Если эта книга является вашей первой книгой по физике, то тогда отложите, пожалуйста, чтение этого параграфа. Начали мы по старинке — с самого простого. Действительно, уж что может быть проще измерений расстояний, промежутков времени и массы. Просто? Раньше действительно было просто, но не теперь. В настоящее время техника измерений длины, времени, массы требует знаний всей физики, и явления, о которых мы сейчас будем говорить более или менее детально, разобраны лить в четвертой части нашего сочинения.

Система СИ (система интернациональная) была принята в 1960 г. Медленно, очень медленно, но тем не менее — верно, она завоевывает свое признание. И сейчас, когда пишутся эти строки (в преддверии нового 1977 г.), все же чаще пользуются старыми «проверенными» единицами. Если вы спросите у водителя автомашины, какой мощности у нее мотор, то он, как и раньше, ответит — 100 лошадиных сил, вместо того, чтобы сказать 74 киловатта.

Вероятно, должна смениться пара поколений, исчезнуть с книжного рынка книги, авторы которых не хотели признать СИ, и только тогда эта система решительно вытеснит все остальные.

Система СИ базируется на семи единицах: метре, килограмме, секунде, моле, ампере, кельвине и канделе.

Сейчас я хочу поговорить о первых четырех единицах, имея целью не сообщение читателю деталей измерений соответствующих физических величин, а указание на знаменательную общую тенденцию. Она состоит в том, чтобы отказаться от материальных эталонов, а на их место ввести природные константы, значения которых не должны зависеть от экспериментальных устройств и которые (по крайней мере с точки зрения современной физики) не должны меняться со временем.

Начнем с определения метра. В спектре изотопа 86 атомов криптона имеется сильная спектральная линия. Методами, о которых рассказано далее, каждая спектральная линия характеризуется исходным и конечным энергетическими уровнями. Речь идет о переходе с уровня 5d₅ на уровень 2p₁₀. Метр равен длине 1 650 763,73 волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2р₁₀ и 5d₅ атома криптона-86. Эту длину волны света можно измерить с точностью не большей, чем ±4∙10^-9. Поэтому добавлять еще одну значащую цифру к написанному выше девятизначному числу не имеет смысла.

Мы видим, что данное определение никак не связывает нас с материальным эталоном. Нет также основания ожидать, что длина волны светового характеристического излучения меняется с веками. Так что цель достигнута.

Все это хорошо, скажет читатель. А как прокалибровать с помощью такого невещественного эталона обычную вещественную линейку? Физика умеет это делать с помощью техники интерференционных измерений, о которой рассказано в книге 4.

Имеются все основания полагать, что это определение потерпит в ближайшее время изменение. Дело в том, что с помощью лазера (например гелий-неонового лазера, стабилизированного парами йода) можно добиться измерения длины волны с точностью 10^-11—10^-12. Не исключено, что окажется целесообразным выбрать в качестве невещественного эталона другую спектральную линию.

Совершенно аналогичным образом определяется секунда. Используется переход между двумя близкими энергетическими уровнями атома цезия. Величина, обратная частоте этого перехода, дает время, затраченное на совершение одного колебания. Одна секунда принимается равной 9 192 631 770 периодам этих колебаний. Поскольку колебания лежат в микроволновой области, то, используя прием деления частоты, можно радиотехническими устройствами прокалибровать любые часы. Этот способ измерения дает ошибку в одну секунду по прошествии 300 000 лет.

Метрологи ставят перед собой цель — сделать так, чтобы один и тот же энергетический переход можно было бы использовать как для определения единицы длины (выраженной в числе длин волн), так и единицы времени (выраженной в числах периодов колебаний).

В 1973 г. било показано, что эта задача решается. Точные измерения были проведены с помощью гелий-неонового лазера, стабилизированного метаном. Длина волны равнялась 3,39 миллимикрон, а частота 88∙10^-12 секунд в минус первой степени. Измерения были проведены настолько точно, что перемножив эти два числа, получили для скорости света в пустоте величину 299 792 458 метров в секунду с точностью в 4 миллиардных доли.

На фоне этих блестящих достижений и еще более далеко идущих перспектив точность измерения массы оставляет желать лучшего. Вещественный килограмм продолжает, к сожалению, жить. Весы, правда, совершенствуются, но все же точность измерения в одну миллиардную долю удается достигнуть лишь в редких случаях, и то лишь при сравнении масс двух тел.

Точность измерения массы в граммах и точность измерения гравитационной постоянной в законе тяготения не превосходит 10^-5.

В 1971 г. XIV Генеральная конференция по мерам и весам ввела в систему СИ новую единицу — единицу количества вещества, называемую молем.

Введение моля, как самостоятельной единицы количества вещества, связано с новым определением числа Авогадро.

Числом Авогадро условились называть не вообще число атомов в грамм-атоме, а число атомов изотопа углерода с массовым числом 12 в 12 граммах этого элемента. Обозначив через N_A это число, мы теперь договоримся называть молем количество вещества системы, состоящей из N_A частиц. При этом речь может идти о любых частицах, будь то ионы, электроны, атомы, молекулы или иные группы частиц.

Необходимость введения не только новой единицы, а нового физического понятия связана с тем, что мы неправомерно применяем понятие массы к элементарным частицам. Ведь масса — это то, что измеряется рычажными весами.

В настоящее время количество вещества (число Авогадро, а значит, и масса атомов) определяется с меньшей точностью, чем масса. Но, понятно, точность измерения количества вещества не может превысить точность измерения массы.

Возможно, что читателю покажется пустой формальностью введение в обиход этой новой единицы. Пока что оправдание существования двух понятий лежит в различной точности измерения. Если когда-либо удастся представить килограмм как кратное число масс каких-либо атомов, то проблема будет пересмотрена и килограмм станет единицей такого же типа, как секунда и метр.

ПЛОТНОСТЬ

Что подразумевают, когда говорят: тяжелый как свинец, или легкий как пух? Ясно, что крупинка свинца будет легкой, и в то же время гора пуха обладает изрядной массой. Те, кто пользуется подобными сравнениями, имеют в виду не массу тел, а плотность вещества, из которого это тело состоит.

Плотностью тела называется масса единицы объема. Понятно, что плотность свинца одинакова и в крупинке свинца и в массивном блоке.

При обозначении плотности обычно указывают, сколько граммов (г) весит кубический сантиметр (см³) тела, — после числа ставят символ г/см³. Для определения плотности число граммов надо разделить на число кубических сантиметров; дробная черта в символе напоминает об этом.

К самым тяжелым материалам относятся некоторые металлы — осмий, плотность которого равна 22,5 г/см³, иридий (22,4), платина (21,5), вольфрам и золото (19,3). Плотность железа равна 7,88, плотность меди — 8,93.

Наиболее легкими металлами являются магний (1,74), бериллий (1,83) и алюминий (2,70). Еще более легкие тела нужно искать среди органических веществ: различные сорта дерева и пластических масс могут иметь плотность вплоть до 0,4.

Следует оговориться, что речь идет о сплошных телах. Если в твердом теле есть поры, оно, разумеется, будет легче. В технике во многих случаях используются пористые тела — пробка, пеностекло. Плотность пеностекла может быть меньше 0,5, хотя твердое вещество, из которого оно сделано, имеет плотность больше единицы. Как и все тела, у которых плотность меньше единицы, пеностекло превосходно держится на воде.

Самая легкая жидкость — жидкий водород, его можно получить только при очень низкой температуре. Один кубический сантиметр жидкого водорода имеет массу 0,07 г. Органические жидкости — спирт, бензин, керосин — несильно отличаются от воды по плотности. Очень тяжела ртуть, она имеет плотность 13,6 г/см³.

А как характеризовать плотность газов? Ведь газы, как известно, занимают весь объем, который мы им предоставляем. Выпуская из газового баллона одну и ту же массу газа в сосуды разного объема, мы во всех случаях заполним их газом равномерно. Как же тогда говорить о плотности?

Плотность газов определяют при так называемых нормальных условиях — температуре 0 °C и давлении в одну атмосферу. Плотность воздуха при нормальных условиях равна 0,00129 г/см³, хлора — 0,00322 г/см³. Газообразный водород, как и жидкий, ставит рекорд: плотность этого легчайшего газа равна 0,00009 г/см³.

Следующий по легкости газ — гелий, он вдвое тяжелее водорода. Углекислый газ в 1,5 раза тяжелее воздуха. В Италии, близ Неаполя, есть знаменитая «собачья пещера», в нижней части ее непрерывно выделяется углекислый газ, он стелется понизу и медленно выходит из пещеры. Человек может беспрепятственно войти в эту пещеру, для собаки же такая прогулка кончается плохо. Отсюда и название пещеры.

Плотность газов очень чувствительна к внешним условиям — давлению и температуре. Без указания внешних условий значения плотности газов не имеют смысла. Плотности жидких и твердых тел тоже зависят от температуры и давления, но в значительно меньшей степени.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАССЫ

Если растворить сахар в воде, то масса раствора будет строго равна сумме масс сахара и воды.

Этот и бесчисленное количество подобных опытов показывают, что масса тела есть неизменное свойство. При любом дроблении и при растворении масса остается одной и той же.

То же самое имеет место и при любых химических превращениях. Сгорел уголь. Тщательными взвешиваниями можно установить, что масса угля и кислорода воздуха, который был затрачен на горение, будет в точности равна массе продуктов сгорания.

Последний раз закон сохранения массы проверялся в конце XIX в., когда техника точного взвешивания была уже очень сильно развита. Оказалось, что при любых химических превращениях масса не изменяется даже на ничтожнейшую долю своей величины.

Еще древние считали, что масса неизменна. Впервые настоящей проверке опытом этот закон подвергся в 1756 г. Сделал это и показал научное значение закона Михаил Васильевич Ломоносов, доказавший опытами в 1756 г. сохранение массы при обжиге металла.

МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ЛОМОНОСОВ (1711–1765) — замечательный русский ученый, зачинатель науки в России, великий просветитель. В области физики Ломоносов решительно боролся с распространенными в XVIII в. представлениями об электрических и тепловых «жидкостях», отстаивая молекулярно-кинетическую теорию материи. Ломоносов впервые экспериментально доказал закон постоянства массы веществ, участвующих в химических превращениях. Ломоносов проводил обширные исследования в области атмосферного электричества и метеорологии. Он построил ряд замечательных оптических приборов, открыл атмосферу на Венере. Ломоносов создал основы русского научного языка; ему удалось исключительно удачно перевести с латинского языка основные физические и химические термины.

Масса — важнейшая неизменная характеристика тела. Большинство свойств тел находится, так сказать, в руках человека. Закалкой можно мягкое, гнущееся руках железо сделать твердым и хрупким. При помощи ультразвуковой волны можно сделать прозрачным мутный раствор. Механические, электрические, тепловые свойства могут меняться благодаря внешним действиям. Если не добавлять к телу вещества и не отделять от тела ни одной частички, то массу тела изменять невозможно[3], к каким бы внешним действиям мы ни прибегали.

ДЕЙСТВИЕ И ПРОТИВОДЕЙСТВИЕ

Мы зачастую не обращаем внимания на то, что любое действие силы сопровождается противодействием. Если на пружинную кровать положить чемодан, то кровать прогнется. То, что вес чемодана действует на кровать, очевидно каждому. Иногда, однако, забывают, что и на чемодан действует сила со стороны кровати. Ведь лежащий на кровати чемодан не падает; это значит, что со стороны кровати на него действует сила, равная весу чемодана и направленная вверх.

Силы, направленные противоположно силе тяжести, часто называют реакциями опоры. Слово «реакция» означает «ответное действие». Действие стола на лежащую на нем книгу, действие кровати на положенный на нее чемодан — это реакции опоры.

Как мы говорили только что, вес тела определяют при помощи пружинных весов. Давление тела на подставленную под пего пружину или сила, растягивающая пружину, на которую подвешен груз, равны весу тела. Очевидно, однако, что сжатие или растяжение пружины в одинаковой степени показывают и величину реакции опоры.

Так что, измеряя пружиной величину какой-либо силы, мы измеряем величину не одной, а двух сил, противоположно направленных. Пружинные весы измеряют и давление груза на чашку весов, и реакцию опоры — действие чашки весов на груз. Прикрепив пружину к стене и растягивая ее рукой, мы можем измерить силу, с которой рука тянет пружину, и одновременно силу, с которой пружина тянет руку.

Таким образом, силы обладают замечательным свойством: они встречаются всегда по две и притом равными и противоположно направленными. Эти две силы и называют обычно действием и противодействием.

«Одиночных» сил в природе не существует, реально существуют лишь взаимодействия между телами; при этом силы действия и противодействия неизменно равны, они относятся одна к другой как предмет и изображение в зеркале.

Не надо путать уравновешивающиеся силы с силами действия и противодействия.

Про силы говорят, что они уравновешены тогда, когда они приложены к одному телу; так, вес книги, лежащей на столе (действие Земли на книгу), уравновешивается реакцией стола (действие стола на книгу).

В противоположность силам, которые возникают при уравновешивании двух взаимодействий, силы действия и противодействия характеризуют одно взаимодействие, например стола с книгой. Действие — «стол — книга», противодействие — «книга — стол». Конечно, эти силы приложены к разным толам.

Постараемся объяснить традиционное недоумение: «лошадь тянет телегу, но ведь и телега тянет лошадь; почему же они движутся?» Прежде всего надо напомнить, что лошадь не потянет телегу, если дорога скользкая. Значит, для объяснения движения надо учесть не одно, а два взаимодействия — не только «телега — лошадь», но и «лошадь — дорога». Движение начнется, когда сила взаимодействия лошади с дорогой (сила, с которой лошадь отталкивается от дороги) станет больше силы взаимодействия «лошадь — телега» (силы, с которой телега тянет лошадь). Что же касается сил «телега тянет лошадь» и «лошадь тянет телегу», то они характеризуют одно и то же взаимодействие, а значит, будут одинаковы и в покое, и в любой момент движения.

КАК СКЛАДЫВАТЬ СКОРОСТИ

Если я ждал полчаса и еще час, то всего я потерял полтора часа. Если мне дали рубль, а затем еще два, то я всего получил три рубля. Если я купил 200 г винограда, а затем еще 400 г, то у меня будет 600 г винограда. Про время, массу и другие подобные величины говорят, что они складываются арифметически.

Однако не всякие величины можно так просто складывать и вычитать. Если я скажу, что от Москвы до Коломны 100 км, а от Коломны до Каширы 40 км, то отсюда не следует, что при путешествии от Каширы до Москвы по кратчайшей дороге придется проделать путь, равный арифметической сумме 100 и 40 км. Перемещения не складываются арифметически.

Как же еще можно складывать величины? На нашем примере мы легко найдем нужное правило. Нанесем на бумагу три точки, которые указывают взаимное расположение интересующих нас трех пунктов (рис. 1.4).

На этих трех точках можно построить треугольник. Если две стороны его известны, то можно найти и третью. Для этого, однако, надо знать угол между двумя заданными отрезками.

Наше движение из Москвы в Коломну можно изобразить стрелкой. Ее направление указывает, в какую сторону мы движемся. Подобные стрелки называются векторами. Путь из Коломны в Каширу показан другим вектором.

А как изобразить дорогу от Москвы до Каширы?

Ну, конечно, соответствующим вектором. Мы его построим, соединяя начало первого отрезка с концом второго. Искомый путь изобразился замыкающим отрезком.

Сложение описанным способом называется геометрическим, а величины, складываемые этим способом, называются векторными.

Для того чтобы отличить начало и конец отрезка, его снабжают стрелкой. Такой отрезок — вектор — указывает длину и направление.

Это правило применяется и при сложении нескольких, векторов. Переходя из первой точки во вторую, из второй — в третью и т. д., мы пройдем путь, который можно изобразить ломаной линией. Но к той же самой точке можно пройти прямо из отправного пункта. Этот отрезок, замыкающий многоугольник, и будет векторной суммой.

Векторный треугольник показывает, разумеется, и как вычитать один вектор из другого. Для этого проводят их из одной точки. Вектор, проведенный из конца второго в конец первого, и будет разностью векторов.

Кроме правила треугольника, можно пользоваться равноценным ему правилом параллелограмма (рис. 1.4 внизу, слева). Это правило требует построения параллелограмма на складывающихся векторах и проведения диагонали из их пересечения. На рисунке видно, что диагональ параллелограмма и есть замыкающая треугольника. Значит, оба правила одинаково пригодны.

Векторы используются для описания не только перемещений. Векторные величины встречаются в физике часто.

Рассмотрим, например, скорость движения. Скорость есть перемещение за единицу времени. Раз перемещение — вектор, то и скорость — вектор, смотрящий в ту же сторону. При движении по кривой линии направление перемещения все время изменяется. Как же ответить на вопрос о направлении скорости? Небольшой отрезок кривой направлен так же, как касательная. Поэтому перемещение и скорость тела в каждый данный момент направлены по касательной к линии движения.

Складывать и вычитать скорости по правилу векторов приходится во многих случаях. Необходимость в сложении скоростей возникает, когда тело участвует одновременно в двух движениях. Такие случаи нередки: человек идет по поезду и, кроме того, движется вместе с поездом; капля воды, стекающая по стеклу вагонного окна, движется вниз под действием веса и путешествует вместе с поездом; земной шар движется вокруг Солнца и вместе с Солнцем совершает движение по отношению к другим звездам. Во всех этих и других подобных случаях скорости складываются по правилу сложения векторов.

Если оба движения происходят вдоль одной линии, то векторное сложение превратится в обычное сложение, когда оба движения направлены в одну сторону, и в вычитание, когда движения противоположны.

А если движения происходят под углом? Тогда мы прибегнем к геометрическому сложению.

Если, переправляясь через быструю реку, вы будете держать руль поперек течения, вас снесет вниз. Лодка участвовала в двух движениях: поперек реки и вдоль реки. Суммарная скорость лодки показана на рис. 1.5.

Еще один пример. Как выглядит движение дождевой струи из окна поезда? Вы, наверное, наблюдали дождь из окон вагона. Даже в безветренную погоду он идет косо, так, как будто его отклоняет ветер, дующий в лоб паровозу (рис. 1.6).

Если погода безветренная, капля дождя падает вертикально вниз. Но за время падения капли вдоль окна поезд проходит изрядный путь, убегает от вертикали падения, поэтому дождь и кажется косым.

Если скорость поезда v_п, а скорость падения капли v_к, то скорость падения капли по отношению к пассажиру поезда получится векторным вычитанием v_п из v_к[4].

Треугольник скоростей показан на рис. 1.6. Направление косого вектора указывает направление дождя; теперь ясно, почему мы видим дождь косым. Длина косой стрелки дает в выбранном масштабе величину этой скорости. Чем быстрее идет поезд и чем медленнее падает капля, тем более косыми покажутся нам дождевые струи.

СИЛА — ВЕКТОР

Сила, так же как и скорость, есть векторная величина. Ведь она всегда действует в определенном направлении. Значит, и силы должны складываться по тем правилам, которые мы только что обсуждали.

Мы часто наблюдаем в жизни примеры, иллюстрирующие векторное сложение сил. На рис. 1.7 показан канат, на котором висит тюк. Веревкой человек оттягивает тюк в сторону. Канат натянут действием двух сил: силы тяжести тюка и силы человека.

Правило векторного сложения сил позволяет определить направление каната и вычислить силу его натяжения. Тюк находится в покое; значит, сумма действующих на него сил должна равняться нулю. А можно сказать и так — натяжение каната должно равняться сумме силы тяжести тюка и силы тяги в сторону, осуществляемой при помощи веревки. Сумма этих сил даст диагональ параллелограмма, которая будет направлена вдоль каната (ведь иначе она не сможет «уничтожиться» силой натяжения каната). Длина этой стрелки должна будет изображать силу натяжения каната. Такой силой можно было бы заменить две силы, действующие на тюк. Векторную сумму сил поэтому иногда называют равнодействующей.

Очень часто возникает задача, обратная сложению сил. Лампа висит на двух тросах. Для того чтобы определить силы натяжения тросов, вес лампы надо разложить по этим двум направлениям.

Из конца равнодействующего вектора (рис. 1.8) проведем линии, параллельные тросам, до пересечения с ними. Параллелограмм сил построен. Измеряя длины сторон параллелограмма, находим (в том же масштабе, в котором изображен вес) величины натяжений канатов.

Такое построение называется разложением силы.

Всякое число можно представить бесконечным множеством способов в виде суммы двух или нескольких чисел; то же можно сделать и с вектором силы: любую силу можно разложить на две силы — стороны параллелограмма, — из которых одну всегда можно выбрать какой угодно. Ясно также, что к каждому вектору можно пристроить любой многоугольник.

Часто бывает удобным разложить силу на две взаимно перпендикулярные — одну вдоль интересующего нас направления и другую перпендикулярно к этому направлению. Их называют продольной и нормальной (перпендикулярной) составляющей силы.

Составляющую силы по какому-то направлению, построенную разложением по сторонам прямоугольника, называют еще проекцией силы на это направление.

Ясно, что на рис. 1.9

F² = F²_прод + F²_норм,

где F_прод и F_норм— проекции силы на выбранное направление и нормаль к нему.

Знающие тригонометрию без труда установят, что

F_прод = F∙cos α

где α — угол между вектором силы и направлением, на которое она проецируется.

Очень любопытным примером разложения сил является движение корабля под парусами. Каким образом удается идти под парусами против ветра? Если вам приходилось наблюдать за парусной яхтой в этом случае, то вы могли заметить, что она движется зигзагами. Моряки называют такое движение лавированием.

Прямо против ветра идти на парусах, конечно, невозможно, но почему удается идти против ветра хотя бы под углом?

Возможность лавировать против ветра основывается на двух обстоятельствах. Во-первых, ветер толкает парус всегда под прямым углом к его плоскости. Посмотрите на рис. 1.10, а: сила ветра разложена на две составляющие — одна из них F_скольж заставляет воздух скользить вдоль паруса, а значит, на парус не действует, другая F_нopм — нормальная составляющая — оказывает давление на парус.

Рис. 1.10

Но почему же лодка движется не туда, куда ее толкает сила ветра, а примерно туда, куда смотрит нос лодки? Это объясняется тем, что движение лодки поперек килевой линии встречает очень сильное сопротивление воды. Значит, чтобы лодка двигалась носом вперед, надо, чтобы сила давления на парус имела бы составляющую вдоль килевой линии, смотрящую вперед. Это второе обстоятельство показывает рис. 1.10, б.

Для того чтобы найти силу, которая гонит лодку вперед, силу ветра придется разложить второй раз. Нормальную составляющую надо разложить вдоль и поперек килевой линии. Продольная составляющая и гонит лодку под углом к ветру, а поперечная уравновешивается давлением воды на киль лодки. Чаще всего парус устанавливают так, чтобы его плоскость делила пополам угол между направлением хода лодки и направлением ветра.

НАКЛОННАЯ ПЛОСКОСТЬ

Крутой подъем труднее преодолеть, чем отлогий. Легче вкатить тело на высоту по наклонной плоскости, чем поднимать его но вертикали. Почему так и насколько легче? Закон сложения сил позволяет нам разобраться в этих вопросах.

На рис. 1.11 показана тележка на колесах, которая натяжением веревки удерживается на наклонной плоскости. Кроме тяги на тележку действуют еще две силы — вес и сила реакции опоры, действующая всегда по нормали к поверхности, вне зависимости от того, горизонтальная поверхность опоры или наклонная.

Как уже говорилось, если тело давит на опору, то опора противодействует давлению или, как говорят, создает силу реакции.

Нас интересует, в какой степени тащить тележку вверх легче по наклонной плоскости, чем поднимать вертикально.

Разложим силы так, чтобы одна была направлена вдоль, а другая — перпендикулярно к поверхности, по которой движется тело. Для того чтобы тело покоилось на наклонной плоскости, сила натяжения веревки должна уравновешивать лишь продольную составляющую. Что же касается второй составляющей, то она уравновешивается реакцией опоры.

Найти интересующую нас силу натяжения каната Т можно или геометрическим построением или при помощи тригонометрии. Геометрическое построение состоит в проведении из конца вектора веса Р перпендикуляра к плоскости.

На рисунке можно отыскать два подобных треугольника. Отношение длины наклонной плоскости l к высоте h равно отношению соответствующих сторон в треугольнике сил. Итак,

Т/P = h/l.

Чем более отлога наклонная плоскость (h/l невелико), тем, разумеется, легче тащить тело вверх.

А теперь для тех, кто знает тригонометрию: так как угол между поперечной составляющей веса и вектором веса равен углу а наклонной плоскости (это углы со взаимно перпендикулярными сторонами), то

Т/P = sin α и Т = P∙sin α.

Итак, вкатить тележку по наклонной плоскости с углом α в 1/sin α раз легче, чем поднять ее вертикально.

Полезно помнить значения тригонометрических функций для углов 30, 45 и 60°. Зная эти цифры для синуса (sin 30°=1/2; sin 45° = √2/2; sin 60° = √3/2), мы получим хорошее представление о выигрыше в силе при движении по наклонной плоскости.

Из формул видно, что при угле наклонной плоскости в 30° наши усилия составят половину вeca: Т = Р/2. При углах 45° и 60° придется тянуть канат с силами, равными примерно 0,7 и 0,9 от веса тележки. Как видим, такие крутые наклонные плоскости мало облегчают дело.

Если у вас под руками логарифмическая линейка, то вы выясните, что при уменьшении массы ракеты вдвое скорость ее достигнет 0,7u.

Для того чтобы, довести скорость ракеты до 3 u, надо сжечь массу вещества m = ¹⁹/₂₀ М. Это значит, что лишь 1/20 массы ракеты можно сохранить, если мы желаем довести скорость до 3 u, т. е. до 6–8 км/с.

Чтобы добиться скорости в 7 u, масса ракеты за время разгона должна уменьшиться в 1000 раз.

Эти расчеты предостерегают нас от погони за увеличением массы горючего, которое можно захватить в ракету. Чем больше мы возьмем горючего, тем больше придется его сжечь. При данной скорости истечения газов очень трудно добиться увеличения скорости ракеты.

Основное в задаче достижения больших скоростей у ракет — увеличение скорости истечения газов. В этом отношении существенную роль должно сыграть применение в ракетах двигателей, работающих на новом, ядерном горючем.

При неизменной скорости истечения газов выигрыш в скорости при той же массе горючего получается при использовании многоступенчатых ракет. В одноступенчатой ракете уменьшается масса топлива, а пустые баки продолжают движение с ракетой. На ускорение массы ненужных топливных баков требуется дополнительная энергия. Целесообразно с израсходованием топлива отбросить и топливные баки. В современных многоступенчатых ракетах отбрасываются не только баки и трубопроводы, но и двигатели отработавших ступеней.

Разумеется, лучше всего было бы отбрасывать ненужную массу ракеты непрерывно. Пока такой конструкции не существует. Стартовый вес трехступенчатой ракеты с таким же «потолком», как у одноступенчатой ракеты, может быть сделан в 6 раз меньшим. «Непрерывная» ракета выгоднее трехступенчатой в этом смысле еще на 15 %.

ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

Будем скатывать небольшую тележку с двух очень гладких наклонных плоскостей. Одну доску возьмем значительно короче другой и положим их на одну и ту же опору. Тогда одна наклонная плоскость будет крутой, а другая — пологой. Верхушки обеих досок — места старта тележки — будут на одинаковой высоте. Как вы полагаете, какая из тележек приобретет большую скорость, скатившись с наклонной доски? Многие решат, что та, которая съехала по более крутой плоскости.

Опыт покажет, что они ошиблись, — тележки приобретут одинаковую скорость. Пока тело движется по наклонной плоскости, оно находится под действием постоянной силы, а именно (рис. 3.4) под действием составляющей силы тяжести, направленной вдоль движения. Скорость u, которую приобретает тело, движущееся с ускорением а на пути S, равна, как мы знаем, v = √(2a∙S).

Откуда же видно, что эта величина не зависит от угла наклона плоскости? На рис. 3.4 мы видим два треугольника. Один из них изображает наклонную плоскость. Малый катет этого треугольника, обозначенный буквой h, — высота, с которой начинается движение; гипотенуза S есть путь, проходимый телом в ускоренном движении. Маленький треугольник сил с катетом ma и гипотенузой mg подобен большому, так как они прямоугольные и углы их равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Значит, отношение катетов должно равняться отношению гипотенуз, т. е.

h/mа = S/mg, или aS = gh.

Мы доказали, что произведение aS, а значит, и конечная скорость тела, скатившегося с наклонной плоскости, не зависит от угла наклона, а зависит лишь от высоты, с которой началось движение вниз. Скорость v = √(2gh) для всех наклонных плоскостей при единственном условии, что движение началось с одной и той же высоты h. Эта скорость оказалась равной скорости свободного падения с высоты h.

Измерим скорость тела в двух местах наклонной плоскости — на высотах h₁ и h₂. Скорость тела в момент прохождения через первую точку обозначим v₁, а скорость в момент прохождения через вторую точку — v₂.

Если начальная высота, с которой началось движение, есть h, то квадрат скорости тела в первой точке будет v₁² = 2g∙(h — h₁), а во второй точке v₂² = 2g∙(h — h₂).

Вычитая первое из второго, мы найдем, как связаны скорости тела в начале и в конце какого угодно кусочка наклонной плоскости с высотами этих точек:

v₂² — v₁² = 2g∙(h₁ — h₂),

Разность квадратов скоростей зависит лишь от разности высот. Заметим, что полученное уравнение одинаково пригодно для движений вверх и для движений вниз. Если первая высота меньше второй (подъем), то вторая скорость меньше первой.

Эту формулу можно переписать следующим образом:

(v₁²/2) + gh₁ = (v₂²/2) + gh₂

Мы хотим подчеркнуть такой записью, что сумма половины квадрата скорости и высоты, умноженной на g, одинакова для любой точки наклонной плоскости.

Можно сказать, что величина (v²/2) + gh сохраняется во время движения.

Самое замечательное в найденном нами законе то, что он справедлив для движения без трения по любой горке и вообще по любому пути, состоящему из чередующихся подъемов и спусков различной крутизны. Это следует из того, что любой путь можно разбить на прямолинейные участки. Чем меньше брать отрезки, тем ближе будет приближаться ломаная линия к кривой. Каждый прямой отрезок, на которые разбит криволинейный путь, можно считать частью наклонной плоскости и применить к нему найденное правило.

Значит, в любой точке траектории сумма (v²/2) + gh одинакова. Поэтому изменение квадрата скорости не зависит от формы и длины пути, по которому двигалось тело, а определяется лишь разностью высот точек начала и конца движения.

Читателю может показаться, что наше заключение не совпадает с повседневным опытом: на длинном отлогом пути тело вовсе не набирает скорость и в конце концов остановится. Так оно и есть, но ведь мы в наших рассуждениях не учитывали силу трения. Написанная выше формула верна для движения в поле тяжести Земли под действием одной лишь силы тяжести. Если силы трения малы, то выведенный закон будет выполняться совсем неплохо. На гладких ледяных горах санки с металлическими полозьями скользят с очень небольшим трением. Можно устроить длинные ледяные дорожки, начинающиеся с крутого спуска, на котором набирается большая скорость, а затем причудливо извивающиеся вверх и вниз. Конец путешествия по таким горкам (когда санки остановятся сами собой) при полном отсутствии трения произошел бы на высоте, равной начальной. А так как трения избежать нельзя, то точка, с которой началось движение санок, будет выше того места, где они остановятся.

Закон, по которому конечная скорость не зависит от формы пути при движении под действием силы тяжести, может быть применен для решения различных интересных задач.

В цирке много раз показывали как захватывающий аттракцион вертикальную «мертвую петлю». Велосипедист или тележка с акробатом устанавливаются на высоком помосте. Ускоряющийся спуск, затем подъем. Вот акробат уже в положении вниз головой, опять спуск — и мертвая петля описана. Рассмотрим задачу, которую приходится решать инженеру цирка. На какой высоте надо сделать помост, с которого начинается спуск, чтобы акробат не свалился в наивысшей точке мертвой петли? Условие нам известно: центробежная сила, прижимающая акробата к помосту, должна уравновесить силу тяжести, направленную в противоположную сторону. Значит, mg =< mv²/r _{(=< — знак меньше или равно. — Прим. [☺])} где r — радиус мертвой петли, а v — скорость движения в верхней точке петли. Для того чтобы эта скорость была достигнута, надо начать движение с места, расположенного выше верхней точки петли на некоторую величину h. Начальная скорость акробата равна нулю, поэтому в верхней точке петли v² = 2gh. Но, с другой стороны, v² >= gr. Значит, между высотой h и радиусом петли имеется соотношение h >= r/2. Помост должен возвышаться над верхней точкой петли на величину, не меньшую половины радиуса петли. Учитывая неизбежную силу трения, приходится, конечно, брать некоторый запас высоты.

А вот еще одна задача. Возьмем круглый купол, очень гладкий, чтобы трение было минимальным. На вершину положим небольшой предмет и едва заметным толчком дадим ему возможность скользить по куполу. Рано или поздно скользящее тело отделится от купола и начнет падать. Мы можем легко решить вопрос, когда именно тело оторвется от поверхности купола: в момент отрыва центробежная сила должна равняться составляющей веса на направление радиуса (в этот момент тело перестанет давить на купол, а это и есть момент отрыва). На рис. 3.5 видны два подобных треугольника; изображен момент отрыва.

Составим отношение катета к гипотенузе для треугольника сил и приравняем к соответствующему отношению сторон другого треугольника:

Здесь r — радиус сферического купола, a h — разность высот от начала до конца скольжения. Теперь используем закон о независимости конечной скорости от формы пути. Так как начальная скорость тела предполагается равной нулю, то v² = 2gh. Подставив это значение в написанную выше пропорцию и произведя арифметические преобразования, найдем: h = r/3. Значит, тело оторвется от купола на высоте, находящейся на ¹/₃ радиуса ниже вершины купола.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Мы убедились на только что рассмотренных примерах, как полезно знать величину, не изменяющую свое числовое значение (сохраняющуюся) при движении.

Пока мы знаем такую величину лишь для одного тела. А если в поле тяжести движется несколько связанных тел? Считать, что для каждого из них остается верным выражение (v²/2) + gh, явно нельзя, так как каждое из тел находится под действием не только силы тяжести, но и соседних тел. Может быть сохраняется сумма таких выражений, взятая для группы рассматриваемых тел?

Сейчас мы покажем, что это предположение неправильно. Сохраняющаяся при движении многих тел величина существует, но она не равна сумме

а равна сумме подобных выражений, умноженных на массы соответствующих тел; иначе говоря, сохраняется сумма

Для доказательства этого важнейшего закона механики обратимся к следующему примеру.

Через блок перекинуты два груза, — большой массы М и маленький массы m. Большой груз тянет маленький, и эта^группа из двух тел движется с возрастающей скоростью.

Движущей силой является разность в весе этих тел, Mg — mg. Так как в ускоренном движении участвует масса обоих тел, то закон Ньютона для этого случая будет записан так:

(М — m)∙g = (M + m)∙а.

Рассмотрим два момента движения и покажем, что сумма выражений (v²/2) + gh, помноженных на соответствующие массы, действительно остается неизменной.

Итак, требуется доказать равенство

Заглавными буквами обозначены физические величины, характеризующие большой груз. Индексы 1 и 2 относят здесь величины к двум рассматриваемым моментам движения.

Так как грузы связаны веревкой, то v₁ = V₁, v₂ = V₂.Используя эти упрощения и перенося все члены, содержащие высоты, вправо, а члены со скоростями — влево, получим:

Разности высот грузов, разумеется, равны (но с обратным знаком, так как один груз поднимается, а другой опускается). Таким образом,

где S — пройденный путь.

На стр. 51 мы узнали, что разность квадратов скоростей v₁² — v₂² в начале и конце отрезка S пути, проходимого с ускорением а, равна

v₁² — v₂² = 2a∙S

Подставляя это выражение в последнюю формулу, найдем:

(m + М)∙а = (М — m)∙g.

Но это есть закон Ньютона, записанный выше для нашего примера. Этим доказано требуемое: для двух тел сумма выражении (v²/2) + gh, умноженных на соответствующие массы[7], во время движения остается неизменной, или, как говорят, сохраняется, т. е.

Для случая с одним телом эта формула перейдет в ранее доказанную:

(v²/2) + gh = const.

Половина произведения массы на квадрат скорости называется кинетической энергией К:

K = mv²/2

Произведение веса тела на высоту называют потенциальной энергией тяготения тела к Земле U:

U = m∙g∙h.

Мы доказали, что во время движения системы из двух тел (и можно доказать то же самое для системы, состоящей из многих тел) сумма кинетической и потенциальной энергий тел остается неизменной.

Другими словами, увеличение кинетической энергии группы тел может произойти лишь за счет убыли потенциальной энергии этой системы (и, разумеется, наоборот).

Доказанный закон называется законом сохранения механической энергии.

Закон сохранения механической энергии является очень важным законом природы. Значение его мы еще не показали в полной мере. Позже, когда мы познакомимся с движением молекул, будет видна его универсальность, применимость ко всем явлениям природы.

РАБОТА

Если толкать или тянуть тело, не встречая при этом никакой помехи, то результатом будет ускорение тела. Происшедшее при этом приращение кинетической энергии называют работой силы А:

A = (mv₂²/2) — (mv₁²/2)

По закону Ньютона ускорение тела, а следовательно, и прирост кинетической энергии определяется векторной суммой всех сил, приложенных к телу. Значит, в случае многих сил формула A = (mv₂²/2) — (mv₁²/2) есть работа результирующей силы. Выразим работу А через величину силы.

Для простоты мы ограничимся случаем, когда движение возможно лишь в одном направлении — будем толкать (или тянуть) вагонетку массы m, стоящую на рельсах (рис. 3.6).

Согласно общей формуле равномерно-ускоренного движения v₂² — v₁² = 2a∙S. Поэтому работа всех сил на пути S

A = (mv₂²/2) — (mv₁²/2) = 2a∙S

Произведение та равно составляющей суммарной силы на направление движения. Таким образом, А = f_прод∙S.

Работа силы измеряется произведением пути на составляющую силы вдоль направления пути.

Формула работы справедлива для сил любого происхождения и для движений по любой траектории.

Заметим, что работа может быть равна нулю и тогда, когда на движущееся тело действуют силы.

Например, работа силы Кориолиса равняется нулю. Ведь эта сила перпендикулярна к направлению движения. Продольной составляющей у нее нет, поэтому равна нулю и работа.

Любое искривление траектории, не сопровождающееся изменением скорости, не требует работы — ведь кинетическая энергия при этом не меняется.

Может ли быть работа отрицательной? Конечно, если сила направлена под тупым углом к движению, то она не помогает, а мешает движению. Продольная составляющая силы на направление будет отрицательной. В этом случае мы и скажем, что сила производит отрицательную работу. Сила трения всегда замедляет движение, т. е. производит отрицательную работу.

По приращению кинетической энергии можно судить о работе лишь результирующей силы.

Что же касается работ отдельных сил, то мы должны их вычислять как произведения f_прод∙S. Автомобиль равномерно движется по шоссе. Прироста кинетической энергии нет, значит, работа результирующей силы равна нулю. Но, разумеется, не равна нулю работа мотора — она равна произведению силы тяги на пройденный путь и полностью компенсируется отрицательной работой сил сопротивления и трения.

Пользуясь понятием «работа», мы можем более коротко и ясно описать те интересные особенности силы тяжести, с которыми мы только что знакомились. Если под действием силы тяжести тело перейдет из одного места в другое, то кинетическая энергия его изменится. Это изменение кинетической энергии равно работе А. Но из закона сохранения энергии нам известно, что прирост кинетической энергии происходит за счет убыли потенциальной.

Таким образом, работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии:

A = U₁ — U₂.

Очевидно, что убыль (или прирост) потенциальной энергии, а значит и прирост (или уменьшение) кинетической энергии будут одни и те же, независимо от того, по какому пути тело двигалось. Это означает, что работа силы тяжести не зависит от формы пути. Если тело перешло из первой точки во вторую с увеличением кинетической энергии, то из второй точки в первую оно перейдет с уменьшением кинетической энергии на точно такую же величину. При этом безразлично, совпадает ли форма пути «туда» с формой пути «обратно». Значит, и работы «туда» и «обратно» будут одинаковы. А если тело проделывает длинное путешествие, но конец пути совпадает с началом, то работа будет равна нулю.

Представьте себе какой угодно причудливой формы канал, по которому без трения скользит тело. Отправим его в путешествие с самой высокой точки. Тело помчится вниз, набирая скорость. За счет полученной кинетической энергии тело будет преодолевать подъем и наконец вернется к станции отправления. С какой скоростью? Разумеется, с той же, с которой оно покинуло станцию. Потенциальная энергия вернется к прежнему значению. А если так, то кинетическая энергия не могла ни уменьшиться, ни увеличиться. Значит, работа равна нулю.

Работа по кольцевому (физики говорят — по замкнутому) пути равна нулю не для всех сил. Нет надобности доказывать, что работа сил трения, например, будет тем больше, чем длиннее путь.

В КАКИХ ЕДИНИЦАХ ИЗМЕРЯЮТ РАБОТУ И ЭНЕРГИЮ

Так как работа равна изменению энергии, то работа и энергия — разумеется, как потенциальная, так и кинетическая — измеряются в одних и тех же единицах. Работа равна произведению силы на путь. Работу силы в одну дину на пути в один сантиметр называют эргом (эрг)?

1 эрг = 1 дин ∙ 1 см.

Это очень небольшая работа. Такую работу против силы тяжести совершит комар, чтобы перелететь с большого пальца руки на указательный. Более крупная единица работы и энергии, употребляющаяся в физико, — джоуль (Дж). Он в 10 миллионов раз больше эрга;

1 Дж = 10⁷ эрг.

Довольно часто используется единица работы 1 килограмм∙сила∙метр (1 кгс∙м) — это работа, которая совершается силой в 1 кгс на пути в 1 м. Примерно такая работа совершается килограммовой гирей, упавшей на пол со стола.

Как нам известно, сила 1 кгс = 981 000 дин, 1 м = 100 см. Значит, 1 кгс∙м = 9,81∙10⁷ эрг=9,81 Дж. Наоборот, 1 Дж = 0,102 кгс∙м.

Новая система СИ требует, чтобы мы распрощались с килограмм-сила-метрами и использовали джоуль; 1 Дж равен работе, которая совершается силой в 1 Н на пути в 1 м. Зная, как просто определяется в данном случае сила, нетрудно понять преимущество системы СИ.

МОЩНОСТЬ И К.П.Д. МАШИН

Чтобы судить о возможности машины производить работу, а также о потреблении работы, пользуются понятием мощности. Мощность — это работа, совершенная в единицу времени.

Существует много различных единиц мощности. Системе CGS соответствует единица мощности эрг в секунду (эрг/с). Но 1 эрг/с — ничтожно малая мощность, и эта единица поэтому для практики неудобна. Несравненно более распространена единица мощности, которую получают делением джоуля на секунду. Эта единица называется ватт (Вт): 1 Вт = 1 Дж/с = 10⁷ эрг/с.

Когда и эта единица мала, ее умножают на тысячу и пользуются киловаттом (кВт).

От старых времен перешла к нам в наследство единица мощности, называемая лошадиной силой. Когда-то на заре развития техники это название имело глубокий смысл. Машина мощностью в 10 лошадиных сил заменяет 10 лошадей — так заключал покупатель, даже если он не имел представления о единицах мощности.

Разумеется, лошадь лошади рознь. Автор первой единицы мощности, по-видимому, полагал, что «средняя» лошадь способна произвести за одну секунду 75 кгс∙м работы. Такая единица и принята: 1 л. с.= 75 кгс∙м/с.

Тяжеловозы способны производить большую работу, в особенности в момент трогания с места. Однако мощность средней лошади скорее близка к ¹/₂ лошадиной силы.

Пересчитывая лошадиные силы в киловатты, получим: 1 л. с. = 0,735 кВт.

В житейской практике и технике мы сталкиваемся с двигателями самых различных мощностей. Мощность патефонного моторчика 10 Вт, мощность двигателя автомашины «Волга» 100 л. с. = 73 кВт, мощность двигателей пассажирского самолета ИЛ-18 16 000 л. с.

Небольшая колхозная электростанция имеет мощность 100 кВт. Рекордная в этом отношении Красноярская ГЭС имеет мощность 5 млн. кВт.

Единицы мощности, с которыми мы познакомились, подсказывают еще одну единицу энергии, хорошо известную всюду, где установлены счетчики электрической энергии, а именно киловатт∙час (кВт∙ч). Один киловатт∙час — это работа, произведенная в течение одного часа мощностью в один киловатт. Легко пересчитать эту новую единицу в другие, уже знакомые: 1 кВт∙ч = 3,6∙10⁶ Дж = 861 ккал = 367 000 кгс∙м. Читатель может спросить: неужели нужна была еще одна единица энергии? Ведь их и так уже немало! Но понятие энергии пронизывает разные области физики, и, думая об удобствах данной области, физики вводили все новые и новые единицы энергии. То же самое происходило и в отношении других физических величин. Это привело, наконец, к выводу о необходимости ввести единую для всех областей физики систему единиц СИ (см. стр. 14). Однако еще пройдет немало времени, пока «старые» единицы уступят место счастливой избраннице, и поэтому пока киловатт∙час еще не последняя единица энергии, с которой придется знакомиться в процессе изучения физики.

При помощи различных машин можно заставить источники энергии производить различную работу — поднимать грузы, двигать станки, перевозить грузы и людей.

Можно подсчитать количество энергии, вложенной в машину, и значение полученной от нее работы. Во всех случаях цифра на выходе окажется меньше, чем цифра на входе, — часть энергии теряется в машине.

Доля энергии, которая полностью используется в машине на нужные нам цели, называется коэффициентом полезного действия (к. п. д.) машины. Значения к. п. д. дают обычно в процентах.

Если к.п.д. равен 90 %, это значит, что машина теряет всего 10 % энергии. К.п.д. 10 % означает, что машина использует всего лишь 10 % поступившей в нее энергии.

Если машина превращает в работу механическую энергию, то ее к.п.д. в принципе можно сделать очень большим. Увеличение к.п.д. достигается в этом случае борьбой с неизбежным трением. Улучшить смазку, ввести более совершенные подшипники, уменьшить сопротивление со стороны среды, в которой происходит движение, — вот средства приблизить к.п.д. к единице (к 100 %).

Обычно при превращении механической энергии в работу в качестве промежуточного этапа (как на гидроэлектростанциях) используют электрическую передачу. Разумеется, это тоже связано с дополнительными потерями. Однако они невелики, и потери при преобразовании механической энергии в работу и в случае использования электрической передачи могут быть сведены к нескольким процентам.

УМЕНЬШЕНИЕ ЭНЕРГИИ

Читатель, вероятно, обратил внимание на то, что при иллюстрациях закона сохранения механической энергии мы настойчиво повторяем: «при отсутствии трения, если бы не было трения…». Но ведь трение неизбежно сопровождает любое движение. Какое же значение имеет закон, не учитывающий столь важного практического обстоятельства? Ответ на этот вопрос мы отложим, а сейчас посмотрим, к чему приводит трение.

Силы трения направлены против движения, а значит, производят отрицательную работу. Это вызывает неминуемую потерю механической энергии.

Приведет ли эта неизбежная потеря механической энергии к прекращению движения? Нетрудно убедиться, что трение может остановить не всякое движение.

Представим себе замкнутую систему, состоящую из нескольких взаимодействующих тел. В отношении такой замкнутой системы справедлив, как мы знаем, закон сохранения импульса. Замкнутая система не может изменить своего импульса, поэтому движется прямолинейно и равномерно. Трение внутри такой системы может уничтожить относительные движения частей системы, но не повлияет на скорость и направление движения всей системы в целом.

Существует и еще один закон природы, называемый законом сохранения момента импульса (с ним мы познакомимся позже), который не дает трению уничтожить равномерное вращение всей замкнутой системы.

Таким образом, наличие трения приводит к прекращению всех движений в замкнутой системе тел, не препятствуя лишь равномерному прямолинейному и равномерному вращательному движению этой системы в целом.

Если земной шар и меняет незначительно скорость своего вращения, то причина этого — не трение земных тел друг о друга, а то, что Земля не является изолированной системой.

Что же касается движений тел на Земле, то все они подвержены трению и теряют свою механическую энергию. Поэтому движение всегда прекращается, если не поддерживается извне.

Таков закон природы. А если бы удалось обмануть природу? Тогда… тогда можно было бы осуществить перпетуум мобиле, что означает по-латыни «вечное движение».

ПЕРПЕТУУМ МОБИЛЕ

Об осуществлении перпетуум мобиле мечтает Бертольд — герой «Сцен из рыцарских времен» Пушкина. «Что такое перпетуум мобиле?» — спрашивает его собеседник. «Это вечное движение, — отвечает Бертольд. — Если найду вечное движение, то я не вижу границ творчеству человека. Делать золото — задача заманчивая, открытие может быть любопытное, выгодное, но найти разрешение перпетуум мобиле…».

Перпетуум мобиле, или вечный двигатель, — это машина, работающая не только вопреки закону уменьшения механической энергии, но и нарушающая закон сохранения механической энергии, который, как мы теперь знаем, выполняется лишь в идеальных, недостижимых условиях — при отсутствии трения. Вечный двигатель, как только он будет сконструирован; должен начать работать «сам по себе» — например, вращать колесо или подымать грузы снизу вверх. Работа эта должна происходить вечно и непрерывно, а двигатель не должен требовать ни топлива, ни рук человеческих, ни энергии падающей воды — словом ничего, взятого извне.

Первый до сих пор известный достоверный документ об «осуществлении» идеи вечного двигателя относится к XIII в. Любопытно, что спустя шесть веков, в 1910 г., в одно из московских научных учреждений был представлен на «рассмотрение» буквально такой же «проект».

Проект этого вечного двигателя изображен на рис. 3.7.

При вращении колеса грузы перекидываются и поддерживают, по мысли изобретателя, движение, так как откинувшиеся грузы давят гораздо сильнее, действуя на более далеком от оси расстоянии. Построив эту отнюдь не сложную «машину», изобретатель убеждается, что, повернувшись по инерции на один или два оборота, колесо останавливается. Но это не приводит его в уныние. Допущена ошибка: рычаги надо сделать длиннее, форму выступов изменить. И бесплодная работа, которой многие доморощенные изобретатели посвящали свою жизнь, продолжается, но, разумеется, с тем же успехом.

Вариантов предлагавшихся вечных двигателей было в общем немного: разнообразные самодвижущиеся колеса, в принципе не отличающиеся от описанного, гидравлические двигатели — например, показанный на рис. 3.8 двигатель, изобретенный в 1634 г.; двигатели, использующие сифоны или капиллярные трубки (рис. 3.9), потерю веса в воде (рис. 3.10), притяжение железных тел магнитами. Далеко не всегда можно догадаться, за счет чего же должно было, по идее изобретателя, происходить вечное движение.

Еще до установления закона сохранения энергии утверждение о невозможности перпетуум мобиле мы находим в официальном заявлении французской Академии, сделанном в 1775 г., когда она решила не принимать больше для рассмотрения и испытания никакие проекты вечных двигателей.

Многие механики XVII–XVIII вв. уже клали в основу своих доказательств аксиому о невозможности перпетуум мобиле, несмотря на то, что понятие энергии и закон сохранения энергии вошли в науку много позже.

В настоящее время ясно, что изобретатели, которые пытаются создать вечный двигатель, не только входят в противоречие с экспериментом, но и совершают ошибку против элементарной логики. Ведь невозможность перпетуум мобиле есть прямое следствие из законов механики, из которых они же исходят, обосновывая свое «изобретение».

Несмотря на полную бесплодность, поиски вечного двигателя, вероятно, сыграли все же какую-то полезную роль, так как в конечном счете привели к открытию Закона сохранения энергии.

СТОЛКНОВЕНИЯ

При всяком столкновении двух тел всегда сохраняется импульс. Что же касается энергии, то она, как мы только что выяснили, обязательно уменьшится из-за различного рода трения.

Однако, если сталкивающиеся тела сделаны из упругого материала, например из кости или стали, то потеря энергии будет незначительной. Такие столкновения, при которых суммы кинетических энергий до и после столкновения одинаковы, называются идеально упругими.

Небольшая потеря кинетической энергии происходит и при столкновении самых упругих материалов — у костяных биллиардных шаров она достигает, например, 3–4 %.

Сохранение кинетической энергии при упругом ударе позволяет решить ряд задач.

Рассмотрим, например, лобовое столкновение шаров разной массы. Уравнение импульса имеет вид (мы считаем, что шар № 2 покоился до удара)

m₁v₁ = m₁u₁ + m₂u₂

а энергии —

(m₁v₁²/2) = (m₁u₁²/2) + (m₂u₂²/2),

где v₁ — скорость первого шара до столкновения, a u₁ и u₂ — скорости шаров после столкновения.

Так как движение происходит вдоль прямой линии (проходящей через центры шаров — это и означает, что удар лобовой), то применять векторные обозначения здесь не обязательно.

Из первого уравнения имеем:

Подставляя это выражение для u₂ в уравнение энергии, получим:

Одним из решений этого уравнения является решение u₁ = v₁ и u₂ = 0. Но этот ответ нас не интересует, так как равенство u₁ = v₁ и u₂ = 0 показывает, что шары вовсе не сталкивались. Поэтому ищем другое решение уравнения. Сократив на m₁∙(v₁ — u₁), получим:

т. е.

m₂v₁ + m₂u₁ = m₁v₁ + m₁u₁

или

(m₁ — m₂)∙v₁ = (m₁ + m₂)∙u₁

что дает следующее значение для скорости первого шара после удара:

u₁ = [(m₁ — m₂)/(m₁ + m₂)]∙v₁

При лобовом столкновении с неподвижным шаром налетающий шар отскакивает обратно (u₁ отрицательно), если его масса меньше. Если m₁ больше m₂, то оба шара продолжают движение в направлении удара.

При биллиардной игре в случае точного лобового удара часто наблюдается такая картина: шар-снаряд резко останавливается, шар-мишень отправляется в лузу. Это объясняется только что найденным уравнением. Массы шаров равны, и уравнение дает u₁ = 0, а значит, u₂ = v₁. Налетающий шар останавливается, а второй шар начинает движение со скоростью налетевшего. Шары как бы меняются скоростями.

Рассмотрим еще один пример столкновения тел по закону упругого удара, а именно косой удар тел равной массы (рис. 3.11).

Второе тело до удара покоилось, поэтому законы сохранения импульса и энергии имеют вид

mv₁ = mu₁ + mu₂,

(mv₁²/2) = (mu₁²/2) + (mu₂²/2).

Сократив на массу, получим:

v₁ = u₁ + u₂, v₁² = u₁² + u₂²

Вектор v_x есть векторная суммам u₁ и u₂. Но ведь это означает, что длины векторов-скоростей образуют треугольник.

Что же это за треугольник? Вспомним теорему Пифагора. Ее выражает наше второе уравнение. Это значит, что треугольник скоростей должен быть прямоугольным с гипотенузой v₁ и катетами u₁ и u₂. Значит, u₁ и u₂ образуют между собой прямой угол. Этот интересный результат показывает, что при любом косом упругом ударе тела равной массы разлетаются под прямым углом.

Теперь слегка отклоним маятник. Качающийся грифелек прочертит на бумаге небольшой отрезок прямой линии. В середине качания, когда маятник проходит положение равновесия, карандашная линия будет пожирнее, так как в этом положении грифелек сильнее нажимает на бумагу. Если потянуть лист бумаги в направлении, перпендикулярном к плоскости колебания, то прочертится кривая, изображенная на рис. 4.3. Нетрудно сообразить, что получившиеся волночки будут расположены густо, если бумагу тянуть медленно, и редко, если лист бумаги движется со значительной скоростью. Чтобы кривая получилась аккуратной, как на рисунке, нужно, чтобы лист бумаги двигался строго равномерно.

Этим способом мы как бы «развернули» колебания.

Развертывание нужно для того, чтобы сказать, где находился и куда двигался грузик маятника в тот или иной момент времени. Представьте себе, что бумага движется со скоростью 1 см/с с момента, когда маятник находился в крайнем положении, например слева, от средней точки. На нашем графике это начальное положение соответствует точке, помеченной цифрой 1.

Через 1/4 периода маятник будет проходить через среднюю точку. За это время бумага продвинется на число сантиметров, равное 1/4Т — точка 2 на рисунке. Теперь маятник движется вправо, одновременно ползет и бумага. Когда маятник придет в правое крайнее положение, бумага продвинется на число сантиметров, равное 1/2Т, — точка 3 на рисунке. Маятник вновь идет к средней точке и попадает через 3/4Т в положение равновесия — точка 4 на чертеже. Точка 5 завершает полное колебание, и дальше явление повторяется через каждые Т секунд или через каждые Т сантиметров на графике.

Таким образом, вертикальная линия на графике — это шкала смещений точки от положения равновесия, горизонтальная средняя линия — это шкала времени.

Из такого графика легко находятся две величины, исчерпывающим образом характеризующие колебание. Период определяется как расстояние между двумя равнозначными точками, например между двумя ближайшими вершинами. Также сразу измеряется наибольшее смещение точки от положения равновесия. Это смещение называется амплитудой колебания.

Развертка колебания позволяет нам, кроме того, ответить на поставленный выше вопрос: где находится колеблющаяся точка в тот или иной момент времени. Например, где будет колеблющаяся точка через 11 с, если период колебания равен 3 с, а движение началось в крайнем положении слева? Через каждые 3 с колебание начинается с той же точки. Значит, через 9 с тело также будет в крайнем левом положении.

Нет нужды поэтому в графике, на котором кривая протянута на несколько периодов, — вполне достаточен чертеж, на котором изображена кривая, соответствующая одному колебанию. Состояние колеблющейся точки через 11 с при периоде 3 с будет такое же, как и через 2 с. Отложив на чертеже 2 см (мы ведь условились, что скорость протягивания бумаги равна 1 см/с, иными " словами, что масштаб чертежа — 1 см равен 1 с), мы увидим, что через 11 с точка находится на пути из крайнего правого положения в положение равновесия. Смещение в этот момент находим из рисунка.

Для нахождения смещения точки, совершающей малые колебания около положения равновесия, не обязательно прибегать к графику. Теория показывает, что в этом случае кривая зависимости смещения от времени представляет собой синусоиду. Если смещение точки обозначить через у, амплитуду через а, период колебания через Т, то значение смещения через время t после начала колебания найдем по формуле

y = α∙sin 2π∙t/T

Колебание, происходящее по такому закону, называется гармоническим. Аргумент синуса равен произведению 2π на t/T. Величина 2π∙t/T называется фазой.

Имея под руками тригонометрические таблицы и зная период и амплитуду, легко вычислить смещение точки и по значению фазы сообразить, в какую сторону точка движется.

Нетрудно вывести формулу колебательного движения, рассматривая движение тени, отбрасываемой на стенку грузиком, движущимся по окружности (рис. 4.4).

Смещения тени мы будем откладывать от среднего положения. В крайних положениях смещение у равняется радиусу круга α. Это амплитуда колебания тени.

Если от среднего положения грузик прошел по окружности угол φ, то его тень отойдет от средней точки на величину α∙sin φ.

Пусть период движения грузика (являющийся, конечно, и периодом колебания тени) есть Т: это значит, что 2π радиан грузик проходит за время Т. Можно составить пропорцию φ/t = 2π/T, где t — время поворота на угол φ.

Таким образом, φ = (2π/T)∙t и y = α∙sin (2π/T)∙t. Это мы и хотели доказать.

Скорость колеблющейся точки также меняется по закону синуса. К такому заключению нас приведет то же рассуждение о движении тени грузика, описывающего окружность. Скорость этого грузика есть вектор неизменной длины v₀. Вектор скорости вращается вместе с грузиком. Представим мысленно вектор скорости как материальную стрелку, способную отбрасывать тень. В крайних положениях грузика вектор расположится вдоль луча света и тени не даст. Когда грузик от крайнего положения пройдет по окружности угол θ, то вектор скорости повернется на тот же угол и его проекция будет равна v₀∙sin θ. Но по тем же основаниям; что и раньше, θ/t = 2π/T, а значит, мгновенное значение скорости колеблющегося тела

v = v₀∙sin (2π/T)∙t

Обратим внимание на то, что в формуле для определения смещения отсчет времени ведется от среднего положения, а в формуле скорости — от крайнего положения. Смещение маятника равно нулю при среднем положении грузика, а скорость колебания — при крайнем положении.

Между амплитудой скорости колебания v₀ (иногда говорят — амплитудным значением скорости) и амплитудой смещения имеется простая связь: окружность длиной 2πа грузик описывает за время, равное периоду колебания Т. Таким образом,

v₀ = 2πа/T и v = 2πа/T∙sin (2π/T)∙t

СИЛА И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ

При всяком колебании около положения равновесия на тело действует сила, «желающая» возвратить тело в положение равновесия. Когда точка удаляется от положения равновесия, сила замедляет движение, когда точка приближается к этому положению, сила ускоряет движение.

Проследим за этой силой на примере маятника (рис. 4.5).

Грузик маятника находится под действием силы тяжести и силы натяжения нити. Разложим силу тяжести на две составляющие — одну, направленную вдоль нити, и другую, идущую перпендикулярно к ней по касательной к траектории. Для движения существенна лишь касательная составляющая силы тяжести. Она-то и есть в этом случае возвращающая сила. Что касается силы, направленной вдоль нити, то она уравновешивается противодействием со стороны гвоздика, на котором висит маятник, и принимать ее в расчет надо лишь тогда, когда нас интересует вопрос, выдержит ли нить тяжесть колеблющегося тела.

Обозначим через х величину смещения грузика. Перемещение происходит по дуге, но мы ведь условились изучать колебания вблизи положения равновесия. Поэтому мы не делаем различия между смещением по дуге и отклонением груза от вертикали. Рассмотрим два подобных треугольника. Отношение соответствующих катетов равно отношению гипотенуз, т. е.

F/x = mg/l

или

F = (mg/I)∙х.

Величина mg/l во время колебания не меняется. Эту постоянную величину мы обозначим буквой k, тогда возвращающая сила F = k∙x. Мы приходим к следующему важному выводу: возвращающая сила прямо пропорциональна смещению колеблющейся точки от положения равновесия. Возвращающая сила максимальна в крайних положениях колеблющегося тела. Когда тело проходит среднюю точку, сила обращается в нуль и меняет свой знак или, иными словами, свое направление. Пока тело смещено вправо, сила направлена влево, и наоборот.

Маятник служит простейшим примером колеблющегося тела. Однако мы заинтересованы в том, чтобы формулы и законы, которые мы находим, можно было бы распространить на любые колебания.

Период колебания маятника был выражен через его длину. Такая формула годится лишь для маятника. Но мы можем выразить период свободных колебаний через постоянную возвращающей силы k. Так как k = mg/l, то l/g = m/k, и, следовательно*

T = 2π∙√(m/k)

Эта формула распространяется на все случаи колебания, так как любое свободное колебание происходит под действием возвращающей силы.

Выразим теперь потенциальную энергию маятника через смещение из положения равновесия х. Потенциальная энергия грузика, когда он проходит низшую точку, может быть принята за нуль, и отсчет высоты подъема следует вести от этой точки. Обозначив буквой h разность высот точки подвеса и положения отклонившегося груза, запишем выражение потенциальной энергии: U = mg∙(l — h) или, пользуясь формулой разности квадратов,

Но, как видно из рисунка, l² — h² = x², x и h различаются весьма мало, и поэтому вместо l + h можно подставить 2l. Тогда U = (mg/2l)∙x² или

U = k∙x²/2

Потенциальная энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату смещения тела из положения равновесия.

Проверим правильность выведенной формулы. Потеря потенциальной энергии должна равняться работе возвращающей силы. Рассмотрим^ два положения тела — x₂ и x₁. Разность потенциальных энергий

Но разность, квадратов можно записать как произведение суммы на разность. Значит,

Но x₂ — x₁ есть путь, пройденный телом, kх₁ и kх₂ — значения возвращающей силы в начале и в конце движения, а (kх₁ + kх₂)/2 равно средней силе.

Наша формула привела нас к правильному результату: потеря потенциальной энергии равна произведенной работе.

КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИН

Легко заставить колебаться шарик, подвесив его на пружину. Закрепим один конец пружины и оттянем шарик (рис. 4.6).

В растянутом состоянии пружина находится, пока мы оттягиваем шарик рукой. Если отпустить руку, пружина будет сокращаться, и шарик начнет движение к положению равновесия. Так же, как и маятник, пружина приходит в состояние покоя не сразу. По инерции будет пройдено положение равновесия, и пружина начнет сжиматься. Движение шарика замедляется и в какой-то момент он останавливается, чтобы тут же начать движение в обратную сторону. Возникает колебание с теми же типичными признаками, с которыми мы ознакомились, изучая маятник.

При отсутствии трения колебание продолжалось бы без конца. При наличии трения колебания затухают, и при этом тем быстрее, чем больше трение.

Зачастую роли пружины и маятника аналогичны. И та, и другой служат для поддержания постоянства периода в часах. Точный ход современных пружинных часов обеспечивается колебательным движением маленького махового колеса-баланса. В колебание его приводит пружина, которая свертывается и развертывается десятки тысяч раз в сутки.

У шарика на нитке роль возвращающей силы играла касательная составляющая силы тяжести. У шарика на пружине возвращающей силой является сила упругости сжатой или растянутой пружины. Таким образом, величина упругой силы прямо пропорциональна смещению: F = k∙x.

Коэффициент к имеет в данном случае другой смысл. Теперь это жесткость пружины. Жесткая пружина — это та, которую трудно растянуть или сжать. Именно такой смысл и имеет коэффициент k. Из формулы ясно: k равно силе, необходимой для растяжения или сжатия пружины на единицу длины.

Зная жесткость пружины и массу подвешенного к ней груза, мы найдем при помощи формулы T = 2π∙√(m/k) период свободного колебания. Например, груз с массой 10 г на пружине с жесткостью 10⁵ дин/см (это довольно жесткая пружина — стограммовая гиря растянет ее на 1 см) будет совершать колебания с периодом T = 6,28∙10^-2 с. В одну секунду будет происходить 16 колебаний.

Чем мягче пружина, тем медленнее происходит колебание. В том же направлении влияет и увеличение массы груза.

Применим к шарику на пружинке закон сохранения энергии.

Мы знаем, что для маятника сумма кинетической и потенциальной энергий K + U не изменяется

К + U сохраняется.

Значения К и U для маятника нам известны. Закон сохранения энергии говорит, что

(mv²/2) + (kx²/2) сохраняется

Но то же самое верно и для шарика на пружинке.

Вывод, который мы неизбежно должны сделать, весьма интересен.

Кроме потенциальной энергии, с которой мы познакомились раньше, существует, таким образом, потенциальная энергия и другого рода. Первая называется потенциальной энергией тяготения. Если бы пружина была расположена горизонтально, то потенциальная энергия тяготения во время колебания, конечно, не менялась бы. Новая потенциальная энергия, обнаруженная нами, называется потенциальной энергией упругости. В нашем случае она и равна kх²/2, т. е зависит от жесткости пружины и прямо пропорциональна квадрату величины сжатия или растяжения.

Сохраняющаяся неизменной полная энергия колебаний может быть записана в виде Е = ka²/2, или Е = mv₀²/2.

Величины а и v₀, входящие в последние формулы, представляют собой максимальные значения, которые принимают смещение и скорость во время колебания, — это амплитудные значения смещения и скорости. Происхождение этих формул вполне понятно. В крайнем положении, когда х = а, кинетическая энергия колебания равна нулю и полная энергия равна значению потенциальной энергии. В среднем положении смещение точки от положения равновесия, а следовательно, и потенциальная энергия равны нулю, скорость в этот момент максимальна, v = v₀ и полная энергия равна кинетической.

Учение о колебаниях — обширный раздел физики. С маятниками и пружинками довольно часто приходится иметь дело. Но, конечно, этим не исчерпывается список тел, колебания которых приходится изучать. Колеблются фундаменты, на которых установлены машины, могут прийти в колебание мосты, части зданий, балки, провода высокого напряжения. Звук — это колебания воздуха.

Мы перечислили некоторые примеры механических колебаний. Однако понятие колебания может быть отнесено не только к механическим смещениям тел или частиц от положения равновесия. Во многих электрических явлениях мы тоже сталкиваемся с колебаниями, причем эти колебания происходят по законам, очень похожим на те, которые мы рассмотрели выше. Учение о колебаниях пронизывает все области физики.

БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

То, что говорилось до сих пор, относится к колебаниям вблизи положения равновесия, происходящим под действием возвращающей силы, величина которой прямо пропорциональна смещению точки от положения равновесия. Такие колебания происходят по закону синуса. Они называются гармоническими. Период гармонических колебаний не зависит от амплитуды.

Значительно сложнее колебания с большим размахом. Такие колебания происходят уже не по закону синуса, а развертка их дает более сложные кривые, различные для разных колеблющихся систем. Период перестает быть характерным свойством колебания и начинает зависеть от амплитуды.

Трение существенно изменяет любые колебания. При наличии трения колебания постепенно затухают. Чем сильнее трение, тем затухание происходит быстрее. Попробуйте заставить колебаться маятник, погруженный в воду. Вряд ли удастся добиться, чтобы этот маятник совершил больше одного-двух колебаний. Если погрузить маятник в очень вязкую среду, то колебания может и вовсе не быть. Отклоненный маятник просто вернется в положение равновесия. На рис. 4.7. показан типичный график затухающего колебания. По вертикали отложено отклонение от положения равновесия, а по горизонтали — время. Амплитуда (максимальный размах) затухающего колебания уменьшается с каждым колебанием.

РЕЗОНАНС

Ребенка посадили на качели. Он не достает ногами до земли. Чтобы раскачать его, можно, конечно, высоко поднять качели и потом отпустить. Но это довольно тяжело, да в этом и нет необходимости: достаточно слегка толкать качели в такт колебаниям, и через короткое время качели сильно раскачаются.

Для того чтобы раскачать тело, надо действовать в такт колебаниям. Иначе говоря, надо сделать так, чтобы толчки происходили с тем же периодом, что и собственные колебания тела. В подобных случаях говорят о резонансе.

Явление резонанса, широко распространенное в природе и технике, заслуживает внимательного рассмотрения.

Очень занятное и своеобразное явление резонанса вы можете наблюдать, если сделаете следующее приспособление. Протяните горизонтальную нить и подвесьте на нее три маятника (рис. 4.8) — два коротких одинаковой длины и один подлиннее. Теперь отклоните и отпустите один из коротких маятников. Через несколько секунд вы увидите, как другой маятник, такой же длины, постепенно тоже начинает колебаться. Еще несколько секунд — и второй короткий маятник раскачается, так что уже нельзя будет узнать, какой из двух начал движение первым.

В чем дело? Маятники одинаковой длины имеют одинаковые собственные периоды колебаний. Первый маятник раскачивает второй. Колебания передаются от одного к другому через связывающую их нить. Да, но ведь на нитке висит еще один маятник, другой длины. А что будет с ним? С ним ничего не произойдет. Период этого маятника другой, и короткому маятнику не удастся его раскачать. Третий маятник будет присутствовать при интересном явлении «переливания» энергии от одного маятника к другому, не принимая в этом никакого участия.

С явлениями механического резонанса сталкивался нередко каждый из нас. Может быть, вы только не обращали на него внимания. Хотя иногда резонанс бывает очень надоедливым. Мимо ваших окон проехал трамвай, а в буфете зазвенела посуда. В чем дело? Колебания почвы передались зданию, а с ним вместе и полу вашей комнаты, пришел в колебание буфет и посуда в нем. Так далеко и через столько предметов распространилось колебание. Это произошло благодаря резонансу. Внешние колебания попали в резонанс с собственными колебаниями тел. Почти любое дребезжание, которое мы слышим в комнате, на заводе, в автомашине, происходит благодаря резонансу.

Явление резонанса, как, впрочем, многие явления, может быть и полезным и вредным.

Машина стоит на фундаменте. Мерно, с определенным периодом, ходят ее движущиеся части. Представьте, что этот период совпадает с собственным периодом фундамента. Что получится? Фундамент довольно быстро раскачается, и дело может кончиться плохо.

Известен такой факт. В Петербурге по мосту шла в ногу рота солдат. Мост рухнул. По делу началось следствие. Казалось, не было оснований беспокоиться за судьбу моста и людей: сколько раз на этом мосту, собирались толпы людей, медленно проезжали тяжелые повозки, во много раз превышавшие вес роты солдат.

Но под действием тяжести мост прогибается на незначительную величину. Несравнимо большего прогиба можно достигнуть, если мост раскачать. Резонансная амплитуда колебания может быть в тысячи раз больше, чем смещение под действием такой же неподвижной нагрузки. Именно это и показало следствие — собственный период колебания моста совпадал с периодом обычного строевого шага.

Поэтому, когда воинское подразделение переходит мост, дается команда идти вольно. Если движение людей не будет согласованным, то явление резонанса не наступит, и мост не раскачается. Впрочем, этот несчастный случай инженеры хорошо запомнили. При проектировании мостов они стараются сделать так, чтобы период свободных колебаний моста был далек от периода строевого шага.

Так же точно поступают и конструкторы фундаментов для машин. Они стараются сделать фундамент таким, чтобы его период колебаний лежал подальше от периода колебаний движущихся частей машины.

Теперь-то мы можем сказать, как взвесили Землю. Массу Земли можно вычислить из этой формулы, так как g, γ и R — известные величины. Таким же способом можно взвесить и Солнце.

Но разве можно назвать такое вычисление взвешиванием? Конечно, можно; косвенные измерения играют в физике не меньшую роль, чем прямые.

Решим теперь любопытную задачу.

Для организации всемирного телевидения существенную роль играет создание «висящего» спутника, т. е. такого, который все время находился бы в одной и той же точке плоскости экватора над земной поверхностью. Будет ли такой спутник испытывать трение? Это зависит от того, насколько далеко от Земли ему придется совершать свое вращение.

«Висящий» спутник должен вращаться с периодом Т, равным 24 часам. Если r есть расстояние спутника от центра Земли, то его скорость v = 2π∙r/T и его ускорение v²/r = (4π²/T²)∙r. С другой стороны, это ускорение, источником которого является земное притяжение, равно γM/r² = gR²/r². Приравнивая величины ускорений, получим:

Подставляя округленные значения g =10 м/с², R = 6∙10⁶ м и T = 9∙10⁴ с, получим: r³ = 7∙10²² м³, т. е. r ~= 4∙10⁷ м = 40 000 км. На такой высоте атмосферного трения нет, и «висящий» спутник, который удается создать, не будет замедлять своего «неподвижного бега».

ИЗМЕРЕНИЯ g НА СЛУЖБЕ РАЗВЕДКИ

Речь идет не о военной разведке. Там знание ускорения свободного падения ни к чему. Речь идет о геологической разведке, цель которой — найти залежи полезных ископаемых под землей, не роя ям, не копая шахт.

Существует несколько методов очень точного определения ускорения свободного падения. Можно найти g просто взвешиванием стандартного груза на пружинных весах. Геологические весы должны быть предельно чувствительны — их пружина изменяет растяжение при добавлении нагрузки меньше чем в миллионную долю грамма. Превосходные результаты дают крутильные кварцевые весы. Устройство их в принципе несложно. К горизонтально натянутой кварцевой нити приварен рычаг, весом которого нить слегка закручивается (рис. 6.2).

Для тех же целей применяется и маятник. Еще недавно маятниковые способы измерения g были единственными, и лишь в последние 10–20 лет их стали вытеснять более удобные и точные весовые методы. Во всяком случае, измеряя период колебания маятника, по формуле Т = 2π∙√(l/g) можно найти значение g достаточно точно.

Измеряя на одном приборе значение g в разных местах, можно судить об относительных изменениях свободного падения с точностью до миллионных долей. Измеряя значение g в каком-либо месте земной поверхности, испытатель устанавливает: здесь значение аномально, оно меньше нормы на столько-то или выше нормы на такую-то величину.

Но что является нормой для значения g?

Значение ускорения свободного падения на земной поверхности имеет два закономерных изменения, которые давно уже прослежены и хорошо известны исследователям.

Прежде всего g закономерно уменьшается при переходе от полюса к экватору. Об этом говорилось выше. Напомним лишь, что такое изменение происходит по двум причинам: во-первых, Земля — не шар, и тело, находясь у полюса, будет ближе к центру Земли; во-вторых, по мере продвижения к экватору сила тяжести будет все больше ослабляться центробежной силой.

Второе закономерное изменение g — это уменьшение с высотой. Чем дальше от центра Земли, тем меньше g, в соответствии с формулой g = γ∙M/(R + h)², где R — радиус Земли, h — высота над уровнем моря.

Таким образом, на одной и той же широте и на одной и той же высоте над уровнем моря ускорение свободного падения должно быть одинаковым.

Точные измерения показывают, что весьма часто встречаются отклонения от этой нормы — аномалии тяготения. Причина аномалий состоит в неоднородности распределения массы вблизи места измерения.

Как мы поясняли, сила тяготения со стороны большого тела может быть мысленно представлена как сумма сил, действующих со стороны отдельных частиц большого тела. Притяжение маятника Землей есть результат действия на него всех частичек Земли. Но ясно, что близкие частицы вносят наибольший вклад в суммарную силу — ведь притяжение обратно пропорционально квадрату расстояния.

Если вблизи места измерения сосредоточены тяжелые массы, g будет больше нормы, в обратном случае g меньше нормы.

Если, например, измерить g на горе или на самолете, летящем над морем на высоте горы, то в первом случае получится большая цифра. Например, на горе Этне в Италии значение g на 0,292 см/с² выше нормы. Также выше нормы значение g на уединенных океанских островах. Ясно, что в обоих случаях возрастание g объясняется сосредоточением дополнительных масс в месте измерения.

Не только значение g, но и направление силы тяжести могут отклоняться от нормы. Если подвесить груз на нитке, то вытянутая нить покажет вертикаль для этого места. Эта вертикаль может отклониться от нормы. «Нормальная» вертикаль определяется по звездам, так как для любой географической точки вычислено, в какое место неба в данный момент суток и года «упирается» вертикаль «идеальной» фигуры Земли.

Представьте себе, что вы производите опыты с отвесом у подножия большой горы. Грузик отвеса притягивается Землей к ее центру и горой — в сторону. Отвес должен отклониться при таких условиях от направления нормальной вертикали (рис. 6.3).

Так как масса Земли много больше массы горы, то такие отклонения не превышают нескольких угловых секунд.

Отклонения отвеса приводят иногда к странным результатам. Например, во Флоренции влияние Аппенин приводит не к притяжению, а к отталкиванию отвеса. Объяснение может быть одно: в горах есть огромные пустоты.

Замечательный результат дают измерения ускорения свободного падения в масштабе материков и океанов. Материки значительно тяжелее океанов, поэтому, казалось бы, значения g над материками должны быть больше, чем над океанами. В действительности же значения g, промеренные вдоль одной широты над океанами и материками, в среднем одинаковы.

Объяснение опять-таки лишь одно: материки покоятся на более легких породах, а океаны — на более тяжелых. И действительно, там, где возможны непосредственные изыскания, геологи устанавливают, что океаны покоятся на тяжелых базальтовых породах, а материки — на легких гранитах.

Но сразу же возникает следующий вопрос: почему тяжелые и легкие породы так точно компенсируют различие весов материков и океанов? Такая компенсация не может быть делом случая, причины ее должны корениться в устройстве оболочки Земли.

Геологи полагают, что верхние части земной коры как бы плавают на подстилающей пластичной (т. е. легко деформируемой, как мокрая глина) массе. Давление на глубинах около 100 км должно быть всюду одинаковым, так же как одинаково давление на дне сосуда с водой, в котором плавают куски дерева разного веса. Поэтому столб вещества площадью 1 м² от поверхности до глубины 100 км, должен иметь и под океаном, и под материком одинаковый вес.

Это выравнивание давлений (его называют изостазией) и приводит к тому, что над океаном и материками вдоль одной широтной линии значения ускорения свободного падения g не отличаются существенно.

Местные аномалии силы тяжести служат нам так, как маленькому Муку из сказки Гауфа служила его волшебная палочка, которая стучала о землю там, где находилось золото или серебро.

Тяжелую руду нужно искать в тех местах, где g наибольшее. Напротив, залежи легкой соли обнаруживают по местным занижениям значения g. Измерить g можно с точностью до стотысячных долей от 1 см/с².

Методы разведки при помощи маятников и сверхточных весов называют гравитационными. Они имеют большое практическое значение, в частности для поисков нефти. Дело в том, что при гравитационных методах разведки легко обнаружить подземные соляные куполы, а очень часто оказывается, что где соль, там и нефть. Причем нефть лежит в глубине, а соль ближе к земной поверхности. Методом гравитационной разведки была открыта нефть в Казахстане и в других местах.

ТЯЖЕСТЬ ПОД ЗЕМЛЕЙ

Нам осталось осветить еще один интересный вопрос. Как будет меняться сила тяжести, если углубляться под землю?

Вес предмета — это результат натяжения незримых нитей, протянутых к этому предмету от каждого кусочка вещества Земли. Вес — это суммарная сила, результат сложения элементарных сил, действующих на предмет со стороны частиц Земли. Все эти силы, хотя и направлены под разными углами, тянут тело «вниз» — к центру Земли.

А какова будет тяжесть предмета, находящегося в подземной лаборатории? На него будут действовать силы притяжения и с внутренних, и с внешних слоев Земли.

Рассмотрим силы тяготения, действующие в точке, лежащей внутри земного шара, со стороны внешнего слоя. Если разбить этот слой на тонкие слои, вырезать в одном из них маленький квадратик со стороной а₁ и протянуть линии от вершин квадрата через точку О, тяжесть в которой нас интересует, то на противоположной стороне слоя получится квадратик другого размера со стороной а₂ (рис. 6.4).

Силы притяжения, действующие в точке О со стороны двух квадратиков, направлены противоположно и пропорциональны по закону тяготения m₁/r₁² и m₂/r₂². Но массы квадратов m₁ и m₂ пропорциональны площадям квадратов. Поэтому силы тяготения пропорциональны выражениям a₁²/r₁² и a₂²/r₂².

Предоставляем читателю доказать, что эти отношения будут равными, т. е. силы притяжения, действующие в точке О со стороны двух квадратиков, уравновешиваются.

Разбив тонкий слой на подобные пары «противоположных» квадратов, мы установили замечательный факт: тонкий однородный шаровой слой не действует на точку, расположенную внутри него. Но это верно для всех тонких слоев, на которые мы разбили шаровой пояс, лежащий над интересовавшей нас подземной точкой.

Значит, земной слой, находящийся над телом, все равно что отсутствует. Действие отдельных его частей на тело уравновешивается, и суммарная сила притяжения со стороны внешнего слоя равняется нулю.

Конечно, во всех этих рассуждениях мы считали плотность Земли постоянной внутри каждого слоя.

Результат наших рассуждений позволяет легко получить формулу для силы тяжести, действующей на любой глубине Н под землей. Точка, расположенная на глубине Н, испытывает лишь притяжение со стороны внутренних слоев Земли. Формула для ускорения силы тяжести g = γ∙M/r² применима и для этого случая, но М и r — это масса и радиус не всей Земли, а ее «внутренней» но отношению к этой точке части.

Если бы Земля имела одинаковую плотность во всех слоях, то формула для g приняла бы вид:

где ρ — плотность, R — радиус Земли.

Это значит, что g менялось бы прямо пропорционально (R — H): чем больше глубина Н, тем меньше было бы g.

На самом же деле поведение g вблизи земной поверхности — мы можем проследить за ним вплоть до глубин 5 км (ниже уровня моря) — совсем не подчиняется этому закону. Опыт показывает, что в этих слоях g, наоборот, растет с глубиной. Расхождение опыта с формулой объясняется тем, что не было учтено различие плотности на разных глубинах.

Средняя плотность Земли легко находится делением массы на объем земного шара. Это приводит нас к цифре 5,52. В то же время плотность поверхностных пород много меньше — она численно равна 2,75. Плотность земных слоев растет с глубиной. В поверхностных слоях Земли этот эффект берет верх над идеальным уменьшением, которое следует из выведенной формулы, и величина g возрастает.

ЭНЕРГИЯ ТЯГОТЕНИЯ

На простом примере мы уже познакомились с энергией тяготения. Тело, поднятое на высоту h над Землей, обладает потенциальной энергией mgh.

Однако этой формулой можно пользоваться лишь тогда, когда высота h много меньше радиуса Земли.

Энергия тяготения — важная величина, и интересно получить формулу ее, которая годилась бы для тела, поднятого на любую высоту над Землей, а также вообще для двух масс, притягивающихся по универсальному закону:

Положим, что под действием взаимного притяжения тела немного сблизились. Между ними было расстояние r₁, а стало r₂. При этом совершается работа А = F∙(r₁ — r₂). Значение силы надо взять в какой-то средней точке. Итак,

Если r₁ и r₂ мало отличаются друг от друга, то можно заменить r²_ср произведением r₁r₂. Получаем:

Эта работа произведена за счет энергии тяготения:

A = U₁ — U₂,

где U₁ — начальное, a U₂— конечное значение потенциальной энергии тяготения.

Сопоставляя эти две формулы, находим для потенциальной энергии выражение

Оно похоже на формулу силы тяготения, но в знаменателе стоит r в первой степени.

По этой формуле при очень больших r потенциальная энергия U = 0. Это разумно, так как на таких расстояниях притяжение уже не будет чувствоваться. Но при сближении тел потенциальная энергия должна уменьшаться. Ведь за ее счет происходит работа.

А куда же уменьшаться от нуля? В отрицательную сторону. Поэтому в формуле и стоит минус. Ведь —5 меньше нуля, а —10 меньше —5.

Если речь идет о движении около земной поверхности, то общее выражение силы тяготения можно заменить произведением mg. Тогда с большой точностью U₁ — U₂ = mgh.

Но на поверхности Земли тело имеет потенциальную энергию — γ∙M∙m/R — где R — радиус Земли. Значит, на высоте h над земной поверхностью

Когда мы впервые ввели формулу потенциальной энергии U = mgh, было условлено высоту и энергию отсчитывать от земной поверхности. Пользуясь формулой U = mgh, мы отбрасываем постоянный член — γ∙M∙m/R, условно считаем его равным нулю. Так как нас интересуют лишь разности энергий — ведь обычно измеряется работа, которая есть разность энергий, — то присутствие постоянного члена — у в формуле потенциальной энергии роли не играет.

Энергия тяготения определяет прочность цепей, «привязывающих» тело к Земле. Как порвать эти цеци, как добиться того, чтобы брошенное с Земли тело не вернулось на Землю? Ясно, что для этого нужно придать телу большую начальную скорость. Но каково же минимальное требование?

По мере отдаления от Земли потенциальная энергия выброшенного с Земли тела (снаряда, ракеты) будет расти (абсолютное значение U падает); кинетическая энергия будет падать. Если кинетическая энергия тела станет равной нулю преждевременно, до того как мы оборвем цепи тяготения земного шара, выброшенный снаряд упадет обратно на Землю.

Необходимо, чтобы тело сохраняло кинетическую энергию до тех пор, пока его потенциальная энергия практически не упадет до нуля. Перед отправлением снаряд обладал потенциальной энергией — γ∙M∙m/R (М и R — масса и радиус Земли). Поэтому снаряду нужно дать такую скорость, которая сделала бы полную энергию оторвавшегося снаряда положительной. Тело с отрицательной полной энергией (абсолютное значение потенциальной энергии больше значения кинетической) не выберется за пределы сферы тяготения.

Таким образом, мы приходим к простому условию. Для того чтобы тело массы m оторвать от Земли, надо, как уже сказано, преодолеть потенциальную энергию тяготения

Скорость снаряда должна быть при этом доведена до значения так называемой второй космической скорости которую легко вычислив из равенства кинетической и потенциальной энергий:

или, так как g = γ∙M/R²,

v₂² = 2∙g∙R.

Значение v₂, вычисляемое но этой формуле, составляет 11 км/с — конечно, без учета сопротивления атмосферы. Эта скорость в √2 = 1,41 раза больше первой космической скорости v₁ = √(g∙R) искусственного спутника, вращающегося около земной поверхности, т. е v₂ = √2∙v₁.

Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли; радиус ее меньше земного в четыре раза. Поэтому энергия тяготения на Луне в двадцать раз меньше, чем на Земле, и для отрыва от Луны достаточно скорости 2,5 км/с.

Кинетическая энергия mv₂²/2 тратится на то, чтобы порвать цепи тяготения к планете — отправной станции. Если же мы хотим, чтобы, преодолев тяготение, ракета двигалась со скоростью v, то на это нужна дополнительная энергия mv²/2. В этом случае, посылая ракету в путешествие, необходимо сообщить ей энергию mv₀²/2 = (mv₂²/2) + (mv²/2). Таким образом, три скорости, о которых идет речь, связаны простым соотношением:

v₀² = v₂² + v²

Чему же должна равняться скорость v₃, нужная для преодоления тяготения Земли и Солнца, — минимальная скорость снаряда, посылаемого к далеким звездам?

Эту скорость мы обозначили v₃, потому что ее называют третьей космической скоростью.

Определим прежде всего значение скорости, необходимой для преодоления одного лишь притяжения Солнца.

Как мы только что показали, скорость, нужная для выхода из сферы земного притяжения снаряда, отправляемого в путешествие, в √2 раз больше, чем скорость вывода на орбиту земного спутника. Эти рассуждения в равной степени относятся и к Солнцу, т. е. скорость, нужная для ухода от Солнца, в √2 раз больше, чем скорость спутника Солнца (т. е. Земли). Поскольку скорость движения Земли вокруг Солнца составляет примерно 30 км/с, то скорость, необходимая для ухода из сферы притяжения Солнца, равна 42 км/с. Это очень много, однако для отправления снаряда к далеким звездам надо, разумеется, использовать движение земного шара и запускать тело в ту сторону, куда движется Земля. Тогда нам нужно добавить всего 42–30 = 12 км/с.

Теперь мы можем окончательно вычислить третью космическую скорость. Это скорость, с которой надо вывести ракету, чтобы, выйдя из сферы земного притяжения, она имела скорость 12 км/с. Воспользовавшись формулой, приведенной только что, получим:

v₃² = (11)² + (12)²,

откуда v₃=16 км/с.

Итак, имея скорость около 11 км/с тело покинет Землю, но «далеко» такой снаряд не уйдет; Земля его отпустила, по Солнце не даст ему свободы. Он превратится в спутника Солнца.

Оказывается, что скорость, необходимая для межзвездного путешествия, всего лишь в полтора раза больше скорости, нужной для путешествия по Солнечной системе внутри земной орбиты. Правда как уже говорилось, всякое заметное увеличение начальной скорости снаряда сопряжено с немалыми техническими трудностями (см. стр. 87).

КАК ДВИЖУТСЯ ПЛАНЕТЫ

На вопрос, как движутся планеты, можно ответить кратко: повинуясь закону тяготения. Ведь силы тяготения — единственные силы, приложенные к планетам.

Так как масса планет много меньше массы Солнца, то силы взаимодействия между планетами не играют большой роли. Каждая из планет движется почти так, как это диктует ей сила притяжения одного лишь Солнца, словно других планет и не существует.

Законы движения планеты вокруг Солнца следуют из закона всемирного тяготения.

Впрочем, исторически дело было не так. Законы движения планет были найдены замечательным немецким астрономом Иоганном Кеплером до Ньютона без помощи закона тяготения на основании почти двадцатилетней обработки астрономических наблюдений.

Пути, или, как говорят астрономы, орбиты, которые описывают планеты около Солнца, очень близки к окружностям.

Как связан период обращения планеты с радиусом ее орбиты?

Сила тяготения, действующая на планету со стороны Солнца, равна

где М — масса Солнца, m — масса планеты, r — расстояние между ними

Но F/m есть, согласно основному закону механики, не что иное, как ускорение, и притом центростремительное:

F/m = v²/r

Скорость планеты можно представить как длину окружности 2πr, поделенную на период обращения Т.

Подставив v = 2π∙r/T и значение силы F в формулу ускорения, получим:

Коэффициент пропорциональности перед r³ есть величина, зависящая только от массы Солнца, — одинаковая для любой планеты. Следовательно, для двух планет справедливо соотношение

T₁²/T₂² = r₁³/r₂³

Отношение квадратов времен обращения планет оказывается равным отношению кубов радиусов их орбит. Этот интересный закон был выведен Кеплером из опыта. Закон всемирного тяготения объяснил наблюдения Кеплера.

Круговое движение одного небесного тела около другого — это лишь одна из возможностей.

Траектории одного тела, вращающегося около другого благодаря силам тяготения, могут быть самыми различными. Однако, как показывает расчет и как еще до всякого расчета было обнаружено Кеплером, все они принадлежат к одному классу кривых, называемых эллипсами.

Если привязать нитку к двум булавкам, воткнутым в лист чертежной бумаги, натянуть нитку острием карандаша и двигать карандашом так, чтобы нитка оставалась натянутой, то на бумаге в конце концов прочертится замкнутая кривая — это в есть эллипс (рис. 6.5). Места, где находятся булавки, будут фокусами эллипса.

Эллипсы могут иметь различную форму. Если взять нитку много длиннее, чем расстояние между булавками, то эллипс будет очень похож на круг. Напротив, если длина нитки чуть-чуть больше расстояния между булавками, то получится удлиненный эллипс — почти палочка.

Планеты описывают эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце.

Какие же эллипсы описывают планеты? Оказывается, очень близкие к окружности Наиболее отличен от окружности путь ближайшей к Солнцу планеты — Меркурия. Но и в этом случае самый длинный диаметр эллипса всего лишь на 2 % больше самого короткого. Иное дело орбиты искусственных планет. Посмотрите на рис. 6.6. Орбиту Марса не отличишь от круга.

Однако Солнце находится в одном из фокусов эллипса, а не в его центре, и поэтому расстояние планеты от Солнца меняется сильнее. Проведем линию через два фокуса эллипса — она пересечет эллипс в двух местах. Точку, ближайшую к Солнцу, называют перигелием, наиболее далекую от Солнца — афелием. Меркурий, когда находится в перигелии, в 1,5 раза ближе к Солнцу, чем в афелии.

Главные планеты описывают вокруг Солнца эллипсы, близкие к окружности. Однако существуют небесные тела, которые движутся около Солнца по сильно вытянутым эллипсам. К ним принадлежат кометы. Их орбиты не идут ни в какое сравнение по вытянутости с орбитами планет. Про небесные тела, движущиеся по эллипсам, можно сказать, что они принадлежат к семье Солнца. Однако в нашу систему забредают и случайные пришельцы.

Наблюдались кометы, описывающие около Солнца такие кривые, судя по форме которых можно было сделать вывод: комета не вернется, она не принадлежит к семейству Солнечной системы. «Открытые» кривые, описываемые кометами, называются гиперболами.

Особенно быстро движутся такие кометы, когда они проходят около Солнца. Это и понятно — полная энергия кометы постоянна, а подходя к Солнцу, комета имеет наименьшую потенциальную энергию. Значит, кинетическая энергия движения будет в этом случае наибольшая. Конечно, такой эффект имеет место для всех планет и для нашей Земли. Однако эффект этот невелик, так как мала разница потенциальных энергий в афелии и перигелии.

Интересный закон движения планеты вытекает из закона сохранения момента импульса.

На рис. 6.7 изображено два положения планеты.

От Солнца, т. е. от фокуса эллипса, проведены два радиуса к положениям планеты, и образовавшийся сектор заштрихован. Надо определить величину площади, описываемой радиусом за единицу времени. При небольшом угле сектор, описанный радиусом за секунду можно заменить треугольником. Основание треугольника — скорость v (путь, проходимый за секунду), а высота треугольника равна плечу d скорости. Поэтому площадь треугольника есть vd/2.

Из закона сохранения момента импульса следует постоянство величины mvd во время движения. Но если mvd неизменно, то не меняется и площадь треугольника vd/2. Мы можем начертить секторы для любых моментов времени — они окажутся одинаковыми по площади. Скорость планеты меняется, но то, что можно назвать секториальной скоростью, остается неизменным.

Не все звезды имеют планетное окружение. Довольно много в небе двойных звезд. Два огромных небесных тела вращаются одно около другого.

Огромная масса Солнца делает его центром семейства. В двойных звездах оба небесных тела имеют близкие по величине массы. В этом случае нельзя считать, что одна из двух звезд покоится. Как же происходит движение в этом случае? Мы знаем, что каждая замкнутая система имеет одну покоящуюся (или равномерно движущуюся) точку — это центр инерции. Вокруг этой точки и вращаются обе звезды. При этом они описывают подобные эллипсы, что следует из написанного на стр. 143 условия m₁/m₂ = r₂/r₁. Эллипс одной звезды больше эллипса другой во столько раз, во сколько раз ее масса меньше массы другой (рис. 6.8). При равных массах обе звезды будут описывать около центра инерции одинаковые траектории.

Планеты Солнечной системы находятся в идеальных условиях: они не подвержены трению.

Создаваемые людьми маленькие искусственные небесные тела — спутники — не находятся в таком идеальном положении: силы трения, пусть сначала очень незначительные, но все же чувствительные, решительно вмешиваются в их движение.

Полная энергия планеты остается неизменной. Полная энергия спутника с каждым оборотом слегка падает. На первый взгляд кажется, что трение будет замедлять движение спутника. В действительности происходит обратное.

Вспомним прежде всего, что скорость спутника равна √(g∙R) или √(γ∙M/R), где R — расстояние от центра Земли, а М — ее масса.

Полная энергия спутника равна:

Подставив значение скорости спутника, найдем для кинетической энергии выражение γ∙m∙M/2R. Мы видим, что по абсолютной величине кинетическая энергия в два раза меньше потенциальной, а полная энергия равна

При наличии трения полная энергия будет падать, т. е. (поскольку она отрицательна) расти по абсолютной величине; расстояние R начнет уменьшаться: спутник снижается. Что при этом произойдет со слагаемыми энергии? Потенциальная энергия убывает (растет по абсолютной величине), кинетическая энергия растет.

Общий баланс все же отрицателен, так как потенциальная энергия убывает вдвое быстрее, чем возрастает кинетическая.

Трение приводит к возрастанию скорости движения спутника, а не к замедлению.

Теперь понятно, почему большая ракета-носитель обгоняет маленький спутник. У большой, но пустой ракеты трение больше.

МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПУТЕШЕСТВИЯ

К сегодняшнему дню мы уже были свидетелями многих путешествий на Луну. Автоматические ракеты и ракеты с людьми побывали на Луне и возвратились оттуда обратно.

Ракеты без людей побывали уже на Марсе. Не за горами посещение других планет, их исследование и возвращение на Землю людей или автоматических устройств.

Главные закономерности межпланетных путешествий, а именно принцип действия ракеты и расчет космических скоростей, нужные для того, чтобы создать спутник небесного тела или покинуть планету «насовсем», мы уже выяснили.

В качестве примера межпланетного путешествия мы рассмотрим полет на Луну. Для попадания на Луну нужно нацелить ракету на точку лунной орбиты. В эту точку Луна должна подойти одновременно с ракетой. Можно отправить ракету по прямолинейной траектории, можно и под любым углом. Разумеется, не противопоказан и горизонтальный полет. Для того чтобы снаряд достиг Луны, ему должна быть придана вторая космическая скорость.

Различные траектории полета требуют разного количества топлива, так как отличаются потерями на разгон. Время полета очень резко зависит от начальной скорости. Если скорость минимальна, то время полета будет около пяти суток. Если скорость увеличить на 0,5 км/с, то это время уменьшится до одних суток.

На первый взгляд может показаться, что для прилунения достаточно попасть в сферу притяжения Луны с нулевой конечной скоростью. Представляется, что после этого аппарат просто «упадет» на Лупу. Ошибка в этом рассуждении состоит вот в чем. Когда ракета будет иметь скорость, равную нулю по отношению к Земле, то по отношению к Луне она будет иметь скорость Луны, направленную в обратную сторону.

На рис. 6.9 изображена траектория ракеты, запущенной из точки А. Нарисована также траектория Луны. Можно представить себе, что по ней движется «сфера действия» Луны (внутри этой сферы практически на ракету действует одно лишь притяжение Луны).

Когда ракета вошла в сферу действия Луны в точку В, сама Луна находится в точке С и имеет скорость v_л, равную 1,02 км/с. Если бы скорость ракеты в точке В по отношению к Земле равнялась нулю, то по отношению к Луне она равнялась бы — v_л. При таких условиях мы промахнулись бы.

Рассматривая ракету с Луны, мы можем быть уверены, что она придет под прямым углом к поверхности Луны, если ее скорость равна v. Как же должен поступить математик, рассчитывающий оптимальную траекторию и скорость ракеты? Очевидно он должен добиться того, чтобы ракета попала в точку В не с нулевой скоростью, а со скоростью V, которая также показана на рис. 6.9. А рассчитать ее не трудно с помощью параллелограмма скоростей, изображенного на том же рисунке.

Все же у нас есть некоторая свобода. Не обязательно, чтобы вектор скорости v смотрел на центр Луны. Вдобавок и само притяжение Луны увеличивает допустимые погрешности.

Расчеты показывают, что все эти допущения, весьма малы и точность в значениях начальной скорости должна быть порядка нескольких метров в секунду. Угол, под которым отправляется ракета, должен устанавливаться с точностью до десятой градуса, а время отправления не должно отличаться от расчетного более чем на несколько секунд.

Итак, ракета входит в область действия Луны со скоростью, отличной от нуля. Расчет показывает, что эта скорость V должна равняться 0,8 км/с. Притяжение Луны увеличит ее, и встреча с поверхностью произойдет при скорости 2,5 км/с. Разумеется, это не годится — аппарат разрушится при такой встрече. Нет никакого другого выхода, кроме как гасить скорость при помощи тормозной двигательной установки. Чтобы осуществить так называемую мягкую посадку, придется потратить изрядное количество топлива. Формула, которая приведена на стр. 87, показывает, что ракете придется «похудеть» в 2,7 раза.

Если мы желаем вернуться обратно, то ракета после прилунения не должна остаться без топлива. Луна — «маленькое» тело. Ее радиус равен 1737 км, масса равна 7,35∙10²² кг. Нетрудно рассчитать, что первая космическая скорость, нужная для создания искусственного спутника Луны, равна 1680 м/с, а вторая — 2375 м/с. Так что для того, чтобы покинуть Луну, требуется придать снаряду скорость около 2,5 км/с. При этой минимальной начальной скорости мы вернемся на Землю через 5 суток со знакомым нам значением скорости около 11 км/с.

Вход в атмосферу Земли должен быть пологим — надо избежать перегрузок, если на борту космического корабля есть люди. Но даже если речь идет о посадке автомата, все равно надо покружиться около Земли, все время сокращая диаметр эллипса, чтобы не перегреть оболочку ракеты.

Экспедиция на Луну с людьми стоит колоссальных денег. Если принять, что на Землю должна вернуться кабина с людьми и приборами массой не менее 5 тонн, то окажется, что начальная масса ракетного комплекса составит 4,5 тысячи тонн. Специалисты полагают, что в течение ближайших 20 лет до разработки новых систем двигателей с высокой скоростью истечения газов полеты с людьми на Лупу, а тем более на другие планеты, осуществляться не будут. Впрочем, в справедливости таких прогнозов трудно быть уверенным.

ЕСЛИ БЫ НЕ БЫЛО ЛУНЫ

Мы не будем обсуждать печальные следствия отсутствия Луны для поэтов и влюбленных. Заголовок параграфа надо понимать гораздо прозаичнее: как сказывается присутствие Луны на земной механике.

Когда мы раньше обсуждали, какие силы действуют на лежащую на столе книгу, то уверенно говорили: притяжение Земли и сила реакции. Но, строго говоря, лежащая на столе книга притягивается и Луной, и Солнцем, и даже звездами.

Луна — наш ближайший сосед. Забудем про Солнце и звезды и посмотрим, насколько изменится вес тела на Земле под действием Луны.

Земля и Луна находятся в относительном движении. По отношению к Луне Земля как целое (т. е. все точки Земли) движется с ускорением γ∙m/r², где m — масса Луны, а m — расстояние от центра Луны до центра Земли.

Рассмотрим тело, лежащее на поверхности Земли. Нас интересует, насколько изменится его вес под действием Луны. Земной вес определяется ускорением по отношению к Земле. Поэтому, иными словами, нас интересует, насколько изменится под действием Луны ускорение лежащего на земной поверхности тела по отношению к Земле.

Ускорение Земли по отношению к Луне γ∙m/r²;ускорение тела, лежащего на поверхности Земли, по отношению к Луне γ∙m/r₁², где r₁ — расстояние от тела до центра Луны (рис. 6.10).

А нам нужно найти дополнительное ускорение тела по отношению к Земле: оно будет равно геометрической разности соответствующих ускорений.

Величина γ∙m/r² — постоянное число для Земли, a γ∙m/r₁² — разное в разных точках земной поверхности. Значит, и интересующая нас геометрическая разность будет различной для разных мест земного шара.

Какова будет земная тяжесть в наиболее близком к Луне месте, в самом отдаленном от нее и посередине на земной поверхности?

Для нахождения вызванного Луной ускорения тела по отношению к центру Земли, т. е. поправки к земному g, надо из величины γ∙m/r₁, в указанных местах земного шара (светлые стрелки на рис. 6.11) вычесть постоянную величину γ∙m/r². При этом надо помнить, что ускорение γ∙m/r² — Земли по отношению к Луне — направлено параллельно линии центр Земли — центр Луны. Вычитание вектора равносильно прибавлению обратного вектора. Жирными стрелками на рисунке показаны векторы —γ∙m/r².

Складывая изображенные на рисунке векторы, мы найдем то, что нас интересует: изменение ускорения свободного падения на поверхности Земли, возникающее благодаря влиянию Луны.

В месте, наиболее близком к Луне, результирующее дополнительное ускорение будет равно:

и направлено к Луне. Земная тяжесть уменьшается, тело в точке А становится легче, чем при отсутствии Луны.

Имея в виду, что R много меньше r, написанную формулу можно упростить. Приведя к общему знаменателю, получим:

Отбросив в скобках относительно малую величину R, вычитаемую из значительно больших величин r или 2r, получим

2γ∙m∙R/r³

Перенесемся теперь к антиподам. В точке В ускорение, вызванное Луной, не больше, а меньше общего земного. Но мы находимся теперь на дальней от Луны стороне земного шара. Уменьшение притяжения Луной приводит на этой стороне земного шара к тем же результатам, что увеличение притяжения в точке А — к уменьшению ускорения свободного падения. Неправда ли, неожиданный результат — и здесь тело становится легче под действием Луны. Разность

оказывается по абсолютной величине такой же, как в точке А.

Иначе дело обстоит на средней линии. Здесь ускорения направлены под углом, и вычитание общего ускорения Земли Луною γ∙m/r² и ускорения Луною лежащего на Земле тела γ∙m/r₁² надо произвести геометрически (рис. 6.12).

Мы ничтожно отойдем от средней линии, если расположим тело на Земле так, чтобы r₁ и r равнялись по величине. Векторная разность ускорений представляет собой основание равнобедренного треугольника. Из подобия треугольников, изображенных на рис. 6.12, видно, что искомое ускорение во столько раз меньше γ∙m/r², во сколько R меньше r. Значит, искомая добавка к g на средней линии земной поверхности равна

γ∙m∙R/r³

по числовому значению это в два раза меньше ослабления силы земного притяжения в крайних точках. Что же касается направления этого добавочного ускорения, то оно, как это видно из рисунка, и в этом случае практически совпадает с вертикалью в данной точке земной поверхности. Оно направлено вниз, т. е. приводит к увеличению веса.

Итак, влияние Луны на земную механику состоит в изменении веса тел, находящихся на земной поверхности. При этом в наиболее близкой и далекой от Луны точках вес уменьшается, а на средней линии возрастает, причем изменение веса во втором случае в два раза меньше чем в первом.

Разумеется, проведенные рассуждения верны для любой планеты, для Солнца, для звезд.

Нетрудно подсчитать, что ни планеты, ни звезды не дают и ничтожной доли лунного ускорения.

Сравнить действие любого небесного тела с действием Луны очень легко: надо разделить добавочные ускорения этого тела на «лунный добавок»:

Это отношение не намного меньше единицы лишь для Солнца. Солнце много дальше от нас, чем Луна, но масса Луны в десятки миллионов раз меньше массы Солнца.

Подставив числовые значения, найдем, что под влиянием Солнца земная тяжесть изменяется в 2,17 раза меньше, чем под влиянием Луны.

Прикинем теперь, насколько изменят вес земные тела, если Луна покинет земную орбиту. Подставив числовые значения в выражение 2γ∙m∙D/r³, найдем, что лунное ускорение есть величина порядка 0,0001 см/с, т. е. одной десятимиллионной доли g.

Казалось бы, почти ничего. Стоило ли ради этого ничтожного эффекта с напряжением следить за решением довольно сложной задачи механики? Не торопитесь с подобным заключением. Этот «ничтожный» эффект является причиной мощных приливных волн. Он ежесуточно создает 10¹⁵ Дж кинетической энергии, перемещая огромные массы воды. Эта энергия равняется энергии, несомой всеми реками земного шара.

Действительно, процентное изменение величины, которое мы рассчитали, — очень маленькое. Тело, ставшее легче на столь же «ничтожную» величину, отдалится от центра Земли. Но ведь радиус Земли — это 6 000 000 м, и ничтожное отклонение будет измеряться десятками сантиметров.

Представьте себе, что Луна остановила свое движение по отношению к Земле и сияет где-то над океаном. Расчет показывает, что уровень воды в этом месте повысится на 54 см. Такой же подъем воды произойдет у антиподов. На средней линии между этими крайними точками уровень воды в океане понизится на 27 см.

Благодаря вращению Земли вокруг своей оси «места» подъемов и опусканий океана все время перемещаются. Это и есть приливы. В течение примерно шести часов происходит подъем уровня воды, вода надвигается на берег — это прилив. Затем наступает отлив, он тоже длится шесть часов. В каждые лунные сутки происходит два прилива и два отлива. Картина приливных явлений сильно осложняется трением частиц воды, формой морского дна и очертанием берегов.

Например, в Каспийском море приливы и отливы невозможны просто потому, что вся поверхность моря одновременно находится в одинаковых условиях.

Также отсутствуют приливы во внутренних морях, соединенных с океаном длинными и узкими проливами, — например Черном, Балтийском.

Особенно большие приливы бывают в узких бухтах, где приливная волна, идущая из океана, сильно повышается. Например, в Гижигинской губе на Охотском море высота прилива достигает нескольких метров.

Если берега океана достаточно плоские (например, во Франции), подъем воды во время прилива может на многие километры изменить положение границы суши и моря.

Приливные явления мешают Земле вращаться. Ведь движение приливных волн связано с трением. На преодоление этого трения — его называют приливным — должна затрачиваться работа. Поэтому энергия вращения, а с ней и скорость вращения Земли около оси, падает.

Это явление и приводит к удлинению суток, о котором шла речь на стр. 10.

Приливное трение позволяет понять, почему Луна обращена к Земле всегда одной и той же стороной.

Когда-то Луна, вероятно, была в жидком состоянии. Вращение этого жидкого шара около Земли сопровождалось сильнейшим приливным трением, которое постепенно замедляло движение Луны. Наконец, Луна перестала вращаться по отношению к Земле, приливы прекратились, и Луна спрятала от нашего взора половину своей поверхности.

Мы живем на дне воздушного океана — атмосферы. Каждое тело, любая песчинка, любой предмет, находящийся на Земле, подвержен давлению воздуха.

Атмосферное давление не такое маленькое. На каждый квадратный сантиметр поверхности тела действует сила около 1 кгс.

Причина атмосферного давления очевидна. Как и вода, воздух обладает весом, а значит, оказывает давление, равное (как и для воды) весу столба воздуха, находящегося над телом. Чем выше мы будем подниматься в гору, тем меньше воздуха будет над нами, а значит, тем меньше станет и атмосферное давление.

Для научных и житейских целей нужно уметь измерять давление. Для этого существуют специальные приборы — барометры.

Изготовить барометр нетрудно. В трубку, закрытую с одного конца, наливают ртуть. Зажав пальцем открытый конец, опрокидывают трубку и погружают ее открытым концом в чашечку с ртутью. При этом ртуть в трубке опускается, но не выливается. Пространство над ртутью в трубке, несомненно, безвоздушное. Ртуть поддерживается в трубке давлением наружного воздуха (рис. 7.4).

Каких бы размеров мы ни брали чашечку со ртутью, какого бы диаметра пи была трубка, ртуть всегда поднимется примерно на одну и ту же высоту — 76 см. Если взять трубку короче 76 см, то она полностью заполнится ртутью, и мы не увидим пустоты. Столб ртути высотой 76 см. давит на подставку с той же силой, что и атмосфера. Этот столбик на площадку в 1 см² давит с силой в 1,033 кгс. Эту цифру составляет объем ртути 1х76 см³, умноженный на ее плотность и на ускорение свободного падения.

Как видите, то среднее или, как говорят, нормальное атмосферное давление, которое испытывает каждый житель Земли, близко к давлению, которое возникает, если на площадку в 1 см² мы поставим гирьку в 1 кг.

Для измерения давления пользуются различными единицами. Часто просто указывают высоту столба ртути в миллиметрах. Например, говорят, что сегодня давление выше нормы, оно равно 768 мм рт. ст.

Давление в 760 мм рт. ст. называют иногда физической атмосферой (атм). Поскольку физическая и техническая атмосферы — величины очень близкие, то в дальнейшем мы не будем оговаривать, о какой атмосфере идет речь. Физики часто пользуются также единицей давления бар. 1 бар = 10⁶ дин/см². Так как 1 гс = 981 дин, то 1 бар равен примерно одной атмосфере, точнее, нормальное атмосферное давление примерно равно 1013 миллибар.

В настоящее время системой СИ принята единица давления паскаль (Па), определяемая действием силы в 1 Н на площадку в 1 м². Это очень маленькое давление, что видно хотя бы из того, что 1 Па = 1 Н/м² = 10 дин/см² = 10^-5 бар.

Вычислив величину земной поверхности по формуле 4πR², найдем, что вес всей атмосферы выражается огромной цифрой 5∙10¹⁸ кгс.

Барометрической трубке можно придать самые различные формы, важно лишь одно: один конец трубки должен быть закрыт так, чтобы над поверхностью ртути не было воздуха. На другой уровень ртути действует давление атмосферы.

Ртутным барометром можно измерить атмосферное давление с очень большой точностью. Разумеется, не обязательно брать ртуть, годится и любая другая жидкость. Но ртуть — наиболее тяжелая жидкость, и высота столба ртути при нормальном давлении будет наименьшей. Ртутный барометр — не особенно удобный прибор. Нежелательно поверхность ртути оставлять открытой (ртутные пары ядовиты), кроме того, прибор не портативен.

Этих недостатков нет у металлических барометров — анероидов (т. е. безвоздушных). Такой барометр все видели. Это небольшая круглая металлическая коробка со шкалой и стрелкой. На шкалу нанесены величины давления, обычно в сантиметрах ртутного столба.

Из металлической коробки выкачан воздух. Крышка коробки удерживается сильной пружиной, так как иначе она была бы вдавлена атмосферным давлением. При изменении давления крышка либо прогибается, либо выпячивается. С крышкой соединена стрелка, причем так, что при вдавливании стрелка идет вправо.

Такой барометр градуируется сравнением его показаний со ртутным. Если вы хотите узнать давление, не забудьте постучать пальцем по барометру. Стрелка циферблата испытывает большое трение и обычно застревает на «вчерашней погоде».

На атмосферном давлении основано простое устройство — сифон.

Шофер хочет помочь своему товарищу, у которого кончился бензин. Как же отлить бензин из баке своей автомашины? Не наклонять же ее, как чайник.

На помощь приходит резиновая трубка. Один конец ее опускают в бензобак, а из другого конца ртом отсасывают воздух. Затем быстрое движение — открытый конец зажимают пальцем и устанавливают на высоте ниже бензобака. Теперь палец можно отнять — бензин будет выливаться из шланга (см. рис. 7.5).

Изогнутая резиновая трубка и есть сифон. Жидкость в этом случае движется по той же причине, что и в прямой наклонной трубке. В обоих случаях жидкость в конечном счете течет вниз.

Для действия сифона необходимо атмосферное давление: оно «подпирает» жидкость и не дает столбу жидкости в трубке разорваться. Если бы атмосферного давления не было, столб разорвался бы в точке перевала, и жидкость скатилась бы в оба сосуда.

Сифон начинает работать, когда жидкость в правом (так сказать, «выливном») колене опустится ниже уровня перекачиваемой жидкости, в которую опущен левый конец трубки. В противном случае жидкость уйдет обратно.

КАК УЗНАЛИ ОБ АТМОСФЕРНОМ ДАВЛЕНИИ

Еще древней цивилизации были известны всасывающие насосы. С их помощью можно было поднять воду на значительную высоту. Вода удивительно послушно следовала за поршнем такого насоса.

Древние философы задумывались о причинах этого и пришли к такому глубокомысленному заключению: вода следует за поршнем потому, что природа боится пустоты, поэтому-то между поршнем и водой не остается свободного пространства.

Рассказывают, что один мастер построил для садов герцога Тосканского во Флоренции всасывающий насос, поршень которого должен был затягивать воду на высоту более 10 м. Но как ни старались засосать этим насосом воду, ничего не получалось. На 10 м вода поднималась за поршнем, а дальше поршень отходил от воды, и образовывалась та самая пустота, которой природа боится.

Когда с просьбой объяснить причину неудачи обратились к Галилею, он ответил, что природа действительно не любит пустоты, но до определенного предела.

Ученик Галилея Эванджелиста Торричелли, очевидно, использовал этот случай как повод для того, чтобы поставить в 1643 г. свой знаменитый опыт с трубкой, наполненной ртутью. Этот опыт мы только что описали — изготовление ртутного барометра и есть опыт Торричелли.

Взяв трубку высотой более 76 см, Торричелли создал пустоту над ртутью (ее часто называют в его честь торричеллиевои пустотой) и таким образом доказал существование атмосферного давления.

Этим опытом Торричелли разрешил недоумения мастера Тосканского герцога. Действительно, ясно, на протяжении скольких метров вода будет покорно следовать за поршнем всасывающего насоса. Это движение будет продолжаться до тех пор, пока столб воды площадью 1 см² не станет равным по весу 1 кгс. Такой столб воды будет иметь высоту 10 м. Вот почему природа боится пустоты…, но не более чем до 10 м.

В 1654 г., спустя 11 лет после открытия Торричелли, действие атмосферного давления было наглядно показано магдебургским бургомистром Отто фон Герике. Известность принесла автору не столько физическая сущность опыта, сколько театральность его постановки.

Два медных полушария были соединены кольцевой прокладкой. Через кран, приделанный к одному из полушариев, из составленного шара был выкачан воздух, после чего полушария невозможно было равнять. Сохранилось подробное описание опыта Герике. Давление атмосферы на полушария можно сейчас рассчитать! при диаметре шара 37 см сила равнялась примерно 1000 кгс. Чтобы разъединить полушария, Герике приказал запрячь две восьмерки лошадей. К упряжи шли канаты, продетые через кольца, прикрепленные к полушариям. Лошади оказались не в силах разъединить полушария.

Силы восьми лошадей (именно восьми, а ее шестнадцати, так как вторая восьмерка, запряженная для пущего эффекта, могла быть заменена крюком, вбитым в стену, с сохранением той же силы, действующей на полушария) было недостаточно для разрыва магдебургских полушарий.

Если между двумя соприкасающимися телами имеется пустая полость, то эти тела не будут распадаться благодаря атмосферному давлению.

АТМОСФЕРНОЕ ДАВЛЕНИЕ И ПОГОДА

Колебания давления от погоды имеют очень нерегулярный характер. Когда-то думали, что только одно давление и определяет погоду. Поэтому на барометрах еще и до сих пор ставятся надписи: ясно, сухо, дождь, буря. Встречается даже надпись: «землетрясение».

Изменение давления действительно играет большую роль в изменениях погоды. Но эта роль не решающая. Среднее или нормальное давление на уровне моря равняется 1013 миллибар. Колебания давления сравнительно невелики. Давление редко опускается ниже 935–940 миллибар и поднимается до 1055–1060.

Самое низкое давление наблюдалось 18 августа 1927 г. в Китайском море — 885 миллибар. Самое высокое — около 1080 миллибар — 23 января 1900 г. в Сибири на станции Барнаул (все цифры взяты по отношению к уровню моря).

На рис. 7.6 изображена карта, которой пользуются метеорологи, анализирующие изменения погоды.

Проведенные на карте линии называются изобарами. На каждой такой линии давление одинаково (его значение указано цифрой). Обратите внимание на области самого низкого и самого высокого давлений — «вершины» и «ямы» давления.

С распределением атмосферного давления связаны направления и сила ветра.

Давление в разных местах земной поверхности неодинаково, и более сильное давление «выжимает» воздух в места с более низким давлением. Казалось бы, ветер должен дуть в направлении, перпендикулярном к изобарам, т. е. туда, где давление падает наиболее быстро.

Однако карты ветров показывают иное. В дела воздушного давления вмешивается кориолисова сила и вносит свою поправку, очень значительную.

Как нам известно, на любое тело, движущееся в северном полушарии, действует кориолисова сила, направленная вправо по движению. Это относится и к частицам воздуха. Выжимаемая из мест большего давления к местам, где давление поменьше, частица должна двигаться поперек изобар, но кориолисова сила отклоняет ее вправо, и направление, ветра образует угол примерно в 45° с направлением изобар.

Поразительно большой эффект для такой маленькой силы. Это объясняется тем, что помехи действию силы Кориолиса — трение воздушных слоев — также очень незначительны.

Еще более интересно влияние силы Кориолиса на направление ветров в «вершинах» и «ямах» давления. Из-за действия кориолисовой силы воздух, отходя от «вершины» давления, не стекает во все стороны по радиусам, а движется по кривым линиям — спиралям. Эти спиральные воздушные потоки закручиваются в одну и ту же сторону и создают в области высокого давления круговой вихрь, перемещающий воздушные массы по часовой стрелке. Рис. 2.16 (см. стр. 78) отчетливо показывает, как радиальное движение превращается в спиральное при действии постоянной отклоняющей силы.

То же самое происходит и в области пониженного давления. При отсутствии силы Кориолиса воздух стекался бы к этой области равномерно по всем радиусам. Однако по дороге воздушные массы отклоняются вправо. В этом случае, как ясно из рисунка, образуется круговой вихрь, движущий воздух против часовой стрелки.

Ветры в области низкого давления называются циклонами, ветры в области высокого давления называются антициклонами.

Не надо думать, что всякий циклон означает ураган или бурю. Прохождение циклонов или антициклонов через город, где мы живем, — обычное явление, связанное, правда, большей частью с переменой погоды. Во многих случаях приближение циклона означает наступление ненастья, а приближение антициклона — наступление хорошей погоды. Впрочем, мы не будем становиться на путь прорицателей погоды.

ИЗМЕНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ С ВЫСОТОЙ

С изменением высоты давление падает. Впервые это было выяснено французом Перье по поручению Паскаля в 1648 г. Гора Г1ью де Дом, около которой жил Перье, была высотой 975 и. Измерения показали, что ртуть в торричеллиевой трубке падает при подъеме на гору на 8 мм.

Вполне естественно падение давления воздуха с увеличением высоты. Ведь наверху на прибор уже давит меньший столб воздуха.

Если вы летали в самолете, то знаете, что на передней стенке кабины помещен прибор, показывающий с точностью до десятков метров высоту, на которую поднялся самолет. Прибор называется альтиметром. Это обычный барометр, но проградуированный на значения высот над уровнем моря.

Давление падает с возрастанием высоты; найдем формулу этой зависимости. Выделим небольшой слой воздуха площадью в 1 см², расположенный между высотами h₁ и h₂. В не очень большом слое изменение плотности с высотой мало заметно. Поэтому вес выделенного объема (это цилиндрик высотой h₂ — h₁ и площадью 1 см²) воздуха будет

mg = ρ∙(h₂ — h₁)∙g.

Этот вес и дает падение давления при подъеме с высоты h₁ на высоту h₂. То есть

(p₁ — p₂)/ρ = g∙(h₂ — h₁)

Но по закону Бойля — Мариотта, который читателю известен (а если нет, то он узнает о нем в книге 2), плотность газа пропорциональна давлению. Поэтому

(p₁ — p₂)/ρ ~ (h₂ — h₁)

Слева стоит доля, на которую возросло давление при снижении с h₂ до h₁. Значит, одинаковым снижениям h₂ — h₁ будет соответствовать прирост давления на один и тот же процент.

Измерения и расчет показывают в полном согласии, что при подъеме над уровнем моря на каждый километр давление будет падать на 0,1 долю. То же самое относится и к спуску в глубокие шахты под уровень моря — при опускании на один километр давление будет возрастать на 0,1 своего значения.

Речь идет об изменении на 0,1 от значения на предыдущей высоте. Это значит, что при подъеме на один километр давление уменьшается до 0,9 от давления на уровне моря, при подъеме на следующий километр оно становится равным 0,9 от 0,9 давления на уровне моря; на высоте в 3 км давление будет равно 0,9 от 0,9 от 0,9, т. е. (0,9)³ давления на уровне моря. Нетрудно продлить это рассуждение и далее.

Обозначая давление на уровне моря через р₀, можем записать давление на высоте h (выраженной в километрах):

p = р₀∙(0,87)^h = р₀∙10^-0,06h.

В скобках записано более точное число: 0,9 — это округленное значение. Формула предполагает температуру одинаковой на всех высотах. На самом же деле температура атмосферы меняется с высотой и притом по довольно сложному закону. Тем не менее формула дает неплохие результаты, и на высотах до сотни километров ею можно пользоваться.

Нетрудно определить при помощи этой формулы, что на высоте Эльбруса — около 5,6 км — давление упадет примерно вдвое, а на высоте 22 км (рекордная высота подъема стратостата с людьми) давление упадет до 50 мм рт. ст.

Когда мы говорим про давление 760 мм рт. ст. — нормальное, не нужно забывать добавить: «на уровне моря». На высоте 5,6 км нормальным давлением будет не 760, а 380 мм рт. ст.

Вместе с давлением по тому же закону падает с возрастанием высоты и плотность воздуха. На высоте 160 км воздуха останется маловато.

Действительно,

(0,87)¹⁶⁰ = 10^-10.

У земной поверхности плотность воздуха равна примерно 1000 г/м³, значит, на высоте 160 км на 1 м³ должно приходиться по нашей формуле 10^-7 г воздуха. На самом же деле, как показывают измерения, произведенные при помощи ракет, плотность воздуха на этой высоте раз в десять больше.

Еще большее занижение против истины дает наша формула для высот в несколько сот километров. В том, что формула становится непригодной на больших высотах, виновато изменение температуры с высотой, а также особое явление — распад молекул воздуха под действием солнечного излучения. Здесь мы не станем на этом останавливаться.

ЗАКОН АРХИМЕДА

Подвесим гири к старинным пружинным весам. Их до сих пор иногда еще можно встретить на рынках. Называются они безменами. Пружина растянется и покажет вес гири. Не снимая гири с безмена, опустим ее в воду. Изменится ли показание безмена? Да, вес тела как бы уменьшится. Если опыт проделать с килограммовой железной гирей, то «уменьшение» веса составит примерно 140 граммов.

В чем же дело? Ведь ясно, что ни масса гири, ни притяжение ее Землей не могли измениться. Причина потери веса может быть лишь одна: на гирю, опущенную в воду, действует вверх сила в 140 гс. Откуда же берется эта выталкивающая сила, открытая великим ученым древности Архимедом? Прежде чем рассматривать твердое тело в воде, рассмотрим «воду в воде».

Выделим мысленно произвольный объем воды. Этот объем обладает весом, но на дно не падает. Почему? Ответ ясен — этому препятствует гидростатическое давление окружающей воды. Это значит, что результирующая этого давления в рассматриваемом объеме равна весу воды и направлена вертикально вверх.

Если теперь этот же объем занять твердым телом, то ясно, что гидростатическое давление останется тем же.

Итак, на тело, погруженное в жидкость, в результате гидростатического давления действует сила, направленная вертикально вверх и численно равная весу вытесненной телом воды. Это и есть закон Архимеда.

Рассказывают, что Архимед лежал в ванне и размышлял о том, как узнать, есть ли примесь серебра в золотой короне. Выталкивающую силу человек отчетливо ощущает, принимая ванну. Закон неожиданно открылся Архимеду, представился в своей замечательной простоте. С возгласом «Эврика!», (что значит «нашел») Архимед выскочил из ванны и побежал в комнаты за драгоценной короной, чтобы немедленно определить потерю ее веса в воде.

Потеря веса тела в воде, будет равна весу вытесненной телом воды. Зная вес воды, сразу же определим ее объем, который равен объему короны. Зная вес короны, можно сразу же найти плотность вещества, из которого она сделана, и, зная плотности золота и серебра, найти долю примеси.

Закон Архимеда справедлив, разумеется, для любой жидкости. Если в жидкость плотности ρ погружено тело объема V, то вес вытесненной жидкости — а это и есть выталкивающая сила — будет равен ρ∙g∙V.

На законе Архимеда основано действие простых приборов, контролирующих свойства жидких продуктов. Если спирт или молоко разбавить водой, то плотность их изменится, а по плотности можно судить о составе. Такое измерение просто и быстро производится при помощи ареометра (рис. 7.7).

Опущенный в жидкость ареометр погружается на большую или меньшую глубину в зависимости от ее плотности.

Ареометр будет находиться в равновесии, когда архимедова сила станет равной весу ареометра.

На ареометр нанесены деления, и плотность жидкости прочитывается по метке, которая приходится на уровень жидкости. Ареометры, применяемые для контроля спирта, называют спиртомерами, для контроля молока — лактометрами.

Средняя плотность тела человека несколько больше единицы. В пресной воде не умеющий плавать тонет. Соленая вода обладает плотностью больше единицы. В большинстве морей соленость воды незначительная, и плотность воды хотя и больше единицы, но меньше средней плотности человеческого тела. Плотность воды в заливе Кара-Богаз-Гол в Каспийском море — 1,18. Это больше средней плотности человеческого тела. В этом заливе утонуть нельзя. Можно лечь на воду и читать книгу.

Лед плавает на воде. Предлог «на», впрочем, здесь не вполне уместен. Плотность льда примерно на 10 % меньше плотности воды, поэтому из закона Архимеда следует, что кусок льда погружен в воду примерно на 0,9 своего объема. Именно это обстоятельство делает столь опасной встречу морских судов с айсбергами.

Если рычажные весы уравновешены в воздухе, то это не значит, что они будут уравновешены и в пустоте. Закон Архимеда относится к воздуху в такой же степени, как и к воде. На тело, находящееся в воздухе, действует выталкивающая сила, равная весу воздуха в объеме тела. В воздухе тело «весит» меньше, чем в пустоте. Потеря веса будет тем больше, чем больше объем. Тонна дерева теряет больше веса, чем тонна свинца. На шуточный вопрос, что легче, имеется такой же ответ: тонна свинца тяжелее тонны дерева, если их взвешивать в воздухе.

Потеря веса в воздухе невелика, пока речь идет о небольших телах. Однако взвешивая кусок размером с комнату, мы «потеряли» бы несколько десятков килограммов. При точном взвешивании поправка на потерю веса тел больших размеров в воздухе должна учитываться.

Архимедова сила в воздухе позволяет строить воздушные шары, аэростаты и дирижабли разных видов. Для этого нужно иметь газ легче воздуха.

Если шарик объемом 1 м³ наполнить водородом, вес 1 м³ которого равен 0,09 кгс, то подъемная сила — разность архимедовой силы и тяжести газа — будет равна:

1,29 кгс — 0,09 кгс = 1,20 кгс,

1,29 кг/м³ — плотность воздуха.

Значит, к такому шару можно подвесить около килограмма груза, и это не помешает ему полететь за облака.

Ясно, что при относительно небольших объемах — в несколько сот кубических метров — водородные шары способны поднять в воздух значительный груз.

Серьезный недостаток водородных аэростатов — горючесть водорода. Вместе с воздухом водород образует взрывчатую смесь. В истории создания аэростатов отмечены трагические случаи.

Поэтому когда был найден гелий, им стали заполнять воздушные шары. Гелий в два раза тяжелее водорода, и подъемная сила наполненного им шара меньше. Однако будет ли это различие существенным? Подъемная сила шара в 1 м³, наполненного гелием, найдется как разность 1,29 кгс — 0,18 кгс = 1,11 кгс. Подъемная сила уменьшилась всего лишь на 8 %. В то же время достоинства гелия очевидны.

Аэростат был первым аппаратом, при помощи которого люди поднялись в воздух. Аэростаты с герметически закрытой гондолой для исследования верхних слоев атмосферы применяются до настоящего времени. Они называются стратостатами. Стратостаты поднимались на высоту больше 20 км.

В настоящее время широко применяются воздушные шары, снабженные различной измерительной аппаратурой и оповещающие о результатах своих измерений по радио (рис. 7.8). Такие радиозонды несут на себе миниатюрный радиопередатчик с батарейками, который сообщает условными сигналами о влажности, температуре и давлении атмосферы на разных высотах.

Можно отправить неуправляемый аэростат в далекое путешествие и довольно точно определить, где он приземлится. Для этого надо, чтобы аэростат поднялся на большую высоту, порядка 20–30 км. На этих высотах воздушные течения очень устойчивы, и путь аэростата может быть рассчитан заранее достаточно хорошо. При необходимости можно автоматически менять подъемную силу аэростата, выпуская газ или сбрасывая балласт.

Раньше для воздушных полетов применяли аэростаты, на которых был установлен мотор с винтом. Таким аэростатам — их называют дирижаблями (что значит «управляемые») — придавали обтекаемую форму. Дирижабли не выдержали конкуренции с самолетами; по сравнению даже с самолетами 30-летней давности они громоздки, неудобны в управлении, медленно движутся, имеют «низкий потолок». Впрочем есть мнение, что для грузовых перевозок дирижабли могут оказаться выгодными.

ПРЕДЕЛЬНО МАЛЫЕ ДАВЛЕНИЯ. ВАКУУМ

Пустой в техническом смысле сосуд содержит еще огромное число молекул.

Во многих физических приборах молекулы газа являются существенной помехой. Радиолампы, рентгеновские трубки, ускорители элементарных частиц — все эти приборы нуждаются в вакууме[8], т. е. в свободном от молекул газа пространстве. Вакуум должен быть и в обычной электрической лампочке. Если в лампочку попадет воздух, нить лампы окислится и перегорит немедленно.

В лучших вакуумных приборах имеется вакуум порядка 10^-8 мм рт. ст. Казалось бы, совершенно ничтожное давление: на стомиллионную долю миллиметра сдвинулся бы уровень ртути в манометре при изменении давления на такую величину.

Однако при этом мизерном давлении в 1 см³ находится еще несколько сот миллионов молекул.

С этим вакуумом интересно сравнить пустоту межзвездного пространства — там на несколько кубических сантиметров приходится в среднем одна элементарная частица вещества.

Для получения вакуума применяются специальные насосы. Обычный насос, удаляющий газ путем движения поршня, может создать вакуум не более 0,01 мм рт. ст. Хороший, или, как говорят, высокий, вакуум можно получить при помощи так называемых диффузионных насосов — ртутных или масляных, в которых молекулы газа захватываются струей ртутного или масляного пара.

Ртутные насосы, носящие имя их изобретателя Лэнгмюра, начинают работать лишь после предварительной откачки до давлений около 0,1 мм рт. ст. такое предварительное разрежение называют форвакуумом.

Принцип действия заключается в следующем. Небольшой стеклянный объем сообщается с сосудом со ртутью, откачиваемым пространством и форвакуумным насосом. Ртуть подогревается, и форвакуумный насос увлекает ее пары. По дороге ртутные пары захватывают молекулы газа и доставляют их к форвакуумному насосу. Атомы ртути конденсируются в жидкость (предусмотрено охлаждение проточной водой), которая стекает в тот сосуд, откуда ртуть начала путешествие.

Достигаемый в лабораторных условиях вакуум, как мы сказали только что, — это еще далеко не пустота в абсолютном значении слова. Вакуум — это сильно разреженный газ. Свойства этого газа могут существенно отличаться от свойств обычного газа.

Движение молекул, «образующих вакуум», меняет свой характер, когда длина свободного пробега молекулы становится больше размеров сосуда, в котором находится газ. Тогда молекулы редко сталкиваются между собой и совершают свое путешествие прямыми зигзагами, ударяясь то об одну, то о другую стенку сосуда. Подробно о движении молекул речь пойдет в книге 2. Однако, забегая вперед, вычислим, при каком давлении это будет. Читатель знает, что в воздухе при атмосферном давлении длина пробега равна 5∙10^-6 см. Если увеличить ее в 10⁷ раз, то она составит 50 см, т. е. будет заметно больше среднего по размерам сосуда. Поскольку длина пробега обратно пропорциональна плотности, а следовательно, и давлению, то давление для этого должно составлять 10^-7 атмосферного или примерно 10^-4 мм рт. ст.

Даже межпланетное пространство не является совсем пустым. Но плотность вещества в нем составляет около 5∙10^-24 г/см³. Основная доля межпланетного вещества — атомарный водород. В настоящее время считается, что в космосе приходится по нескольку атомов водорода на 1 см³. Если увеличить молекулу водорода до размеров горошины и поместить такую «молекулу» в Москве, то ее ближайшая «космическая соседка» окажется в Туле.

ДАВЛЕНИЕ В МИЛЛИОНЫ АТМОСФЕР

С большими давлениями, приходящимися на маленькие площадки, мы сталкиваемся каждодневно. Прикинем, например, каково давление, приходящееся на конец иглы. Положим, что кончик иглы или гвоздя имеет линейный размер 0,1 мм. Это значит, что площадь острия будет равна 0,0001 см². Если на такой гвоздик подействовать совсем небольшой силой — в 10 кгс, то кончик гвоздика окажет давление в 100 000 атмосфер. Немудрено, что острые предметы так легко проникают в глубь плотных тел.

Из этого примера следует, что создание больших давлений на малых площадях есть вещь вполне обычная. Совсем иначе обстоит дело, если речь идет о создании высоких давлений на большой поверхности.

Создание высоких давлений в лабораторных условиях осуществляется при помощи сильных прессов, например гидравлических (рис. 7.9). Усилие пресса передается поршеньку небольшой площади, он вталкивается в сосуд, внутри которого хотят создать высокое давление.

Таким образом можно без особого труда создать давления в несколько тысяч атмосфер. Для получения же сверхвысоких давлений опыт приходится усложнять, так как материал сосуда таких давлений не выдержит.

Природа здесь пошла нам навстречу. Оказывается, что при давлениях порядка 20 000 атмосфер металлы существенно упрочняются. Поэтому аппарат для получения сверхвысоких давлений погружают в жидкость, находящуюся под давлением порядка 30000 атмосфер. В этом случае удается создать во внутреннем сосуде (опять-таки поршнем) давления в несколько сот тысяч атмосфер. Наиболее высокое давление — 400 000 атмосфер — было получено американским физиком Бриджменом.

Интерес к получению сверхвысоких давлений совсем не праздный. При таких давлениях могут происходить явления, которые невозможно вызвать иным способом. В 1955 г. были получены искусственные алмазы. Для этого понадобилось давление в 100 000 атмосфер и вдобавок температура свыше 2000 К.

Сверхвысокие давления порядка 300 000 атмосфер на больших площадях образуются при взрывах твердых и жидких взрывчатых веществ — нитроглицерина, тротила и пр.

Несравненно более высокие давления, достигающие 10¹³ атмосфер, возникают внутри атомной бомбы при взрыве.

Давления при взрыве существуют очень короткое время. Постоянные высокие давления имеются в глубинах небесных тел, в том числе, конечно, и в глубине Земли. Давление в центре земного шара равно примерно 3 миллионам атмосфер.

* * *

* * *