитил диссертацию «Интеграл и тригонометрический ряд», за которую ему сразу присудили ученую степень доктора чистой математики, минуя существовавшую в то время промежуточную степень магистра.

В 1917 г. Лузин стал профессором Московского университета. Талантливый преподаватель, он привлекал к себе наиболее способных студентов и молодых математиков. Своего расцвета школа Лузина достигла в первые послереволюционные годы. Ученики Лузина образовали творческий коллектив, который шутливо называли «лузитанией». Многие из них получили первоклассные научные результаты еще на студенческой скамье. Например, П. С. Александров и М. Я. Суслин (1894-1919) открыли новый метод конструирования множеств, что послужило началом развития нового направления - дескриптивной теории множеств. Исследования в этой области, проводившиеся Лузиным и его учениками, показали, что обычных методов теории множеств недостаточно для решения многих возникавших в ней проблем. Научные предвидения Лузина полностью подтвердились в 60-е гг. XX в. Многие ученики Н. Н. Лузина стали впоследствии академиками и членами-корреспондентами АН СССР. Среди них П. С. Александров. А. Н. Колмогоров. М. А. Лаврентьев, Л. А. Люстерник, Д. Е. Меньшов, П. С. Новиков. Л. Г. Шнирельман и другие.

Современные советские и зарубежные математики в своих работах развивают идеи Н. Н. Лузина.

------------------------------------------

Стечение этих обстоятельств и привело к тому, что в конце XVII в. двум ученым – И. Ньютону и Г. Лейбницу – независимо друг от друга удалось создать для решения названных задач математический аппарат, подытоживший и обобщивший отдельные результаты предшественников, среди которых и ученый древности Архимед и современники Ньютона и Лейбница – Б. Кавальери, Б. Паскаль, Д. Грегори, И. Барроу. Этот аппарат и составил основу математического анализа – нового раздела математики, изучающего различные развивающиеся процессы, т.е. взаимосвязи переменных величин, которые в математике называют функциональными зависимостями или, иначе, функциями. Кстати, сам термин «функция» потребовался и естественно возник именно в XVII в., а к настоящему времени он приобрел не только общематематическое, но и общенаучное значение.

Начальные сведения об основных понятиях и математическом аппарате анализа даны в статьях «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление».

В заключение хотелось бы остановиться только на одном общем для всей математики и характерном для анализа принципе математического абстрагирования и в этой связи объяснить, в каком виде математический анализ изучает переменные величины и в чем секрет такой универсальности его методов для изучения всевозможных конкретных развивающихся процессов и их взаимосвязей.

Рассмотрим несколько поясняющих примеров и аналогий.

Мы порой уже не отдаем себе отчета в том, что, например, математическое соотношение 2 + 2 = 4, написанное не для яблок, стульев или слонов, а в отвлеченном от конкретных объектов абстрактном виде, - выдающееся научное завоевание. Это математический закон, который, как показывает опыт, применим к различным конкретным объектам. Значит, изучая в математике общие свойства отвлеченных, абстрактных чисел, мы тем самым изучаем количественные соотношения реального мира.

Например, из школьного курса математики известно, что 12 = 6 + 6 = 4 + 4 + 4, поэтому в конкретной ситуации вы могли бы сказать: «Если мне для перевозки 12 т грунта не выделят два шеститонных самосвала, то можно запросить три четырехтонки и работа будет выполнена, а если дадут только одну четырехтонку, то ей придется сделать три рейса». Так привычные теперь для нас отвлеченные числа и числовые закономерности связаны с их конкретными проявлениями и приложениями.

Примерно так же связаны законы изменения конкретных переменных величин и развивающихся процессов природы с той абстрактной, отвлеченной формой-функцией, в которой они появляются и изучаются в математическом анализе.

Например, абстрактное соотношение y = 20x может быть отражением зависимости кассового сбора у кинотеатра от количества x проданных билетов, если 20 – это 20 копеек – цена одного билета. Но если мы едем по шоссе на велосипеде, проезжая 20 км в час, то это же соотношение можно истолковать как взаимосвязь времени x (часов) нашей велосипедной прогулки и покрытого за это время расстояния y (километров).

Вообще зависимость y = kx, где k - некоторый числовой коэффициент, встречается очень часто. В математике ее называют прямой пропорциональной зависимостью переменной величины y от переменной величины x или говорят также, что y - линейная функция от x. Какова бы ни была конкретная природа переменных величин x и yсвязанных соотношением y = kx, вы всегда можете утверждать, что, например, изменение x в несколько раз приводит к пропорциональному (т.е. во столько же раз) изменению величины y, а если k ≠ 0, то верно и обратное заключение. Значит, в частности, для увеличения кассового сбора кинотеатра в два раза вам придется привлечь вдвое больше зрителей, а для того, чтобы на велосипеде с той же скоростью проехать вдвое большее расстояние, вам придется ехать вдвое дольше.

Математика изучает и простейшую зависимость y = kx, и другие, значительно более сложные зависимости в отвлеченном от частной интерпретации, общем, абстрактном виде. Выявленные в таком исследовании свойства функции или методы изучения этих свойств будут носить характер общих математических приемов, заключений, законов и выводов, применимых к каждому конкретному явлению, в котором встречается изученная в абстрактном виде функция, независимо от того, к какой области знания это явление относится.

Итак, математический анализ как раздел математики оформился в конце XVII в. Предметом изучения в математическом анализе (как он представляется с современных позиций) являются функции, или, иначе, зависимости между переменными величинами.

С возникновением математического анализа математике стало доступно изучение и отражение развивающихся процессов реального мира; в математику вошли переменные величины и движение.

Слово «арифметика» происходит от греческого arithmos, что значит «число». Эта наука изучает действия над числами, различные правила обращения с ними, учит решать задачи, сводящиеся к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел. Часто представляют себе арифметику как некоторую первую ступень математики, основываясь на которой можно изучать более сложные ее разделы – алгебру, анализ математический и т.д. Даже целые числа – основной объект арифметики – относят, когда рассматривают их общие свойства и закономерности, к высшей арифметике, или теории чисел. Такой взгляд на арифметику, конечно, имеет основания – она действительно остается «азбукой счета», но азбукой «многополезнейшей» и «удобнопонятной».

Арифметика и геометрия – давние спутники человека. Эти науки появились тогда, когда возникла необходимость считать предметы, измерять земельные участки, делить добычу, вести счет времени.

Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте. Например, египетский папирус Ринда (названный по имени его владельца Г. Ринда) относится к XX в. до н.э. Среди прочих сведений он содержит разложения дроби на сумму дробей с числителем, равным единице, например:

2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

Накопленные в странах Древнего Востока сокровища математических знаний были развиты и продолжены учеными Древней Греции. Много имен ученых, занимавшихся арифметикой в античном мире, сохранила нам история - Анаксагор и Зенон, Евклид (см. Евклид и его «Начала»), Архимед, Эратосфен и Диофант. Яркой звездой сверкает здесь имя Пифагора (VI в. до н.э.). Пифагорейцы (ученики и последователи Пифагора) преклонялись перед числами, считая, что в них заключена вся гармония мира. Отдельным числам и парам чисел приписывались особые свойства. В большом почете были числа 7 и 36, тогда же было обращено внимание на так называемые совершенные числа, дружественные числа и т. п.

В средние века развитие арифметики также связано с Востоком: Индией, странами арабского мира и Средней Азии. От индийцев пришли к нам цифры, которыми мы пользуемся, нуль и позиционная система счисления; от аль-Каши (XV в.), работавшего в Самаркандской обсерватории Улугбека, - десятичные дроби.

Благодаря развитию торговли и влиянию восточной культуры начиная с XIII в. повышается интерес к арифметике и в Европе. Следует вспомнить имя итальянского ученого Леонардо Пизанского (Фибоначчи), сочинение которого «Книга абака» знакомило европейцев с основными достижениями математики Востока и явилось началом многих исследований в арифметике и алгебре.

Вместе с изобретением книгопечатания (середина XV в.) появились первые печатные математические книги. Первая печатная книга по арифметике была издана в Италии в 1478 г. В «Полной арифметике» немецкого математика М. Штифеля (начало XVI в.) уже есть отрицательные числа и даже идея логарифмирования.

Примерно с XVI в. развитие чисто арифметических вопросов влилось в русло алгебры – в качестве значительной вехи можно отметить появление работ ученого из Франции Ф. Виета, в которых числа обозначены буквами. Начиная с этого времени основные арифметические правила осознаются уже окончательно с позиций алгебры.

Основной объект арифметики – число. Натуральные числа, т.е. числа 1, 2, 3, 4, ... и т.д., возникли из счета конкретных предметов. Прошло много тысячелетий, прежде чем человек усвоил, что два фазана, две руки, два человека и т.д. можно назвать одним и тем же словом «два». Важная задача арифметики – научиться преодолевать конкретный смысл названий считаемых предметов, отвлекаться от их формы, размера, цвета и т. п. Уже у Фибоначчи есть задача: «Семь старух идут в Рим. У каждой по 7 мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в 7 ножнах. Сколько всех?» Для решения задачи придется складывать вместе и старух, и мулов, и мешки, и хлеба.

Развитие понятия числа – появление нуля и отрицательных чисел, обыкновенных и десятичных дробей, способы записи чисел (цифры, обозначения, системы счисления) – все это имеет богатую и интересную историю.

«Под наукой чисел понимаются две науки: практическая и теоретическая. Практическая изучает числа постольку, поскольку речь идет о числах считаемых. Эту науку применяют  в рыночных и гражданских делах. Теоретическая наука чисел изучает числа в абсолютном смысле, отвлеченные разумом от тел и всего, что поддается в них счету». аль-Фараби

В арифметике числа складывают, вычитают, умножают и делят. Искусство быстро и безошибочно производить эти действия над любыми числами долгое время считалось важнейшей задачей арифметики. Сейчас в уме или на листке бумаги мы делаем лишь самые простые вычисления, все чаще и чаще поручая более сложную вычислительную работу микрокалькуляторам, которые постепенно приходят на смену таким устройствам, как счеты, арифмометр (см. Вычислительная техника), логарифмическая линейка. Однако в основе работы всех вычислительных машин - простых и сложных – лежит самая простая операция – сложение натуральных чисел. Оказывается, самые сложные расчеты можно свести к сложению, только делать эту операцию надо многие миллионы раз. Но здесь мы вторгаемся в другую область математики, которая берет начало в арифметике, - вычислительную математику.

Арифметические действия над числами имеют самые различные свойства. Эти свойства можно описать словами, например: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется», можно записать буквами: a + b = b + a, можно выразить специальными терминами.

Например, указанное свойство сложения называют переместительным или коммутативным законом. Мы применяем законы арифметики часто по привычке, не осознавая этого. Часто ученики в школе спрашивают: «Зачем учить все эти переместительные и сочетательные законы, ведь и так ясно, как складывать и умножать числа?» В XIX в. математика сделала важный шаг – она стала систематически складывать и умножать не только числа, но также векторы, функции, перемещения, таблицы чисел, матрицы и многое другое и даже просто буквы, символы, не очень заботясь об их конкретном смысле. И вот здесь оказалось, что самым важным является то, каким законам подчиняются эти операции. Изучение операций, заданных над произвольными объектами (не обязательно над числами), - это уже область алгебры, хотя эта задача основана на арифметике и ее законах.

Арифметика содержит много правил решения задач. В старых книгах можно встретить задачи на «тройное правило», на «пропорциональное деление», на «метод весов», на «фальшивое правило» и т.п. Большинство этих правил сейчас устарело, хотя задачи, которые решались с их помощью, никак нельзя считать устаревшими. Знаменитая задача про бассейн, который наполняется несколькими трубами, имеет возраст не менее двух тысяч лет, и до сих пор она не легка для школьников. Но если раньше для решения этой задачи нужно было знать специальное правило, то в наши дни уже младших школьников обучают решать такую задачу, вводя буквенное обозначение x искомой величины. Таким образом, арифметические задачи привели к необходимости решать уравнения, а это уже снова задача алгебры.

 (ок. 570-ок. 500 гг. до н.э.)

Письменных документов о Пифагоре Самосском не осталось, а по более поздним свидетельствам трудно восстановить подлинную картину его жизни и достижений. Известно, что Пифагор покинул свой родной остров Самос в Эгейском море у берегов Малой Азии в знак протеста против тирании правителя и уже в зрелом возрасте (по преданию в 40 лет) появился в греческом городе Кротоне на юге Италии. Пифагор и его последователи - пифагорейцы - образовали тайный союз, игравший немалую роль в жизни греческих колоний в Италии. Пифагорейцы узнавали друг друга по звездчатому пятиугольнику – пентаграмме.

На учение Пифагора большое влияние оказала философия и религия Востока. Он много путешествовал по странам Востока: был в Египте и в Вавилоне. Там Пифагор познакомился и с восточной математикой. Математика стала частью его учения, и важнейшей частью.

Пифагорейцы верили, что в числовых закономерностях спрятана тайна мира. Мир чисел жил для пифагорейца особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл. Числа, равные сумме своих делителей, воспринимались как совершенные (6, 28, 496, 8128); дружественными называли пары чисел, из которых каждое равнялось сумме делителей другого (например, 220 и 284). Пифагор впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные, ввел понятие фигурного числа. В его школе были подробно рассмотрены пифагоровы тройки натуральных чисел, у которых квадрат одного равнялся сумме квадратов двух других (см. Ферма великая теорема).

Пифагору приписывается высказывание: «Все есть число». К числам (а он имел в виду лишь натуральные числа) он хотел свести весь мир, и математику в частности. Но в самой школе Пифагора было сделано открытие, нарушавшее эту гармонию.

Было доказано, что √2 не является рациональным числом, т.е. не выражается через натуральные числа.

Естественно, что геометрия у Пифагора была подчинена арифметике, это ярко проявилось в теореме, носящей его имя и ставшей в дальнейшем основой применения численных методов в геометрии. (Позже Евклид вновь вывел на первое место геометрию, подчинив ей алгебру.) По-видимому, пифагорейцы знали правильные тела: тетраэдр, куб и додекаэдр.

Пифагору приписывают систематическое введение доказательств в геометрию, создание планиметрии прямолинейных фигур, учения о подобии.

С именем Пифагора связывают учение об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях, средних.

Следует заметить, что Пифагор считал Землю шаром, движущимся вокруг Солнца. Когда в XVI в. церковь начала ожесточенно преследовать учение Коперника, это учение упорно именовалось пифагорейским.

------------------------------------------

(ок. 287-212 гг. до н.э.)

Об Архимеде – великом математике и механике – известно больше, чем о других ученых древности. Прежде всего достоверен год его смерти - год падения Сиракуз, когда ученый погиб от руки римского солдата. Впрочем, историки древности Полибий, Ливий, Плутарх мало рассказывали о его математических заслугах, от них до наших времен дошли сведения о чудесных изобретениях ученого, сделанных во время службы у царя Гиерона II. Известна история о золотом венце царя. Чистоту его состава Архимед проверил при помощи найденного им закона выталкивающей силы, и его возгласе «Эврика!», т.е. «Нашел!». Другая легенда рассказывает, что Архимед соорудил систему блоков, с помощью которой один человек смог спустить на воду огромный корабль «Сиракосия». Крылатыми стали произнесенные тогда слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я поверну Землю».

Инженерный гений Архимеда с особой силой проявился при осаде Сиракуз, богатого торгового города на острове Сицилия.

Воины римского консула Марцелла были надолго задержаны у стен города невиданными машинами: мощные катапульты прицельно стреляли каменными глыбами, в бойницах были установлены метательные машины, выбрасывающие грады ядер, береговые краны поворачивались за пределы стен и забрасывали корабли противника каменными и свинцовыми глыбами, крючья подхватывали корабли и бросали их вниз с большой высоты, системы вогнутых зеркал (в некоторых рассказах – щитов) поджигали корабли. В «Истории Марцелла» Плутарх описывает ужас, царивший в рядах римских воинов: «Как только они замечали, что из-за крепостной стены показывается веревка или бревно, они обращались в бегство с криком, что вот Архимед еще выдумал новую машину на их погибель».

Огромен вклад Архимеда и в развитие математики. Спираль Архимеда (см. Спирали), описываемая точкой, двигающейся по вращающемуся кругу, стояла особняком среди многочисленных кривых, известных его современникам. Следующая кинематически определенная кривая – циклоида – появилась только в XVII в. Архимед научился находить касательную к своей спирали (а ею предшественники умели проводить касательные только к коническим сечениям), нашел площадь ее витка, а также площадь эллипса, поверхности конуса и шара, объемы шара и сферического сегмента. Особенно он гордился открытым им соотношением объема шара и описанного вокруг него цилиндра, которое равно 2:3 (см. Вписанные и описанные фигуры).

Архимед много занимался и проблемой квадратуры круга (см. Знаменитые задачи древности). Ученый вычислил отношение длины окружности к диаметру (число π) и нашел, что оно заключено между 3 10/71 и 3 1/7.

Созданный им метод вычисления длины окружности и площади фигуры был существенным шагом к созданию дифференциального и интегрального исчислений, появившихся лишь 2000 лет спустя.

Архимед нашел также сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4. В математике это был первый пример бесконечного ряда.

Большую роль в развитии математики сыграло его сочинение «Псаммит» - «О числе песчинок», в котором он показывает, как с помощью существовавшей системы счисления можно выражать сколь угодно большие числа. В качестве повода для своих рассуждений он использует задачу о подсчете количества песчинок внутри видимой Вселенной. Тем самым было опровергнуто существовавшее тогда мнение о наличии таинственных «самых больших чисел».

------------------------------------------

Среди важных понятий, которые ввела арифметика, надо отметить пропорции и проценты. Большинство понятий и методов арифметики основано на сравнении различных зависимостей между числами. В истории математики процесс слияния арифметики и геометрии происходил на протяжении многих веков.

Можно отчетливо проследить «геометризацию» арифметики: сложные правила и закономерности, выраженные формулами, становятся понятнее, если удается изобразить их геометрически. Большую роль в самой математике и ее приложениях играет обратный процесс – перевод зрительной, геометрической информации на язык чисел (см. Графические вычисления). В основе этого перевода лежит идея французского философа и математика Р. Декарта об определении точек на плоскости координатами. Разумеется, и до него эта идея уже использовалась, например в морском деле, когда нужно было определить местонахождение корабля, а также в астрономии, геодезии. Но именно от Декарта и его учеников идет последовательное применение языка координат в математике. И в наше время при управлении сложными процессами (например, полетом космического аппарата) предпочитают иметь всю информацию в виде чисел, которые и обрабатывает вычислительная машина. При необходимости машина помогает человеку перевести на язык рисунка накопленную числовую информацию.

Вы видите, что, говоря об арифметике, мы все время выходим за ее пределы - в алгебру, геометрию, другие разделы математики.

Как же очертить границы самой арифметики?

В каком смысле употребляется это слово?

Под словом «арифметика» можно понимать:

учебный предмет, занимающийся преимущественно рациональными числами (целыми числами и дробями), действиями над ними и задачами, решаемыми с помощью этих действий;

часть исторического здания математики, накопившую различные сведения о вычислениях;

«теоретическую арифметику» - часть современной математики, занимающуюся конструированием различных числовых систем (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа и их обобщения);

«формальную арифметику» - часть математической логики (см. Логика математическая), занимающуюся анализом аксиоматической теории арифметики;

«высшую арифметику», или теорию чисел, самостоятельно развивающуюся часть математики.

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому последующего и предыдущего членов:

.

Это отражено в названии последовательности: арифметическая прогрессия. Верно и более общее свойство:

 при n≥k.

Справедливы следующие формулы (через S_n обозначена сумма первых n членов арифметической прогрессии):

a_n = a₁ + (n-1)d,   (1)

,   (2)

. (3)

С формулой (3) связан интересный эпизод из жизни немецкого математика К.Ф. Гаусса (1777-1855). Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно:

1+2+3+4+5+...+40».

Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил». Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное.

Вот схема его рассуждений. Сумма чисел в каждой паре равна 41:

Уравнение лемнискаты в прямоугольных координатах: (x² + y²)² - 2a²(x² - y²) = 0, уравнение в полярных координатах: p² = 2a² cos 2φ.

В XVIII в. сложилось понятие классической вероятности. Согласно ему вероятность события A есть отношение числа равновозможных случаев, благоприятствующих наступлению события A, к числу всех возможных.

Классическая вероятность имеет ограниченную область применений, поскольку далеко не всегда в реальных вопросах можно выделить равновозможные случаи в конечном числе. Приведем пример. Наблюдая за космическими частицами, мы заинтересовались, какова вероятность выпадения на данную площадку земной поверхности за период в 5 мин не более трех космических частиц? Как в данном примере определить равновозможные случаи? Здесь используют статистическое определение вероятности. Статистическое определение имеет дело с проведением эксперимента, или, как принято говорить в теории вероятностей, с проведением испытаний. Пусть нас интересует оценка вероятности того, что под определенной нагрузкой диод способен проработать свыше 10 тыс. часов. С этой целью на стенд испытаний поставлена 1 тыс. диодов, изготовленных в одних и тех же условиях и из одной и той же партии исходных материалов. После 10 тыс. часов работы вышли из строя 100 штук, остальные 900 продолжали сохранять работоспособность. Частота появления диодов, способных проработать более 10 тыс. часов, оказывается равной 900 : 1000 = 9/10. При большом числе испытаний можно считать, что вероятность события будет близка к частоте. В нашем примере вероятность того, что наудачу взятый диод проработает более 10 тыс. часов, будет близка к 9/10. Статистическое понятие вероятности постоянно используется на практике: в биологии, медицине, инженерном деле, экономике и пр.

Предположение о существовании вероятности у интересующего нас события A является сильной гипотезой, которая в каждом случае требует специальной проверки. Далеко не каждое событие с неоднозначным исходом (при неизменных условиях испытаний) имеет определенную вероятность.

Часто о вероятности события пытаются судить не по объективным данным, а исходя из субъективной уверенности в наступлении или ненаступлении некоторого события. Если некто предсказывает, что футбольный матч между командами А и Б закончится со счетом 3:1, то это утверждение не имеет объективного значения, а является лишь убеждением лица, его высказывающего. Но на такой уверенности делаются попытки строить теорию вероятностей. При последовательном развитии этой субъективистской позиции можно прийти к поразительному выводу: при полном незнании можно вывести из наших субъективных представлений некую «объективную истину» о значении вероятности события A. Так, совершенно ошибочны такие рассуждения: интересующее событие A может произойти, а может не произойти. Значит, из двух возможностей одна ему благоприятствует. Следовательно, по классическому определению, вероятность наступления A равна 0,5. В этом рассуждении пренебрегли требованием равновозможности возможных случаев. Обратим внимание, что такое рассуждение приводит к невероятному следствию: вероятность любого случайного события равна половине.

Основные объекты изучения теории вероятностей: 1) случайное событие и его вероятность; 2) случайная величина и ее функция распределения; 3) случайный процесс и его вероятностная характеристика. Например, задачи, которые возникают из ситуаций, обычных на телефонной станции: а) какова вероятность того, что на станцию за время t поступят n вызовов от абонентов? б) Какова вероятность того, что длительность ожидания соединения с нужным абонентом окажется большей, чем заданное число t₀? в) Как со временем изменяется очередь на соединение? Какие закономерности появления вызовов во времени? Эти задачи показывают, что именно практика приводит к необходимости вводить математические понятия и изучать их. В задаче а) речь идет о вероятности наступления случайного события; в задаче б) – о разыскании функции распределения случайной величины (длительности ожидания); в задачах в) рассматриваются случайные процессы, связанные с обслуживанием абонентов.

Основой теории вероятностей является понятие вероятности случайного события. Интуитивно ясное понятие случайного события (появления данного числа вызовов на телефонной станции, выпадения грани 5 при бросании игральной кости и т.д.) формализуется. В современной теории вероятностей принят следующий подход. Рассматривается исходное множество – множество элементарных событий E. Далее выбираются подмножества этого множества. Например, при бросании игральной кости множество элементарных событий состоит из шести элементов (1, 2, 3, 4, 5, 6) – когда кость падает сторонами, обозначенными числами 1, 2, ..., 6. В качестве подмножеств рассматриваем возможности выпадения одной из двух граней i или j; или из трех граней i, или j, или k; ...; или выпадение одной из граней 1, или 2, или 3, …, или 6. Это последнее событие наступает при любом бросании кости, и поэтому оно называется достоверным. И в любом случае в качестве одного из подмножеств берется все множество. Оно наступает при любом испытании и является достоверным событием. Остальные подмножества являются случайными событиями. Множество F случайных событий (множество выбранных подмножеств E) не произвольно, а должно обладать следующими свойствами: наряду с событиями A и B в него входят также события A или B, а также A и B. Событие A или B называется суммой событий A и B и обозначается символом A + B, или символом A ∪ B. Событие A и B носит название пересечения (или произведения) событий A и B и обозначается символом AB (или символом A∩B). Требования, наложенные на множество случайных событий, позволяют заключить, что в это множество входит еще одно событие, называемое невозможным. Оно получается каждый раз, когда рассматривается AB, но события A и B составлены из разных элементарных событий. В примере с бросанием игральной кости если выбрать A={3}, а B={5}, то событию AB не соответствует ни один исход бросания кости. Это невозможное событие. Оно обозначается символом .

События A и B называются несовместными, если AB=∅; иными словами, если события A и B не содержат в своем составе ни одного общего элемента (элементарного события). Определим теперь на множестве F неотрицательную функцию: каждому случайному событию A поставим в соответствие число P{A}≥0; для функции P{A} должны быть выполнены два дополнительных свойства: 1) если A и B несовместны, то P{A+B}=P{A}+P{B}; 2) если U - достоверное событие, то P{U}=1. Легко проверить, что классическая вероятность является как раз такой функцией. Величина P{A} называется вероятностью события A. Соотношение 1) носит наименование теоремы сложения вероятностей; она входит в состав трех простейших соотношений, позволяющих вычислять вероятности сложных событий по заданным вероятностям простых.

Два требования, наложенные на вероятность события, позволяют получить большое число следствий: а) вероятность невозможного события равна 0; б) каковы бы ни были события A и B, P{A+B}=P{A}+P{B}-P{AB}.

При определении вероятности случайного события всегда предполагается, что выполнен некоторый комплекс условий: игральная кость правильная, т.е. плотность вещества, из которого она сделана, постоянна, а ее форма является идеальным кубом. Таким образом, каждая вероятность является условной. Однако принято эту первичную совокупность условий считать само собой разумеющейся, никак не отмечать ее наличие и просто писать P{A} - вероятность события A, предполагая при этом, что указанный комплекс условий выполнен. Если же помимо этого комплекса условий известно, что осуществилось еще некоторое условие B, то в этом случае говорят об условной вероятности события A при условии Bи обозначают P{A/B}. Пусть событие A состоит в том, что при бросании игральной кости выпадет не более четырех очков. Вероятность этого события равна 4/6 = 2/3. Если нам стало известно событие B - число выпавших очков оказалось большим двух, то тогда могли выпасть лишь очки 3, 4, 5 или 6. Благоприятствуют интересующему нас событию лишь два из четырех, значит, P{A/B} = 2/4 = 1/2. Вообще говоря, условная вероятность P{A/B} не равна безусловной P{A}, однако могут быть случаи, когда P{A/B} = P{A}. В этом случае говорят, что событие A независимо от события B.

Найдем вероятность события AB. Чтобы произошло событие ABнужно, во-первых, чтобы произошло событие B, а во-вторых, чтобы наступило событие A при условии, что событие B наступило.

Рассмотрим классическую схему вероятности. Имеется n элементарных равновероятных событий. Событию A благоприятствуют какие-то j из них, событию B благоприятствует k и m - событию AB. Согласно определению P{A/B} = m/n = k/n · m/k. Но первый множитель правой части этого равенства равен P{B}, а второй – вероятность события A при условии, что B наступило. Таким образом, P{AB} = P{B}·P{A/B}. Точно такими же рассуждениями доказываем, что P{AB} = P{A}·P{B/A}. Из этих равенств, носящих название теоремы умножения вероятностей, вытекает, во-первых, что если A независимо от B, то и B независимо от A. Во-вторых, следует равенство P{A/B} = P{AB}/ P{B}.

Для общего определения вероятности равенство P{A/B} = P{AB}/ P{B} служит определением условной вероятности. Ясно, что и в этом случае имеет место теорема умножения, которая является второй основной теоремой.

Третьей основой вычислений в теории вероятностей служит так называемая формула полной вероятности. Пусть события A₁,A₂,...,A₅ попарно несовместны и пусть событие B наступает только в том случае, когда происходит одно из событий A_j. В этом случае имеет место равенство B = BA₁ + BA₂ + ... + BA₅.

Отсюда .

В развитии теории вероятностей важную роль играла и продолжает играть так называемая схема Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти событие A с одной и той же в каждом из испытаний вероятностью p и не произойти с вероятностью q = 1 - p. Вероятность того, что при этом событии A появится ровно m раз, а событие Ā (не A) n-m раз, вычисляется по формуле

.

При больших n вычисления по этой формуле довольно сложны и технически трудны; для этого обычно используют приближенную формулу (локальную теорему Муавра-Лапласа), согласно которой

.

В теоретических и прикладных задачах часто приходится находить суммы вида . При больших n, a и b такие вычисления требуют значительных усилий. Для их приближенного вычисления используется интегральная теорема Муавра - Лапласа, согласно которой

, , .

Обе теоремы дают очень высокую точность. Они относятся к так называемым предельным теоремам теории вероятностей.

Швейцарский математик Я. Бернулли (1654-1705) обнаружил фундаментальный факт теории, получивший название закона больших чисел в форме Бернулли. Пусть μ обозначает число появлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых событие A наступает с вероятностью p.

Каково бы ни было число ε > 0, имеет место соотношение

,

т.е. что вероятность отклонения частоты μ / n появления события от p =  вероятности этого события больше, чем на ε, стремится к 0.

Наряду со случайными событиями в теории вероятностей и ее применениях рассматривают случайные величины. Представим себе, что при каждом наблюдении некоторая величина принимает какое-то значение в зависимости от случая; например, число космических частиц, попадающих за данный промежуток времени на определенную площадку поверхности; число обрывов пряжи, изготовленной из хлопка определенного сорта и заданного номера, при испытаниях на разрыв. Таких примеров можно привести сколько угодно.

Случайные величины различаются как теми значениями, которые они способны принимать, так и вероятностями, с которыми эти значения принимаются. Так, число вызовов от абонентов на телефонной станции за промежуток времени t может быть любым целым числом: 0, 1, 2, … . Как показывают многочисленные наблюдения, вероятность того, что число вызовов окажется равным k, согласуется с формулой P_k(t) = (1/k!)(λt)^ke^-λt, где λ - некоторая положительная постоянная.

Скорость молекулы газа также случайна и может принимать любые значения. Этих значений столько же, сколько положительных чисел. Как в этом случае задавать вероятности этих значений? Математики пошли по такому пути: стали определять не вероятность каждого из возможных значений, а вероятность того, что случайная величина ξ примет значение меньшее, чем заданное значение x:P{ξ<x} = F(x). Функция F(x) получила наименование функции распределения случайной величины ξ. Из теоремы сложения легко вывести следующее важное равенство: P{a ≤ ξ < b} = F(b) - F(a), позволяющее по функции распределения определять вероятность выполнения указанного неравенства.

(1856-1922)

А. А. Марков русский математик, представитель петербургской математической школы. Он родился в Рязани. В 1874 г. поступил на физико-математический факультет Петербургского университета, где под влиянием П. Л. Чебышева занялся теорией непрерывных дробей и теорией чисел.

В 1884 г. Марков защитил докторскую диссертацию, посвященную непрерывным дробям, в которой доказал и обобщил некоторые неравенства Чебышева, опубликованные раньше без доказательств. Маркову принадлежат также многочисленные работы по различным разделам математического анализа. В 1890 г. за глубокие научные исследования Марков был избран академиком Петербургской академии наук.

С конца 90-х гг. XIX в. главным предметом исследований ученого стала теория вероятностей. Здесь он продолжил работу своего учителя П. J1. Чебышева и ввел новый объект исследования – последовательности зависимых случайных величин, получившие в дальнейшем название марковских цепей. Так называют последовательности случайных величин, для которых вероятность появления того или иною значения на (k+1)-м шагу зависит лишь от того, какое значение эта величина приняла на k-м шагу, и не зависит от значений величины на 1-м, 2-м, ..., (k-1)-м шагах.

Марковские цепи сразу после их открытия не нашли практических приложений, и ученому пришлось применять свои результаты к распределению гласных и согласных букв в поэме А. С. Пушкина «Евгений Онегин». Ведь за согласной чаще идет гласная, а за гласной – согласная, и в первом приближении можно считать, что вероятность появления гласной на (k+1)-м месте зависит лишь от того, гласной или согласной является буква, стоящая на k-м месте. Но, как всегда бывает с глубокими научными результатами, в дальнейшем были обнаружены гораздо более важные для практики области приложения марковских цепей (например, теория массового обслуживания). Из теории марковских цепей возникла общая теория случайных процессов, которая применяется при изучении лавинных процессов и других проблем.

А. А. Марков был страстным и убежденным борцом против произвола и несправедливости царского режима, выступал против попыток подчинить преподавание математики в школе религиозным взглядам. Он отказался от царских орденов, подал в Синод просьбу об отлучении от церкви, указав в ней, что не сочувствует всем религиям, которые, подобно православию, поддерживаются огнем и мечом и сами служат им. Резкие выпады против веры в чудеса содержатся в учебнике А. А. Маркова «Исчисление вероятностей», опубликованном в дореволюционное время. После выхода книги ученого обвинили в безбожии и «подрыве основ». От преследований его избавил лишь крах царского режима.

------------------------------------------

В теории вероятностей и ее применениях важную роль играют числовые характеристики случайных величин – математическое ожидание и дисперсия. Мы дадим их определение для дискретных случайных величин. Пусть x₁, x₂,... - возможные значения случайной величины ξ и p₁, p₂,... - вероятности этих значений, тогда сумма

называется математическим ожиданием ξ, а E(ξ - Eξ)² = Dξ - дисперсией ξ.

П.Л. Чебышев доказал закон больших чисел в очень общей форме, а именно: пусть ξ₁, ξ₂, ... - последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями a₁, a₂,... и дисперсиями Dξ_k, ограниченными одной и той же величиной C, тогда для любого положительного ε > 0 выполняется

.

Вторая предельная теорема получила наименование теоремы Ляпунова, или центральной предельной теоремы: если случайные величины ξ₁, ξ₂, ... независимы, имеют конечные математические ожидания a₁, a₂,... и дисперсии Dξ_k = b²_k, то при дополнительном условии равномерной малости отдельных слагаемых имеет место:

,

где .

Эта теорема является значительным обобщением интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

В нашем веке в связи с физическими, биологическими, инженерными и другими исследованиями возникла необходимость рассматривать случайные процессы ξ(t), т.е. случайные функции от одного независимого переменного t, под которым обычно понимается время.

Теория случайных процессов в наши дни является одним из основных математических средств изучения явлений реального мира.

Первые задачи теории вероятностей были рассмотрены Л. Пачоли (1445-ок. 1514), Д. Кардано (1501-1576), Н. Тарталья (ок. 1499-1557), Б. Паскалем (1623-1662), П. Ферма (1601-1665), X. Гюйгенсом (1629-1695). В качестве самостоятельной научной дисциплины теория вероятностей стала оформляться в работах Я. Бернулли (1654-1705), А. Муавра (1667-1754), П. Лапласа (1749-1827), С. Пуассона (1781-1840). Ее последующее развитие связано с именами П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, А. М. Ляпунова (1857-1918), А. Я. Хинчина (1894-1959), С. Н. Бернштейна (1880-1968), А. Н. Колмогорова (1903-1987) и других.

Несложно вычертить вивиану на поверхности деревянного цилиндра. Для этого нужно взять циркуль с раствором, равным диаметру цилиндра, и, воткнув иглу в цилиндр, двигать грифель по его поверхности.

Основные функциональные элементы современных вычислительных машин, или компьютеров (от английского слова compute вычислять, подсчитывать), выполнены на электронных приборах, поэтому их называют электронными вычислительными машинами, или сокращенно ЭВМ.

По способу представления информации вычислительные машины делят на три группы:  

- аналоговые вычислительные машины (АВМ), в которых информация представляется в виде непрерывно изменяющихся переменных, выраженных какими-либо физическими величинами;

- цифровые вычислительные машины (ЦВМ), в которых информация представляется в виде дискретных значений переменных (чисел), выраженных комбинацией дискретных значений какой-либо физической величины (цифр);

- гибридные вычислительные машины, в которых используются оба способа представления информации.

Каждый из этих способов представления информации имеет свои преимущества и недостатки. ЦВМ распространены более всего потому, что точность их результатов в принципе не зависит от точности, с которой они изготовлены. Этим объясняется и тот факт, что первое аналоговое вычислительное устройство – логарифмическая линейка – появилась только в XVII в., а самыми древними цифровыми средствами для облегчения вычислений были человеческая рука и камешки. Благодаря счету на пальцах возникли пятеричная и десятичная системы счисления.

Более поздними изобретениями для счета были бирки с зарубками и веревки с узелками. Первым устройством, специально предназначенным для вычислений, был простой абак, с которого и началось развитие вычислительной техники. Счет на абаке, известный уже в Древнем Египте и Древней Греции задолго до нашей эры, просуществовал вплоть до XVI- XVII вв., когда его заменили письменные вычисления. Заметим, что абак служил не столько для облегчения собственно вычислений, сколько для запоминания промежуточных результатов. Известно несколько разновидностей абака: греческий (египетский) абак в виде дощечки, на которой проводили линии и в получившиеся колонки клали камешки; римский абак, на котором камешки могли передвигаться по желобкам; китайский суан-пан и японский соробан с шариками, нанизанными на прутики; счетные таблицы, состоявшие из горизонтальных линий, соответствующих единицам, десяткам, сотням и т.д., и вертикальных, предназначенных для отдельных слагаемых и сомножителей; на эти линии выкладывались жетоны (до четырех). Русский абак – счеты появились в XVI-XVII вв., ими пользуются и в наши дни. Русские счеты стоят на особом месте среди разновидностей абака, так как они используют десятичную, а не пятеричную систему счисления, как все остальные абаки. Основная заслуга изобретателей абака состоит в создании позиционной системы представления чисел (см. Система счисления).

Называется он так потому, что каждый член гармонического ряда, начиная со второго, равен среднему гармоническому двух соседних (см. Средние значения). Члены гармонического ряда с возрастанием номера убывают и стремятся к нулю, однако частичные суммы S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n неограниченно возрастают. Чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что

S₁ = 1, S₂ = 1 + 1/2,

S₄ = S₂ + (1/3 + 1/4) > S₂ + (1/4 + 1/4) = 1 + 1/2,

S₈ = S₄ + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) > S₄ + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) = 1 + 3/2.

Продолжая эти рассуждения, приходим к выводу, что сумма 2^k членов гармонического ряда больше, чем 1 + 2/k. Отсюда следует, что частичные суммы гармонического ряда неограниченно возрастают, т.е. гармонический ряд является расходящимся (см. Ряд). Однако этот рост идет очень медленно. Л. Эйлер, изучавший свойства гармонического ряда, нашел, что

S₁₀₀₀ ≈ 7,48, а S_1000000 ≈ 14,39.

Более того, Эйлер установил замечательную зависимость для частичных сумм гармонического ряда, показав, что существует предел разности S_n - ln n, т.е. .

Число C в его честь называется постоянной Эйлера, она приближенно равна 0,5772 (сам Эйлер, исходя из других соображений, вычислил C с точностью до 15 знаков).

Представим себе «лесенку», сложенную из n одинаковых кирпичей, следующим образом: второй кирпич подложен под первый так, что центр тяжести первого приходится на правый край второго, затем под эти два кирпича подложен третий так, что общий центр тяжести первых двух приходится на правый край третьего и т.д. (рис. 1). У такой «лесенки» центр тяжести проецируется в точку A, следовательно, «лесенка» не упадет. Если длина кирпича l, то 1-й окажется сдвинутым относительно 2-го на l/2, 2-й окажется сдвинутым относительно 3-го на l/4, (k+1)-й относительно k-го на l/2k, и вся «лесенка» будет сдвинута вправо на

Δ_n = l/2(1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/(n-1)).

Рис. 1

Выражение в скобках есть частичная сумма S_n-1 гармонического ряда. Следовательно, указанным способом можно сложить «лесенку», сдвинутую сколь угодно далеко вправо. Однако, как было замечено, Δ_n растет очень медленно. Например, если сложить 1000 кирпичей, то Δ₁₀₀₀ составит всего лишь 3,8 длины кирпича.

Каждый член геометрической прогрессии с положительными членами, начиная со второго, равен среднему геометрическому последующего, и предыдущего членов: . Этот факт отражается в названии рассматриваемой последовательности: геометрическая прогрессия. Верно и более общее свойство:  при n > k.

Справедливы следующие формулы (через S_n обозначена сумма первых n членов геометрической прогрессии):

b_n = b₁q^n-1, (1)

 при q ≠ 1.   (2)

При q = 1 геометрическая прогрессия одновременно является и арифметической прогрессией, при этом S_n = nb₁.

При |q|<1 существует предел суммы первых n членов геометрической прогрессии при n → ∞, называемый суммой бесконечно убывающей прогрессии. Из формулы (2) нетрудно усмотреть, что этот предел равен S = b₁/ (1 -q). (3)

В своих сочинениях древнегреческий ученый Архимед неоднократно возвращался к вопросу о вычислении сумм прогрессий. Например, в трактате «О квадратуре параболы» он рассматривает задачу, эквивалентную задаче о нахождении суммы бесконечно убывающей прогрессии a,b,c,d,e,..., знаменатель которой равен 1/4. Архимед решает эту задачу так: из определения прогрессии имеем a = 4b, b = 4c, c = 4d, ..., поэтому

b + c + d + e + ...1/3(b + c + d + e + ...) =

4/3(b + c + d + e + ...) = 1/3(4b + 4c + 4d + 4e + ...) =

1/3(a + b + c + d + ...)

откуда b + c + d + e + ... = 1/3 a и a + b + c + d + e + ...= 4/3 a.

Если q > 1, то члены геометрической прогрессии быстро растут. В результате при сравнительно небольших номерах n получаются числа-гиганты. С древнейших времен известны задачи и легенды, связанные с неправдоподобной на первый взгляд скоростью роста членов геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16 …. Одна из наиболее известных легенд – легенда об изобретателе шахмат.

Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сета) и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую два, за третью еще в два раза больше, т. е. четыре, за четвертую – еще в два раза больше и т.д. Эта задача привлекла внимание Л. Н. Толстого. Приведем часть его расчета (шахматная доска здесь названа шашечницей): «Клеток в шашечнице 8 с одной стороны и 8 с другой; 8 рядов по 8 = 64

на 1-ю 1,     на 33-ю 4 294 967 296

на 2-ю 2,     на 34-ю 8 589 934 592

на 3-ю 4,     на 35-ю 17 179 869 184

на 4-ю 8,     на 36-ю 34 359 738 368

………………………………………………

на 62-ю    2 305 843 009 213 693 952

на 63-ю    4 611 686 018 427 387 904

на 64-ю    9 223 372 036 854 775 808

Если 40 000 зерен в одном пуде, то на одной последней клетке вышло 230 584 300 921 369 пудов». Общее число зерен составит число 18 446 744 073 709 551 615.

Формулы (1), (2), (3) остаются справедливыми и для геометрических прогрессий с комплексными числами. Например, с помощью формулы (3) для прогрессии, у которой

q = b₁ = cos φ + i sin φ,

и формулы Муавра

(cos φ + i sin φ)ⁿ = cos nφ + i sin nφ

легко получить формулы

,

.

Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим количеством отходов? Каких размеров должен быть ящик, чтобы при заданном расходе материала его объем был наибольший? В каком месте следует построить мост через реку, чтобы дорога, проходящая через него и соединяющая два города, была кратчайшей?

Эти задачи (им легко можно придать геометрический вид) имеют большое практическое значение. С их помощью можно решить важный во всяком деле вопрос, как, по словам русского математика П. Л. Чебышева, «располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды». Уметь решать подобные задачи очень важно, и поэтому они привлекают большое внимание математиков.

Самая простая и, вероятно, самая древняя геометрическая задача на экстремум такая: какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решение ее было известно древнегреческой математике. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида (см. Евклид и его «Начала»), где доказывается, что если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше. Доказательство очень простое, оно основано на сравнении площадей (рис. 1). Площадь прямоугольника равна S₀ + S₁, а площадь квадрата S₀ + S₂ и S₁ < S₂, если x < a. Таким образом, мы получаем, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. В решении Евклида, во-первых, указан ответ (квадрат) и, во-вторых, доказано, что по площади он превосходит все другие возможные фигуры (прямоугольники данного периметра). Именно так понимается в математике решение задачи на экстремум: дать ответ и доказать его экстремальное свойство.

Рис. 1

Рассмотренная задача относится к широкому классу геометрических задач на экстремум так называемым изопериметрическим задачам, в которых фигура с экстремальным свойством отыскивается среди других с равным периметром. Изопериметрические задачи рассматривались древнегреческим математиком Зенодором, жившим во ІI-I вв. до н.э. Ему приписывают, например, доказательство следующих утверждений:

из всех многоугольников с равным периметром и равным числом сторон наибольшую площадь имеет правильный многоугольник;

из двух правильных многоугольников с равным периметром большую площадь имеет тот, у которого число углов больше.

Зенодор также формулирует изопериметрическое свойство круга: из всех плоских фигур с равным периметром наибольшую площадь имеет круг, но полным доказательством этого свойства греческая математика не располагала. Строгое доказательство было дано только в XIX в.

Изопериметрические задачи объединяют также еще одним названием - «задачи Дидоны».

Они названы так по имени легендарной основательницы города Карфагена и его первой царицы. Согласно легенде, вынужденная бежать из своего родного города, Дидона вместе со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей землю для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узкие ремешки и, разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь по сравнению с той, которую можно было покрыть одной воловьей шкурой.

Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу моря, то математическую задачу, с которой она столкнулась, можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая длины l, чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой и заданной линией Г, была наибольшей? (Рис. 2.)

Рис. 2

В некоторых частных случаях задача Дидоны имеет простое решение. Например, если береговая линия есть прямая и ограничиваемый участок прямоугольной формы (рис. 3), то наибольшую площадь будет иметь прямоугольник с длинами сторон l/4 и l/2, примыкающий большей стороной к береговой линии. Решать задачу можно, используя, например, свойства квадратного трехчлена.

Рис. 3

В общем случае, когда береговая линия – кривая Г – произвольной формы, задача Дидоны очень сложна и решается с привлечением понятий и методов математического анализа (см. Дифференциальное исчисление). Решение ее относится к специальному разделу высшей математики, так называемому вариационному исчислению.

Заметим, что в математическом анализе разработаны очень сильные общие способы решения задач на экстремум (нахождение экстремумов функций). Геометрические задачи на экстремум могут быть сведены к алгебраическим и также решены методами математического анализа. Однако иногда эти задачи удается решить элементарными методами, при этом решения бывают весьма изящны и поучительны.

Одним из сильных методов решения геометрических задач на экстремум является применение неравенств, в частности неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (см. Средние значения). Для примера рассмотрим такую задачу: каких размеров должен быть ящик (прямоугольный параллелепипед), чтобы при заданной площади поверхности его объем был наибольшим? Пусть a,b,c - длины трех ребер (рис. 4), S - площадь полной поверхности, V - объем. Очевидно, что S = 2(ab+bc+ac), а V = abc. Если заметить, что сумма трех величин ab,bc,ac равна S/2, а их произведение равно V², и применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, то будем иметь:

, т.е.

V^2/3 ≤ S/6 или V ≤ (S/6)^3/2.

Рис. 4

Как следует из теоремы о среднем, знак равенства достигается лишь в случае ab = bc = ac, т. е. при a = b = c, и при этом значение объема V принимает наибольшее возможное значение. Отсюда заключаем, что среди всех ящиков с заданной площадью полной поверхности наибольший объем имеет ящик кубической формы.

Назовем еще метод симметрии, эффективный при решении некоторых геометрических задач на экстремум. Суть его применения станет ясна, если мы рассмотрим такую простую задачу: на прямой a требуется найти такую точку M, чтобы сумма расстояний от нее до точек A и B, лежащих по одну сторону от прямой, имела наименьшее возможное значение (рис. 5).

Рис. 5

Пусть точка A' симметрична точке A относительно прямой a, а точка M - точка пересечения прямых A'B и a. Точка M и будет искомой. Действительно,

|AM| + |MB| = |A'M| + |MB| = |A'B|.

Для любой другой точки P прямой a справедливо неравенство:

|AP|+|PB|=|A'P|+|PB|>|A'B|

(последнее следует из того, что ломаная длиннее отрезка, соединяющего ее концы).

Решение этой задачи приписывают Герону Александрийскому, жившему в I в. Решал он, правда, физическую задачу: если в точке A находится источник света, а в точке B - глаз, то в какой точке M отразится от плоского зеркала выходящий из точки A световой луч, если известно, что угол падения равен углу отражения? (Последний факт был известен задолго до Герона Александрийского).

Как легко заметить, построенная выше точка M как раз такова, что угол между прямыми AM и a равен углу между прямыми MB и a, т.е. точка M и будет точкой отражения светового луча.

Из решения этой задачи Герон сделал такой вывод: отражаемый луч света выбирает кратчайший возможный путь между источником света и глазом. Заметим, что это один из первых примеров в истории науки, когда при описании физического явления использовался «принцип минимума», согласно которому природа всегда стремится избрать наиболее экономный способ.

В школе изучают ряд простейших построений циркулем и линейкой (односторонней, без делений): построение прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярной или параллельной данной прямой, деление отрезка на несколько равных частей, деление пополам заданного угла.

А вот пример уже более сложной задачи: «Построить треугольник по высоте, биссектрисе и медиане, выходящим из одной его вершины».

Как нетрудно убедиться, построение возможно лишь в том случае, если длины высоты h, биссектрисы b и медианы m либо одинаковы, либо удовлетворяют соотношению h < b < m; в противном случае искомого треугольника не существует.

Если провести на плоскости произвольную прямую l и восставить из некоторой ее точки H перпендикуляр к этой прямой, а затем отложить на нем отрезок AH длины h, то можно считать, что точка A - одна из вершин искомого треугольника, а прямая l будет содержать его основание. Отметив точки K и M пересечения прямой l с окружностями радиусов b и m, центры которых находятся в точке A (рис. 1), и проведя их радиусы AK и AM, находят биссектрису и медиану нашего треугольника. (Заметим, что биссектриса всегда лежит между медианой и высотой.)

Рис. 1

Движения связаны с понятием равенства (конгруэнтности) фигур: две фигуры F и G плоскости а называются равными, если существует движение этой плоскости, переводящее первую фигуру во вторую. Фактически это определение использовал еще Евклид (см. Геометрия), называвший две фигуры равными, если одну из них можно наложить на другую так, чтобы они совпали всеми своими точками; под наложением здесь следует понимать перекладывание фигуры как твердого целого (без изменения расстояний), т.е. движение.

Примерами движений плоскости являются осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, поворот. Как пример, напомним определение параллельного переноса. Пусть  - некоторый вектор плоскости α. Геометрическое преобразование, переводящее каждую точку A ∈ α в такую точку A' что  (рис. 1), называется параллельным переносом на вектор . Параллельный перенос является движением: если точки A и B переходят в A' и B', т.е. , , то , и потому |A'B'| = |AB|.

Рис. 1

При решении геометрических задач с помощью движений часто применяется свойство сохранения пересечения: при любом движении f пересечение фигур переходит в пересечение их образов, т.е. если P,Q - произвольные фигуры, то фигура P ∩ Q переходит в результате движения f в фигуру f(P) ∩ f(Q). (Аналогичное свойство справедливо для объединения.)

Задача 1. Окружность, центр которой принадлежит биссектрисе угла, пересекает его стороны в точках A,B,C и D (рис. 2). Доказать, что |AB|=|CD|.

Рис. 2

Решение. Обозначим через P одну из сторон угла, а через Q - круг, границей которого является рассматриваемая окружность. При симметрии s относительно биссектрисы угла луч P переходит в луч P', который образует вторую сторону угла, а круг Q переходит в себя: s(P) = P', s(Q) = Q. Согласно свойству сохранения пересечения фигура P ∩ Q переходит в s(P) ∩ s(Q), т. е. в P'∩Q. Иначе говоря, отрезок AB переходит в отрезок CD, и потому |AB|=|CD|.

Задача 2. Через точку A, данную внутри угла (меньшего, чем развернутый), провести прямую, отрезок которой, заключенный между сторонами угла, делится в этой точке пополам.

Решение. Обозначим через z симметрию относительно точки A, а через P и Q - прямые, на которых лежат стороны угла (рис. 3). В результате симметрии z прямая P переходит в параллельную ей прямую P' которая пересекает вторую сторону угла в точке C. Так как C ∈ P', то точка D, симметричная C, принадлежит прямой, которая симметрична P', т.е. D ∈ P. Таким образом, точки D ∈ P и C ∈ Q симметричны относительно A, и потому отрезок CD делится в точке A пополам, т.е. прямая CD - искомая.

Рис. 3

Нетрудно понять, почему в задаче 1 была применена осевая, а в задаче 2 – центральная симметрия. Так как биссектриса угла – его ось симметрии, то попытка применить осевую симметрию в задаче 1 совершенно естественна (так же, как и применение центральной симметрии в задаче 2, поскольку отрезок CD должен делиться в точке A пополам, т.е. искомые точки C и D должны быть симметричными относительно точки A). И в других случаях анализ условия задачи позволяет найти движение, применение которого дает решение.

Задача 3. На сторонах AB и BC треугольника ABC построены вне его квадраты ABMQ и BCPN. Доказать, что отрезок MN перпендикулярен медиане BD треугольника ABC и вдвое длиннее этой медианы.

Решение. Попытаемся применить поворот на 90°, т. е. убедиться, что при повороте на 90° вокруг точки B (по часовой стрелке) отрезок MN перейдет в отрезок, параллельный BD и имеющий вдвое большую длину. При этом повороте вектор  переходит в  (рис. 4), а вектор  в . Следовательно, вектор  переходит в , т. е. в . Но так как , то . Итак, при повороте на 90° вектор  переходит в , т.е. в вектор, равный . Отсюда вытекает, что  и |MN| = 2|BD|.

Рис. 4

Весьма существенна связь движений с ориентацией. На рис. 5 изображен многоугольник F, на контуре которого задано положительное направление обхода (против часовой стрелки). При параллельном переносе получается многоугольник с тем же направлением обхода, т.е. параллельный перенос сохраняет направление обхода, или, как говорят, сохраняет ориентацию. Поворот (в частности, центральная симметрия, представляющая собой поворот на 180°) также сохраняет ориентацию (рис. 6). Напротив, осевая симметрия меняет направление обхода на противоположное (рис. 7), т.е. меняет ориентацию. Другой пример движения, меняющего ориентацию – скользящая симметрия, т.е. композиция симметрии относительно некоторой прямой l и параллельного переноса, вектор которого параллелен l (рис. 8).

Рис. 5

Рис.6

Рис. 7

Рис. 8

Французский механик и геометр XIX в. М. Шаль сформулировал следующую теорему: всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом; всякое меняющее ориентацию движение плоскости является либо осевой, либо скользящей симметрией.

Задача 4. Доказать, что композиция двух осевых симметрий с пересекающимися осями представляет собой поворот.

Решение. Пусть s₁ и s₂ - осевые симметрии, оси которых (прямые l₁ и l₂) пересекаются в точке O. Так как оба движения s₁,s₂ меняют ориентацию, то их композиция s₂ ∘ s₁ (сначала выполняется s₁, затем s₂) является движением, сохраняющим ориентацию. По теореме Шаля, s₂ ∘ s₁ есть либо параллельный перенос, либо поворот. Но так как при каждом движении s₁,s₂ точка O неподвижна, то и при их композиции точка O остается на месте. Следовательно, s₂ ∘ s₁ есть поворот вокруг точки O. Как найти угол поворота, понятно из рис. 9: если φ - угол между прямыми l₁ и l₂, то (поскольку точка A ∈ l₁ переводится движением s₁ в себя, а движением s₂ - в симметричную относительно l₂ точку B) движение s₂ ∘ s₁, переводящее A в B, представляет собой поворот (вокруг точки O) на угол 2φ.

Рис. 9

Следующую по важности группу геометрических преобразований плоскости составляют преобразования подобия. Наиболее простое из них – гомотетия. Напомним, что гомотетией с центром O и коэффициентом k ≠ 0 называется геометрическое преобразование, которое произвольно взятую точку A переводит в такую точку A', что  (рис. 10). Гомотетия переводит каждую прямую в параллельную ей прямую, каждую окружность снова переводит в окружность. Гомотетия сохраняет углы, а все длины увеличивает в |k| раз: если при гомотетии точки A,B переходят в A'B', то |A'B'| = |k|·|AB|. Из этого вытекает, что гомотетия сохраняет форму (но не размеры) фигур; если, например, k > 1, то фигура F', в которую переходит фигура F при гомотетии с центром O и коэффициентом k, представляет собой увеличенную копию фигуры F (рис. 10), а если 0 < k < 1 - уменьшенную копию.

Рис. 10

Поскольку при гомотетии все длины изменяются в одинаковое число раз, отношение длин не меняется. На этом основаны различные способы оценки расстояний; например, зная длину руки и длину большого пальца и прикинув, сколько раз большой палец вытянутой руки укладывается в видимом образе предмета, можно найти отношение высоты вертикального предмета к расстоянию до него (на рис. 11 имеем |AB| : |BO| = |A'B'| : |B'O|, откуда, измерив |BO|, можно найти |AB|, а потому и высоту трубы, которая примерно втрое больше |AB|).

Рис. 11

Задача 5. Построить квадрат, вписанный в данный сектор (две вершины квадрата лежат на одном радиусе, третья – на другом, четвертая – на дуге сектора).

Решение. Пусть ABCD и A₁B₁C₁D₁ (рис. 12) – два квадрата, вписанные в угол MON. При гомотетии с центром O, переводящей точку B в B₁, (коэффициент этой гомотетии равен k = |OB₁|/|OB|), отрезок AB переходит в отрезок A₁B₁, а потому квадрат ABCD переходит в квадрат A₁B₁C₁D₁ (поскольку углы, а также отношение отрезков сохраняются). Из этого вытекает, что вершины C и C₁, лежат на одном луче, исходящем из точки O. Теперь ясно, что, построив какой-нибудь квадрат ABCD, вписанный в угол MON, и проведя луч OC, мы сможем найти вершину C' искомого квадрата (т.е. точку пересечения луча OC с дугой MN сектора), а затем достроить искомый квадрат (рис. 13).

Рис. 12

Рис. 13

Преобразование f плоскости α называется подобием с коэффициентом k>0, если для любых точек A,B плоскости α расстояние между точками f(A) и f(B) равно k·|AB|. Любое подобие (как и гомотетия – частный случай подобия) сохраняет углы, а также отношение длин, т.е. сохраняет форму фигур. Однако, в отличие от гомотетии, подобие может переводить прямую l в прямую l', не параллельную ей.

На рис. 14 изображены два плана P и P₁, одного и того же участка местности, выполненные в разных масштабах и по-разному лежащие на плоскости. Эти планы представляют собой подобные, но не гомотетичные фигуры; например, прямая AB и соответствующая ей прямая A₁B₁ не параллельны. Чтобы получить план P₁, исходя из плана P, можно поступить так: сначала повернуть план P, чтобы его стороны стали параллельными сторонам плана P₁, а затем применить гомотетию. Иначе говоря, план P₁, подобный P, получается из P при помощи композиции движения (поворота) и гомотетии.

Рис. 14

Указанное обстоятельство является общим, т.е. всякое подобие g представляется в виде композиции h ∘ f, где f - движение, а h - гомотетия. Из этого ясно, что при решении задач методом подобия можно ограничиваться лишь рассмотрением гомотетии (сопровождаемой некоторым движением). Это имеет определенные удобства: вспомните, с каким напряженным вниманием отыскиваются соответственные стороны по-разному расположенных подобных треугольников при выписывании равенства отношений сторон (и с какой легкостью выписываются эти отношения для гомотетичных треугольников).

Задача 6. Стороны треугольника ABC связаны соотношением a² = c(b+c). Доказать, что угол A вдвое больше угла C.

Решение. Пусть D - такая точка прямой AB, что |AD| = b, причем A лежит между B и D (рис. 15). Тогда треугольник ACD - равнобедренный, и потому ∠1 = ∠2; кроме того, |BD| = b + c. При симметрии относительно биссектрисы угла B точки A и C перейдут в такие точки A' и C', что |BA'| = |BA| = c, |BC'| = |BC| = a; кроме того ∠3 = ∠4. Равенство a² = c(b+c) можно переписать в виде

(b + c)/a = a/c, т.е. |BD|/|BC| = |BC'|/|BA'|,

откуда следует, что при гомотетии с центром B и коэффициентом k = |BD|/|BC'| точки D,C переходят в C',A'. Следовательно DC||C'A' и потому ∠2 = ∠4, т.е. ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4. Так как BAC - внешний угол треугольника ACD, то он равен сумме углов ∠1  и ∠2 , т.е. равен удвоенному углу C.

Рис. 15

В заключение рассказа о преобразованиях подобия заметим, что они составляют группу преобразований и потому (см. Геометрия) согласно Эрлангенской программе определяют «свою» геометрию. Инвариантами этой группы (т.е. теми свойствами, которые сохраняются при всех преобразованиях подобия и изучаются в геометрии подобий) являются угол, отношение длин двух отрезков, параллельность двух прямых и т.д. Хотя длина отрезка уже не сохраняется, но в силу сохранения отношения длин в геометрии подобий можно говорить о равнобедренном треугольнике (т.е. о треугольнике, в котором отношение длин боковых сторон равно 1). Теорема о том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, сохраняется и в геометрии подобий. Сохраняется также теорема Пифагора (в форме (a/c)² + (b/c)² = 1, где a/c и b/c - отношения длин катетов к длине гипотенузы) и т.п.

Однако не следует думать, что геометрия подобий ничем, кроме формы изложения, не отличается от евклидовой геометрии. Существуют факты, которые отличают эти две геометрии. Например, условимся говорить, что линия L может скользить но себе, если для любых двух точек A,B этой линии найдется преобразование f (принадлежащее группе, задающей рассматриваемую геометрию), которое переводит линию L в себя, а точку A - в B. В геометрии Евклида (т.е. в геометрии, определяемой группой движений плоскости) существуют только два типа связных линий (т.е. состоящих из одного куска), которые могут скользить по себе: прямые и окружности. А в геометрии подобий существуют линии, отличные от прямых и окружностей, которые могут скользить по себе; это – логарифмические спирали, определяемые в полярных координатах уравнением ρ = ρ₀e^kφ (рис. 16).

Рис. 16

Еще один необычный факт геометрии подобий мы получим, рассматривая преобразование g = h ∘ r, где r - поворот вокруг точки O на угол φ₀, а h - гомотетия с центром O и коэффициентом k₀ > 0. Пусть ..., A_-2,A_-1,A₀,A₁,A₂... - последовательность точек, переходящих друг в друга при преобразовании g, т.е. g(A_i) = A_i+1 при любом целом i (рис. 17). Эти точки лежат на одной логарифмической спирали, причем для любого целого i угол A_iOA_i+1 имеет одну и ту же величину φ₀. Последовательно соединяя эти точки, мы получим бесконечную ломаную линию ..., A_-2,A_-1,A₀,A₁,A₂..., которая переводится преобразованием g в себя, причем каждая вершина A_i переводится в соседнюю вершину A_i+1.

Рис. 17

Заметим, что рассмотренное преобразование подобия g = h ∘ r (его называют поворотным растяжением) имеет тесную связь с комплексными числами. Комплексное число z = x + iy можно представить в виде направленного отрезка, идущего из начала координат в точку (x;y). При таком геометрическом изображении комплексные числа складываются как векторы (рис. 18). А для получения геометрической интерпретации умножения комплексных чисел удобно поворотное растяжение g = h ∘ r, рассмотренное выше. Именно, пусть z = x + iy - некоторое комплексное число, ρ - его модуль (т.е. длина изображающего отрезка), а φ - аргумент (т.е. угол наклона изображающего направленного отрезка к положительной части оси абсцисс). Число z получается из числа 1, если, во-первых, вектор, изображающий число 1, растянуть в ρ раз, и, во-вторых, повернуть его на угол φ (рис. 19), т. е. вектор z получается из вектора 1 преобразованием g = h ∘ r = r ∘ h, где h - гомотетия с центром в начале и коэффициентом ρ, а r - поворот вокруг начала на угол φ. Итак, z = g(1). Если теперь z' = x' + iy' - другое комплексное число, то при применении преобразования g (т. е. при растяжении изображающего вектора в ρ раз и повороте его на угол φ) число z' переходит в z" (рис. 19). Можно сказать и иначе: треугольники на рис. 19 подобны. Это и дает геометрическую интерпретацию умножения комплексных чисел. Из сказанного ясно, что при умножении всех комплексных чисел на одно и то же комплексное число z вся плоскость комплексных чисел подвергается поворотному растяжению. В частности, для любых трех комплексных чисел z₀,z₁,z₂ мы имеем z₂ - z₀ = z(z₁ - z₀), где z - комплексное число, модуль которого равен отношению длин векторов z₂ - z₀ и z₁ - z₀, а аргумент равен углу между этими векторами (рис. 20).

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

Задача 7. На сторонах треугольника A₁A₂A₃ построены вне его подобные между собой треугольники A₁B₁A₂, A₂B₂A₃, A₃B₃A₁. Доказать, что точка пересечения медиан ΔB₁B₂B₃ совпадает с точкой пересечения медиан ΔA₁A₂A₃.

Решение. Обозначим через a₁,a₂,a₃,b₁,b₂,b₃ комплексные числа, изображаемые векторами , , , , , . Тогда a₂ - b₁ = z(a₁ - b₁), a₃ - b₂ = z(a₂ - b₂), a₁ - b₃ = z(a₃ - b₃), где z - комплексное число, модуль которого равен отношению боковых сторон рассматриваемых подобных треугольников, а аргумент равен φ (рис. 21). Складывая эти равенства, получаем (после очевидных упрощений):

(z-1)(b₁ + b₂ + b₃) = (z-1)(a₁ + a₂ + a₃) .

Рис. 21

Так как z ≠ 1 (поскольку аргумент φ числа z отличен от нуля), то отсюда следует, что b₁ + b₂ + b₃ = a₁ + a₂ + a₃. Переходя к векторным обозначениям и деля на 3, получаем

,

а это и означает, что точки пересечения медиан ΔB₁B₂B₃ и ΔA₁A₂A₃ совпадают (см. Вектор).

Расскажем коротко и о других преобразованиях, играющих важную роль в современной геометрии. Преобразование f евклидовой плоскости называется аффинным, если оно каждую прямую переводит снова в прямую, а параллельные между собой прямые – снова в параллельные (рис. 22). Если на плоскости введена система координат, то аффинное преобразование задается линейными соотношениями, т.е. точка A'(x';y'), в которую переходит точка A(x;y), определяется формулами

,

где ad - bc ≠ 0 (и обратно: такими формулами задается некоторое аффинное преобразование). Далее, если A,B,C - три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, и A', B', C' - три другие точки, также не лежащие на одной прямой, го существует, и притом только одно, аффинное преобразование, переводящее точки A,B,C соответственно в A', B', C'. Отметим, что длины и углы могут изменяться при аффинных преобразованиях. Не сохраняется (в отличие от преобразований подобия) и отношение длин отрезков. Однако отношение длин двух параллельных отрезков сохраняется при любом аффинном преобразовании. В частности, середина отрезка переходит при аффинном преобразовании снова в середину отрезка, параллелограмм переходит в параллелограмм, медиана треугольника в медиану и т. п. Круг при аффинном преобразовании переходит в эллипс, причем из отмеченных выше свойств аффинных преобразований легко следует, что середины параллельных между собой хорд эллипса лежат на одном отрезке, проходящем через центр эллипса (рис. 23).

Рис. 22

Рис. 23

Все аффинные преобразования плоскости, вместе взятые, образуют группу преобразований, и потому (см. Геометрия) они определяют некоторую геометрию. Она называется аффинной геометрией. Инвариантами этой группы (т.е. теми свойствами фигур, которые изучаются в аффинной геометрии) являются прямолинейное расположение точек, параллельность, отношение длин параллельных отрезков и другие свойства, получаемые из этих (например, наличие у фигуры центра симметрии). Не говоря более подробно об этой геометрии, покажем на примерах, как отмеченные выше свойства аффинных преобразований могут быть применены при решении задач.

Задача 8. Доказать, что в произвольной трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Решение. Для равнобочной трапеции это очевидно (так как равнобочная трапеция симметрична относительной прямой, проходящей через середины оснований). Пусть теперь A'B'C'D' - произвольная трапеция и пусть ABCD - равнобочная трапеция с теми же длинами оснований (рис. 24). Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее точки A,B,C соответственно в A', B', C'. При этом преобразовании прямые AD, BC перейдут в A'D', B'C' (поскольку AD || BC, а параллельность прямых сохраняется). Далее, так как |AD| / |BC| = |A'D'| / |B'C'|, то точка D перейдет в D' (поскольку отношение параллельных отрезков сохраняется). Иначе говоря, трапеция ABCD перейдет в трапецию A'B'C'D'. Следовательно, прямолинейное расположение точек M,N,P,Q сохранится, т.е. в трапеции A'B'C'D' точки M',N',P',Q' также лежат на одной прямой.

Рис. 24

Задача 9. В треугольнике A'B'C' вписан эллипс и проведены три отрезка, каждый из которых соединяет вершину и точку касания эллипса с противоположной стороной. Доказать, что эти три отрезка пересекаются в одной точке.

Решение. Пусть f - аффинное преобразование, которое переводит некоторую окружность в рассматриваемый эллипс, и пусть ABC - треугольник, который при этом преобразовании переходит в ΔA'B'C'. Так как для вписанной окружности рассматриваемое свойство, как нетрудно доказать, справедливо (левая часть рис. 25), то оно справедливо и для вписанного эллипса (правая часть рисунка).

Рис. 25

В статье «Проективная геометрия» рассказано о том, как пополнение плоскости несобственными («бесконечно удаленными») точками превращает ее в проективную плоскость. Геометрические преобразования проективной плоскости, которые сохраняют прямолинейное расположение точек, называются проективными преобразованиями. Проективные преобразования задаются в координатах дробно-линейными формулами:

(1)

Более подробно: если π - евклидова плоскость, в которой задана система координат, а π^* - проективная плоскость, получающаяся из π присоединением несобственных элементов, то любое проективное преобразование плоскости π^* записывается в рассматриваемых координатах формулами (1) при условии, что точка A(x;y) и точка A'(x';y'), в которую она переходит, не являются несобственными.

Проективные преобразования образуют группу преобразований проективной плоскости. Согласно Эрлангенской программе, эта группа определяет некоторую геометрию – это и есть проективная геометрия. Инвариантами проективных преобразований (т.е. теми свойствами фигур, которые изучаются в проективной геометрии) являются прямолинейное расположение точек, ангармоническое отношение четырех точек, лежащих на одной прямой, и др.

Если A,B,C,D - четыре точки проективной плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и A',B',C',D' - другие четыре точки этой плоскости, из которых также никакие три не лежат на одной прямой, то существует, и притом только одно, проективное преобразование, которое переводит A,B,C,D соответственно в A',B',C',D'. Пользуясь перечисленными свойствами проективных преобразований, можно решать различные геометрические задачи.

Задача 10. Доказать, что точки M',N',P',Q' на рис. 26 лежат на одной прямой.

Рис. 26

Решение. Пусть p - проективное преобразование, переводящее K' и L' в несобственные точки; мы получим (в евклидовой плоскости) расположение точек, показанное на рис. 26 справа. В этом случае точки M,N,P,Q, очевидно, лежат на одной прямой (на средней линии полосы между прямыми l₁ и l₂). Применяя обратное преобразование p^-1 мы заключаем, что и на рис. 26 слева точки M',N',P',Q' лежат на одной прямой (поскольку при проективном преобразовании p^-1 сохраняется прямолинейное расположение точек).

Все рассмотренные выше преобразования сохраняли прямолинейное расположение точек (на евклидовой или на проективной плоскости). Иначе говоря, система всех прямых линий на плоскости переводится снова в эту же систему линий. Существует интересный класс преобразований, который обладает аналогичным свойством по отношению к другой системе линий. Именно: рассмотрим на плоскости (евклидовой) систему, состоящую из всех прямых линий и всех окружностей. Преобразования, которые эту систему линий переводят снова в эту же систему, называются круговыми преобразованиями. Иначе говоря, прямая переходит при круговом преобразовании либо снова в прямую, либо в некоторую окружность (и то же справедливо для окружности). Чуть ниже мы уточним одно соглашение относительно евклидовой плоскости, которое требуется при рассмотрении круговых преобразований, но вначале рассмотрим один важный пример кругового преобразования - так называемую инверсию.

Пусть задана некоторая точка O плоскости и некоторое положительное число R. Геометрическое преобразование, которое каждую отличную от O точку A плоскости переводит в такую точку A' луча OA, что |OA|·|OA'| = R², называется инверсией с центром O и радиусом R (рис. 27). Название «радиус» инверсии объясняется тем, что каждая точка окружности с центром O и радиусом R, очевидно, остается неподвижной при этом преобразовании (т. е. переходит в себя). Точки, лежащие внутри этой окружности (называемой окружностью инверсии), переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот. На этом основании инверсию часто называют симметрией относительно окружности. Инверсия является круговым преобразованием: каждая прямая или окружность переходит снова в прямую или окружность (рис. 28). Заметим теперь, что точка O (центр инверсии) не имеет образа при этом преобразовании, но если точка A приближается к O (не совпадая с ней), то соответствующая точка A' неограниченно удаляется от O. На этом основании условились считать, что на плоскости существует одна несобственная точка ∞, и при инверсии с центром O точка O переходит в ∞, а ∞ переходит в O. Плоскость, пополненная точкой ∞, называется круговой плоскостью (в отличие от проективной плоскости, которая получается присоединением не одной, а бесконечно многих несобственных точек). Теперь инверсия становится взаимно-однозначным преобразованием плоскости (круговой).

Рис. 27

Рис. 28

Помимо того что инверсия переводит систему всех прямых и окружностей снова в эту же систему, инверсия обладает еще рядом замечательных свойств, делающих ее важным инструментом при решении ряда геометрических задач. Основным из них является то, что инверсия сохраняет углы: если две линии l и m пересекаются под углом φ (т.е. угол между касательными к этим линиям в их общей точке равен φ), то образы l' и m' этих линий пересекаются под тем же углом φ. Если, в частности, окружность l ортогональна окружности инверсии, т.е. пересекает ее под прямым углом (о таких окружностях шла речь в конце статьи Лобачевского геометрия), то при инверсии эта окружность l переходит в себя (только части ее, лежащие внутри и вне окружности инверсии, меняются местами). Инверсия является важнейшим из круговых преобразований: можно доказать, что любое круговое преобразование плоскости является либо инверсией, либо подобием, либо композицией инверсии и подобия. Вместе взятые, круговые преобразования составляют группу преобразований, которая определяет на круговой плоскости своеобразную геометрию («круговую»).

Мы рассказали о наиболее важных геометрических преобразованиях плоскости. Можно рассматривать также геометрические преобразования трехмерного пространства, плоскости (или пространства) Лобачевского и других геометрических объектов. Заметим, в частности, что если f - движение трехмерного пространства R³, переводящее плоскость α ⊂ R³ в некоторую плоскость β, a p - центральное проектирование плоскости β на α из некоторой точки O (не принадлежащей плоскостям α и β), то композиция p ∘ f представляет собой проективное преобразование плоскости α (поскольку и f, и p переводят прямую снова в прямую). Оказывается, что в таком виде можно представить любое проективное преобразование плоскости α.

Знакомство с геометрическими преобразованиями и умение применять их является важным элементом математической культуры.

Возникновение геометрических знаний связано с практической деятельностью людей. Это отразилось и в названиях многих геометрических фигур. Например, название фигуры трапеция происходит от греческого слова trapezion - «столик», от которого произошло также слово «трапеза» и другие родственные слова. Термин «линия» возник от латинского linum - «лен, льняная нить».

Еще в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом (см. Аксиоматика и аксиоматический метод). Она непрерывно развивалась, обогащалась новыми теоремами, идеями, методами. Интересы геометров и направления их научных исследований порою менялись в процессе исторического развития этой науки, поэтому нелегко дать точное и исчерпывающее определение, что такое геометрия сегодня, каков ее предмет, содержание и методы.

В замечательной книге «Диалектика природы» Ф. Энгельс определил геометрию как науку о пространственных формах окружающего нас реального мира, т.е. как часть математики, изучающую свойства пространства. Это философское определение полностью отражало состояние геометрии в то время, когда жил и работал Ф. Энгельс. Но в наше время возникли и оформились новые важные разделы геометрии. Каждый из этих разделов имеет свою специфику, которая уже не всегда укладывается в определение геометрии, данное в прошлом веке Ф. Энгельсом. Крупный советский геометр академик А. Д. Александров, которому принадлежат работы не только по геометрии, но и в области философии математики, расширил рамки энгельсовского определения, сказав, что геометрия изучает пространственные и пространственноподобные формы и отношения реального мира. Что это значит и какое это имеет значение для школьной геометрии, попытаемся раскрыть в этой статье.

В III в. до н.э. древнегреческий ученый Евклид написал книгу под названием «Начала» (см, Евклид и его «Начала»). В этой книге Евклид подытожил накопленные к тому времени геометрические знания и попытался дать законченное аксиоматическое изложение этой науки. Написана она была настолько хорошо, что в течение 2000 лет всюду преподавание геометрии велось либо по переводам, либо по незначительным переработкам книги Евклида. Например, таким пособием был учебник А. П. Киселева, по которому советская школа работала до середины этого столетия.

Продуманное и глубоко логическое изложение геометрии, данное в книге Евклида, привело к тому, что математики не мыслили возможности существования геометрии, отличной от евклидовой. Немецкий философ-идеалист XVIII в. И. Кант и многие его последователи считали, что понятия и идеи евклидовой геометрии (единственно возможной, чуть ли не божественной) были заложены в человеческое сознание еще до того, как человек научился что-либо осознавать. Происхождение этой мысли Канта становится понятным, если мы проследим процесс возникновения геометрических знаний в сознании ребенка. Дети много тысяч раз видят, например, прототипы прямых линий в жизни: угол дома или обрез книжной страницы, натянутую нитку или луч света, край стола или двери – все это, запечатленное в сознании ребенка, делает его психологически подготовленным к восприятию понятия «прямая». То же относится к прямым углам и перпендикулярам (которые мы видим с детства на каждом шагу), окружностям (колесо, пуговица, солнечный диск, край тарелки или блюдца), параллелограммам и другим фигурам. Отраженные в сознании, эти представления подготавливают восприятие геометрических понятий. Учитель же систематизирует, упорядочивает эти представления и дает школьникам соответствующий термин, завершающий и закрепляющий образование понятия.

Прямая, проходящая через фокусы (рис. 1), и перпендикулярная ей прямая, равноотстоящая от фокусов, служат осями симметрии гиперболы, а точка их пересечения – ее центром симметрии, называемым также центром гиперболы. Если принять эти прямые за оси координат, выбрав в качестве оси абсцисс прямую, проходящую через фокусы F₁(c,0) и F₂(-c,0), то уравнение гиперболы запишется в виде:

x²/a² - y²/b² = 1, где .

Рис. 1

Точки (a,0) и (-a,0) называются вершинами гиперболы. Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат. Характерной ее особенностью является наличие асимптот – прямых

y = +(b/a)x и y = -(b/a)x,

к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

В том случае, когда угол между асимптотами – прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то ее уравнение запишется в виде y=k/x, т. е. в виде хорошо известного уравнения обратной пропорциональной зависимости.

Используя определение гиперболы, нетрудно изготовить простейший прибор для ее вычерчивания. Нужно взять линейку, нить и три кнопки. Две кнопки воткнуть в лист бумаги (рис. 2) – в этих точках будут фокусы гиперболы – и к ним привязать концы нити. Третью кнопку втыкают в линейку около ее края, привязав к ней нить недалеко от середины нити, но не в середине. Если теперь, прижимая нить к краю линейки кончиком карандаша и держа нить все время в натянутом состоянии, двигать карандаш, то его графит будет вычерчивать на бумаге одну из ветвей гиперболы. Заметим, что если нить привязать к третьей кнопке ровно в середине нити, то гипербола вырождается в прямую – срединный перпендикуляр отрезка F₁F₂.

Рис. 2

Гипербола, как и другие конические сечения, обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса (рис. 3). Если сделать зеркало, изогнув зеркально отполированный лист металла по дуге гиперболы, а на прямой, соответствующей фокусу гиперболы, поместить свечу (рис. 4), то наблюдатель, находящийся по ту же сторону от зеркала, что и свеча, увидит ее отражение как бы в одном и том же месте, точно так же, как и при отражении от плоского зеркала (вспомним, что прямая является частным случаем гиперболы и соответствующее зеркало будет плоским).

Рис. 3

Рис. 4

Еще пример зона слышимости звука пролетающего самолета. Если самолет движется со сверхзвуковой скоростью, то в воздухе зона слышимости образует конус (рис. 5). Поверхность Земли может приближенно считаться плоскостью, рассекающей этот конус.

Рис. 5

Если гиперболу вращать вокруг ее оси, проходящей через фокусы, то получающаяся поверхность будет называться двуполостным гиперболоидом, потому что состоит из двух полостей: одна – рассмотренная нами, а вторая получается от вращения второй ветви гиперболы (рис. 6). Если же вращать гиперболу вокруг второй се оси, то получится поверхность, называемая однополостным гиперболоидом (рис. 7). Такую форму имеют секции Шаболовской радиобашни в Москве.

Рис. 6

Рис. 7

Заметим, что зеркало прибора, описанного в книге А. Н. Толстого «Гиперболоид инженера Гарина», является не гиперболоидом, а параболоидом (см. Парабола). Возможно, что название «гиперболоид» А. Н. Толстой выбрал из-за того, что hyperbole в переводе с греческого означает «преувеличение».

Кроме функций sh x и ch x рассматриваются также гиперболические тангенс и котангенс, которые обозначаются th x и cth x; они определяются по формулам:

; .

Графики этих функций изображены на рис. 3.

Рис. 3

Название свое гиперболические функции получили потому, что они связаны с равнобочной гиперболой x² - y² = 1 так же, как функции синус и косинус связаны с единичной окружностью x² + y² = 1 (рис. 4 и 5). Если точка M лежит на единичной окружности, то ее абсцисса и ордината соответственно равны s = cos t, y = sin t. Для точки M', лежащей на гиперболе x² - y² = 1, абсциссу и ординату можно представить в виде x = ch t, y = sh t. Для окружности t равно углу AOM, но, кроме того, t также равно удвоенной площади сектора AOM. Последнее верно и для гиперболы, т.е. если t равно удвоенной площади гиперболического сектора AOM', то координаты точки M' равны x = ch t и y = sh t.

Рис. 4

Рис. 5

Гиперболические функции находят применение в электротехнике, строительной механике, сопротивлении материалов и др. С помощью гиперболических функций описывается, например, прогиб каната (цепи, проволоки, веревки); такая кривая называется цепной линией.

В руках у электрика можно увидеть таблицу, где для проводов различных диаметров указаны предельно допустимые значения силы тока, на парте школьника – таблицы логарифмов и тригонометрических функций... Все это примеры табличного представления функций. В выкладках и расчетах функции обычно задают с помощью формул.

У каждого способа представления функции есть свои достоинства. Словесный наиболее прост и доходчив, если, конечно, функцию удается описать простыми фразами. Формулы часто используют потому, что с ними удобно проводить вычисления, их можно преобразовывать и анализировать, выясняя свойства функции. Табличный способ предпочитают тогда, когда трудно вычислить значения функции или когда она может принимать лишь несколько отдельных значений (здесь убедителен пример с проводами: по действующим в промышленности стандартам их диаметры могут равняться только нескольким определенным значениям).

Графический способ представления функции – самый наглядный. График функции – это линия, дающая цельное представление о характере изменения функции по мере изменения ее аргумента. А именно, график функции y=f(x) - это множество точек (x,y) на координатной плоскости, где координате x придаются всевозможные значения из области определения функции, и для каждою такого x значение y определяется функциональной зависимостью y=f(x). Функциональная зависимость предполагает, что каждому значению x из области определения функции соответствует одно, и только одно, значение y. Отсюда следует, что любой перпендикуляр, восставленный к оси абсцисс в какой-либо точке из области определения функции, пересекает ее график лишь в одной точке. Поэтому линии, изображенные на рис. 1, не могут быть графиками никаких функций, а линия, изображенная на рис. 2, есть график некоторой функции.

Рис. 1

Рис. 2

Благодаря своей наглядности графический способ задания функций часто сопутствует другим способам. Выведя формулу какой-либо функциональной зависимости, исследователь вслед за этим строит еще и ее график. На многих электронных вычислительных машинах кроме печатающего устройства, выдающего результаты расчетов в виде колонки цифр, есть и графопостроитель, представляющий те же результаты в форме графиков. Многие приборы выдают показания именно в виде графиков. Например, барограф вычерчивает график атмосферного давления как функции времени, кардиограмму можно назвать графиком работы сердца.

Графики большинства функций имеют названия, сходные с названием самой функции. График функции синус называют синусоидой, график функции тангенс – тангенсоидой, график логарифмической функции – логарифмикой и т.д.

Чтобы построить эскиз графика функции, предварительно проводят ее исследование. Оно ведется поэтапно следующим путем.

Находят область определения функции и область ее значений. Это определяет разметку координатных осей, в которых строится график.

Находят промежутки непрерывности функции и определяют точки ее разрыва. В точках бесконечного разрыва проводят вспомогательные (например, пунктирные) прямые -  асимптоты, к которым будет приближаться график функции, уходя в бесконечность того или иного знака. На эскизе указывают такое поведение графика в точках разрыва.

При взгляде на географическую карту сразу бросается в глаза сеть железных дорог. Это типичный граф: кружочки обозначают станции-вершины графа, а соединяющие их пути – ребра.

Граф на рис. 1 изображает схему дорог между селами M,A,Б,B, и Г. Здесь каждые две вершины соединены между собой ребром. Такой граф называется полным. Числа на рисунке указывают расстояния между селами по этим дорогам. Пусть в селе M находится почта и почтальон должен развезти письма в остальные четыре села. Существует много различных маршрутов поездки. Как из них выбрать наикратчайший? Проще всего проанализировать все варианты. Сделать это поможет новый граф (рис. 1, внизу), на котором легко увидеть возможные маршруты. Вершина M вверху – начало маршрутов. Из нее можно начать путь четырьмя различными способами: в A, в Б, в B или в Г. После посещения одного из сел остается три возможности продолжения маршрута, потом две, потом дорога в последнее село и вновь в M. Всего 4·3·2·1 = 24 способа. Все они на этом графе.

Рис. 1

Расставим вдоль его ребер цифры, обозначающие расстояния между селами, а в конце каждого маршрута напишем сумму этих расстояний по маршруту. Из полученных 24 чисел наименьшими являются два числа по 28 км, соответствующие маршрутам M - B - Б - А - Г - М и M - Г - А - Б - В - М. Заметим, что это один и тот же путь, но пройденный в разных направлениях.

Подобные задачи возникают часто при нахождении наилучших вариантов развозки товаров по магазинам, материалов по стройкам.

В строительстве графы используются при планировании проведения работ. Граф, изображенный на рис. 2, называется сетевым графиком строительства. В данном случае он составлен для строительства жилого дома.

Рис. 2

Вершины этого графа обозначают отдельные виды работ на стройке, кроме того, есть еще две вершины: начало строительства и его окончание. Если на ребрах графа нанесены стрелочки, указывающие направление ребер, то такой граф называют направленным. Заметим, что и граф на рис. 1 тоже можно было сделать направленным, указав направление сверху вниз на каждом из ребер, что соответствовало бы направлению движения почтальона.

Стрелка от работы A к работе B на графе, изображенном на рис. 2, означает, что работа B не может начаться раньше, чем кончится работа A. Нельзя начинать монтаж стен, не закончив строить фундамент, чтобы приступить к отделке, нужно иметь на этажах воду, для сварочных работ при монтаже нужно иметь подвод электричества и т.д.

Около вершин графа указаны числа – продолжительность в днях соответствующей работы. Теперь мы можем узнать наименьшую возможную продолжительность строительства. Для этого из всех путей по графу в направлении стрелок нужно выбрать путь, у которого сумма чисел при вершинах наибольшая. Он называется критическим путем (на рис. 2 он выделен коричневым цветом). В нашем случае получаем 170 дней. А если сократить время прокладки электросети с 40 до 10 дней, то и время строительства тоже сократится на 30 дней? Нет. В этом случае критический путь станет проходить не через эту вершину, а через вершины, соответствующие строительству котлована, укладке фундамента и т.д. И общее время строительства составит 160 дней, т.е. срок сократится лишь на 10 дней.

Графы часто используют для решения логических проблем, связанных с перебором вариантов. Для примера рассмотрим такую задачу. В ведре 8 л воды, и имеется две кастрюли емкостью 5 и 3 л. Требуется отлить в пятилитровую кастрюлю 4 л воды и оставить в ведре 4л, т.е. разлить воду поровну в ведро и большую кастрюлю.

Ситуацию в каждый момент можно описать тремя числами (x,y,z), где x - количество литров воды в ведре, y - в большой кастрюле, z - в меньшей. В начальный момент ситуация описывалась тройкой чисел (8,0,0), от нее мы можем перейти в одну из двух ситуаций: (3,5,0), если наполним водой большую кастрюлю, или (5,0,3), если наполним меньшую кастрюлю.

В результате получаем два решения: одно в 7 ходов, другое в 8 ходов.

Подобным образом можно составить граф любой позиционной игры: шахмат, шашек, «крестиков-ноликов», где позиции станут вершинами, а направленные отрезки между ними будут означать, что одним ходом можно перейти от одной позиции к другой, по направлению стрелки.

Однако для шахмат и шашек такой граф будет очень большим, поскольку различные позиции в этих играх исчисляются миллионами. А вот для игры в «крестики-нолики» на доске 3×3 соответствующий граф нарисовать не так уж трудно, хотя и он будет содержать несколько десятков (но не миллионов) вершин.

Свойства графов не зависят от того, соединены вершины отрезками или кривыми линиями, что дает возможность изучения их свойств с помощью одной из молодых наук - топологии.

Впервые основы теории графов появились в работе Л. Эйлера, где он описывал решения головоломок и математических развлекательных задач. Широкое развитие теория графов получила с 50-х гг. XX в. в связи со становлением кибернетики и развитием вычислительной техники.

В терминах графов легко формулируется и решается задача о назначении на должности. А именно: если имеется несколько вакантных должностей и группа лиц, желающих их занять, причем каждый из претендентов имеет квалификацию для нескольких должностей, то при каких условиях каждый из претендентов сможет получить работу по одной из своих специальностей?

Свойства графов не зависят от того, соединены вершины отрезками или кривыми линиями. Это дает возможность изучения их свойств с помощью одной из молодых наук – топологии, хотя сами задачи теории графов являются типичными задачами комбинаторики.

Вот несколько задач теории графов. Задача об эйлеровом пути: найти путь по ребрам графа, проходящий по каждому ребру ровно один раз. Такой путь существует лишь в том случае, если граф – связный, т.е. от каждой его вершины к каждой другой можно пройти по ребрам графа, и из каждой вершины, кроме, может быть, двух, выходит четное число ребер. На графе, изображенном на рис. 3,а, он есть, а на рис. 3,б его нет.

Рис. 3

Гамильтонов путь на графе – путь, проходящий по одному разу через все вершины графа. Попробуйте отыскать его на графе, состоящем из вершин и ребер додекаэдра. Условия существования гамильтонова пути на графе формулируются существенно сложнее, чем для эйлерового пути.

Хроматическим числом графа называется наименьшее количество красок, с помощью которых можно так раскрасить вершины графа, что любые две вершины, соединенные ребром, окрашиваются при этом в разные цвета. Долгое время математики не могли решить такую проблему: достаточно ли четырех красок, для того чтобы раскрасить произвольную географическую карту так, чтобы любые две страны, имеющие общую границу, были окрашены разными красками? Если изобразить страны точками – вершинами графа, соединив ребрами те вершины, для которых соответствующие им страны граничат (рис. 4), то задача сведется к следующей: верно ли, что хроматическое число любого графа, расположенного на плоскости не больше четырех? Положительный ответ на этот вопрос был лишь недавно получен с помощью ЭВМ.

Рис. 4

С точки зрения диалектической теории познания понятие группы является абстракцией второй ступени. Математические абстракции первой ступени можно назвать слепками с объектов и процессов реального мира, т.е. для них имеются «прототипы» в окружающей нас действительности. Например, человек многократно наблюдал множества, содержащие два элемента: две руки, два глаза и т.д. Постепенно, путем отвлечения от конкретных свойств элементов, входящих в эти множества, возникает новое понятие – число 2.

Математические абстракции первой ступени возникли в глубокой древности. Так, Евклид, который жил более двух тысяч лет назад, использовал уже сформированные понятия о числах и действиях над ними, о геометрических линиях, поверхностях и телах. У Архимеда мы находим представление о векторном понимании механических величин (силы, скорости) и их сложении по правилу параллелограмма.

В XIX в. в распоряжении математиков было уже несколько конкретных действий: сложение действительных чисел, умножение чисел, сложение векторов, умножение (или, лучше сказать, композиция) геометрических преобразований, умножение перестановок (т.е. преобразований конечного множества) и др. При этом оказалось, что свойства этих математических действий во многом похожи. Например, и операция сложения чисел, и сложения векторов, и умножения чисел, и композиции геометрических преобразований обладают свойством ассоциативности (сочетательности). Постепенно возникла абстракция второй ступени, т.е. абстракция уже сформировавшихся математических понятий первой ступени: математики стали отвлекаться от конкретного вида складываемых (или перемножаемых) элементов, т.е. от того, что складывается, а обращали внимание лишь на то, что в некотором множестве задано сложение и это действие обладает определенными свойствами (ассоциативности и др.). Это и привело к возникновению понятия группы.

Расскажем подробно об этом понятии. Свойства сложения действительных чисел хорошо известны:

1) a + (b+c) = (a+b) + c для любых a,b,c (ассоциативность);

2) a + b = b + a для любых a,b (коммутативность);

3) существует такое число 0, что a+0=a для любого a (существование нуля);

4) для любого a существует такое число -a, что a+(-a)=0 (существование противоположного элемента).

Точно такими же свойствами обладает сложение векторов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Далее, операция умножения, если ее рассматривать в множестве всех отличных от нуля действительных чисел, также имеет аналогичные свойства:

1) a(bc)=(ab)c (ассоциативность);

2) ab=ba(коммутативность);

3) существует такое число 1, что a·1=a для любого a;

4) для любого a(a≠0) существует такое число a^-1, что a·a^-1=1.

А вот операция композиции движений (см. Геометрия) обладает лишь тремя из этих свойств:

1) h∘(g∘f)=(h∘g)∘f для любых движений f,g,h;

2) существует такое движение e (тождественное преобразование), что f∘e=f, e∘f=f для любого движения f;

3) для любого движения f существует обратное движение f^-1, удовлетворяющее соотношениям f∘f^-1=e, f^-1∘f=e. Коммутативность же, т.е. соотношение g∘f=f∘g для движений, вообще говоря, места не имеет.

Теперь будет понятно следующее определение: множество G, в котором задана некоторая операция, сопоставляющая двум элементам a,b из G некоторый элемент a*b того же множества G, называется группой, если выполнены следующие свойства:

I) a*(b*c)=(a*b)*c для любых a,b,c из G;

II) существует такой элемент e∈G (единица, или нейтральный элемент группы G), что a*e=a и e*a=a для любого a∈G;

III) для любого a∈G существует такой элемент a^-1∈G (обратный элемент), что a*a^-1=e, a^-1*a=e;

если, кроме того, для любых a,b из G справедливо соотношение

IV) a*b=b*a, то группа G называется коммутативной (или абелевой).

Из сказанного выше ясно следующее: 1) множество R всех действительных чисел, в котором рассматривается операция сложения, является группой (и притом абелевой); 2) множество R² всех векторов на плоскости с имеющейся в нем операцией сложения является абелевой группой; 3) множество всех отличных от нуля действительных чисел, в котором рассматривается операция умножения, является абелевой группой; 4) множество всех движений плоскости, в котором рассматривается операция композиции, является группой, но не абелевой (т.е. не коммутативной).

В чем польза от введения такой «абстракции второй ступени», какой является группа? Ответ можно сформулировать так. Доказав на основе аксиом 1-4 некоторую теорему теории абелевых групп, мы сможем утверждать, что эта теорема будет справедлива и для действительных чисел, и для векторов, и для любой другой абелевой группы.

Это позволит, один раз доказав теоремы об абелевых группах, применять их в теории относительности, в кристаллографии, в ядерной физике, т.е. во всех областях, где появляются группы.

Свои первые применения понятие группы нашло в алгебре. Особенно интересной была теория, созданная французским математиком Э. Галуа.

В геометрии важную роль играют группы самосовмещений фигур. Если F - некоторая фигура на плоскости (или в пространстве), то можно рассмотреть множество G_F всех тех движений плоскости (или пространства), при которых фигура F переходит в себя. Это множество является группой (см. Геометрические преобразования). Например, для равностороннего треугольника T группа движений плоскости, переводящих треугольник в себя, состоит из 6 элементов: поворотов на углы 0,2π/3,4π/3 вокруг точки O и симметрий относительно трех прямых. Они изображены на рис. 1 красными линиями. Элементы группы самосовмещений правильного треугольника могут быть заданы и иначе. Чтобы пояснить это, пронумеруем вершины правильного треугольника T числами 1, 2, 3. Любое самосовмещение f треугольника T переводит точки 1, 2, 3 в те же самые точки, но взятые в ином порядке, т.е. f может быть условно вписано в виде одной из таких скобок:

     и т.д.   , (1)

где числами 1, 2, 3 обозначены номера тех вершин, в которые переходят вершины 1, 2, 3 в результате рассматриваемого движения.

Рис. 1

Часто утверждение о делимости числа a на число b выражают другими равнозначными словами: a кратно b, b - делитель a или же b делит a.

Всякое целое число a делится по крайней мере на четыре числа a, -a, 1, -1. Натуральное число a называется простым, если никаких других делителей оно не имеет.

Приведем несколько свойств делимости:

а) если числа a и b делятся на c, то и числа a+b, a-b делятся на c;

б) если a делится на b и c - произвольное целое число, то ac делится на bc;

в) если a делится на b и b - на c, то a делится на c.

Зная разложения чисел a и b на простые множители, можно легко выяснить, делится ли a на b. Для того чтобы число a делилось на число b, необходимо и достаточно, чтобы каждый простой множитель, входящий в разложение числа b, входил и в разложение числа a; причем если простой множитель встречается k раз в разложении числа b, то он должен встретиться не менее k раз и в разложении числа a.

Если целые числа a и b заданы своими записями в десятичной системе счисления, то, разделив «в столбик» первое число на второе, мы найдем их частное, а значит, сможем ответить на вопрос, делится ли a на b.

Уже давно были найдены признаки делимости чисел, которые позволяют в некоторых случаях быстро установить делимость одного числа на другое, не прибегая к непосредственному делению «в столбик». Среди этих признаков практически наиболее удобны следующие (связанные с записью числа в десятичной системе):

а) для делимости на 2 нужно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2;

б) для делимости на 3 нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3;

в) для делимости на 4 нужно, чтобы число, записанное двумя последними цифрами, делилось на 4;

г) для делимости на 5 нужно, чтобы последняя цифра была 0 или 5;

д) для делимости на 8 нужно, чтобы число, записанное тремя последними цифрами, делилось на 8;

е) для делимости на 9 нужно, чтобы сумма цифр делилась на 9;

ж) для делимости на 10 нужно, чтобы последняя цифра была 0;

з) для делимости на 11 нужно, чтобы разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делилась на 11.

Развитие идеи делимости привело к понятию сравнения, использование которого позволило перенести в теорию чисел алгебраические методы и с их помощью получить большое количество интересных результатов.

Названы они по имени греческого математика Диофанта, жившего в III в. Его книга «Арифметика» содержала большое количество интересных задач, ее изучали математики всех поколений. Книга сохранилась до наших дней, ее можно найти в русском переводе в библиотеке.

Задачи поиска целочисленных и рациональных решений обычно тесно связаны между собой. Легко сообразить, какая связь есть между целочисленными решениями уравнения 3x³ + 4y³ = 5z³ и рациональными решениями уравнения 3/5 u³ + 4/5 v³ ( u = x/z, v = y/z).

К диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвестные значения величин могут быть только целыми числами.

Решение уравнений в целых числах – очень увлекательная задача. С древнейших времен накопилось много способов решения конкретных диофантовых уравнений, однако только в нашем веке появились общие приемы их исследования. Правда, линейные диофантовы уравнения и диофантовы уравнения 2-й степени научились решать давно.

Так, легко доказать, что по формулам x=4+5t, y = -1-3t (t - любое целое число) находятся все целочисленные решения уравнения 3x + 5y = 7. Формулы для нахождения целочисленных сторон прямоугольного треугольника (т.е. для решения уравнения x² + y² = z²) были известны еще древним индийцам: x = 2uv, y = u² - v², z = u² + v² (u и v - целые числа, u>v).

Решения диофантовых уравнений более высоких степеней, а также систем уравнений давались с большим трудом. Знаменитое уравнение П. Ферма, которое более трехсот лет назад он написал на полях «Арифметики» Диофанта, xⁿ + yⁿ = zⁿ  (n>2) не решено до сих пор (см. Ферма великая теорема).

Даже при n = 3 диофантовы уравнения поддаются решению с большим трудом, причем ответы могут быть совершенно разными. Так, уравнение 3x³ + 4y³ = 5z³ совсем не имеет решений в целых числах, кроме нулевого. Уравнение x³+y³=2z³ имеет конечное число решений в целых числах, которые легко найти. Уравнение x³+y³=9z³ имеет бесконечно много целочисленных решений, однако написать для них формулы далеко не просто.

Правда, оказалось, что кубические уравнения стоят в некотором смысле особняком. В 20-е гг. нашего века английский математик Е. И. Морделл высказал гипотезу, что уравнение более высокой степени, чем 3, должно иметь, как правило, конечное число целочисленных решений. Эта гипотеза была в 1983 г. доказана голландским математиком Г. Фалтингсом. Тем самым подтвердилось, что уравнение Ферма xⁿ + yⁿ = zⁿ при всяком n>2 имеет лишь конечное число решений в целых числах (без общих множителей). Однако пока нет способа найти эти решения.

Долгое время надеялись отыскать общий способ решения любого диофантова уравнения. Однако в 1970 г. ленинградский математик Ю. В. Матиясевич доказал, что такого общего способа быть не может.

Решение уравнений в целых числах – один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений. Ферма, Эйлер и Лагранж, Дирихле и Гаусс, Чебышев и Риман оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории.

По традиции в популярной литературе принцип Дирихле объясняют на примере «зайцев и клеток»: если N зайцев сидят в n клетках и N > n, то хотя бы в одной клетке сидит более одного зайца. Часто применяют обобщение принципа Дирихле: если зайцев N > nk, то хотя бы в одной клетке сидит более k зайцев. Самая популярная задача на прямое применение принципа Дирихле такова: на Земле живет 3 млрд. человек, у каждого на голове – не более миллиона волос (цифры условные). Нужно доказать, что обязательно найдутся два человека с одинаковым числом волос. А какое число людей с одинаковым числом волос можно гарантировать?

На той же идее основано доказательство того, что при обращении обыкновенной дроби p/q, p < q, q > 0 в десятичную получается или конечная, или бесконечная периодическая десятичная дробь, причем длина периода не превосходит q - 1. Будем делить p на q «уголком» и следить за остатками. Если на каком-то шаге остаток будет нулевым, то получится конечная дробь. Если же все остатки будут отличны от нуля, то не позже, чем на (q - 1)-м шагу начнут повторяться остатки, а вслед за этим – и цифры в частном.

Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал – возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой. Рассмотрим подробно каждую из них.

Будем вслед за итальянским ученым Г. Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Пусть t - время, отсчитываемое от начала падения, a s(t) - пройденное к моменту t расстояние. Галилей экспериментально нашел, что зависимость s(t) имеет следующий простой вид:

s(t) = 1/2 gt²,

где t - время в секундах, а g - физическая постоянная, равная примерно 9,8 м/с2.

Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v падения постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t)? Ясно, что, зная зависимость s(t), т.е. закон движения падающего тела, мы в принципе должны иметь возможность получить отсюда и выражение для скорости v(t) как функции времени.

Попробуем найти зависимость v от t. Будем рассуждать следующим образом: фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t). Пусть h - небольшой промежуток времени, прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдет путь, равный s(t + h) - s(t). Если промежуток времени h очень маленький, то скорость тела за время h не успевает заметно измениться, поэтому можно считать, что если h мало, то приближенно

s(t + h) - s(t) ≈ v(t)·h,      (1)

или

,    (2)

причем последнее приближенное равенство тем точнее, чем меньше h (чем ближе величина h к нулю). Значит, величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится стоящее в левой части приближенного равенства (2) отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t + h, когда величина h стремится к нулю.

Сказанное  записывают в виде

. (3)

Проведем указанные в соотношении (3) вычисления, исходя из найденной Галилеем зависимости

s(t) = 1/2 gt².

Сделаем сначала элементарные вычисления:

s(t+h) - s(t) = 1/2 g(t+h)² - 1/2 gt² = 1/2 g(t² + 2th + h²) - 1/2gt² = gth + 1/2gh²;

а теперь, разделив на h, получаем

.

Когда h стремится к нулю, второе слагаемое записанной справа суммы тоже стремится к нулю, а первое остается постоянным, точнее, не зависящим от величины h, поэтому в нашем случае

,

и мы нашли закон

v(t) = gt

изменения скорости свободно падающего тела. Обратите внимание, формула (3) одновременно дает и определение, и правило вычисления значений v(t) мгновенной скорости изменения функции s(t).

Поскольку скорость v(t) сама есть функция времени, то можно было бы поставить вопрос о скорости ее изменения. В физике скорость изменения скорости называется ускорением. Таким образом, если v(t) - скорость как функция времени, то, рассуждая как и при выводе формулы (3), для мгновенного ускорения a(t) в момент времени t получаем выражение

. (4)

В очень большом числе случаев физические законы описывают некоторые соотношения между величинами, характеризующими изучаемый процесс, и скоростью изменения этих величин. Другими словами, эти законы выражаются равенствами, в которых участвуют неизвестные функции и их производные. Такие равенства называются дифференциальными уравнениями. Они появляются как математическая форма записи ряда физических законов. Изучение процессов, описываемых этими законами, сводится к изучению свойств решений дифференциальных уравнений. Поясним это на примерах.

Пусть тело (например, металлическая пластина), нагретое до температуры y₀, в момент времени t=0 погружается в очень большой сосуд с воздухом нулевой температуры. Очевидно, тело начнет охлаждаться, и его температура будет функцией времени t. Обозначим ее y(t).

Согласно закону охлаждения Ньютона, скорость изменения температуры тела, т.е. производная dy/dt, пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, в данном случае пропорциональна y(t). Таким образом получаем, что в каждый момент времени справедливо соотношение

     (1)

(k - положительный коэффициент, зависящий от материала тела, знак «минус» потому, что температура убывает).

Это соотношение (1) в виде дифференциального уравнения является математической записью закона охлаждения, которое выражает зависимость между функцией (температурой) и ее производной в один и тот же момент времени. Его также называют математической моделью рассматриваемого процесса.

Решить дифференциальное уравнение – значит найти все функции y(t), которые обращают уравнение в тождество. Все решения приведенного выше дифференциальною уравнения даются формулой

y=Ce^-kt

(где C - произвольная постоянная), которая представляет собой его общее решение. Нахождение решения дифференциального уравнения всегда связано с операцией интегрирования, поэтому вместо слова «решить» часто употребляется глагол «проинтегрировать» (дифференциальное уравнение).

В процессе охлаждения тела, который мы рассматриваем, нас интересует лишь то решение, которое в момент времени t=0 принимает значение y₀. Подставляя в приведенную выше формулу t=0, находим: C=y₀. Значит, закон охлаждения окончательно можно выразить так:

y(t) = y₀e^-kt.

Как видим, температура тела с течением времени понижается по показательному (экспоненциальному) закону и стремится к температуре окружающей среды (рис. 1).

Рис. 1

Условие y(0)=y₀ принято называть начальным, оно позволяет из бесконечного множества решений выбрать единственное.

Рассмотренное дифференциальное уравнение (1) выражает тот факт, что скорость изменения функции пропорциональна (с коэффициентом - k) самой функции. Такая зависимость наблюдается и в других явлениях природы, например падение атмосферного давления в зависимости от высоты над уровнем моря пропорционально величине давления. Еще пример радиоактивный распад: скорость уменьшения массы радиоактивного вещества пропорциональна количеству этого вещества. Следовательно, атмосферное давление y как функция высоты t над уровнем моря и масса радиоактивного вещества y как функция времени t удовлетворяют уравнению (1). Как видим, одно и то же дифференциальное уравнение может служить математической моделью совершенно разных явлений.

Рассмотрим небольшой шарик массой m, к которому прикреплена горизонтально расположенная пружина. Другой ее конец закреплен (рис. 2). Направим ось Ox вдоль оси пружины, за начало координат примем положение равновесия шарика. Если немного сместить шарик вдоль оси, то возникнет упругая сила F, стремящаяся вернуть его в положение равновесия. По закону Гука, эта сила пропорциональна смещению x, т.е. F=-kx (k - положительная константа, характеризующая упругие свойства пружины, знак «минус» ставится потому, что сила восстанавливающая). Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело массой m, равна произведению массы на ускорение a:

F=ma.

Рис. 2

Если же x(t) - положение шарика в момент времени t, то его ускорение выражается второй производной x"(t). Таким образом, движение шарика под действием упругих сил можно выразить дифференциальным уравнением

mx"(t)=-kx(t),

которое чаще записывается в виде

x"(t)+ω²x(t)=0, где ω²=k/m.

Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Можно доказать, что любое его решение может быть записано в виде

x(t)=Acos(ωt+φ),

здесь A и φ  - произвольные постоянные. Движения, характеризуемые таким уравнением, называются гармоническими колебаниями. Они представляют собой периодическое движение (рис. 3) с периодом T=2π/φ; величина A называется амплитудой колебания.

Рис. 3

Очевидно, что дифференциальное уравнение x"(t)+ω²x(t)=0 не вполне определяет движение шарика. Оно зависит от того, на какую величину x₀ шарик был смещен в момент времени t=0 и с какой скоростью v=x'(0) он отпущен, т.е. зависит от начальных данных. Если, например, скорость была нулевой, то движение шарика будет подчиняться закону

x(t)=x₀ cos ωt.

Полученное нами выше дифференциальное уравнение есть математическая форма записи (математическая модель) закона движения под действием только силы упругости. Если рассмотреть движение шарика в среде, оказывающей сопротивление, и предположить, что кроме сил упругости на шарик действует сила сопротивления, пропорциональная скорости движения, то дифференциальное уравнение такого движения будет иметь вид:

mx"(t)+cx'(t)+kx(t)=0.

Решения этого уравнения уже не являются периодическими функциями, а представляют собой колебания с изменяющейся амплитудой, так называемые затухающие колебания (рис. 4).

Рис. 4

Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным; таковы рассмотренные выше уравнения. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него. Как видим, уравнение dy/dt=-ky первого порядка, уравнение x"(t)+ω²x(t)=0 - второго.

Если неизвестная функция зависит от нескольких переменных, то дифференциальное уравнение содержит ее частные производные и называется дифференциальным уравнением с частными производными. Такие уравнения описывают, например, колебание мембраны, распространение тепла в некоторой среде, движение спутника.

Дифференциальные уравнения – важный математический аппарат в естествознании. Они применяются в физике и астрономии, аэродинамике и теории упругости, химии и экономике, биологии и медицине.

Дифференциальное уравнение первого порядка вида dy/dt=f(x,t) допускает простую геометрическую интерпретацию. Если x=φ(t) - его решение, то это уравнение в каждой точке кривой x=φ(t) задает значение производной dx/dt, т. е. значение тангенса угла наклона касательной. Таким образом, в каждой точке области определения функции f(x,t) задается угловой коэффициент касательной к решению, как говорят, задается поле направлений. Геометрически поле направлений обычно изображается единичными векторами. На рис. 5 представлено поле направлений дифференциального уравнения dx/dt=t²+x².

Рис. 5

Метод перебора – один из простейших методов доказательства. Например, чтобы установить, что заданное число, скажем 103, простое, достаточно проверить, что оно не делится ни на одно простое число, не превосходящее корня из данного числа, в нашем случае, что оно не делится на 2, 3, 5, 7.

Однако когда количество объектов бесконечно, то уже невозможно перебрать все варианты. Здесь может помочь метод математической индукции, с помощью которою можно доказывать утверждения уже для бесконечного количества объектов.

Один из методов доказательства – принцип Дирихле (см. Дирихле принцип).

Доказательство – единственный способ установления истины в классической математике. Оно далеко не сразу заняло в математике такую исключительную роль. Например, в египетской и вавилонской математике вычислительные формулы, т.е. «рецепты» решения задач, так или иначе угадывались, они подвергались экспериментальной проверке, а затем сообщались в виде немотивированных утверждений.

Доказательства не сразу появились и в греческой геометрии. Архимед (III в. до н.э.) говорил о результатах, ранее «найденных, но не доказанных». С V в. до н.э. философы, начиная с Парменида и его ученика Зенона, во многом учась у ораторов, вычленяют различные приемы перехода от одних истинных утверждений к другим. Парменид формулирует закон «исключенного третьего» (из двух противоположных утверждений одно, и только одно, истинно), а Зенон использует метод приведения к абсурду (противоречию).

Но в математику эти приемы проникают не сразу: по-видимому, еще Демокрит, живший в V-IV вв. до н. э., обходился без доказательств. В IV в. до н.э. логика завоевывает математику. Несомненно, на первых порах доказательство – это логическое сведение неочевидных утверждений к очевидным или уже известным.

Наши современники не могут точно воссоздать картину, как появилась идея максимально ограничить число очевидных утверждений (аксиом), об истинности которых заключается соглашение и из которых остальные утверждения выводятся чисто логически (см. Аксиоматика и аксиоматический метод). В «Началах» Евклида (III в. до н.э.) грандиозная программа аксиоматизации геометрии уже полностью решена. По правилам Евклида доказательства должны быть чисто логическими выводами из аксиом. Окончательные геометрические тексты тщательно оберегались от дополнительных апелляций к очевидности. Прокл Диадох (V в.), первый комментатор Евклида, писал: «...мы научились от самих пионеров этой науки совсем не принимать в расчет правдоподобные заключения, когда дело касается рассуждений, которые должны войти в науку геометрии». Тем временем Аристотель проводит формализацию и каталогизацию правил умозаключений. Его утверждение об их конечности и обозримости не менее поразительно, чем утверждение о конечности множества аксиом. Полнота этих двух каталогов не оспаривалась до XIX в.

Правила, которыми мы пользуемся при логических рассуждениях (доказательствах), не выходят за пределы простых логических операций. Утверждение, справедливое для некоторого множества (скажем, всех параллелограммов), справедливо и для его подмножества (например, прямоугольников). Если справедливы утверждения A и из A следует B, то справедливо B. При доказательстве теоремы, имеющей вид «из A следует B» (A - то, что дано, B - то, что требуется доказать), при помощи уже известных нам теорем выводятся разные следствия, которые затем комбинируются, и из их комбинаций делаются новые выводы, пока в результате не получится B.

При доказательстве методом от противного теоремы «из A следует B» из справедливости утверждения A и отрицания утверждения B выводится справедливость пары противоположных утверждений, например, достаточно доказать отрицание утверждения A или утверждения B. Вспомним одно из классических доказательств от противного – доказательство Евклида бесконечности множества простых чисел. Если предположить, что множество простых чисел конечно и p₁,p₂,...,p_k - их полный набор, то число p₁... p_k + 1 не может быть составным, так как оно не делится ни на одно из простых чисел p_j, но оно не может быть и простым, так как оно больше каждого p_k.

Существуют и другие способы установления справедливости математических утверждений. Так, у Архимеда большинство его замечательных утверждений о площадях криволинейных фигур и объемах тел было получено первоначально при помощи чисто механических рассуждений с центрами тяжести, равновесием рычагов и т.д. В дальнейшем появилось большое число «механических» доказательств геометрических утверждений. Вот одно из самых изящных. Из внутренней точки многогранника на его грани опускаются перпендикуляры. Надо доказать, что хотя бы для одной грани перпендикуляр придется на саму грань, а не на ее продолжение. «Механическое» рассуждение состоит в следующем. Изготовляется массивный многогранник с неравномерной плотностью, у которого центр тяжести находится в заданной точке. Если все перпендикуляры попадут на продолжения граней, то многогранник не сможет стоять ни на одной грани, и мы получим вечный двигатель. Можно ли считать это рассуждение доказательством? С точки зрения, принятой в геометрии, разумеется, нет. Более того, нет никаких формальных способов преобразовывать «механические» доказательства в геометрические. Архимед справился с этой задачей, он дал геометрические доказательства к найденным им фактам.

Доказательство теоремы, как правило, не несет никакой информации о том, как к этой теореме можно на самом деле прийти. Одним из немногих великих математиков, допускавших посторонних в свою творческую лабораторию, был Л. Эйлер. Тексты Эйлера дают нам возможность проследить за ходом его мысли. Например, он рассматривает бесконечный ряд

.

Далее, используя, что sin x/x = 0 при x=kπ, Эйлер применяет к ряду теорему о разложении на линейные множители, как если бы это был многочлен:

.

Раскрывая скобки и вычисляя коэффициент при x², получаем π²/6=1+1/4+1/9+1/16+...+1/n²+... . Разумеется, Эйлер понимал, что его смелое рассуждение доказательством не является. Он ищет косвенные подтверждения: вычисляет с большим числом знаков левую и правую части полученного соотношения, получает другие аналогичные соотношения и в их числе уже доказанное Лейбницем: π/4=1-1/3+1/5-1/7+... . У него появляется уверенность в правильности своего рассуждения, хотя он еще не в состоянии проводить эквивалентные строгие доказательства. Эйлер энергично использует свой прием для открытия новых фактов. Умение открывать новые факты в виде гипотез, умение исследовать гипотезы на правдоподобность, как и умение проводить строгие доказательства, важнейшие компоненты математического творчества.

С XVII в. математики начинают осознавать, что, в отличие от представителей других наук, они имеют надежный способ установления истины – доказательство. С этим связаны многочисленные попытки перенести доказательства за пределы математики. И. Ньютон строит механику на аксиомах по образцу «Начал» Евклида. Нидерландский философ-материалист XVII в. Б. Спиноза аксиоматизирует этику. Начиная с французского математика и физика П. С. Лапласа (1749-1827) многие пытались внедрить математические рассуждения в юридическую практику. Делались бесконечные попытки решить проблемы человеческих отношений при помощи математики. Но, конечно же, в самой математике доказательства стали играть важнейшую роль.

К началу нашего века аксиоматический метод выходит за пределы геометрии. Большинство фактов о числах, известных со времен Пифагора, носило характер частных наблюдений над конкретными числами, а не обобщающих теорем. В XVI в. теоремы появились в алгебре (у Дж. Кардано), в XVII в. – в теории чисел (у П. Ферма). Однако здесь математики не имели дело с аксиоматическими теориями и понимание доказательства находилось на доевклидовом уровне, когда набор исходных утверждений не фиксируется. В XIX в. начинается аксиоматизация всей математики. На новом уровне формализуются и перечисляются правила вывода – перехода от одних утверждений к другим. Это позволило доказать, что некоторые утверждения невыводимы из аксиом. Всеобщее удивление вызвало рассуждение немецкого математика К. Геделя о том, что в арифметике и вообще во всякой содержащей ее аксиоматической теории существует такая теорема, что ни она сама, ни ее отрицание невыводимы из аксиом.

Об этом поразительном человеке история сохранила настолько мало сведений, что нередко высказываются сомнения в самом его существовании. Что же дошло до нас? Каталог греческих геометров Прокла Диадоха Византийского, жившего в V в. н.э., - первый серьезный источник сведений о греческой геометрии. Из каталога следует, что Евклид был современником царя Птолемея I, который царствовал с 306 по 283 г. до н.э.

Евклид должен быть старше Архимеда, который ссылался на «Начала». До наших времен дошли сведения, что он преподавал в Александрии, столице Птолемея I, начинавшей превращаться в один из центров научной жизни. Евклид был последователем древнегреческого философа Платона, и преподавал он, вероятно, четыре науки, которые, по мнению Платона, должны предшествовать занятиям философией: арифметику, геометрию, теорию гармонии, астрономию. Кроме «Начал» до нас дошли книги Евклида, посвященные гармонии и астрономии.

Что касается места Евклида в науке, то оно определяется не столько собственными его научными исследованиями, сколько педагогическими заслугами. Евклиду приписывается несколько теорем и новых доказательств, но их значение не может быть сравнимо с достижениями великих греческих геометров: Фалеса и Пифагора (VI в. до н. э.), Евдокса и Теэтета (IV в. до н.э.). Величайшая заслуга Евклида в том, что он подвел итог построению геометрии и придал изложению столь совершенную форму, что на две тысячи лет «Начала» стали энциклопедией геометрии.

Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудности не возникали преждевременно. Позже греческие математики включили в «Начала» еще две книги – XIV-ю и XV-ю, написанные другими авторами.

Первая книга Евклида начинается с 23 «определений», среди них такие: точка есть то, что не имеет частей; линия есть длина без ширины; линия ограничена точками; прямая есть линия, одинаково расположенная относительно всех своих точек; наконец, две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они, сколь угодно продолженные, не встречаются. Это скорее наглядные представления об основных объектах, и слово «определение» в современном понимании не точно передает смысл греческого слова «хорой», которым пользовался Евклид.

В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов, сравниваются их площади. Здесь появляется теорема о сумме углов треугольника. Затем следует пять геометрических постулатов: через две точки можно провести одну прямую; каждая прямая может быть сколь угодно продолжена; данным радиусом из данной точки можно провести окружность; все прямые углы равны; если две прямые проведены к третьей под углами, составляющими в сумме меньше двух прямых, то они встречаются с той же стороны от этой прямой. Все эти постулаты, кроме одного, вошли в современные курсы основной геометрии. За постулатами приводятся общие предположения, или аксиомы – восемь общематематических утверждений о равенствах и неравенствах. Книга заканчивается теоремой Пифагора (см. Пифагора теорема).

В книге II излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало.

В книге III рассматриваются свойства круга, свойства касательных и хорд, в книге IV – правильные многоугольники, появляются основы учения о подобии. В книгах VII-IX изложены начала теории чисел (см. Чисел теория), основанной на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя, приводится алгоритм Евклида (см. Евклида алгоритм), сюда входит теория делимости и теорема о бесконечности множества простых чисел.

Последние книги посвящены стереометрии. В книге XI излагаются начала стереометрии, в XII с помощью метода исчерпания определяются отношение площадей двух кругов и отношение объемов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Вершина стереометрии у Евклида – теория правильных многогранников. В «Начала» не попало одно из величайших достижений греческих геометров – теория конических сечений. О них Евклид написал отдельную книгу «Начала конических сечений», не дошедшую до нас, но ее цитировал в своих сочинениях Архимед.

«Начала» Евклида не дошли до нас в подлиннике. Двенадцать столетий отделяют от Евклида самые старые известные списки, семь столетий – сколь-нибудь подробные сведения о «Началах». В средневековую эпоху интерес к математике был утрачен, некоторые книги «Начал» пропали и потом с трудом восстанавливались по латинским и арабским переводам. А к тому времени тексты обросли «улучшениями» позднейших комментаторов.

В период возрождения европейской математики (XVI в.) «Начала» изучали и воссоздавали заново. Логическое построение «Начал», аксиоматика Евклида воспринимались математиками как нечто безупречное до XIX в., когда начался период критического отношения к достигнутому, который закончился новой аксиоматикой евклидовой геометрии – аксиоматикой Д. Гильберта. Изложение геометрии в «Началах» считалось образцом, которому стремились следовать ученые и за пределами математики.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух целых положительных чисел, нужно сначала большее число разделить на меньшее, затем второе число разделить на остаток от первого деления, потом первый остаток – на второй и т.д. Последний ненулевой положительный остаток в этом процессе и будет наибольшим общим делителем данных чисел.

Обозначив исходные числа через a и b, положительные остатки, получающиеся в результате делений, через r₁,r₂,...r_n, а неполные частные через q₁,q₂,...q_n+1, можно записать алгоритм Евклида в виде цепочки равенств:

a=bq₁+r₁

b=r₁q₂+r₂

......................

r_n-2=r_n-1q_n+r_n

r_n-1=r_nq_n+1 Приведем пример. Пусть a=777, b=629. Тогда 777=629·1+148, 629=148·4+37, 148=37·4. Последний ненулевой остаток 37 и есть наибольший общий делитель чисел 777 и 629.

Для нахождения наибольшей общей меры двух отрезков поступают аналогично. Операцию деления с остатком заменяют ее геометрическим аналогом: меньший отрезок откладывают на большем столько раз, сколько возможно; оставшуюся часть большего отрезка (принимаемую за «остаток от деления») откладывают на меньшем отрезке и т.д. Если отрезки a и b соизмеримы, то последний ненулевой остаток даст наибольшую общую меру этих отрезков. В случае несоизмеримых отрезков получаемая последовательность ненулевых остатков будет бесконечной.

Рассмотрим пример. Возьмем в качестве исходных отрезков стороны AB и AC равнобедренного треугольника ABC, у которого , . В качестве первого остатка мы получим отрезок AD (CD - биссектриса угла C), и, как легко видеть, последовательность ненулевых остатков будет бесконечной. Значит, отрезки AB и AC несоизмеримы.

Алгоритм Евклида известен издавна. Ему уже более 2 тыс. лет. Этот алгоритм сформулирован в «Началах» Евклида, где из него выводятся свойства простых чисел, наименьшего общего кратного и т.д. Как способ нахождения наибольшей общей меры двух отрезков алгоритм Евклида (иногда называемый методом попеременного вычитания) был известен еще пифагорейцам. К середине XVI в. алгоритм Евклида был распространен на многочлены от одного переменного. В дальнейшем удалось определить алгоритм Евклида и для некоторых других алгебраических объектов.

Алгоритм Евклида имеет много применений. Равенства, определяющие его, дают возможность представить наибольший общий делитель d чисел a и b в виде d=ax+by (x,y - целые числа), а это позволяет находить решения диофантовых уравнений 1-й степени с двумя неизвестными. Алгоритм Евклида является средством для представления рационального числа в виде цепной дроби (см. Календарь). Он часто используется в программах для электронных вычислительных машин.

Считается, что обозначение единицы любого разряда одним и тем же знаком (довольно близким современному) появилось впервые в Древнем Вавилоне приблизительно за 2 тыс. лет до н.э.

Древние греки, считавшие числами лишь натуральные числа, рассматривали каждое из них как собрание единиц. Самой же единице отводилось особое место: она числом не считалась. (Это заставляло, например, Евклида отдельно доказывать свойства пропорций в случае, когда один из членов пропорции равен единице.)

Но уже И. Ньютон писал: «...под числом мы понимаем не столько собрание единиц, сколько отвлеченное отношение одной величины к другой величине, условно принятой нами за единицу». Таким образом, к тому времени единица уже заняла свое законное место среди других чисел.

Основное свойство, характеризующее число 1, таково: a·1=a для любого числа a.

Это свойство числа 1 переносится и на некоторые другие математические объекты, для которых определена операция умножения (см. Группа).

В процессе становления математических наук возникала необходимость в точных, ясных и сжатых формулировках, требовалось устранить громоздкость словесных описании математических фактов, многозначность в математических выражениях.

Первыми математическими знаками были цифры. В работах древнегреческих математиков, например в «Началах» Евклида, отрезки и другие геометрические объекты обозначались буквами. Зачатки буквенного обозначения величин появились в III в., когда Диофант ввел обозначения для неизвестной величины и ее степеней, предложил особые знаки для операции вычитания и для обозначения равенства. Буквенные обозначения для неизвестных применяли индийские математики в VII в., однако создание развернутого буквенного исчисления относится к XIV-XVII вв. В конце XV в. француз Н. Шюке и итальянец Л. Пачоли впервые написали знаки сложения и вычитания  и  (от латинского plus и minus), а немецкие математики ввели современные обозначения + и -.

В XVI в. математики применяли смешанные записи, содержавшие слова и некоторые математические знаки. Например, уравнение x³ + 5x = 12 имело бы у Дж. Кардано (1545) вид

I. cubus  positionibus aequantur 12 (cubus - «куб», positio - «неизвестная», aequantur - «равно»); у итальянского математика Р. Бомбелли (1572) – вид

1³p.5¹ equale а 12

(³ - «куб неизвестной», ¹ «неизвестная», equale а - «равно»); у французского ученого Ф. Виета (1591 г.) – вид

IC+5N aequantur 12

(C - cubus - «куб», N - numerus - «число»). Но постепенно слова заменялись символами, и уже в 1631 г. англичанин Т. Гарриот записал бы это уравнение в виде

aaa + 5·a=12.

В начале XVII в. вошли в употребление знак равенства и скобки: квадратные предложил итальянский математик Р. Бомбелли, круглые – итальянский математик Н. Тарталья, фигурные – Ф. Виет.

Важным шагом в развитии алгебраической символики оказалось введение Ф. Виетом математических знаков для произвольных постоянных величин. Он обозначал их прописными согласными буквами латинского алфавита, а неизвестные величины – гласными буквами. Виет создал и алгебраические формулы.

В 1637 г. Р. Декарт придал знакам алгебры современный вид. Он изображал неизвестные величины при помощи последних букв латинского алфавита x,y,z, а данные величины – начальными буквами a,b,c. Предложенные Декартом символы скоро стали употреблять повсеместно. Ему же принадлежит обозначение показателя степени.

Более 500 лет длилась эволюция знака радикала. Современное обозначение √ состоит из двух частей – знака  - модифицированной буквы r (от radix-«корень») и черты, заменявшей ранее скобки.

В конце XVII в. в связи с созданием дифференциального и интегрального исчислений Г. В. Лейбниц ввел знаки для обозначения производной, дифференциала и интеграла. Его символика оказалась наиболее удобной и вытеснила знаки, предложенные другим создателем математического анализа – И. Ньютоном. Например, знак ∫ydx отражает тот факт, что площадь криволинейной трапеции можно условно представлять как сумму бесконечно тонких полосок с основанием dx и высотой y ( ∫ - стилизованная буква s от латинского слова summa - «сумма»), знак же dx (от латинского differentia - «разность») отражает связь дифференциала функции и ее приращения.

Современная символика для обозначения функций была введена Л. Эйлером, который в 1734 г. использовал обозначение f(x) для произвольной функции, ввел современные обозначения для тригонометрических, обратных тригонометрических, показательной, логарифмической и иных функций. В настоящее время в математике применяется множество специальных функций (функции Лежандра, Бесселя, эллиптические и т.д.), каждая из которых обозначается своим математическим знаком. Эйлер ввел обозначение e для основания натуральных логарифмов (1736), π - для отношения длины окружности к длине ее диаметра (тогда же), i для  и т.д. В XIX в. были введены обозначения |x| для модуля (К. Вейерштрасс, 1841),  для вектора (О. Коши, 1853),

для определителя (А. Кэли, 1841) и многие иные.

Интересовался этим вопросом и итальянский монах Бонавентура Кавальери (1598-1647). Он занимал кафедру математики в Болонском университете. В переписке с астрономом и математиком Г. Галилеем они обсуждали разнообразные механические и математические проблемы, и в частности метод «неделимых». Галилей собирался, но так и не написал книгу об этом методе. В 1635 г. вышла книга Кавальери «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин».

При вычислении площадей многоугольников бывает полезно преобразовывать фигуры, не меняя их площадей, например разрезать на части и составлять новые (см. Равносоставленные и равновеликие фигуры). Так можно преобразовать друг в друга треугольники с равными основаниями и высотами.

Можно ли аналогичным образом преобразовывать криволинейные фигуры? Кавальери представляет их себе состоящими из бесконечно тонких параллельных плоских слоев - «неделимых» или «нитей» (рис. 1) и утверждает, что площадь не меняется при сдвигах этих слоев друг относительно друга. Иначе, принцип Кавальери состоит в том, что если пересечь фигуру семейством всех прямых, параллельных заданной, то длины пересечений полностью определят площадь фигуры. В частности, если у двух фигур эти длины совпадают, то они равновелики. Строгого обоснования своего принципа Кавальери не дал, но рассмотрел его многочисленные применения. Например, на основе этого принципа легко получается равновеликость треугольников с равными основаниями и высотами. Одно из самых удивительных применений принципа Кавальери принадлежит французскому математику Ж. Робервалю (1602-1675), который нашел площадь сегмента, ограниченного одной аркой циклоиды (см. Циклоида). В каждый момент времени Роберваль проектировал точку, двигающуюся по циклоиде, на вертикальный диаметр катящегося круга. Получалась новая кривая, которую Роберваль назвал спутницей циклоиды (рис. 2, а). Но потом выяснилось, что это синусоида, и это было первое (1634) появление ее в математике!

Рис. 1

Рис. 2

Площадь под аркой синусоиды легко вычисляется при помощи перехода к равносоставленному с ней прямоугольнику площадью 2π (рис. 2,б). Каждая из оставшихся двух фигур, которые называли лепестками Роберваля, по принципу Кавальери равновелика вертикальному полукругу, т.е. общая площадь равна 3π.

Еще более эффективен принцип Кавальери при нахождении объемов тел. Он состоит в том, что объем тела определяется площадями его пересечений «всеми плоскостями», параллельными некоторой заданной. Отсюда следует теорема о равновеликости пирамид с равновеликими основаниями и равными высотами, а эти пирамиды, как правило, не равносоставлены (см. Равносоставленные и равновеликие фигуры). На этой теореме основывается формула для объема пирамиды. Очень удобен принцип Кавальери и для получения формул объемов круглых тел, скажем шара. Впишем в круговой цилиндр радиусом r и высотой 2r шар. Тело, являющееся дополнением шара до цилиндра, по принципу Кавальери равновелико телу, составленному из двух конусов, построенных на верхнем и нижнем основаниях цилиндра с вершиной в центре шара. Отсюда следует, что V = 4/3 πr³.

Интегральное исчисление содержит общие методы для вычисления площадей и объемов, причем там, где применение принципа Кавальери требовало нестандартных построений, к успеху приводят стандартные вычисления, и постепенно принцип Кавальери отошел в область истории. Однако, поскольку по принципу Кавальери легко вычисляются все «школьные» объемы и площади, неоднократно предлагалось принять принцип Кавальери в школьной геометрии за аксиому. Этот материал можно найти в школьных учебниках.

Этот календарь в честь Юлия Цезаря называется юлианским. По нему средняя продолжительность года составляет 365 сут 6 ч, что больше истинной лишь на 11 мин 14 с. Однако и это решение оказалось неудовлетворительным. К XVI в. ошибка, накапливаясь, составила уже около 10 сут.

Следующую реформу календаря провел Григорий XIII – папа римский. Он создал специальную комиссию для разработки системы, по которой весеннее равноденствие выпадало бы на 21 марта и впредь больше не отставало от этой даты. Решение папы Григория XIII было вызвано трудностями использования юлианского календаря при расчетах дат церковных праздников. Решение комиссии, утвержденное Григорием XIII в 1582 г., было достаточно простым: сдвинуть числа на 10 дней, оставить чередование простых и високосных лет, при этом решили, что если порядковый номер года оканчивается двумя нулями, но число сотен не делится на 4, то этот год простой. Например, по этому правилу 1900 год - простой, а 2000 – високосный. В настоящее время расхождение между юлианским и новым, григорианским календарями составляет 13 дней, поскольку с тех пор накопилось еще три дня (в 1700, 1800 и 1900 гг.). Григорианский календарь был введен в Европе в XVI-XVII вв., в России же до Великой Октябрьской революции продолжали пользоваться юлианским календарем, или как сейчас говорят, исчислением «по старому стилю». Григорианский календарь был введен в 1918 г. декретом Советского правительства, причем 1 февраля стали считать 14 февраля. Из 400 лет по юлианскому календарю 100 високосных, а по григорианскому – 97, поэтому продолжительность григорианского года составляет

, или 365,2425 сут,

т.е. 365 сут 5 ч 49 мин 12 с, т.е. она больше истинной лишь на 26 с. Полученная точность очень велика и вполне достаточна для практических нужд.

Интересная система календаря была предложена среднеазиатским математиком и поэтом Омаром Хайямом (ок. 1048-1122), по ней високосными годами должны были считаться 8 лет из каждых 33. Продолжительность года по О. Хайяму составляет

365 8/33 сут,

его погрешность всего 19 с в год. В 1864 г. русский астроном И. Медлер предложил с XX столетия ввести в России следующую поправку к юлианскому календарю: через каждые 128 лет пропускать один високосный год из 32, которые выпадают на этот период. Этот календарь самый точный из всех перечисленных.

Средняя продолжительность года по этому календарю составляет  сут, или 365 сут 5 ч 48 мин 45 с. Здесь погрешность сокращается всего до 1 с. Однако календарь И. Медлера не был принят, видимо, из-за того, что период в 128 лет не является «круглым» числом.

Голландский календарь (Лейден, 1516)

Астроном и математик XVII в. Христоф Клавий, член комиссии по созданию григорианского календаря.

Рассмотренные выше системы календаря оказываются связанными с записью продолжительности астрономического года в виде цепной дроби:

Год продолжительностью 365 сут – это нулевая подходящая дробь этой цепной дроби, 365 1/4 - юлианский год – первая подходящая дробь, 365 7/29, 365 8/33 и  - вторая, третья и четвертая подходящие дроби, а именно:

Системой, соответствующей второй подходящей дроби: семь високосных лет из 29, никто не предложил воспользоваться, видимо, потому, что третья подходящая дробь не намного сложнее, а точность ее гораздо больше (вспомним, что это система О. Хайяма), а четвертой подходящей дроби соответствует система И. Медлера.

Кроме смены времен года и времени суток на Земле есть еще один постоянный периодический процесс – смена фаз Луны, который породил разбиение года на 12 месяцев. Мусульманский лунный календарь, действующий до настоящего времени во многих арабских странах, основан на этом явлении. Количество дней в месяце выбирается так, чтобы первое число месяца совпадало с новолунием, поэтому в лунном календаре год состоит из 12 лунных месяцев по 29 или 30 дней, а продолжительность года составляет 354 или 355 сут, что на 10 сут короче астрономического года. Заметим, что смена фаз Луны происходит через 29,5306 сут, что плохо связывается не только с продолжительностью года, но и продолжительностью суток.

Еще одна единица времени – неделя (в ней, по определению, 7 сут). Приведем формулу, позволяющую вычислить день недели для произвольной даты:

.

Здесь d - число месяца, m - номер месяца, если начинать счет с марта, как это делали в Древнем Риме (март – 1, апрель – 2, …, январь – 11, февраль – 12), Y - номер года в столетии, c - количество столетий.

Число, заключенное в квадратные скобки [x], читается «целая часть от x» и означает наибольшее целое число, не превосходящее числа x. Так, [2,57] = 2, [3] = 3. Значок mod 7 означает, что от числа, стоящего перед ним, нужно взять его остаток от деления на 7 (см. Сравнения). Если в результате получилось число 1, то соответствующий день – понедельник, 2 – вторник, 3 – среда, 4 – четверг, 5 – пятница, 6 – суббота и 0 – воскресенье.

В последнее время было много различных предложений по реформе календаря с изменением длительности недель и месяцев, при которых в каждом месяце было бы одинаковое количество недель, но по разным причинам они не были приняты.

Эти изящные машинки сделали ненужными логарифмические линейки, бухгалтерские счеты, толстые тома таблиц разнообразных функций.

В нашей стране выпускаются десятки модификаций микрокалькуляторов. Классифицировать их можно по разным признакам: по назначению – для школьников, продавцов, инженеров, научных работников; по функциональному устройству – без регистров памяти, с небольшим их количеством, программируемые; по логической структуре – с арифметической логикой, с алгебраической логикой, с алгебраической логикой и иерархией операций, с алгебраической логикой и скобками, с обратной бесскобочной (польской) записью операций.

У микрокалькулятора с арифметической логикой отсутствует клавиша со знаком |=|, она совмещена с клавишей |+|, а также с клавишей - .

Операция 8 – 3 на калькуляторе с арифметической логикой производится в следующем порядке: , а в микрокалькуляторе с алгебраической логикой так: |8||-||3||=|. Клавиша |=| в нем обязательно присутствует.

В калькуляторах с иерархией операций в первую очередь производятся операции умножения и деления, а потом уже сложения и вычитания. Так, если вы последовательно нажимаете клавиши со знаками 1×9 + 8×9 =, то в калькуляторах без иерархии операций получите (1·9+8)·9 = 153, а в тех, которые имеют эту иерархию, - (1·9) + (8·9) = 81.

В школах на уроках информатики ребята приобретают навыки работы с компьютерами

Калькуляторы с клавишами для расстановки скобок позволяют производить операции в заданной последовательности. Пар скобок может быть одна или несколько.

Калькуляторы, предназначенные для инженеров и научных работников, имеют клавиши для вычисления различных функций.

Причем, чтобы сильно не увеличивать количество клавиш, каждую клавишу используют для выполнения двух, а иногда и грех, операций. В таком случае имеется специальная клавиша |F| для перехода от одной функции к другой. Как правило, для вычисления функции от заданного аргумента сначала набирают аргумент, а потом нажимают клавишу нужной функции. Так, для вычисления  клавиши нажимают в таком порядке: 1989√. Любопытно, что, набрав произвольный аргумент в радианах и затем многократно нажимая клавишу для функции косинус, мы в конце концов придем к числу 0,7390851..., которое потом будет повторяться при дальнейших нажатиях на эту клавишу. Что это за число? Оказывается, что оно является решением уравнения cos x = x, а мы его получили методом последовательных приближений.

Во всех калькуляторах, независимо от логической структуры, имеется по крайней мере два регистра: регистр ввода (и индексации) X и операционный регистр Y. При выполнении арифметических операций происходит следующая процедура. Первое набираемое число попадает в регистр ввода и одновременно появляется на индикаторе. При нажатии на операционную клавишу оно переносится и в регистр Y. В результате в обоих разрядах находится одно и то же число. Если теперь ввести второе число, то оно появится в регистре X (и на индикаторе), а в регистре Y останется первое число. Если теперь нажать одну из клавиш со знаками +, -, ×, ÷, =, то в регистре X (и на индикаторе) появится результат первой операции, а в регистре Y окажется второе число, и т.д.

Если же вычисляется функция одного переменного ( √, sin, ln и т. д.), то она вычисляется для аргумента, находящегося в регистре X (и на индикаторе), а содержание регистра Y при этом не меняется. Если же вычисляется функция y^x, то число y вводится первым и при вычислении будет находиться в регистре Y, а число x - в регистре Y.

Кроме этих регистров в микрокалькуляторах часто бывают дополнительные ячейки – регистры памяти, в которых можно запоминать результаты промежуточных вычислений или необходимые константы.

Дальнейшее увеличение количества ячеек памяти дает возможность вводить в микрокалькулятор целые программы вычислений, как в больших ЭВМ. Такие калькуляторы называются программируемыми. В ряде моделей такие программы записываются на специальном языке, и в таких калькуляторах можно программировать уже на обычном для ЭВМ алгоритмическом языке «Бейсик», правда несколько урезанном. Программируемые калькуляторы можно подключать к дисплеям (или телевизорам) и печатающим устройствам.

С помощью циркуля и линейки нетрудно построить касательную к окружности в данной ее точке. Несколько труднее провести общую касательную к двум окружностям. В Древней Греции умели строить с помощью циркуля и линейки касательные ко всем коническим сечениям: эллипсам, гиперболам и параболам, что свидетельствует о высоком уровне развития геометрии в то время.

Интерес к касательным не ослабевал и у математиков последующих поколений. В XVII в. французские ученые Р. Декарт и П. Ферма исследовали касательные к спиралям и циклоиде. (Заметим, что модель касательной к циклоиде можно наблюдать в дождливую погоду: циклоида – кривая, являющаяся траекторией точки на ободе катящегося колеса (рис. 1). По такой траектории движутся и капли воды, находящиеся на колесе, а оторвавшись от колеса, они продолжают двигаться уже по касательной к циклоиде (а не к окружности – ободу колеса). Такие капли образуют грязную полосу на спине велосипедиста-гонщика, мчащегося по шоссе в сырую погоду).

Рис. 1

Р. Декарт на задаче построения касательных к кривым отрабатывал свой аналитический метод в геометрии. Продолжая исследования Декарта, связанные с построением касательных с помощью аналитического метода, Г. В. Лейбниц одновременно с И. Ньютоном пришел к открытию дифференциального исчисления, явившемуся революцией в развитии математики. Понятие производной функции тесно связано с построением касательной к графику этой функции: значение производной в некоторой точке есть тангенс угла наклона касательной в этой точке к оси абсцисс.

Как все основные понятия дифференциального исчисления, понятие касательной строго определяется лишь с помощью предельного перехода (см. Предел). Касательная к кривой в точке M определяется как предельное положение секущей MN при приближении точки N по кривой к точке M (рис. 2). Нетрудно понять, что у непрерывных кривых могут быть точки, в которых касательная отсутствует (рис. 3), но чрезвычайно трудно представить себе, что существуют такие непрерывные кривые, которые не имеют касательных ни в одной своей точке.

Рис. 2

Рис. 3

Первые примеры таких функций были указаны чешским ученым Б. Больцано (1830 г., опубликовано в 1930 г.) и немецким математиком К. Вейерштрассом (1860 г., опубликовано в 1872 г.). Естественно, что функции, графиками которых являются кривые без касательных, не имеют производных ни в одной из своих точек, так как у функции f(x), имеющей в точке x₀ производную, касательная к ее графику в этой точке существует и записывается уравнением y = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) .

Понятие касательной применяется и для определения угла между кривыми в точке их пересечения. За такой угол принимается угол между касательными к кривым в этой точке. На рис. 4 изображено два семейства кривых – эллипсы и гиперболы, фокусы которых находятся в заданных точках F₁ и F₂. Любые две кривые разных семейств здесь пересекаются под прямым углом. Такая картина часто встречается в физике, в частности эти кривые являются линиями равной напряженности и равного потенциала, если в точках F₁ и F₂ находятся заряды разного знака.

Рис. 4

Аналогично касательной к кривой определяется касательная плоскость к поверхности (рис. 5), она играет по отношению к поверхности ту же роль, что и касательная к кривой.

Рис. 5

После линейной функции квадратичная функция – простейшая и важнейшая элементарная функция. Многие физические зависимости выражаются квадратичной функцией; например, камень, брошенный вверх со скоростью v₀, находится в момент времени t на расстоянии

s(t) = -(g/2) t² + v₀t

от земной поверхности (здесь g - ускорение силы тяжести); количество тепла Q, выделяемого при прохождении тока в проводнике с сопротивлением R, выражается через силу тока I формулой Q = RI².

Простейший частный случай квадратичной функции есть функция y=ax². На рис. 1 изображены графики функций y=ax² при разных значениях a. График функции y=ax² называется параболой.

Рис. 1

У всех этих парабол вершина находится в начале координат; при a > 0 это наинизшая точка графика (наименьшее значение функции), а при a < 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.

Как видно, при a > 0 парабола направлена вверх, при a < 0 - вниз.

Существует простой и удобный графический способ, позволяющий строить любое число точек параболы y=ax² без вычислений, если известна точка параболы, отличная от вершины. Пусть точка M(x₀,y₀) лежит на параболе y=ax² (рис. 2). Если мы хотим построить между точками O и M дополнительно еще n точек, то делим отрезок ON оси абсцисс на n + 1 равных частей и в точках деления проводим перпендикуляры к оси Ox. На столько же равных частей делим отрезок NM и точки деления соединяем лучами с началом координат. Искомые точки параболы лежат на пересечении перпендикуляров и лучей с одинаковыми номерами (на рис. 2 число точек деления равно 9).

Рис. 2

График функции y=ax²+bx+c отличается от графика y=ax² лишь своим положением и может быть получен просто перемещением кривой на чертеже. Это следует из представления квадратного трехчлена в виде

ax² + bx + c = a(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a,

откуда легко заключить, что график функции y=ax²+bx+c есть парабола y=ax², вершина которой перенесена в точку

,

а ось ее симметрии осталась параллельной оси Oy (рис. 3). Из полученного выражения для квадратного трехчлена легко следуют все его основные свойства. Выражение D=b²-4ac называют дискриминантом квадратного трехчлена ax²+bx+c и дискриминантом связанного с ним квадратного уравнения ax²+bx+c=0. От знака дискриминанта зависит, пересекает ли график квадратного трехчлена ось абсцисс или лежит по одну сторону от нее. Именно, если D <0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a > 0, то парабола лежит выше оси Ox, а если a < 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D > 0 график квадратного трехчлена пересекает ось абсцисс в двух точках x₁ и x₂, которые являются корнями квадратного уравнения ax²+bx+c=0 и равны соответственно

x₁ = 1/2a (-b - √D), x₂ = 1/2a (-b + √D).

При D=0 парабола касается оси Ox в точке .

Рис. 3

Рис. 4

Свойства квадратного трехчлена лежат в основе решения квадратных неравенств. Поясним это на примере. Пусть требуется найти все решения неравенства 3x² - 2x - 1 < 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D > 0, то соответствующее квадратное уравнение 3x² - 2x - 1 = 0 имеет два различных корня, они определяются по формулам, приведенным ранее:

x₁ = - 1/3 и x₂ = 1.

В рассматриваемом квадратном трехчлене a = 3 > 0, значит, ветви его графика направлены вверх и значения квадратного трехчлена отрицательны лишь в интервале между корнями. Итак, все решения неравенства удовлетворяют условию

-1/3 < x < 1.

К квадратным неравенствам могут быть сведены разнообразные неравенства теми же самыми заменами, какими различные уравнения сводятся к квадратному.

Вот эти задачи: построение квадрата, равновеликого данному кругу (или, сокращенно, квадратура круга); деление произвольно заданного угла или дуги на три равновеликие части (или трисекция угла), и построение куба, объем которого вдвое больше объема заданного куба (или удвоение куба).

История нахождения квадратуры круга длилась четыре тысячелетия, а сам термин стал синонимом неразрешимых задач. Как следует из подобия кругов, отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается буквой π. Таким образом, длина окружности круга радиуса r равна 2πr, а так как площадь круга равна S = πr² (см. Окружность и круг), то задача о квадратуре круга сводится к задаче построения треугольника с основанием 2πr и высотой r. Для него потом уже без труда может быть построен равновеликий квадрат (см. Равновеликие и равносоставленные фигуры).

Итак, задача сводилась к построению отрезка, длина которого равна длине окружности данного круга. Это было показано еще Архимедом в сочинении «Измерение круга», где он доказывает, что число π меньше чем 3 1/7, но больше чем 3 10/71, т.е. 3,1408 < π < 3,1429.

В наши дни с помощью ЭВМ число π вычислено с точностью до миллиона знаков, что представляет скорее технический, чем научный интерес, потому что такая точность никому не нужна. Десяти знаков числа π ( π = 3,141592653...) вполне достаточно для всех практических целей. Долгое время в качестве приближенного значения π использовали число 22/7, хотя уже в V в. в Китае было найдено приближение 355/113 = 3,1415929..., которое было открыто вновь в Европе лишь в XVI в. В Древней Индии π считали равным √10 = 3,1622.... Французский математик Ф. Виет вычислил в 1579 г. π с 9 знаками. Голландский математик Лудольф Ван Цейлен в 1596 г. публикует результат своего десятилетнего труда - число π, вычисленное с 32 знаками.

Но все эти уточнения значения числа  производились методами, указанными еще Архимедом: окружность заменялась многоугольником со все большим числом сторон (рис. 1,а). Периметр вписанного многоугольника при этом был меньше длины окружности, а периметр описанного многоугольника - больше. Но при этом оставалось неясным, является ли число π рациональным, т.е. отношением двух целых чисел, или иррациональным. Лишь в 1767 г. немецкий математик И. Г. Ламберт доказал, что число π иррационально, а еще через сто с лишним лет в 1882 г. другой немецкий математик - Ф. Линдеман доказал его трансцендентность (см. Число), что означало и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу.

«Возьму линейку, проведу прямую. И мигом круг квадратом обернется». Аристофан

Конечно, способов приближенного решения квадратуры круга с помощью циркуля и линейки было придумано великое множество. Так, в Древнем Египте было распространено правило: площадь круга равна площади квадрата со стороной, равной 8/9; π = 256/81 = 3,1604....

Были найдены и другие пути определения квадратуры круга: кроме циркуля и линейки использовали другие инструменты или специально построенные кривые. Так, в V в. до н. э. греческий математик Гиппий из Элиды изобрел кривую, впоследствии получившую название квадратрисы Динострата (ее назвали по имени другого древнегреческого математика, жившего несколько позже и указавшего способ построения квадратуры круга при помощи этой кривой).

Квадратриса Динострата получается следующим образом. Пусть дана окружность радиуса a (рис. 1,б). Начнем вращать радиус OA с угловой скоростью π/2 вокруг точки O - центра окружности - и одновременно равномерно перемещать влево со скоростью a вертикальную прямую от точки A к точке C. Точка M их пересечения и будет описывать квадратрису. Если взять за оси координат прямую OA и прямую OB, то в момент времени t точка M будет иметь координаты

a(1-t) и a(1-t) tg πt/2.

Рис. 1

При стремлении t к 1 точка M стремится к точке P, при этом абсцисса точки M стремится к нулю, а у ординаты один множитель стремится к нулю, а другой – к бесконечности. Их произведение будет стремиться к числу 2a/π, поэтому длина отрезка OP равна 2a/π. Следовательно, имеет место соотношение AC/OP = π.

Пусть теперь дана окружность радиуса r. Тогда имеем соотношение 2πr/2r = AC/OP, в котором известны AC, OP и 2r - диаметр данной окружности. По ним мы можем построить отрезок, равный 2πr - длине окружности, это будет четвертый пропорциональный отрезок к известным трем (рис. 1,в).

Чрезвычайно любопытно, что квадратриса Динострата решает и вторую из знаменитых задач древности – задачу о трисекции угла. Для этого нужно отложить данный угол так, чтобы его вершина находилась в точке O, а одна из сторон совпала с лучом OA (рис. 1,г). Из точки N пересечения квадратрисы со вторым лучом угла опускаем перпендикуляр NK на OA, а затем делим отрезок KA на три равные части. Если восставить в точках деления перпендикуляры к прямой OA до пересечения с квадратрисой, а затем соединить полученные точки пересечения с точкой O, то полученные углы окажутся равными. Это следует из метода построения квадратрисы. Аналогичным образом можно делить любой угол на произвольное количество равных частей.

Напомним, что в классической постановке задачи о трисекции угла такое построение требовалось произвести лишь с помощью циркуля и линейки! В 1837 г. французский математик П. Ванцель доказал, что в общем виде задача не имеет решения, а возможно такое деление лишь в нескольких исключительных случаях, в частности для угла α = π/2 и всех углов вида π/2ⁿ.

Как известно, имеет место тождество cos α = 4 cos³ α/3 - 3 cos α/3. Если обозначим 2 cos α = a, 2 cos α/3 = x, то получим такое кубическое уравнение: x³ - 3x - a = 0. Оказалось, что трисекция угла возможна для тех углов α, для которых корни этого уравнения выражаются через параметр a и целые числа лишь с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. В частности, если α = π/2, т. е. a = 0, то получаем уравнение x³ - 3x = 0, имеющее корни 0, +√3, -√3.

К кубическому уравнению сводится и знаменитая «делосская задача» удвоения куба. Свое название она получила от острова Делос в Эгейском море, где, по легенде, чтобы избавить жителей от эпидемии, оракул повелел удвоить алтарь, имевший форму куба. Но в действительности она, наверное, возникла в умах математиков как обобщение задачи об удвоении квадрата. Для того чтобы построить квадрат вдвое большей площади, чем данный, достаточно провести у данного квадрата диагональ (рис. 1,д) и принять ее за сторону нового квадрата.

Задача об удвоении куба оказалась существенно более трудной. Если обозначить через a длину стороны исходного куба, а через x – длину стороны вдвое большего куба, то получим соотношение x³ = 2a³ – снова кубическое уравнение. В 1837 г. тот же П. Ванцель доказал, что невозможно построить с помощью только циркуля и линейки отрезок, в  раз больший данного, т.е. подтвердил неразрешимость задачи удвоения куба.

Естественно, что существовали способы приближенного решения этой задачи и решения ее с помощью других инструментов и кривых. Так, уже в IV в. до н.э. древнегреческие математики умели находить корень уравнения x³ = 2a³ как абсциссу точки пересечения двух парабол x² = ay и y² = 2ax (рис. 1,е), а также других конических сечений.

На протяжении многих веков три знаменитые задачи древности привлекали внимание выдающихся математиков. В процессе их решения рождались и совершенствовались многие математические методы.

Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например конструктору, разрабатывающему новую модель механизма, ученому-агроному, планирующему распределение сельскохозяйственных культур на нескольких полях, химику, изучающему строение органических молекул, имеющих данный атомный состав.

С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди столкнулись в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов (см. Магические и латинские квадраты), в которых заданные числа располагали так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата, и т.д.

Комбинаторные задачи возникали и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. (Например, задача о расстановке восьми ферзей на шахматной доске так, чтобы ни один из них не оказался под боем, об обходе всех полей доски шахматным конем и т.д. (см. Математика на шахматной доске).

Комбинаторика становится наукой лишь в XVII в. – в период, когда возникла теория вероятностей. Чтобы решать теоретико-вероятностные задачи, нужно было уметь подсчитывать число различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям. После первых работ, выполненных в XVI в. итальянскими учеными Дж. Кардано, Н. Тартальей и Г. Галилеем, такие задачи изучали французские математики Б. Паскаль и П. Ферма. Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки немецкий философ и математик Г. Лейбниц, опубликовавший в 1666 г. работу «Об искусстве комбинаторики», в которой впервые появляется сам термин «комбинаторный». Замечательные достижения в области комбинаторики принадлежат Л. Эйлеру. Комбинаторными задачами интересовались и математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних письменностей. Теперь комбинаторика находит приложения во многих областях науки: в биологии, где она применяется для изучения состава белков и ДНК, в химии, механике сложных сооружений и т.д.

Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений x + y = 10, xy = 40, не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решения вида , , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что . Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637 г. французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 г. один из крупнейших математиков XVIII в. – Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа  («мнимой» единицы); этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу (1831).

В течение XVII в. продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование.

Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII и XVIII вв. была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а потом из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707)

(cos φ + i sin φ)ⁿ = cos nφ + i sin nφ.

С помощью этой формулы можно также вывести равенства для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 г. замечательную формулу

e^ix = cos x + i sin x,

которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрическими. С помощью формулы Эйлера можно возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что e^iπ = -1. Можно находить синусы и косинусы от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, т.е. строить теорию функций комплексного переменного.

«Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств». П. Карно

Получающиеся при этом ограниченные фигуры (рис. 1) оказываются эллипсами, а неограниченные – гиперболами (если секущая плоскость пересекает обе полости конуса) или параболами (если секущая плоскость пересекается лишь с одной из его полостей). Все виды конических сечений легко получить с помощью карманного фонарика, направляя его под разными углами на ровную площадку. Правда, при этом у гиперболы мы увидим лишь одну ветвь. Для того чтобы увидеть вторую, нужно ось фонарика повернуть на 180°.

Рис. 1

Одинаковый способ получения различных конических сечений влечет и сходство уравнений, описывающих эти кривые. В секущей плоскости можно так выбрать систему координат, чтобы уравнение конического сечения имело вид y²=2px+λx², где p и λ - постоянные. Если p ≠ 0, то это уравнение определяет параболу при λ=0, эллипс – при λ < 0, гиперболу – при λ > 0. Геометрическое свойство конических сечений, содержащееся в приведенном уравнении, было известно древнегреческим ученым и послужило для Аполлония Пергского (примерно II в. до н.э.) поводом присвоить отдельным типам конических сечений названия, сохранившиеся до наших дней: греческое слово «парабола» означает «приложение» (так как в греческой геометрии превращение прямоугольника данной площади y² в равновеликий ему прямоугольник с данным основанием 2p называлось приложением данного прямоугольника к этому основанию); слово «эллипс» означает «недостаток» (приложение с недостатком), слово «гипербола» - «избыток» (приложение с избытком).

Очень похожи уравнения конических сечений в полярных координатах. Если за полюс взять фокус кривой, а за полярную ось – ось кривой, проходящую через фокус, то получим уравнение

.

Оно будет уравнением эллипса при 0≤ε≤1 (при ε=0 получим окружность). Парабола будет описываться этим уравнением при ε=1, а гипербола при ε>1. Число ε называется эксцентриситетом конического сечения, а p - его фокальным параметром.

Математики Древней Греции рассматривали только сечения, перпендикулярные какой-либо образующей конуса, а различные типы кривых получали путем изменения угла раствора конуса. В частности, они обнаружили, что для любого коническою сечения, кроме окружности, в его плоскости существует такая прямая, для которой отношение расстояний точек на кривой до фокуса к расстоянию до этой прямой равняется эксцентриситету этого конического сечения (рис. 2). Такая прямая была названа директрисой этой кривой.

Рис. 2

Математический интерес к коническим сечениям во многом обусловлен тем, что если записать уравнение такого сечения в произвольной декартовой системе координат на секущей плоскости, то оно всегда будет алгебраическим уравнением второго порядка, т.е. будет иметь вид:

ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0.

И наоборот, кривая, описываемая таким уравнением, является коническим сечением, за исключением случаев, когда коэффициенты этого уравнения связаны определенными соотношениями.

Все тела Солнечной системы движутся вокруг Солнца по эллипсам. Небесные тела, попадающие в Солнечную систему из других звездных систем, движутся вокруг Солнца по гиперболической орбите и, если на их движение не оказывают существенного влияния планеты Солнечной системы, покидают се по этой же орбите. По эллипсам движутся вокруг Земли ее искусственные спутники и естественный спутник – Луна, а космические корабли, запущенные к другим планетам, движутся по окончании работы двигателей по параболам или гиперболам (в зависимости от скорости) до тех пор, пока притяжение других планет или Солнца не станет сравнимо с земным притяжением (рис. 3).

Рис. 3

В XIV в. французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.

Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Р. Декарту. Такую систему координат стали называть декартовой. Точку O пересечения прямых называют началом, а сами направленные прямые – осями координат, ось Ox – осью абсцисс, а ось Oy – осью ординат. Числа x,y называют декартовыми координатами точки (x;y). Точка плоскости – геометрический объект – заменяется парой чисел (x;y), т.е. алгебраическим объектом. Принадлежность точки заданной кривой теперь соответствует тому, что числа x и y удовлетворяют некоторому уравнению. Так, координаты точки окружности с центром в заданной точке (a;b) удовлетворяют уравнению (x-a)²+ (y-b)²=R²(рис. 1).

Рис. 1

Для определения положения точки в пространстве требуется введение третьей оси – оси аппликат (рис. 2). Таким образом, положение точки в пространстве будет уже задаваться тремя числами.

Рис. 2

Особенно просто описываются в декартовых координатах прямые и плоскости. Так, уравнение любой прямой на плоскости в декартовой системе координат записывается в виде: Ax+By+C=0, и наоборот, всякому такому уравнению, у которого числа A и B одновременно не являются нулями, удовлетворяют точки некоторой прямой.

Числа A и B имеют важный геометрический смысл: вектор с координатами {A,B} перпендикулярен соответствующей прямой (рис. 3). Следует, что если у двух прямых A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0 коэффициенты при переменных пропорциональны:

A₁/A₂ = B₁/B₂,

то эти прямые параллельны, поскольку параллельны перпендикулярные им векторы {A₁,B₁} и {A₂,B₂}. А если эти прямые перпендикулярны, то соответствующие им векторы также будут перпендикулярны, а следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю:

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

Рис. 3

В пространстве уравнение Ax + By + Cz + D = 0 описывает плоскость, если не все коэффициенты A,B и C равны нулю. Аналогично вектор {A,B,C} перпендикулярен этой плоскости. Отсюда получаем условия параллельности двух плоскостей A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0:

и условие их перпендикулярности: A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

Прямая в пространстве может быть представлена как линия пересечения двух плоскостей и, следовательно, может описываться парой уравнений плоскостей, и, наоборот, точки, удовлетворяющие одновременно двум уравнениям:

,

лежат на прямой, если коэффициенты при неизвестных не пропорциональны, т.е. эти плоскости не параллельны.

Существует и другой способ описания прямой в декартовых координатах. Для этого выбираются точка M₀(x₀,y₀,z₀), лежащая на этой прямой, и вектор , параллельный данной прямой (он называется направляющим вектором прямой). Тогда все точки этой прямой удовлетворяют соотношениям:

Каждому значению числа t (оно называется параметром, а поэтому и запись называется параметрическим заданием прямой) соответствует некоторая точка этой прямой. Если вектор  имеет единичную длину, то модуль числа t равняется расстоянию соответствующей точки до начальной точки M₀.

В соответствии с геометрическим смыслом чисел α, β и γ и здесь можно аналогично написать алгебраические условия перпендикулярности и условия параллельности прямых через координаты их направляющих векторов.

Трудно переоценить значение декартовой системы координат в развитии математики и ее приложений.

Кривые и поверхности, определяемые ранее геометрически, получили описание в виде формул. Более того, рассматривая различные уравнения и изображая соответствующие линии и поверхности, математики получили новые геометрические образы, оказавшиеся очень полезными в приложениях, например гиперболические функции.

Существуют на плоскости и другие системы координат, например полярная система координат. Чтобы ее ввести, выбирают начальную точку O, называемую полюсом, поэтому система и называется полярной. Из этой точки проводят луч, называющийся полярной осью. Чтобы определить координаты точки на плоскости, ее соединяют отрезком с полюсом и вычисляют длину этого отрезка и угол между ним и полярной осью (рис. 4).

Рис. 4

Таким образом, каждой точке M плоскости сопоставляется пара чисел (ρ, φ). Но если в декартовой системе координат эта пара определялась однозначно, то в полярной системе число φ определено уже неоднозначно: парам чисел (ρ, φ+2nπ) соответствует одна и та же точка при любом целом числе n. Направление полярной оси можно выбирать произвольно. Так, географы предпочитают направление полярной оси на север и соответствующий полярный угол называют азимутом, а артиллеристы отсчитывают азимут от направления на юг.

Существуют также координаты, задаваемые одним числом. Это координаты на прямой. Достаточно задать одно число – расстояние от точки до начала отсчета, чтобы указать на прямой положение этой точки.

А сколько координат зададут положение точки в пространстве? Естественно, три. Эти три числа можно получить, например, так. Соединим мысленно лучом центр Земли и нашу точку и рассмотрим широту и долготу пересечения луча с поверхностью Земли и расстояние от точки до центра Земли. Такая система координат называется сферической. Можно поступить по-другому. Выберем некоторую плоскость и введем на ней полярную систему координат, а нашей точке сопоставим полярные координаты ее проекции на эту плоскость и расстояние от нее до плоскости, взятое со знаком «плюс» для одной половины пространства и со знаком «минус» - для другой; так мы получим цилиндрическую систему координат.

Сферической системой координат обычно пользуются на аэродромах. Рядом с аэродромом ставят радиолокатор. Этот прибор определяет расстояние до самолета, угол, под которым самолет виден над горизонтом, и угол между направлением на самолет и направлением на север, т. е. определяет его сферические координаты.

В большинстве летних школ учебный процесс строится из лекций и семинаров, но иногда (например, в школах при Ленинградском и Красноярском университетах) организуются математические кружки и факультативы. Обычно в летних школах изучают традиционные разделы математики, не нашедшие достаточного отражения в программе общеобразовательной школы. А в Малой Академии наук в Крыму и Всесоюзной летней школе юных программистов при Вычислительном центре АН Сибирского отделения АН СССР впервые начато обучение программированию и вычислительной математике. В программе летних школ важное место занимает не только решение задач на семинарах и в кружках, но и подготовка к олимпиадам, специальным практикумам. Популярны «математические бои», конкурсы по решению задач.

Поскольку летние школы организуются крупными научными центрами и высшими учебными заведениями, то к преподаванию привлекаются ведущие специалисты. Здесь школьники могут поговорить в непринужденной атмосфере с учеными, знакомыми по книгам и телепередачам. Ученики летних физико-математических школ часто бывают на экскурсиях в научных центрах и высших учебных заведениях. Близость крупных научных центров позволяет ребятам быть в курсе современных направлений научного прогресса. Летние физико-математические школы различны и по содержанию занятий, и по принципам организации, однако во всех школах создается высокоинтеллектуальная, творческая атмосфера, осуществляется программа обучения, в которой органично соединены и занятия, и культурный досуг, и отдых, и общение. Особенно полезно общение сотрудников и учеников школы. Обычно преподаватели школ – молодые ученые, студенты – совмещают учебные и воспитательные обязанности. Они легко находят общий язык с воспитанниками, и общение в учебе не отделено от дружеских взаимоотношений. В круг интересов входят поэтому не только наука, но и вопросы общественной жизни, культуры.

В Красноярской летней школе старшеклассники занимаются математикой, физикой, химией.

Юность неразлучна со спортом, и спортивные соревнования, секции, туристские походы и, конечно, утренняя зарядка обеспечивают ребятам здоровье.

Во многих летних школах установились свои традиции: например, знаменитый «симпозиум фантастических проектов» в летней школе при Новосибирском государственном университете, спортивно-математические состязания и празднование Дня математика в Красноярской летней школе, математический КВН в летней школе города Батуми, общий сбор Малой Академии наук «Искатель» в Крыму.

Своим успехом летние школы во многом обязаны самостоятельности и увлеченности школьников. Деятельное участие ребят в жизни всего коллектива, дружба с молодыми сотрудниками приводят часто к тому, что недавние выпускники школ, а затем студенты и аспиранты вузов физико-математического профиля возвращаются в свою летнюю школу уже в качестве преподавателей и воспитателей.

Летние школы тесно связаны с другими формами внеклассной работы по математике - с научными обществами учащихся, заочными математическими школами. И для многих старшеклассников учеба в летней школе становится первым шагом на пути к овладению будущей профессией.

Рассмотрим два значения аргумента x₁ и x₂, им соответствуют значения линейной функции у₁ = ах₁ + b и у₂ = ах₂ + b. Изменение аргумента на величину у₂ = ах₂ + b вызывает изменение функции на величину у₂ - y₁ = а(х₂ — х₁), при этом отношение изменения функции к изменению аргумента равно a:

(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = a.

Таким образом, у линейной функции изменение функции пропорционально изменению аргумента, и это есть характеристическое свойство линейной функции. Поэтому с помощью линейной функции описываются пропорциональные зависимости.

Например, цена p купленного отреза ткани пропорциональна его длине l, а именно р = kl (здесь k - цена одного метра ткани); при равномерном движении с постоянной скоростью v пройденный путь s пропорционален времени t и выражается формулой s = vt, т.е. s – линейная функция t.

Пример линейной функции дает зависимость между различными шкалами температур. Абсолютная температура t_K (по Кельвину) связана с температурой t_C на шкале Цельсия формулой t_C = t_K + 273°, а переход от температуры по Фаренгейту (шкале, принятой до сих пор в Англии и США) /ф к температуре на шкале Цельсия tc выражается такой линейной функцией: t_Ф = 1,8t_C + 32° (на шкале Цельсия промежуток между точкой замерзания и точкой кипения разделен на 100 частей, а на шкале Фаренгейта – на 180, и 0°С соответствует 32°Ф).

Частный случай линейной функции – прямая пропорциональная зависимость y=ax, т.е. линейная функция при b=0. График этой функции есть прямая, проходящая через начало координат (рис. 1). Число a называется угловым коэффициентом прямой и равен тангенсу угла α, образованного прямой с положительным направлением оси Ox.

Рис. 1

График линейной функции y=ax+b (b≠0) получается из графика функции у = ах параллельным переносом на b единиц вверх при b > 0 и на b единиц вниз при b < 0 (рис. 2). Поскольку прямая определяется своими двумя точками, то для построения графика линейной функции достаточно найти координаты лишь двух ее точек.

Рис. 2

Линейная функция простейшая и, можно сказать, важнейшая среди всех функций. Многие физические законы выражаются с помощью линейной функции (мы уже говорили о пройденном пути при постоянной скорости), но важно то, что целый ряд сложных нелинейных зависимостей «в малом» можно считать линейными. Например, по закону Гука при небольших удлинениях (и только при них) сила упругости F пропорциональна величине x - удлинению пружины: F = -kх. Другой пример: напряжение V по закону Ома линейно зависит от силы тока J, именно V= RJ (здесь R – сопротивление), однако этот закон также справедлив лишь при не очень больших изменениях силы тока.

Что же такое линия? Оказывается, дать строгое определение этого понятия совсем не просто. В «Началах» Евклида линия определялась как «длина без толщины». Однако такое определение не могло устроить математиков более позднего времени. После введения Р. Декартом системы координат появилась возможность дать представление о линии как о траектории движущейся точки. Приведем это определение. Пусть на отрезке [a,b] заданы две непрерывные функции x=f(t) и y=g(t). Сопоставим каждому значению t из отрезка [a,b] точку на координатной плоскости с координатами [x=f(t),y=g(t)]. Совокупность всех таких точек и будем называть линией. Такой способ задания кривой называется параметрическим. Легко заметить связь параметрического задания линии с представлением о линии как о траектории движущейся точки; если считать параметр t временем, то f(t) и g(t) будут координатами движущейся точки в момент времени t.

Параметрическое уравнение прямой имеет вид

а параметрическое уравнение окружности с центром в точке O с координатами (a,b) и радиусом R запишется в виде

Но прямую на плоскости можно описать и одним уравнением:

Ax+By+C=0,

как и окружность, уравнение которой имеет вид

(x-a)²+(y-b)²-R²=0.

Может быть, можно считать линией совокупность всех точек плоскости, удовлетворяющих некоторому уравнению F(x,y)=0?

Да, можно, но с осторожностью. Не всякое уравнение такого вида определяет линию. Скажем, уравнению x²+y²+25=0 не удовлетворяет ни одна точка плоскости, а уравнению x+y-|x+y|=0 удовлетворяют все точки полуплоскости x+y≥0 (рис. 1).

Рис. 1

Подобные казусы бывают и при параметрическом задании линии. Хотя для каждого значения t из отрезка [a,b] определена точка на плоскости, но совокупность этих точек может совершенно не соответствовать нашим интуитивным представлениям о линии, скажем, совпадать со множеством точек некоторого квадрата. Впервые такие линии обнаружил итальянский математик Д. Пеано (1858-1932), в честь которого их стали называть кривыми Пеано.

Способ построения одной из таких кривых изображен на рис. 2. Сначала берем простую крестообразную замкнутую ломаную, затем из четырех таких ломаных, соответственно уменьшенных, строим более сложную кривую, из четырех новых ломаных строим еще одну и т.д. Кривая, которая получится в пределе, и будет кривой Пеано. Для каждой ее точки можно указать значение t на отрезке [0,1], которому соответствует эта точка, причем близким точкам на отрезке [0,1] соответствуют близкие точки на кривой.

Рис. 2

Кривая, которая проходит через все точки квадрата, естественно, не соответствует нашим представлениям о линии. Поэтому при определении линии часто на функции f(t) и g(t) накладывают помимо непрерывности и другие ограничения, например существование производных.

Начнем с длины ломаной. Так как ломаная – объединение нескольких отрезков (ее звеньев), то длину ломаной легко найти, вычислив сумму длин всех се звеньев.

Задача 1. Выпуклый многоугольник F находится в многоугольнике G. Доказать, что периметр многоугольника F меньше периметра объемлющего многоугольника G.

Решение. Продолжим стороны выпуклого многоугольника F до пересечения с контуром объемлющего многоугольника G и сложим ряд неравенств (рис. 1):

|AM| + |MN| + |NH| ≥ |AB| + |BH|,

|BH| + |HP| + |PQ| + |QK| ≥ |BC| + |CK|,

|CK| + |KR| + |RS| + |SL| ≥ |CD| + |DL|,

|DL| + |LT| + |TM| ≥ |DA| + |AM|.

Логарифм определен для любого положительного числа N при любом отличном от единицы положительном основании a. Каждому положительному числу при данном основании соответствует единственный логарифм.

По определению логарифма справедливо равенство

,

из которого на основе свойств показательной функции устанавливаются основные свойства логарифмов (здесь M,N и k – положительные числа):

(1)

Эти свойства позволяют сводить умножение и деление чисел (представленных в виде степеней некоторого числа, принятого за основание) к сложению и вычитанию показателей степеней, а возведение в степень и извлечение корня – к  умножению и делению на показатель степени, поэтому применение логарифмов упрощает выполнение умножения и деления. На этом основан очень популярный прежде счетный прибор логарифмическая линейка, которая сейчас всюду вытесняется микрокалькуляторами.

При нашей десятичной системе счисления самым удобным основанием является число 10. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lg:

lg N = log₁₀ N.

При основании, равном 10, только логарифмы целых степеней числа 10 представляются целыми числами (lg 10³ = 3, lg 0,01 = lg 10^-2 = -2), логарифмы же остальных чисел нецелые. Целая часть значения логарифма называется характеристикой, дробная мантиссой.

Любое положительное число N всегда можно представить в виде N = 10ⁿ·x, где n - целое число, а x заключено в пределах от 1 до 10. Из этого представления числа N следует, что lg N = n + lg x, где n - характеристика, a lg x – мантисса логарифма числа N.

Для числа, большего единицы, характеристика на единицу меньше числа цифр у целой части этого числа. Для числа, заключенного между нулем и единицей и записанного десятичной дробью, характеристика отрицательна и равна взятому со знаком минус числу нулей до первой значащей цифры, например для числа 0,0216 его характеристика равна -2.

Десятичные логарифмы используются в практике главным образом в силу исторической традиции. Гораздо более важными в математике и ее приложениях являются натуральные логарифмы, т.е. логарифмы с основанием e. Это число, к которому неограниченно приближаются числа вида (1+1/n)ⁿ при неограниченном возрастании числа n. Буквой e это число предложил назвать Л. Эйлер. Важность логарифмической функции с основанием объясняется тем, что в математике используется показательная функция, как правило, с основанием e, а поэтому важна и обратная к ней функция.

Логарифмы были введены шотландским математиком Дж. Непером (1550-1617) и независимо от него швейцарским механиком и математиком И. Бюрги (1552-1632). Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620 г.), и первой в 1614 г. появилась работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов».

Первые таблицы десятичных логарифмов были составлены изобретательным и остроумным вычислителем, английским математиком Г. Брипсом (1561-1630).

На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 г.

Рис. 2

С увеличением размеров (числа клеток) квадрата быстро растет количество возможных магических квадратов. Так, например, различных магических квадратов 4 × 4 уже 880, а для размера 5 × 5 их количество приближается к четверти миллиона. Среди них есть квадраты, обладающие интересными свойствами. Например, в квадрате на рис. 3 равны между собой не только суммы чисел в строках, столбцах и диагоналях, но и суммы пятерок чисел по «разломанным» диагоналям, связанным на рисунке цветными линиями.

Рис. 3

Латинским квадратом называется квадрат n×n клеток, в которых написаны числа 1, 2,..., n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На рис. 4 изображены два таких латинских квадрата 4 × 4. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными. Задачу отыскания ортогональных латинских квадратов впервые поставил Л. Эйлер, причем в такой занимательной формулировке: «Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и, кроме того, поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить этих офицеров в каре 6 × 6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?»

Рис. 4

Эйлер не смог найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что такого решения не существует. В то же время Эйлер доказал, что ортогональные пары латинских квадратов существуют для всех нечетных значений n и для таких четных значений n, которые делятся на 4. Решение задачи Эйлера для 25 офицеров изображено на рис. 5. Чин офицера символизирует цветной кружок в углу каждой из клеток. Здесь особенно хорошо видна связь между, задачей Эйлера и латинскими квадратами: рода войск соответствуют числам одного латинского квадрата, а чины (цветные точки) – числам ортогонального ему латинского квадрата. Эйлер выдвинул гипотезу, что для остальных значений n, т.е. если число n при делении на 4 дает в остатке 2, ортогональных квадратов не существует. В 1901 г. было доказано, что ортогональных квадратов размером 6 × 6 не существует, и это усиливало уверенность в справедливости гипотезы Эйлера. Однако в 1959 г. с помощью ЭВМ были найдены сначала ортогональные квадраты 10 × 10, потом 14 × 14, 18 × 18, 22 × 22. А затем было показано, что для любого n, кроме 6, существуют ортогональные квадраты размером n×n.

Рис. 5

«Часто воспроизводится магический квадрат, присутствующий на знаменитой гравюре А. Дюрера «Меланхолия».

Попытки определить математику путем перечисления составляющих ее ветвей уводят нас в сторону, поскольку не дают представления о том, что же именно изучает математика и каково ее отношение к окружающему нас миру. Если бы подобный вопрос был задан физику, биологу или астроному, то каждый из них дал бы весьма краткий ответ, не содержащий перечисления частей, из которых состоит изучаемая ими наука. Такой ответ содержал бы указание на явления природы, которые она исследует. Например, биолог заявил бы, что биология изучает различные проявления жизни. Пусть этот ответ не вполне закончен, поскольку в нем не говорится, что такое жизнь и жизненные явления, но тем не менее такое определение дало бы достаточно полное представление о содержании самой науки биологии и о разных уровнях этой науки. И это определение не изменилось бы с расширением наших знаний по биологии.

Не существует таких явлений природы, технических или социальных процессов, которые были бы предметом изучения математики, но при этом не относились бы к явлениям физическим, биологическим, химическим, инженерным или социальным. Каждая естественнонаучная дисциплина: биология и физика, химия и психология – определяется материальной особенностью своего предмета, специфическими чертами той области реального мира, которую она изучает. Сам предмет или явление может изучаться разными методами, в том числе и математическими, но, изменяя методы, мы все же остаемся в пределах данной дисциплины, поскольку содержанием данной науки является реальный предмет, а не метод исследования. Для математики же материальный предмет исследования не имеет решающего значения, важен применяемый метод. Например, тригонометрические функции можно использовать и для исследования колебательного движения, и для определения высоты недоступного предмета. А какие явления реального мира можно исследовать с помощью математического метода? Эти явления определяются не их материальной природой, а исключительно формальными структурными свойствами, и прежде всего теми количественными соотношениями и пространственными формами, в которых они существуют.

Итак, математика изучает не материальные предметы, а методы исследования и структурные свойства объекта исследования, которые позволяют применять к нему некоторые операции (суммирование, дифференцирование и др.). Однако значительная часть математических проблем, понятий и теорий имеет своим первичным источником реальные явления и процессы. Например, арифметика и теория чисел выделились из первичной практической задачи – подсчета предметов. Элементарная геометрия имела своим источником проблемы, связанные со сравнением расстояний, вычислением площадей плоских фигур или же объемов пространственных тел. Все это требовалось находить, поскольку необходимо было перераспределять земельные участки между пользователями, вычислять размеры зернохранилищ или же объемы земляных работ при строительстве оборонных сооружений.

Математический результат обладает тем свойством, что его можно не только применять при изучении какого-то одного определенного явления или процесса, но и использовать для исследования других явлений, физическая природа которых принципиально отлична от ранее рассмотренных. Так, правила арифметики применимы и в задачах экономики, и в технических вопросах, и при решении задач сельского хозяйства, и в научных исследованиях. Арифметические правила были разработаны тысячелетия назад, но прикладную ценность они сохранили на вечные времена. Арифметика представляет собой составную часть математики, ее традиционная часть уже не подвергается творческому развитию в рамках математики, но она находит и будет в дальнейшем находить многочисленные новые применения. Эти применения могут иметь огромное значение для человечества, но вклада собственно в математику они уже не внесут.

Математика, как творческая сила, имеет своей целью разработку общих правил, которыми следует пользоваться в многочисленных частных случаях. Тот, кто создает эти правила, создает новое, творит. Тот, кто применяет уже готовые правила, в самой математике уже не творит, но, вполне возможно, создает с помощью математических правил новые ценности в других областях знания. Например, в наши дни данные дешифровки космических снимков, а также сведения о составе и возрасте горных пород, геохимических и геофизических аномалиях обрабатываются с помощью ЭВМ. Несомненно, что применение ЭВМ в геологических исследованиях оставляет эти исследования геологическими. Принципы же работы ЭВМ и их математическое обеспечение разрабатывались без учета возможности их использования в интересах геологической науки. Сама эта возможность определяется тем, что структурные свойства геологических данных находятся в соответствии с логикой определенных программ работы ЭВМ.

Получили широкое распространение два определения математики. Первое из них было дано Ф. Энгельсом в работе «Анти-Дюринг», другое – группой французских математиков, известной под именем Никола Бурбаки, в статье «Архитектура математики» (1948).

Согласно Ф. Энгельсу, «чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира». Это определение не только описывает объект изучения математики, но и указывает его происхождение – действительный мир. Однако определение Ф. Энгельса в значительной мере отражает состояние математики во второй половине XIX в. и не учитывает те ее новые области, которые непосредственно не связаны ни с количественными отношениями, ни с геометрическими формами. Это, прежде всего, математическая логика и дисциплины, связанные с программированием для ЭВМ. Поэтому определение Ф. Энгельса нуждается в некотором уточнении. Возможно, нужно сказать, что математика имеет своим объектом изучения пространственные формы, количественные отношения и логические конструкции.

Бурбаки утверждают, что «единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры». Иначе говоря, математику следует определить как науку о математических структурах. Это определение в сущности является тавтологией, поскольку оно утверждает только одно: математика занимается теми объектами, которые она изучает. Другой дефект этого определения состоит в том, что оно не выясняет отношения математики к окружающему нас миру. Более того, Бурбаки подчеркивают, что математические структуры создаются независимо от реального мира и его явлений. Вот почему Бурбаки были вынуждены заявить, что «основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического. То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, - это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого... и, быть может, мы их никогда не узнаем».

Из определения Ф. Энгельса не может возникнуть подобного разочаровывающего вывода, поскольку в нем уже содержится утверждение о том, что математические понятия являются абстракциями от некоторых отношений и форм реального мира. Эти понятия берутся из реального мира и с ним связаны. В сущности, именно этим и объясняется поразительная применимость результатов математики к явлениям окружающего нас мира, а вместе с тем и успех процесса математизации знаний. Здесь заслуживает упоминания высказывание В. И. Ленина, помещенное в «Философских тетрадях» и сделанное им в связи с изучением «Науки логики» Гегеля: «Познание есть отражение человеком природы. Но это не простое, не непосредственное, не цельное отражение, а процесс ряда абстракций, формирования, образования понятий, законов etc., каковые понятия, законы etc. (мышление, наука - «логическая идея») и охватывают условно, приблизительно универсальную закономерность вечно движущейся и развивающейся природы».

Математика не является исключением из всех областей знания – в ней также образуются понятия, возникающие из практических ситуаций и последующих абстрагирований; она позволяет изучать действительность также приближенно. Но при этом следует иметь в виду, что математика изучает не вещи реального мира, а абстрактные понятия и что логические ее выводы абсолютно строги и точны. Ее приближенность носит не внутренний характер, а связана с составлением математической модели явления. Заметим еще, что правила математики не обладают абсолютной применимостью, для них также существует ограниченная область применения, где они господствуют безраздельно. Поясним высказанную мысль примером: оказывается, что два и два не всегда равно четырем. Известно, что при смешивании 2 л спирта и 2 л воды получается меньше 4 л смеси. В этой смеси молекулы располагаются компактнее, и объем смеси оказывается меньше суммы объемов составляющих компонентов. Правило сложения арифметики нарушается. Можно еще привести примеры, в которых нарушаются другие истины арифметики, например при сложении некоторых объектов оказывается, что сумма зависит от порядка суммирования.

Советские математики рассматривают математические понятия не как создание чистого разума, а как абстракции от реально существующих вещей, явлений, процессов или же абстракции от уже сложившихся абстракций (абстракции высших порядков). В «Диалектике природы» Ф. Энгельс писал, что «... вся так называемая чистая математика занимается абстракциями... все ее величины суть, строго говоря, воображаемые величины...» Эти слова достаточно четко отражают мнение одного из основоположников марксистской философии о роли абстракций в математике. Нам только следует добавить, что все эти «воображаемые величины» берутся из реальной действительности, а не конструируются произвольно, свободным полетом мысли. Именно так вошло во всеобщее употребление понятие числа. Сначала это были числа в пределах единиц, и притом только целые положительные числа. Затем опыт заставил расширить арсенал чисел до десятков и сотен. Представление о неограниченности ряда целых чисел родилось уже в исторически близкую нам эпоху: Архимед в книге «Псаммит» («Исчисление песчинок») показал, как можно конструировать числа еще большие, чем заданные. Одновременно из практических нужд родилось понятие дробных чисел. Вычисления, связанные с простейшими геометрическими фигурами, привели человечество к новым числам – иррациональным. Так постепенно формировалось представление о множестве всех действительных чисел.

Тот же путь можно проследить для любых других понятий математики. Все они возникли из практических потребностей и постепенно сформировались в абстрактные понятия. При этом всегда следует помнить прекрасные слова Ф. Энгельса: «... чистая математика имеет значение, независимое от особого опыта каждой отдельной личности... Но совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди научились считать, т.е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творчества разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже и способностью отвлекаться при рассмотрении этих предметов от всех прочих свойств, кроме числа, а эта способность есть результат долгого исторического развития, опирающегося на опыт. Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствовано исключительно из внешнего мира, а не возникло в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определенную форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было прийти к понятию фигуры».

Предметом математической логики служат в основном рассуждения. При их изучении она пользуется математическими методами. Разъясним сказанное.

Математики строят и развивают математические теории, дают определения, доказывают теоремы и т.п. Специалисты по математической логике, наблюдая за этим, анализируют, как математики это делают и что при этом получается. Образно говоря, соотношение между математикой и математической логикой похоже на соотношение между концертом и теорией музыки. Можно сказать, что математическая логика изучает основания математики, принципы построения математических теорий.

Возникновение математических наук, несомненно, было связано с потребностями экономики. Требовалось, например, узнать, сколько земли засеять зерном, чтобы прокормить семью, как измерить засеянное поле и оценить будущий урожай.

Первенство в регулярном проведении соревнований школьников, по-видимому, принадлежит Венгрии, где математические олимпиады устраивают с 1894 г. (сборник задач этих олимпиад издан на русском языке в 1976 г. в издательстве «Мир» в серии «Задачи и олимпиады»). С 1894 г. в России выходил журнал «Вестник опытной физики и элементарной математики», где учащимся и другим читателям предлагались математические задачи «на конкурс». Можно сказать, что это были заочные олимпиады.

А как быть тем школьникам наших дней, которые любят решать задачи, любят соревноваться, но еще не могут штурмовать высоты современной математики?

Для них ученые-математики, преподаватели и студенты вузов, учителя каждый год придумывают новые задачи и предлагают их на математических олимпиадах.

В СССР первые городские олимпиады по математике состоялись полвека назад – в 1934 г. в Ленинграде и Тбилиси. Одним из инициаторов их проведения был замечательный геометр, член-корреспондент АН СССР Б. Н. Делоне. В 1935 г. состоялась математическая олимпиада в Москве. Председателем оргкомитета 1-й московской математической олимпиады был член-корреспондент АН СССР, впоследствии академик, П. С. Александров, а членами оргкомитета – профессора-математики МГУ.

На первых олимпиадах были заложены традиции их проведения. Математические олимпиады стали совместными праздниками математиков разных поколений – школьников, студентов (недавних участников олимпиад), руководителей кружков – учителей и молодых ученых, преподавателей и профессоров вузов. Задолго до олимпиады члены жюри начинают собирать и обдумывать задачи. На олимпиаде участникам, как правило, предлагают за три-пять часов решить три-пять различных по содержанию и трудности задач, требующих не столько знания школьной программы, сколько умения найти удачный ход мысли, способности логически четко рассуждать в непривычной ситуации. Разбор задач, который устраивают после проверки работ, обычно имеет форму лекции, где разбираются лучшие решения и характерные ошибки. Каждый участник может обсудить свою работу с членами жюри, выяснить, какие неточности он допустил. Завершает олимпиаду вручение премий и грамот.

Основная цель олимпиады, впрочем, не в том, чтобы выявить победителей, а в том, чтобы заинтересовать всех участников оригинальными задачами, привлечь новичков к систематическим занятиям в математических кружках, слушанию лекций, самостоятельной работе с книгой.

За прошедшие годы география математических олимпиад сильно расширилась, неизмеримо выросло число их участников. Олимпиады стали проводиться и в других странах, а в 1959 г. в Румынии состоялась первая международная олимпиада школьников.

С 1961 г. Министерство просвещения РСФСР, затем СССР ежегодно проводят математическую олимпиаду для школьников. С 1967 г. она стала называться Всесоюзной и состоит из пяти этапов: первый – школьные соревнования, второй – олимпиады городов и районов, третий – областные олимпиады, четвертый – республиканские олимпиады, а также олимпиады в Москве и Ленинграде и, наконец, пятый – заключительный тур. Если в школьных и городских олимпиадах могут участвовать все желающие (как правило, начиная с 5-го класса), то на дальнейшие этапы формируются команды из числа победителей предыдущих этапов.

В республиканских олимпиадах участвуют также несколько победителей заочного конкурса, который проводит журнал «Квант», а также команды некоторых специализированных физико-математических школ-интернатов. Около 150 учеников 8, 9, 10-го классов принимают участие в заключительном туре.

Из числа победителей Всесоюзной олимпиады формируется команда СССР на международную олимпиаду. В ней регулярно участвуют команды более 30 стран. В неофициальном командном первенстве по сумме баллов, числу I, I и III премий, полученных

участниками соревнований, - команда СССР почти всегда занимает одно из первых мест.

Разумеется, подняться на высшие ступеньки математического «олимпийского пьедестала» удается лишь немногим. Этот успех свидетельство не только незаурядных способностей, но и упорства, и умения быстро включаться, настраиваться на новую задачу. Не все бывшие чемпионы олимпиад стали крупными математиками, но можно назвать целый ряд известных и в нашей стране, и за рубежом ученых, чьи первые шаги были отмечены премиями олимпиад. Среди них, например, три советских математика разных поколений, каждый из которых прославился решением одной из «проблем Гильберта», поставленных на рубеже XIX-XX вв., - В. И. Арнольд, Ю. И. Матиясевич, В. М. Харламов.

Однако далеко не все математики в прошлом участники и победители олимпиад. Никак нельзя думать, что неудача на олимпиаде свидетельствует об отсутствии математических способностей. После неудачи нужно, конечно, попробовать получше подготовиться к следующей олимпиаде. Тут есть большой выбор: помимо разных туров Всесоюзной олимпиады в нашей стране проходит и много других математических соревнований школьников: олимпиады, организуемые отдельными вузами, олимпиады в летних физико-математических школах, командные соревнования классов и школ (они регулярно проводятся, например, в Омске), «математические бои». В Ленинграде, где возникли и сохраняются многие традиции математических соревнований, в последние годы сформировалась и традиция проведения олимпиад для учащихся ПТУ. Весной 1985 г. состоялась первая Всесоюзная олимпиада учащихся ПТУ.

Можно посоветовать также решать задачи из олимпиадных сборников. Ведь жюри каждой олимпиады вынуждено не повторять старых задач, хотя среди них можно встретить поистине замечательные произведения. Приведем несколько задач, которые были предложены на олимпиадах школьников в разное время.

Задача. Построить треугольник ABC, если известна сторона AB, радиус r вписанной окружности и радиус r_c вневписанной окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон AC и BC. (Венгрия, 1900 г.)

Решение. Предположим, что искомый треугольник построен, и отметим точки касания T и T_c с прямой AC вписанной и вневписанной окружностей (радиусов r и r_c, соответственно). На нашем рисунке (рис. 1) несколько пар касательных, проведенных к каждой окружности из одной и той же точки; пользуясь тем, что в такой паре длины касательных равны, нетрудно установить, что отрезки AB и TT_c равны по длине. Отсюда вытекает способ построения: отмечаем на прямой две точки T и T_c на расстоянии AB, строим по одну сторону от этой прямой окружности радиусов r и r_c, касающиеся ее в точках T и T_c проводим еще одну внешнюю и одну внутреннюю общую касательную к этим окружностям – и нужный треугольник построен. Задача имеет решение в том и только в том случае, если r r_c ≥ (c/2)².

Рис. 1

Задача. Груз массой 13,5 т упакован в некоторое число «невесомых» ящиков. Масса каждого ящика с грузом не превосходит 350 кг. Докажите, что этот груз можно перевезти на 11 полуторатонках. (Москва, 1956 г., VIII кл., 2-й тур.)

Решение. Докажем, что ящиками не более 350 кг (если их общий вес более 1,2 т) можно набрать вес от 1,2 до 1,5 т. Расположим их по порядку, начиная с самых тяжелых. Если первые четыре весят вместе более 1,2 т – их уже достаточно (вес будет не более 1,4 т); а если нет, то четвертый и последующие весят не более 0,3 т каждый, так что мы можем, нагружая их по порядку, обеспечить «недогруз» не более 0,3 т. Заметим, что оценка 1,2 т здесь точная: пример, когда все ящики весят поровну и чуть больше 300 кг, показывает, что ее нельзя заменить большей.

Теперь уже легко: нагружаем на 10 полуторатонок не менее чем по 1,2 т и – если что-то осталось – сваливаем остаток на 11-ю машину.

Задача. Докажите, что не существует тетраэдра, у которого каждое ребро являлось бы стороной плоского тупого угла. (Москва, 1959 г., IX кл., 1-й тур.)

Решение. Рассмотрим наибольшее по длине ребро: к нему ни в какой грани не может примыкать тупой угол.

Задачи-головоломки известны с давних времен, они встречаются уже в египетских папирусах. С I в. н.э. известна задача, получившая название задачи Иосифа Флавия, римского историка. Легенда рассказывает, что однажды отряд воинов, среди которых находились Флавий и его друг, был окружен. Из всех уставших, выбившихся из сил воинов, отчаявшихся спастись, нужно было выбрать двоих, которые предприняли бы попытку найти выход из окружения. Флавий предложил выбрать этих двоих путем пересчета так, чтобы каждый третий выбывал из построенных в круг воинов. Счет продолжался до тех пор, пока не осталось только два человека. Это были мудрый Флавий и его друг. На какие места в круге они встали, если в отряде был 41 воин? Древняя рукопись сообщает: на 16-е и 31-е.

Игра «крестики-нолики» - одна из древнейших, ее знают все. В квадрате, разделенном на девять клеток, игроки по очереди ставят в свободную клетку свой знак: крестик или нолик, стараясь выстроить три крестика или три нолика подряд. Тот, кто первым сделает это, выигрывает.

Если не делать ошибок, то игра оканчивается вничью, выиграть можно только в том случае, если противник ошибется. Самый правильный первый ход – занять угловую клетку. И если партнер не ответит на это своим знаком в центре, то он проиграл.

Гораздо интереснее усложненный вариант «крестиков-ноликов» - игра «пять в ряд». На листке клетчатой бумаги двое играющих по очереди ставят крестики и нолики. Выигрывает игрок, который первым выставит пять своих знаков подряд по вертикали, горизонтали или диагонали. Размеры поля игры не ограничиваются.

Издавна играют в игру «ним». Пусть имеется одна или несколько групп предметов. Играющие по очереди берут предметы из групп по правилам, которые заранее устанавливают: какое количество предметов разрешается брать за один раз и из скольких групп. Существует множество вариантов игры, и для большинства известна наилучшая стратегия, ведущая к выигрышу. Наличие самих предметов не обязательно, можно играть и с числами.

Двое называют по очереди любое число от 1 до 10 и складывают названные числа. Выигрывает тот, кто первым доведет до 100 сумму чисел, названных обоими игроками. Оптимальная стратегия в этой игре состоит в том, чтобы после хода противника называть числа, дающие, в сумме с предыдущими, члены следующего ряда: 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 100.

С древности до наших дней очень популярны головоломки-шутки, они учат внимательно относиться к каждому слову условия задачи. Вот одна из них: в кармане лежат две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

Задача основана на психологической особенности человеческого восприятия – запоминать главные факты из условия задачи. В данном случае – то, что монета в кармане не пятак. И начинаются безуспешные попытки решения. А правильный ответ: 10 коп. и 5 коп., так как в условии задачи сказано, что только одна монета не пятак.

В старинной задаче «Волк, козел и капуста» крестьянину нужно перевезти через реку волка, козла и капусту. Лодка так мала, что в ней кроме крестьянина может поместиться или только волк, или только козел, или только капуста. Но если оставить волка с козлом, то волк его съест, а если оставить козла с капустой, то будет съедена капуста. Как быть крестьянину?

Головоломки типа этой задачи называются комбинаторными (см. Комбинаторика). В таких головоломках требуется путем взаимной перестановки элементов расположить их в соответствии с условием задачи в определенном порядке.

В случае с крестьянином переправу нужно начать с перевозки козла. Затем крестьянин возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег и там оставляет, но везет обратно на первый берег козла. Здесь он оставляет его и перевозит к волку капусту. А затем, возвращаясь, перевозит козла.

К комбинаторным головоломкам относится и знаменитый венгерский кубик Рубика, и полимино, и игры типа «Игра 15», а также задачи «на маневрирование», головоломки с перестановкой шашек, «Ханойская башня» и др.

О Ханойской башне существует легенда, согласно которой где-то в глубине джунглей в буддийском храме находится пирамида, состоящая из 64 золотых дисков. День и ночь жрецы храма заняты разбором этой пирамиды. Они переносят золотые диски на новое место, строго соблюдая следующие правила: за один раз разрешается переносить только один диск и нельзя ни один диск класть на меньший диск. Предание гласит, что, как только жрецы закончат работу, грянет гром, храм рассыплется в пыль и наступит конец света.

Количество перемещений дисков, которые должны сделать жрецы, вычисляется по формуле 2ⁿ - 1, где n – число дисков. Предположим, что жрецы работают так быстро, что за одну секунду переносят один диск. Тогда на всю работу им понадобится 2⁶⁴-1, или около 580 млрд. лет. За это время храм, действительно, может рассыпаться в пыль.

Рис. 1 Головоломка «Ханойская башня». Перенесите кольцо с левой оси на правую по правилам, изложенным в индийской легенде, не более чем за 31 ход.

Не менее интересное занятие, чем комбинаторные головоломки, - разгадывание арифметических ребусов, в которых нужно восстановить недостающие цифры. Для игр-головоломок со спичками совсем не обязательно иметь спички, их можно заменить прутиками или черточками на бумаге или земле. Задачи на разрезание относятся к геометрическим головоломкам. Их удобно решать, вычертив предполагаемые фигуры на листке клетчатой бумаги.

Самые древние геометрические головоломки – это головоломки на складывание геометрических фигур из отдельных кусочков. Уже сами названия этих головоломок: «Пифагор», «Колумбово яйцо», «Архимедова игра» - говорят об их древности. Эти игры легко сделать самому, вырезав их из картона.

Рис. 2 «Пифагор» - головоломка на складывание фигур.

Топологические головоломки тоже одни из самых древних. К ним относятся всем известные лабиринты, проволочные, шнурковые и объемные сборно-разборные головоломки.

Удивительной для непосвященных кажется способность человека отгадывать задуманное другим число. Но если вы узнаете секреты математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать новые.

Вы просите товарища задумать любое число, затем отнять от него 1, результат умножить на 2, из произведения вычесть задуманное число и сообщить вам результат. Прибавив к нему число 2, вы отгадаете задуманное. Секрет фокуса становится понятен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения (x-1)·2-x, где x – задуманное число. Раскрыв скобки и выполнив действия, мы получим, что это выражение равно x - 2.

Можно угадать результат арифметических действий над неизвестным числом, например, так. Ваш товарищ задумал число. Вы просите умножить его на 2, затем прибавить к произведению 12, сумму разделить пополам и вычесть из нее задуманное число. Какое бы число ни было задумано, результат всегда будет равен 6, так как (2x + 12)/2 - x = 6 при любом x.

На рис. 3 изображен «волшебный веер». С его помощью можно отгадать любое задуманное число от 1 до 31. Вы просите указать, на каких лепестках веера написано задуманное число, а затем в уме складываете числа, стоящие под столбцами на этих лепестках. Их сумма всегда будет равна задуманному числу.

Рис. 3 «Волшебный веер» для отгадывания задуманных чисел.

В наше время большую популярность получили логические задачи-головоломки. Вот пример решения такой задачи.

Три мальчика, устав от игр, прилегли отдохнуть под деревом и уснули. Пока они спали, их товарищи испачкали им сажей лбы. Проснувшись и взглянув друг на друга, мальчики начали смеяться. Внезапно один из них замолчал, так как понял, что его лоб тоже испачкан. Он подумал: «Мы смеемся, потому что каждый из нас считает, что его лицо чистое. Но если мое лицо чистое, то Коле должен быть непонятен смех Андрея. Раз Андрей смеется, а мое лицо чистое, то он смеется над Колей. Коля должен это понять и перестать смеяться. А раз он не перестает, значит, мой лоб тоже в саже».

Попробуйте ответить на вопрос еще одной логической головоломки.

Если головоломка, которую вы разгадали перед тем, как вы разгадали эту, была труднее, чем головоломка, которую вы разгадали после того, как вы разгадали головоломку, которую вы разгадали перед тем, как вы разгадали эту, то была ли головоломка, которую вы разгадали перед тем, как вы разгадали эту, труднее, чем эта? Ответ: да.

Рис. 4 Головоломка с перемещением шашек. Переместите черную шашку в крайнюю левую клетку, используя свободные боковые поля. На это требуется не менее 28 перемещений шашек.

Рис. 5 Задача на маневрирование. Сколько раз нужно перевести стрелку, чтобы поменять местами вагоны, если через туннель может проходить только паровоз? Решения: 1-14 перемещений.

МАТЕМАТИКА НА ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ

Шахматы не только популярная игра, но и источник множества интересных математических задач. Не случайно шахматные термины можно встретить в литературе по комбинаторике, теории графов, кибернетике, теории игр, программированию на электронных вычислительных машинах. Расскажем о нескольких математических задачах на шахматной доске.

Располагать те или иные данные в виде прямоугольных таблиц приходится довольно часто. Например, если три завода выпускают пять различных видов продукции, то отчет о производстве за год может быть дан в виде таблицы

,

где x_ij – количество продукции j-го вида, выпущенное i-м заводом в течение этого года. Кратко будем обозначать эту таблицу X = (x_ij) и назовем ее прямоугольной матрицей с тремя строками и пятью столбцами. Аналогично определяется понятие прямоугольной матрицы с m строками и n столбцами (или, короче, (m×n)-матрицы). При m=n такую матрицу называют квадратной, а число n - порядком этой матрицы.

Если ассортимент продукции не изменился в течение следующего года, то отчет о производстве за второй год тоже имеет вид матрицы Y = (y_ij). Но тогда выпуск продукции за два года выражается матрицей X + Y = (x_ij + y_ij). Вообще, при сложении двух (m×n)-матриц складываются соответствующие элементы этих матриц. Если же в течение второго года производство каждого вида продукции на каждом заводе увеличилось на 20%, то для любых i,j верно равенство y_ij=1,2·x_ij. В этом случае пишут Y = 1,2X. Чтобы умножить матрицу X на число λ, надо умножить на это число каждый элемент матрицы.

Выпуск продукции можно выражать не только в штуках, метрах или тоннах, но и в рублях. Для этого надо знать цену каждого вида продукции. Поскольку она может меняться от года к году, обозначим через λ_jk цену j-го вида продукции в k-й год. Эти цены можно записать в виде (n×s)-матрицы Λ, где n-число видов продукции и s- число лет. Например, при s=4 имеем матрицу

.

Выпуск продукции i-м заводом за k-й год, выраженный в рублях, составит величину

a_ik = x_i1λ_1k + x_i2λ_2k + ... + x_inλ_nk, (1)

где каждое слагаемое есть произведение величины выпуска соответствующего вида продукции в выбранных единицах на стоимость единицы этой продукции в рублях. Числа a_ik образуют матрицу A с m (у нас m = 5) строками и s(у нас s = 4) столбцами. Такую матрицу принято называть произведением матриц X и Λ:

A = X ·Λ.

Итак, если X является (m×n)-матрицей, а Λ - (n×s)-матрицей, то их произведением называют (m×s)-матрицу A = X Λ, состоящую из элементов, определяемых по формуле (1). При умножении квадратных матриц n-го порядка снова получается квадратная матрица n-го порядка.

Особую роль играет матрица E

,

у которой вдоль диагонали из верхнего левого угла в правый нижний стоят единицы, а остальные элементы равны нулю; для любой квадратной матрицы n×n X имеем: XE = EX = X, т.е. она играет роль единицы. Если определитель квадратной матрицы X отличен от нуля, то существует обратная ей матрица X^-1, такая, что XX^-1 = X^-1X = E. Возникает матричная алгебра, в которой верны многие правила обычной алгебры, например (XY)Z = X(YZ), X(Y + Z) = XY + XZ и т.д. Однако умножение не является коммутативным, т.е., вообще говоря, XY ≠ YX.

Впервые матрицы встретились в математике в связи с решением систем линейных уравнений. С системой уравнений

    (2)

связаны матрица A = (a_ij), составленная из коэффициентов этих уравнений, и расширенная матрица, получаемая добавлением к матрице A столбца свободных членов. Операции, производимые при решении системы уравнений (2), можно выполнять непосредственно над расширенной матрицей. Такую запись решения применяли древнекитайские математики во II в. до н.э., а в европейской науке матричная запись систем линейных уравнений применяется с XIX в.

В наши дни теория матриц находит обширные приложения в вычислительной математике, физике, экономике и других областях науки.

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней. Это условие эквивалентно каждому из двух других: 1) отрезок с концами в любых двух точках многогранника целиком лежит в многограннике, 2) многогранник можно представить как пересечение нескольких полупространств.

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера (см. Топология), устанавливающая связь между числом вершин В, ребер Р и граней Г:

B - P + Г = 2.

Для невыпуклых многогранников это соотношение, вообще говоря, неверно, например для многогранной поверхности, изображенной на рис. 2; B = Г = 24, P = 48, поэтому B - P + Г = 0. Число χ = B - P + Γ называется эйлеровой характеристикой многогранника и может равняться 2,0,-2,-4,-6,.... Эйлерова характеристика показывает, грубо говоря, сколько «дырок» имеет многогранник. Число дырок p = 1 - χ/2 (или χ = 2 - 2p).

Простейшая классификация по числу вершин (углов, сторон) для многогранников неэффективна. Самые простые многогранники – четырехвершинники или четырехгранники – всегда ограничены четырьмя треугольными гранями. Но уже пятигранники могут быть совершенно разных типов, например: четырехугольная пирамида ограничена четырьмя треугольниками и одним четырехугольником (рис. 4,а), а треугольная призма ограничена двумя треугольниками и тремя четырехугольниками (рис. 4,б). Примеры пятивершинников – четырехугольная пирамида и треугольный диэдр (рис. 4,в).

Рис. 4

Самые распространенные в окружающем нас мире многогранники, конечно, имеют специальные названия. Так, n-угольная пирамида имеет n-угольник в основании и n боковых треугольных граней, сходящихся в общей вершине треугольников (рис. 4,а, где n = 4); n-угольная призма ограничена двумя равными, параллельными и одинаково расположенными n-угольниками – основаниями – и n параллелограммами – боковыми гранями, соединяющими соответственные стороны оснований (рис. 4,б, где n = 3).

Промежуточное положение между пирамидами и призмами занимают усеченные пирамиды, получающиеся из пирамид отсечением меньших пирамид параллельными основаниям плоскостями (рис. 5). Среди природных форм кристаллов встречаются диэдры, или бипирамиды, составленные из двух пирамид с общим основанием (рис. 4,в). Архимед рассматривал также n-угольные антипризмы, ограниченные двумя параллельными, но повернутыми друг относительно друга n-угольниками и соединяющими их, как показано на рис. 6, 2n-треугольниками (при большом n антипризма похожа на пионерский барабан — рис. 6).

Рис. 5

Рис. 6

Как и многоугольники, многогранники классифицируют также по степени их симметричности. Среди пирамид выделяют правильные: в основании у них лежит правильный многоугольник, а высота – перпендикуляр, проведенный из вершины к плоскости основания,- попадает в центр основания пирамиды.

Аналогом параллелограмма является параллелепипед; так же как параллелограмм, параллелепипед имеет центр симметрии, в котором пересекаются и делятся пополам все четыре диагонали (отрезки, соединяющие вершины, не принадлежащие одной грани). Правильные призмы в основаниях имеют правильные многоугольники, расположенные так, что прямая, проходящая через их центры, перпендикулярна плоскостям оснований. Так же должны быть расположены и основания правильной n-угольной антипризмы, но только одно основание должно быть повернуто на угол 180°/n = π/n относительно другого. Все правильные многогранники имеют довольно много самосовмещений – поворотов и симметрий, переводящих многогранник в себя. Совокупность всех самосовмещений, считая и тождественное, образует так называемую группу симметрий многогранника. По группам симметрий в кристаллографии классифицируют монокристаллы, имеющие, как правило, многогранную форму.

Симметричность, правильность рассмотренных выше многогранников не совсем полные – у них могут существовать неравные грани, разные многогранные углы. Исключение составляют три многогранника: правильный тетраэдр – правильная треугольная пирамида с равными ребрами, ограниченная четырьмя правильными треугольниками (рис. 7,а); куб, или правильный гексаэдр, - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами (рис. 7,б); наконец, октаэдр – правильный четырехугольный диэдр с равными ребрами, ограниченный восемью правильными треугольниками (рис. 7,в); октаэдр можно определить и как правильную треугольную антипризму с равными ребрами. В отличие от произвольных правильных пирамид, призм, диэдров и антипризм – тетраэдр, куб, октаэдр таковы, что любые их две грани (и любые два многогранных угла) можно совместить с помощью некоторого самосовмещения всего многогранника. Кроме того, их многогранные углы правильные, т.е. имеют равные плоские и равные двугранные углы.

Рис. 7

Аналогично правильным многоугольникам на плоскости можно определить и правильные многогранники «вообще»: это выпуклые многогранники, ограниченные равными правильными многоугольниками и имеющие равные правильные многогранные углы. Оказывается, кроме трех названных выше видов правильных многогранников – правильного тетраэдра, куба и октаэдра – существуют еще только два вида правильных многогранников: додекаэдр (двенадцатигранник) и икосаэдр (двадцатигранник), ограниченные соответственно 12 правильными пятиугольниками и 20 правильными треугольниками, - рис. 8,а,б. Эти два многогранника связаны между собой так же, как куб и тетраэдр (см. Куб): центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра – рис. 9, - и наоборот.

Рис. 8

Рис. 9

Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен – ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много.

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, XIII книга знаменитых «Начал» Евклида. Эти многогранники часто называют также Платоновыми телами – в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном, четыре из них олицетворяли четыре стихии: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду и октаэдр – воздух; пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание – его по-латыни стали называть quinta essentia («пятая сущность»). Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому, было нетрудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы, например: куб – монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр – монокристалл алюмокалиевых квасцов ((K Al SO₄)₂·12H₂O). Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS). Имея же додекаэдр, нетрудно построить и икосаэдр: как уже говорилось, его вершинами будут центры двенадцати граней додекаэдра – рис. 9.